55FÍSICA 2 03

a) El buit.

(40 ? 1026) ? (260 ? 1026)F 5 9 ? 109 ? ———————————— 5 2540 N 0,22

El signe menys indica que les forces entre càrregues són atractives.

b) L’aigua.

Si consultem la taula 3.1 del llibre, veiem que quan les càrregues es troben en el medi aigua, les forces d’atracció minven en 81 vegades respecte del buit:

2540F 5 ——— 5 26,67 N 81

c) El vidre.

2540F 5 ——— 5 267,5 N 8

7. Dues càrregues iguals es repel.leixen amb una força de 150 N quan es troben a una distància de 2 m i en un medi oli. Quin és el valor de la càrrega? Q Q9Apliquem la llei de Coulomb en mòdul, F 5 K ——, i tenint en r 2

compte la taula 3.1, podem escriure:

9 ? 109 Q2 40050 5 ——— ? —— → Q 5 √

⎯⎯⎯ ——— 5 2,1 ? 1024 C

2 22 9 ? 109

8. Dues càrregues de 40 mC i de signe contrari s’atrauen amb una força de 100 N en un medi d’aigua. A quina distància es troben? Q Q9Si apliquem la llei de Coulomb en mòdul, F 5 K ——, i tenim r 2

en compte la taula 3.1, podem escriure:

9 ? 109 2(40 ? 1023)2

2100 5 ——— ? —————— → 81 r 2

9 ? 109 ? (40 ? 1023)2

r 5 √⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

————————— 5 42,2 m 81 ? 1 000

9. En deixar anar un electró en un punt, observem que es mou cap a la nostra dreta. Cap a on va dirigit el camp elèctric?

Recordem que el sentit del camp elèctric és el que seguiria una càrrega elèctrica positiva sotmesa a aquest camp. Per tant, en aquest cas, el camp elèctric va en sentit contrari, és a dir, cap a l’esquerra.

j Unitat 3. Camp elèctric

j Activitats

1. Si s’extreuen 5 electrons d’un cos elèctricament neutre, en quin estat elèctric queda el cos?

Quan diem que un cos es troba en un estat elèctricament neu-tre, hem d’entendre que conté el mateix nombre de càrregues positives que negatives. Per tant, si n’extraiem 5 electrons, els cos quedarà carregat amb una càrrega de 15e.

2. D’un cos carregat amb 8 electrons s’extreuen 5 electrons; en quin estat elèctric queda el cos? I si se n’extreuen 12?

3. A un àtom de Ca li traiem 2 electrons, en quin estat elèctric queda?

Ca 2 2 e2 → C a21

4. Un cos es carrega per fricció fi ns aconseguir una càr rega de 196 nC. Quina quantitat d’electrons se li han tret?

Com que el cos ha quedat carregat positivament, se li ha extret una quantitat d’electrons donada per:

1029 C 1 electró96 nC ? ——— ? —————— 5 6 ? 1011 electrons 1 C 1,6 ? 10219 C

5. La força de repulsió entre dues càrregues del mateix signe en un medi diferent de l’aire és més gran o més petita que en l’aire?

És més petita que en l’aire. La força entre les càrregues pren el valor màxim en el buit o l’aire. En altres medis, disminueix. Si consultem la taula 3.1 del llibre, podem dir que, per exemple, en el medi vidre, la força disminueix vuit vegades.

6. Dues càrregues de 140 mC i 260 mC es troben a una distàn-cia de 20 cm. Calculeu el mòdul de la força d’atracció quan el medi que les envolta és:

Apliquem la llei de Coulomb en mòdul per a cada cas:

Q Q9F 5 K —— r 2

56 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE03

14. Calculeu el camp en A si Q1, Q2 i Q3 són càrregues puntuals. Quina força rep una càrrega puntual de 25 mC situada en A?

En la figura s’indiquen els camps creats en el punt A per les càrregues puntuals.

20 ? 1029 30 ? 1029 40 ? 1029

E 5 9 ? 109 ? 1————— 1 ————— 2 —————2 5 12 12 22

5 360 N/C cap a la dreta.

La força que rep la càrrega és:

F 5 Q E 5 25 ? 1023? 360 5 1,8 N cap a l’esquerra.

15. No sabem com està distribuïda la càrrega en l’inte rior d’una esfera de radi R amb càrrega 1Q. Podem acceptar que el po- Qtencial en un punt exterior r . R és V 5 K —? Raoneu la rresposta.

Quan un cos té simetria esfèrica i està carregat elèctricament amb una quantitat Q, podem considerar, per a punts exteriors a l’esfera, que el potencial és igual al d’una càrrega puntual de valor Q situada al centre de l’esfera.

16. Calculeu el potencial que crea una càrrega puntual de 60 nC en un punt A que dista 9 m.

El potencial creat per una càrrega puntual a una distància r és QV 5 K —. r

60 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? ————— 5 60 V 9

17. Quan els cossos es carreguen fi ns que creen un camp elèctric a la superfície de 3 ?106 N/C, que anomenem camp de ruptu-ra, es descarreguen elèctricament amb l’aire que els envol-ta ja que l’aire s’ionitza i facilita la descàrrega. Calculeu la càrrega i el potencial a la superfície d’una esfera de radi 5 cm perquè es pro dueixi la descàrrega amb l’aire.

La càrrega que ha de tenir l’esfera perquè es produeixi la des-càrrega és:

Q3 ? 106 5 9 ? 109? ——— → Q 5 8,33 ? 1027 N/C 0,052

El potencial creat amb aquesta càrrega és:

8,33 ? 1027

V 5 9 ? 109 ? ————— 5 1,5 ? 105 V 0,05

10. Dues càrregues iguals i del mateix signe es troben a una distància r. En quin punt s’anul.la el camp elèctric? I si són de signe contrari?

Si les càrregues són del mateix signe, el camp s’anul.la just en el punt mitjà del segment que les uneix.

Si les càrregues són de signe contrari, no s’anul.len en cap punt de l’espai que les envolta.

11. Es poden tallar dues línies de camp elèctric? Raoneu la resposta.

Les línies de camp elèctric no es poden tallar.

Si suposem que dues línies de camp elèctric es tallen en un punt P, aleshores podríem dibuixar dos vectors camp en el ma-teix punt P que tindrien direccions diferents.

12. Una càrrega de 120 nC està sotmesa a una força de 5 N. Quina és la intensitat de camp elèctric que rep?

Quan una càrrega elèctrica està sotmesa a un camp elèctric,rep una força donada per l’expressió

→F 5 Q

→E.

En mòdul: 5 5 2 ? 1029 E → E 5 2,5 ? 108 N/C i té la mateixa direcció i sentit que la força.

