Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 - Facultad de Ingenieríajana/www2/calculo_3_files/clase... ·...
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rotor campos conservativos
Rotor y campos conservativos
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
7 de marzo de 2012
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rotor campos conservativos
el operador nabla
el operador nabla
el operador nablael operador nabla
es
∇ =(∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z
)
-
rotor campos conservativos
el operador nabla
el operador nabla
el operador nablael operador nablaes
∇ =(∂
∂x,∂
∂y,∂
∂z
)
-
rotor campos conservativos
el operador nabla
ejemplo
ejemplo