13. Calculeu el camp elèctric d’una càrrega puntual de 120 nC a una distància de 5 cm. Quina força rep una càr rega de 25 mC situada en aquest punt?

El camp elèctric creat per una càrrega elèctrica puntual és, en mòdul:

Q 20 ? 1029

E 5 K — 5 9 ? 109 ? ————— 5 7,2 ?104 N/C r 2 0,052

Per tant, la força que rep una càrrega elèctrica de 25 mC situa-da en aquest punt és, en mòdul:

F 5 Q E 5 25 ? 1023? 7,2 ?104 5 2360 N

La força actua en el sentit contrari al camp.

57FÍSICA 2 03

Per tant, la diferència de potencial entre aquests dos punts és el potencia d’A:

2 Q 2 √⎯2⎯

QVA 2 VO 5 K —————— L

21. Una càrrega elèctrica positiva es mou en la mateixa direcció i sentit que la d’un camp elèctric uniforme passant d’A cap a B. El valor de VB 2 VA és positiu o negatiu? I si la càrrega es negativa? Raoneu les respostes.

Quan una càrrega elèctrica positiva es mou d’A cap a B, sempre ho fa de potencials alts a potencials baixos; en conseqüència, en aquest cas tenim que VA . VB. Per tant, VB 2 VA , 0.

Si la càrrega és negativa, aleshores VB 2 VA . 0.

22. Quin treball es realitza en moure una càrrega elèctrica per una trajectòria tancada en presència d’un camp elèctric extern?

Com que el camp elèctric és conservatiu, el treball realitzat en moure una càrrega elèctrica seguint una trajectòria tancada és zero.

23. a) Calculeu l’energia potencial del sistema de dues càrre-gues puntuals de 2 mC i 24 mC separades una distància d’1 m.

L’energia potencial de dues càrregues puntuals ve donada per Q Q9l’expressió Ep 5 K ——. r 2

(2 ? 1026) ? (24 ? 1026)Ep 5 9 ? 109 ? —————————— 5 20,072 J 1

b) Quin treball cal fer sobre el sistema per separar-les una distància molt gran?

El treball fet pel sistema és:

Wsistema 5 2D Ep 5 2(EpA 2 Ep`) 5 0,072 J

24. Es deixa anar lliurement Q9 des d’A fi ns a B segons la fi gura.

18. Calculeu el potencial en A de la distribució de càrregues puntuals de la fi gura.

230 ? 1029 90 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? 1————— 1 —————2 5 0 V 0,5 1,5

19. Quin treball cal realitzar per desplaçar una càrrega puntual de 11 C des de B fins a A del sistema de la figura.

��� ��� ��������

� �

5 ? 1026

VA 5 9 ? 109 ———— 5 22 500 V 2

5 ? 1026

VB 5 9 ? 109 ———— 5 11 250 V 4

El treball realitzat per la força elèctrica és:

VA 2 VB 5 2W B → A → WB → A 5 11 250 2 22 500 5 211 250 J

11 C 11 C

El treball realitzat per un agent extern és, per tant, 11 250 J.

20. En els vèrtexs d’un quadrat de longitud L hi ha dues càrre-gues iguals de valor Q en dos vèrtexs oposats i una altra càrrega de valor 22 Q en un tercer vèrtex. Calculeu la di-ferència de potencial que hi ha entre el seu centre O i l’altre vèrtex lliure A.

El potencial en el seu centre és nul ja que les tres càrregues es troben a la mateixa distància, la meitat de la diagonal:

Q 1 Q 2 2 QVO 5 K ———————— 5 0 D — 2

El potencial en A és:

Q 1 Q 2 Q Q 1 Q √⎯2⎯

QVA 5 K 1——— 2 ———2 5 K 1——— 2 ———2 5 L √

⎯2⎯

L L L

2 Q 2 √⎯2⎯

Q5 K —————— L

58 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE03

2. Tres càrregues iguals i de signe 1 es troben situades als vèrtexs d’un triangle equilàter de costat l. Quin és el camp elèctric al seu centre?

El camp elèctric en el seu centre és nul.

Les intensitats dels tres camps creats per les càrregues són de la mateixa intensitat, ja que es troben a la mateixa distància. La suma vectorial d’aquests vectors és zero.

q1 5 q2 5 q3

→E1 1

→E2 1

→E3 5 0

3. Si disposem de 4 càrregues d’igual valor absolut, dues de signe 1 i dues de signe 2, com les posaríeu als vèrtexs d’un quadrat perquè en el seu centre el camp elèctric fos nul?

q1 5 |q2| 5 q3 5 |q4|

4. Dues càrregues Q i 2 Q es troben a una distancia d. A quina distància de Q s’anul.la el camp?

S’anul.la en un punt interior del segment que uneix les càrregues di a una distància de Q de ———— . 1 1 √ 2

a) Quina és la variació de l’energia potencial?

220 ? 1029? 300 ? 1023

D Ep 5 9 ? 109 ? —————————— 3

220 ? 1029? 300 ? 1023

2 9 ? 109 ? —————————— 5 24,5 J 4

b) Quina energia cinètica té quan passa per B, suposant que en A està en repòs?

D Ec 5 2D Ep 5 4,5 J

c) Amb quina velocitat passa per B?

1 9— ? 5 ? 1023? v 2 5 4,5 → v 5 √

⎯⎯⎯⎯ ———— 5 42,4 m/s

2 5 ?1023

j Activitats fi nals

h Qüestions

1. Dibuixeu les línies de camp elèctric dels cossos carregats de la fi gura. Representeu una línia per a cada càrrega elèctrica.

a) b)

c)

59FÍSICA 2 03

Segons aquesta expressió, si són del mateix signe i les acos-tem, aleshores l’energia potencial augmenta. En la figura hi ha representada l’energia potencial de dues càrregues iguals d’1 C cadascuna en funció de la distància que les separa.

Si són de signe contrari i les acostem, l’energia potencial dis-minueix. En la figura hi ha representada l’energia potencial de dues càrregues iguals d’1 C i de signe contrari.

9. Quan dues càrregues positives se separen, el treball fet pel sistema és positiu o negatiu? I si són nega tives?

El treball fet pel sistema és:

Q Q9 Q Q9W 5 2Q9 (VB 2 VA) 5 2D Ep 5 21K —— 2 K ——2 rf ri

Per tant, si les càrregues són positives i les separem, la varia-ció d’energia potencial és negativa i, per tant, el treball és positiu.

Si les càrregues són negatives, arribem a la mateixa conclusió.

10. Per separar dues càrregues de signe contrari, el treball fet per una força externa és positiu o ne gatiu?

El treball fet per les forces externes és:

Q Q9 Q Q9W 5 Q9 (VB 2 VA) 5 D Ep 5 K —— 2 K —— rf ri

Per tant, el treball esmerçat dóna positiu.

En efecte,

Q 2 Q 1 2K — 2 K ———— 5 0 → — 2 ———— 5 0 x2 (d 2 x)2 x2 (d 2 x)2

d 2 x d→ ——— 5 √ 2 → x 5 ———— x 1 1 √ 2

5. Una esfera de radi R carregada amb una càrrega Q crea un Qcamp elèctric en r . R de valor E 5 K ——. r 2

És correcta aquesta afi rmació?

Com en l’activitat 15 d’apartat, per a punts exteriors a l’esfera, també podem considerar que el camp elèctric correspon al d’una càrrega puntual situada al centre de l’esfera.

6. Dues càrregues puntuals fi xes Q i 2Q estan separades una distància D. Digueu si les afi rmacions següents són certes o falses i justifi queu la resposta.

a) En la línia que uneix les dues càrregues només hi ha un punt (a distància fi nita) en què el poten cial elèctric és nul.

Certa.

Q Q DV (x) 5 k —— 2 k ——— 5 0 → x 5 — |x| |x 2 D| 2

b) No hi ha cap punt de l’espai (a distància fi nita) en què el camp elèctric sigui nul.

Certa. El dibuix de les línies de camp —corresponents a un dipol— ho mostra clarament. També es pot analitzar cada regió de l’espai.

7. Què hem de fer per augmentar l’energia potencial d’un sis-tema de dues càrregues elèctriques de signe contrari?

Acostar-les.

8. En aproximar dues càrregues del mateix signe, l’energia po-tencial augmenta o disminueix? I si són de signe contrari? Raoneu la resposta.

L’energia potencial entre dues càrregues, que suposem pun-tuals, ve donada per l’expressió:

QQ9Ep 5 K —— r

60 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE03

En situar una càrrega puntual en les proximitats de la super-fície del cos, aquesta rep una força en sentit contrari al camp elèctric i és rebutjada cap a fora en direcció perpendicular a la super fície.

13. Un electró inicialment en repòs es deixa lliure en un punt de l’espai, en presència del camp elèctric creat per una càr-rega puntual positiva.

A. Quan l’electró es desplaça en el camp elèctric:

a) Augmenta la seva energia potencial electrostàtica.

b) Segueix el sentit de les línies de camp.

c) Es mou en la direcció de potencial elèctric creixent.

L’electró inicialment en repòs es mou en sentit contrari a les línies de camp i la seva energia potencial electrostàti-ca disminueix ( )0pEΔ < . Com que la seva càrrega elèctrica és negativa ( )0q < , es mou en la direcció del potencial

elèctric creixent: 0pEV

q

ΔΔ = > . L’opció correcta és la c).

B. Quan l’electró es desplaça entre dos punts del camp que tenen una diferència de potencial de 1 000 V:

a) La seva energia cinètica augmenta en 1000 J.

b) La seva energia cinètica augmenta en 1 000 eV.

c) La seva energia mecànica augmenta en 1 000 eV.

Com que el camp electrostàtic és conservatiu, l’augment de l’energia cinètica equival a la disminució de l’energia potencial electrostàtica. Així:

DEc 5 2DEp 5 2q DV 5 2(2|e|) ? 1 000 V 5 1 000 eV

L’opció correcta és la b).

14. El camp elèctric en un punt interior d’una esfera de radi R i carregada amb una càrrega Q és zero. Aquesta afi rmació és correcta?

No sempre és certa.

Si l’esfera és conductora, la càrrega es distribueix en la super-fície i el camp elèctric en un punt qualsevol interior certament és zero. Però si no és conductora, aleshores la càrrega es distri-bueix en el seu interior i fa que el camp elèctric sigui diferent de zero.

15. Una escorça esfèrica de radi R està carregada amb una den-sitat de càrrega superficial s. Quin és el potencial en el seu centre?

Calculem primer la càrrega total i després el potencial que generen en el centre, tenint en compte que totes les càrregues es troben a la mateixa distància R perquè es troben en simetria esfèrica respecte del centre:

Q 5 s A 5 s 4 p R2

1 s 4 p R2 s RV 5 ——— ? ———— 5 ——— 4 p «0 R «0

11. Segons la fi gura, la càrrega 1Q està fi xa. Responeu si és cert o fals:

a) La càrrega 2Q es mou d’A cap a B i augmenta l’energia potencial.

Si la càrrega Q9 es mou d’A cap a B, s’acosta cap a Q; i de l’expressió:

Q Q9 Q Q9D Ep 5 21K —— 2 K ——2 rf ri

deduïm que l’energia potencial del sistema disminueix.

b) La càrrega 2Q es mou d’A cap a B i el treball fet pel sistema és positiu.

Com que Wsistema 5 2D Ep i D Ep , 0 ⇒ W . 0

c) La càrrega 2Q es mou d’A cap a C i augmenta l’energia potencial.

Si la càrrega Q9 es mou d’A cap a C, s’allunya de Q; i de l’expressió:

Q Q9 Q Q9D Ep 5 21K —— 2 K ——2 rf ri

deduïm que l’energia potencial del sistema augmenta.

d) La càrrega 2Q es mou d’A cap a C i el treball fet per les forces externes és positiu.

Com que Wforces externes 5 D Ep i D Ep . 0 ⇒ W . 0

12. Un cos està carregat elèctricament amb signe 2 i disposem d’una càrrega puntual elèctrica també negativa. Si la deixem anar lliurement just en les proximitats de la superfície del cos, en quina direcció i sentit es mourà?

El camp elèctric creat pel cos carregat negativament va dirigit perpendicularment a la superfície des de fora cap a dins.

61FÍSICA 2 03

3. Sobre una càrrega de 120 nC i massa 8 g actua un camp elèctric uniforme de 5 ?104 N/C. Suposant negligible el camp gravitatori, amb quina acceleració es mou? Amb quina velocitat va al cap d’1 s? Quin espai ha recor regut?

Si suposem que la càrrega es mou en la direcció de l’eix X,amb l’expressió

→F 5 Q

→E calculem la força:

→F 5 20 ? 1029? 5 ? 104 5 1023

→i N

Amb la 2a llei de Newton, calculem l’acceleració:

→F 1023

→i→

a 5 — 5 ———— 5 0,125→i m/s2

m 8 ? 1023

La velocitat al cap d’1 s és:

→v 5

→a t 5 0,125

→i ? 1 5 0,125

→i m/s

L’espai recorregut és:

1x 5 — ? 0,125

→i ? 12 5 0,0625

→i m

2

4. Suposeu una càrrega de 120 nC fi xa i una altra càrrega mò-bil de 11 C i de massa 2 kg. Amb quines acceleracions es mourà quan es trobi a les distàncies següents:

El camp creat per la càrrega fixa a una distància r és:

QE 5 K — r 2

La força que rep la càrrega mòbil és F 5 Q E.

Q Q9 K —— F Q E r 2

L’acceleració és: a 5 — 5 —— 5 ———— m m m

a) 0,5 m

20 ?1029?1 9 ? 109 ? —————— 0,52

a 5 ———————————— 5 360 m/s2

2

b) 1 m

20 ?1029?1 9 ? 109 ? —————— 12

a 5 ———————————— 5 90 m/s2

2

c) 2 m

20 ?1029?1 9 ? 109 ? —————— 22

a 5 ———————————— 5 22,5 m/s2

2

h Problemes

1. Dues càrregues, una triple que l’altra, es troben a una dis-tància de 2 m i es repel.leixen amb una força de 5 000 N. Determineu el valor de cada càrrega.

Q Q9Apliquem la llei de Coulomb en mòdul, F 5 K —— : r 2

3 Q2

5 000 5 9 ? 109 ? —— → 22

2 ? 104

Q 5 √⎯⎯⎯⎯

——— 5 8,61 ? 1024 C 27 ? 109

L’altra càrrega serà de 2,58 ?1023 C.

2. Dues càrregues de 20 mC i 230 mC estan situades en els punts (3, 2) i (25, 4) respectivament. Calculeu la força que actua sobre la càrrega negativa i expresseu el resultat vectorialment i en mòdul.

Apliquem la llei de Coulomb en forma vectorial:

Q Q9→F 5 K ——

→u

r 2

Trobem el vector posició de la càrrega negativa respecte de la positiva:

→r 5 (25, 4) 2 (23, 2) 5 (28, 2)

El vector unitari que dirigeix a →r és:

→r (28, 2) (28, 2)→

u 5 — 5 ——————— 5 ———— r √ (28)2 1 22 √ 68

Per tant, la força és:

(20 ? 1026) ? (230 ? 1026) (28, 2)→F 5 9 ? 109 ? ———————————— ? ———— 5 68 √ 68

5 (0,077→i 2 0,019

→j ) N

El seu mòdul és:

F 5 √ 0,0772 1 (20,019)2 5 0,079 N

62 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE03

8. Quina ha de ser la intensitat de camp elèctric que ha d’actuar sobre una càrrega esfèrica de massa 100 g car-regada amb 20 nC perquè es mantingui en equilibri amb la força gravitatòria (pes)?

Dada: g0 5 9,8 m/s2.

Si igualem la força gravitatòria amb l’elèctrica, tenim:

m g 0,1 ? 9,8m g 5 Q E → E 5 —— 5 ————— 5 4,9 ? 107 N/C Q 20 ? 1029

9. Calculeu el camp en A i en B on Q1 i Q 2 són càrregues pun-tuals.

En A tenim que:

20 ? 1029 30 ? 1029

E 5 9 ? 109 ? 1————— 2 —————2 5 2225 N/C 22 12

Actua en sentit cap a l’esquerra.

En B tenim que:

20 ? 1029 30 ? 1029

E 5 9 ? 109 ? 12————— 1 —————2 5 2112,5 N/C 12 22

El seu sentit també és cap a l’esquerra.

10. Un camp elèctric uniforme actua sobre una càrrega de 20 mC i de massa 1 cg. La càrrega parteix del repòs i es deixa anar lliurement, i en recórrer 4 m aconsegueix una velocitat de 500 m/s. Quin és el mòdul de la intensitat de camp elèctric?

Calculem la variació de l’energia cinètica:

1D Ec 5 — ? 1025? 5002 5 1,25 J ⇒ D Ep 5 21,25 J 2

La diferència de potencial que supera és:

D Ep 21,25DV 5 ——— 5 ————— 5 262,5 V Q 20 ? 1023

d) 10 m de la càrrega fi xa.

20 ?1029?1 9 ? 109 ? —————— 102

a 5 ———————————— 5 0,9 m/s2

2

La direcció de les acceleracions és la recta que uneix les càr-regues, i allunyant-se de la càrrega de 20 nC.

5. Una càrrega elèctrica de 150 nC està envoltada d’aigua. Quin és el camp elèctric a una distància de 30 cm de la càrrega?

En mòdul, el camp elèctric en el buit és:

Q 50 ? 1029

E 5 K — 5 9 ? 109 ? ————— 5 5 ?103 N/C r 2 0,32

Consultant la taula 3.1, εaigua 5 81 ε0. Per tant, en l’aigua el camp elèctric és:

5 ? 103

E 5 ——— 5 61,7 N/C 81

6. Una càrrega 1Q crea un camp de 2 ?104 N/C a una distància de 2 m d’aquesta. Quina càrrega Q9 cal afegir a Q perquè el camp sigui de 3 ?104 N/C en el mateix punt?

Q9 ? 109 ? — 5 2 ?104 N/C 22

Q 1 Q99?109 ? ———— 5 3?104 N/C 6 22

De la primera equació, trobem el valor de Q :

Q 5 8,89 ? 1026 C

8,89 ? 1026 1 Q99 ? 109 ? ———————— 5 3 ?104 → 22

Q9 5 4,4 ? 1026 C 5 4,4 mC

7. Una càrrega 1Q crea un camp de 2 ?104 N/C a una distància de 3 m d’aquesta. Quina càrrega Q9 cal afegir a Q perquè el camp sigui de 104 N/C en el mateix punt?

Q9 ? 109 ? — 5 2 ?104 N/C 32

Q 1 Q99 ? 109 ? ———— 5 104 N/C

6 32

De la primera equació, trobem el valor de Q :

Q 5 2 ?1025 C

2 ?1025 1 Q99 ? 109 ? ——————— 5 104 → Q9 5 21025 C 5 210 mC 32

63FÍSICA 2 03

Determinem els vectors posició i el seus mòduls de les càrre-gues respecte del punt P:

→r1 5 (0, 26) 2 (28, 0) 5 (8, 26) → r1 5 10

→r2 5 (0, 26) 2 (0, 6) 5 (0, 212) → r2 5 12

→r3 5 (0, 26) 2 (8, 0) 5 (28, 26) → r3 5 10

El camp al punt P és:

240 ? 1026 (8, 26) 260 ? 1026→E 5 9 ? 109 ? 1————— ? ———— 1 ————— ? 102 10 122

20 ? 1026 (28, 26)? (0, 21) 1 ————? —————2 5 102 10

5 (24 320 →i 1 4 830

→j ) N/C

La força que rep la càrrega és: →

F 5 (24320 →i 1 4 830

→j ) ? 7 ? 1023 5 (230,24

→i 1 33,81

→j ) N

13. Dues càrregues de 30 nC i 60 nC es troben a una distància de 2 cm. A quina distància de la primera s’anul.la el camp?

Com que són del mateix signe, només es poden anul.lar en un punt del segment que uneix les càrregues.

Anomenem x la distància a la primera càrrega on s’anul.la el camp.Apliquem la condició S

→E 5 0:

30 60 (2 2 x)2

K ? —— 2 K ? ———— 5 0 → ———— 5 2 x2 (2 2 x)2 x2

2 2 x 2 → ——— 5 √2 → x 5 ———— 5 0,828 cm x 1 1 √2

Cal adonar-se que com que es tracta d’una equació homogènia hem utilitzat unitats no internacionals per facilitar el càlcul.

14. Un camp elèctric uniforme està dirigit verticalment cap amunt, E 5 20 000 N/C, i hi col.loquem una càrrega Q po-sitiva i de massa 5 g. Quin és el valor de Q perquè l’efecte gravitatori anul.li l’efecte elèctric?

Hem d’igualar les forces gravitatòria i elèctrica.

m g 5 Q E → 5 ? 1023? 9,8 5 Q ? 2 ? 104 →

Q 5 2,45 ? 1026 C 5 2,45 mC

La intensitat del camp elèctric és:

2DV 62,5E 5 —— 5 —— 5 15,625 N/C Dx 4

11. En una regió de l'espai hi ha un camp uniforme d’intensitat E 5 2000 N/C. Es llança un protó amb una velocitat de 105 m/s en sentit contrari al camp. Quina distància recorre com a màxim fi ns a parar-se?

Dades: e: 1,602 ? 10219 C; mp 5 1,67 ? 10227 kg

Calculem la força i l’acceleració sobre el protó:

F 5 Q E 5 1,6 ? 10219 ? 2 ? 103 5 3,2 ? 10216 N

F 3,2 ? 10216

a 5 — 5 —————— 5 1,92 ? 1011 m/s2

m 1,67 ? 10227

Calculem el temps que tarda fins que es para:

105

v 5 v0 1 a t → t 5 —————— 5 5,21 ? 1027 s 1,92 ? 1011

L’espai recorregut fins que es para és:

1x 5 v0 t 1 — a t 2 → 2

1x 5 2105? 5,21 ? 1027 1 — ? 1,92 ? 1011? (5,21 ? 1027)2 5 2

5 20,026 m → 22,61 cm

És a dir, que el protó és desplaçarà 0,026 m cap a l’esquerra.

12. Si tenim una distribució de càrregues com la representada a la fi gura, calculeu el camp en P. Si en aquest punt situem una càrrega de valor 7 mC, calculeu la força que rep.

64 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE03

17. Dues esferes puntuals de 20 g de massa cadascuna estan carregades amb la mateixa càrrega elèctrica positiva. Les esferes estan situades als extrems de dos fi ls d’1 m de lon-gitud, tal com es veu a la fi gura. En la posició d’equilibri cada fi l forma un angle de 30° amb la vertical.

a) Calculeu la tensió dels fi ls en la posició d’equilibri.

T cos a 5 m g 5 0 → T 5 0,23 N

b) Calculeu la càrrega de cada esfera.

T sin a 2 F 5 0

q2

F 5 K ————— (2l sin a)

c) Calculeu el camp elèctric (mòdul, direcció i sentit) que s’hauria d’aplicar a l’esfera de l’esquerra per mantenir-la en la mateixa posició d’equilibri si no existís l’esfera de la dreta.

q E 5 K ————— 5 3,24·104 N/C;

→E 5 2E

→ i

(2 l sin a)2

on s’ha pres g 5 10 m/s2

18. Una esfera conductora de radi 2 cm té una càrrega de 23 mC.

a) Quant val el potencial elèctric creat per l’esfera en un punt que dista 3 cm del centre de l’esfera?

Com que el punt és exterior:

K q 23 ? 1026

V 5 ——— 5 9 ? 109 ————— 5 29 ? 105 V r 3 ? 1022

b) Quant val el camp elèctric creat per l’esfera en un punt que dista 1 cm del centre de l’esfera?

La càrrega es distribueix uniformement sobre la superfície de l’esfera conductora. Per tant, el camp dins l’esfera és nul: E 5 0 N/C

6 q 5 3,6 ? 1026 C

15. Calculeu:

a) El camp en P de la distribució de càrregues elèctriques de la fi gura.

Indiquem en el punt P els sentits dels camps creats per les càrregues puntuals.

Calculem el camp total en P :

20 ? 1029 40 ? 1029 60 ? 1029

E 5 9 ? 109 ? 1————— 2 ————— 2 ————— 22 12 12

80 ? 1029

2 —————2 5 2675 N/C 22

b) La força que rep una càrrega de 30 mC situada a P.

Una càrrega puntual de 30 mC situada a P rep una força:

F 5 2675 ? 30 ? 1023 5 20,25 N cap a l’esquerra.

16. Una càrrega esfèrica de 50 mC i 40 g de massa es penja de l’extrem d’un fi l de 70 cm. Si actua un camp elèctric uni-forme i horitzontal de 10 000 N/C, calculeu l’angle que es desplaça la càrrega respecte de la vertical, i la tensió que suporta el fi l.

En l’equilibri, S→F 5 0.

Per tant,

Fe 2 Tx 5 0

Ty 2 m g 5 0 6 6T sin a 5 E Q

T cos a 5 m g

E Qtg a 5 —— m g

104 ? 50 ? 1026

tg a 5 ——————— 5 1,275 → a 5 51,9° 40 ? 1023? 9,8

La tensió és:

m g 40 ? 1023? 9,8T cos a 5 m g → T 5 —— 5 ——————— 5 0,64 N cos a cos 51,9°

65FÍSICA 2 03

Q1 5 20 mC

Q2 5 230 mC

Q3 5 50 mC

Calculem la distància de cada càrrega al punt P :

→r1 5 (22, 24) → r1 5 √ (22)2 1 (24)2 5 √ 20

→r2 5 (22, 24) 2 (3, 4) 5 (25, 28) →

→ r2 5 √ (25)2 1 (28)2 5 √ 89

→r3 5 (22, 24) 2 (28, 15) 5 (6, 219) →

→ r3 5 √ 62 1 (219)2 5 √ 397

El potencial a P és:

20 ? 1026 230 ? 1026 50 ? 1026

V 5 9 ? 109 ? 1————— 1 ————— 1 —————2 5 √ 20 √ 89 √ 397

5 3,42 ? 104 V

22. Calculeu el potencial al centre d’un triangle equilàter com el de la fi gura.

Sigui d la distància de cada càrrega al centre del triangle. El potencial en aquest punt és:

20 ? 1029 10 ? 1029 230 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? 1————— 1 ————— 1 —————2 5 0 V d d d

23. En la part superior d’un pla inclinat hi ha una esfera de massa 1 kg, carregada elèctricament amb una càrrega de 50 nC. Calculeu la intensitat de camp elèctric que ha d’actuar sobre l’esfera perquè es mantingui en equilibri quan:

a) El camp actua paral.lelament al pla.

La força elèctrica ha d’igualar la força tangencial px:

Q E 2 px 5 0 → 50 ? 1029? E 5 1 ? 9,8 ? sin 30° →

→ E 5 9,8 ? 107 N/C

19. Una càrrega puntual Q crea en un punt de l’espai un camp elèctric d’intensitat 10 N/C i un potencial elèctric de 23 V. Determineu el valor i el signe de la càrrega.

K q E 5 ———, r2

1 V 2

→ q 5 — —— 5 1 3 10210 C K E

K q V 5 ——, r

→ q negativa, com V

20. El camp elèctric creat en un cert punt de l’espai per una càrrega elèctrica Q puntual i positiva val E 5 200 N/C. El po-tencial elèctric en aquest mateix punt és V 5 600 V. Deduïu el valor de la càrrega elèctrica Q.

En ser la càrrega positiva: q q=

Així, el mòdul del camp elèctric és:

K q K qE 5 ——— 5 —— 5 200 N/C r2 r2

El potencial elèctric val: 600Vq

Vr

= =K

Si dividim les dues expressions anteriors podem trobar el valor de la distància a la càrrega:

K q —— V r 600— 5 ——— 5 —— → r 5 3 m E K q 200 —— r2

En substituir el valor de r a qualsevol de les expressions s’obté el valor de la càrrega:

V r 600 ? 3q 5 —— 5 ———— 5 2 ? 1027 C 5 0,2 mC k 9 ? 109

21. Tres càrregues puntuals de 20 mC, 230 mC i 50 mC es troben situades en els punts A (0, 0), B (3, 4) i C (28, 15) respec-tivament. Calculeu el potencial en el punt P (22, 24).

66 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE03

Calculem els mòduls dels vectors posicions de les càrregues respecte del punt P:

→r1 5 (8, 0) 2 (0, 0) 5 (8, 0) → r1 5 8

→r2 5 (8, 0) 2 (0, 1) 5 (8, 21) → r2 5 √65

→r3 5 (8, 0) 2 (0, 2) 5 (8, 2) → r3 5 √68

→r4 5 (8, 0) 2 (0, 3) 5 (8, 3) → r4 5 √73

Apliquem l’expressió del potencial d’una distribució de càrre-gues puntuals:

20 ? 1029 240 ? 1029 60 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? 1———— 1 ————— 1 ———— 1 8 √65 √68

280 ? 1029

1 —————2 5 240,9 V √73

25. Quina càrrega cal posar en el punt A perquè el potencial s’anul.li en el punt P?

Apliquem l’expressió del potencial d’una distribució de càrre-gues puntuals:

280 ? 1029 50 ? 1029 Q9 ? 109 ? 1————— 1 ———— 1 ——2 5 0 12 8 13

80 ? 1029 50 ? 1029

Q 5 1———— 2 ————2 ? 13 5 5,42 ? 1029 C → 5,42 nC 12 8

b) El camp actua horitzontalment al pla.

Q E 2 N sin 30° 5 0

N cos 30° 2 m g 5 0

Q E m g tg 30°→ tg 30° 5 —— → E 5 ————— m g Q

E 5 1,13 ?108 N/C

24. Calculeu el potencial en el punt P d’una distribució de càrre-gues puntuals com la representada a la fi gura.

67FÍSICA 2 03

Prèviament, calculem la distància de les càrregues al centre:

2r 5 — ? √ 32 2 1,52 5 √ 3 5 1,73 m 3

21029

V 5 9 ? 109 ? ——— ? 3 5 21 5,58 V √ 3

Quadrat

Per simetria, el camp elèctric és nul.

Prèviament, calculem la distància de les càrregues al centre:

1r 5 — ? √ 32 1 32 5 2,12 m 2

1029

V 5 9 ? 109 ? ——? 4 5 16,97 V 2,12

Hexàgon

Per simetria, el camp elèctric és nul.

Calculem la distància de les càrregues al centre:

r 5 3 m

1029

V 5 9 ? 109 ? ——? 6 5 18 V 3

Octògon

Per simetria, el camp elèctric és nul.

26. Calculeu el potencial en el vèrtex lliure A dels triangles de la fi gura.

20 ? 1029 250 ? 1029

a) V 5 9 ? 109 ? 1————— 1 —————2 5 290 V 3 3

20 ? 1029 50 ? 1029

b) V 5 9 ? 109 ? 1————— 1 —————2 5 148,5 V 5 4

c) Calculem prèviament la distància de les càrregues al punt A:

0,5cos 80° 5 —— → d 5 2,88 d

30 ? 1029 30 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? 1————— 1 —————2 5 187,5 V 2,88 2,88

27. Calculeu el camp i el potencial en el centre de cada una de les distribucions de càrregues de la fi gura. La càrrega Q 5 1 nC.

Triangle

Per simetria, el camp elèctric és nul.

68 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE03

c) L’energia potencial electrostàtica emmagatzemada en el sistema de càrregues.

q·q q·q q·q q2→Ep 5 K —— 1 K —— 1 k —— 5 3 K —— a a a a

Ep 5 1,56·102 J → 156 J

30. Considereu dues càrregues idèntiques de valor q 5 23 mC situades als vèrtexs de la base d’un triangle equilàter de costat r 5 2 m. Deter mineu:

a) El camp elèctric creat per aquestes càrregues en el vèr-tex superior del triangle.

q q →E � K —— (�sin u, �cos u) � K —— (�sin u, �cos u) � r2 r2

q � K —— (0, �2 cos u) r2

amb u � 30º →

E � (0, �11,691) N/C

b) El treball necessari per portar una càrrega posi tiva d’1 mC des de l’infi nit fi ns al vèrtex superior del triangle.

q qW � q9 �k — 1 k —� → W 5 22,7·1022 J r r

c) L’energia potencial d’una càrrega positiva d’1 mC col-locada al vèrtex superior del triangle.

q qU � q9V � q9 �K — 1 K —� → U 5 22,7·1022 J r r

31. Donada una càrrega puntual de 20 nC:

a) Calculeu el potencial en un punt situat a una distància de 3 m de la càrrega.

Calculem la distància de les càrregues al centre:

360 1,5a 5 —— 5 22,5° ; sin 22,5° 5 —— → r 5 3,92 m 16 r

1029

V 5 9 ? 109 ? ——? 8 5 1 8,36 V 3,92

28. Un cèrcol de radi 5 cm està carregat uniformement amb una densitat lineal de càrrega elèctrica de 20 nC/m. Calculeu el camp i el potencial en el seu centre.

Tota la distribució de càrregues equidista del centre i, per tant, per simetria, el camp elèctric és nul.

Per calcular el potencial, prèviament calculem la càrrega total de la distribució:

Q 5 l l 5 20 ? 1029? 2 p ? 0,05 5 6,28 ? 1029 C

6,28 ? 1029

→ V 5 9 ? 109? —————— 5 1 130,9 V 0,05

29. Tres càrregues elèctriques puntuals, po sitives, de 1024 C ca-dascuna, estan situades als vèrtexs d’un triangle equilàter de d 3 m de costat. Calculeu:

a) El valor de la força electrostàtica que actua sobre cada càrrega per efecte de les altres dues.

Considerem la càrrega del vèrtex superior

a 3cos — 5 cos 30º 5 — 2 2

q2 aF 5 2 [K ——] cos — 5 52,0 N a2 2

b) El potencial elèctric en el punt mitjà d’un costat qualse-vol del triangle.

ah2 5 a2 2 �—�

2

2

ah 5 a2 2 �—�

2 5 1,5 m

2

q q qV 5 K �—— 1 —— 1 —� 5 2,7·106 V a a h — — 2 2

dllll

dlllllllll

69FÍSICA 2 03

DU 5 q [V (3, 0) � V (2, 0)] 5

1 15 q ? 2 kQ [———— � ————] 5 √ 22 1 32 √ 22 1 22

5 �1,37·10�2 J

1 DEc 5 — m v2 2 0 2

22 DU→ v 5 ———— 5 3,02 m/s m

33. El potencial d’una càrrega puntual en un punt A és 500 V i el camp elèctric 200 N/C.

a) A quina distància es troba A de la càrrega?

Plantegem el sistema següent:

QK — 5 500 r

QK — 5 200 6

Q K — r 5→ ———— 5 — → r 5 2,5 m Q 2 K — r 2 r 2

b) Quin és el valor de la càrrega?

Trobem la càrrega per substitució en la primera equació:

Q 500 r 500 ? 2,5K — 5 500 → Q 5 ——— 5 ———— 5 r K 9 ? 109

5 1,389 ? 1027 C 5 138,9 nC

c) Quin treball cal fer per portar una càrrega de 50 mC des d’A fi ns a 3 cm de la càrrega?

Calculem prèviament el potencial a una distància de 3 cm:

138,9 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? —————— 5 41 670 V 0,03

Wforces externes 5 Q DV 5 50 ? 1023? (41 670 2 500) 5 2 058,5 J

34. Dues càrregues de valors 20 mC i 240 mC estan separades una distància de 5 cm. Calculeu el treball que han de realit-zar les forces externes per separar-les fi ns a 8 cm.

Wforces externes 5 D Ep

1 1Wforces externes 5 9 ?109?20 ?1026? (240 ?1026) ? 1—— 2 ——2 0,08 0,05Wforces externes 5 54 J

35. Quin treball cal fer per separar dues càrregues de 2 mC i 26 mC, respectivament, des d’1 m fi ns a 6 m?

Wforces externes 5 D Ep

1 1Wforces externes 5 9 ? 109? 2 ? 1023? (26 ? 1023) ? 1— 2 —2 6 1Wforces externes 5 9 ? 104 J

dllllllll

Potencial en A:

20 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? ————— 5 60 V 22

b) En quin punt el potencial és zero?

Perquè el potencial creat per la càrrega sigui nul, cal allu-nyar-se fins a l’infinit.

c) Quin treball hem de fer per portar una càrrega de 2 C des de l’infi nit fi ns a A?

El treball fet per les forces externes en desplaçar una càrre-ga Q és:

W 5 Q DV 5 2 ? (60 2 0) 5 120 J

d) I si es porta des de B fi ns a A, on B es troba a 5 m de la càrrega?

Calculem prèviament el potencial a B:

20 ? 1029

V 5 9 ? 109 ? ————— 5 36 V 5

W 5 Q DV 5 2 ? (60 2 36) 5 48 J

e) I des d’A fi ns a B?

W 5 Q DV 5 2 ? (36 2 60) 5 248 J

32. Considereu dues càrregues iguals, cadas cuna de valor Q 5 1025 C, fi xes en els punts (0, 2) i (0, 22). Les dis-tàncies es mesuren en m i la constant de Coulomb val 1 k 5 ——— 5 9 ? 109 N?m2/C2. 4 p «0

a) Calculeu el camp elèctric en el punt (2, 0). Determineu la força elèctrica total que experimentaria una petita càrrega q 5 1026 C situada en aquest punt.

r2 � 22 1 22 � 8 m2

Q pE (2, 0) � 2 k — cos — � 1,59·104 N/C;

→E � E

→ i

r2 2

F � q E � 1,59·1022 N; →F � F

→ i

b) Determineu el treball elèctric que un agent extern ha ha-gut de fer sobre la càrrega q per portar-la des de l’infi nit fi ns al punt (2, 0) sense modifi car la seva energia cinètica.

W � q·DV 5 q·V (2, 0)

QW � q·2 K — 5 6,36·1022 J → 63,6 mJ r

W . 0: s’ha fet contra el camp →E

c) Suposeu que la càrrega q té una massa de 3 g i es troba en repòs en el punt (2, 0). Calculeu la velocitat amb què arriba al punt (3, 0).

Ec 1 U � constant → DEc � DU 5 0

70 SOLUCIONARI DEL LLIBRE DE L’ALUMNE03

a) La força elèctrica que actua sobre q1.

q2 q3→F 5 k q1 [ —— (1, 0) 1 —— (0, 21)] r 212 r 213

3·1026 2·1026→F 5 9,0·109·1·1026 [ ——— (1, 0) 1 ——— (0, 21)] 102 102

5 9,0·1025 (3, 22) N

b) El potencial elèctric en el punt P4 5 (0, 5).

21·1026 3·1026 22·1026

V4 5 9,0·109 [ ———— 1 ———— 1 ———— ] 5 d 5 1 102 5

V4 5 23,0·103 V

c) La variació d’energia potencial elèctrica que experimen-ta un electró quan el desplacem del punt P4 5 (0, 5) al punt P5 5 (0, 15).

21·1026 3·1026 22·1026

V5 5 9,0·109 [ ———— 1 ————— 1 ———— ] 5 15 d 15 1 102 5

5 22,7·103 V

DU 5 qc (V5 2V4 ) → DU 5 24,8·10217 J

39. Quin treball hem de fer per desplaçar una càrrega Q de 20 mC des d’un punt A fi ns a punt B, per un camí qualsevol?

Prèviament, calculem els potencials creats per les càrregues fixes en els punts A i B:

60 ? 1029 240 ? 1029 30 ? 1029

VA 5 9 ? 109 ? 1———— 1 ————— 1 ————2 5 108 V 5 4 3

60 ? 1029 240 ? 1029 30 ? 1029

VB 5 9 ? 109 ? 1———— 1 ————— 1 ————2 5 174 V 3 6 5

El treball realitzat per les forces externes és:

Wforces externes 5 Q DV 5 20 ? 1023? (174 2 108) 5 1,32 J

36. Una esfera metàl.lica de 10 cm de radi es carrega amb una càr-rega positiva de 1025 C. A continuació es connecta a una al tra esfera metàl.lica, de 20 cm de radi, inicialment descarregada, i seguidament s’hi desconnecta. Calculeu la càrrega de cada esfera a la situació fi nal.

QT 5 Q1 1 Q2

6 1025 5 Q1 1 Q2 6 Q1 5 3,33 · 1026 C

Q1 Q2V1 5 V2

— 5 — Q25 6,66 · 1026 C r1 r2

37. Una esfera conductora de radi 5 cm està carregada fi ns a 40 nC i una altra esfera conductora de radi 8 cm, fi ns a 60 nC. Si connectem les esferes amb un fi l conductor, quina quan-titat de càrrega circula i en quin sentit ho fa?

En primer lloc cal esbrinar els potencials de les esferes:

40 ? 1029

V1 5 9 ? 109 ? ———— 5 7 200 V 0,05

60 ? 1029

V2 5 9 ? 109 ? ———— 5 6 750 V 0,08

Com que l’esfera petita es troba a un potencial més alt que l’esfera gran, tindrà lloc una transferència de càrrega de l’esfera petita cap a la gran fins que els potencials s’igualin. Anomenem Q9 la càrrega transferida:

40 ? 1029 2 Q9 60 ? 1029 1 Q99 ? 109 ? ——————— 5 9 ? 109 ? ——————— → 0,05 0,08

40 2 Q9 60 1 Q9→ ———— 5 ———— → 320 2 8 Q9 5 300 1 5 Q9 5 8

20→ Q9 5 —— 5 1,54 nC 13

38. Tres partícules carregades, q1 5 21 mC, q2 5 3 mC, q3 5 22 mC, es troben sobre un pla en els punts de coordena-des P1 5 (0, 0), P2 5 (10, 0) i P3 5 (0, 10), respectivament. Totes les coordenades s’expressen en m. Calculeu:

71FÍSICA 2 03

43. En una regió de l’espai hi ha un camp elèctric uniforme de mòdul E 5 105 N/C.

a) Quina és la diferència de potencial entre dos punts A i B d’aquesta regió separats 2 cm si la direcció AB és pa-ral.lela al camp elèctric? I entre dos punts A i C també separats 2 cm si la direcció AC és perpendicular al camp elèctric?

Un protó (qp 5 1,6 ?10219 C, mp 5 1,67 ?10227 kg), que en l’instant inicial té una velocitat v0 5 2 ?105 m/s, es mou sobre una recta en la mateixa direcció del camp, però en sentit contrari.

VA 2 VB 5 E ? d 5 105 ? 0,02 5 2,1 V, és un valor positiu perquè el sentit del camp és de potencials alts a potencials menors.

VA 2 VC 5 E ? d ? cos a 5 0, és nul.la perquè ens movem sobre una línia equipotencial.

b) Quant val el treball efectuat per la força elèctrica sobre el protó des de l’instant inicial fi ns que la seva velocitat és nul.la?

Com que l’única força que actua sobre el protó és l’associada al camp elèctric, és:

1W 5 2DEc 5 2— 1,67 ? 10227 ? (2 ? 105)2 5 23,34 ? 10217 J 2

c) Quina és la distància recorreguda pel protó en aquest mateix interval de temps?

Fent ús del resultat anterior:

W 5 F ? d ? cos 180° 5 2q E d →

2W 3,34 ? 10217

→ d 5 —— 5 ——————— 5 1,99 m q E 1,6 ? 10219 ? 105

40. Quin és el potencial al centre d’una esfera metàl.lica de radi 8 cm, carregada amb una densitat superfi cial s de 20 nC/m2? Recordeu que en els bons conductors la càrrega es troba dis-tribuïda només en la superfície.

En els bons conductors, la càrrega es distribueix per la su-perfície i es comporta com una superfície equipotencial. Del’expressió d V 5 2

→E ? d

→r i tenint en compte que en l’interior

del conductor el camp és zero, tenim que:

d V 5 2→E ? d

→r → d V 5 0 → V 5 constant

Per tant, el potencial al centre de l’esfera és el mateix que a la superfície:

20 ? 1029? 4 p ? 0,082

V 5 9 ? 109 ? ————————— 5 181 V 0,08

41. Es llança una càrrega Q 5 200 mC i de massa 2 g amb una velocitat de 2 ?104 m/s en sentit contrari a un camp elèctric uniforme de 5 ?104 N/C. Quina ddp supera? Qui na distància recorre fi ns que s’atura?

Com que es tracta d’un camp conservatiu, tenim que:

D Ep 1 D Ec 5 0 →

1D Ep 5 2D Ec 5 210 2 — ? 2 ? 1023? (2 ?104)22 5 4 ? 105 J 2

La diferència de potencial que supera és:

DEp 4 ?105

DV 5 ——— 5 ————— 5 2 ? 106 V Q 200 ?1023

El camí recorregut és:

2DV 22 ?106

DV 5 2E Dx → Dx 5 —— 5 ———— 5 40 m E 25 ?104

42. Una càrrega elèctrica de 140 mC es troba en una superfície equipotencial de 220 V i es desplaça cap a una altra de 80 V. Quin treball hem de fer per realitzar aquest desplaçament?

El treball per desplaçar una càrrega en un camp elèctric és:

W 5 Q DV 5 40 ? 1023? (80 2 (220)) 5 4 J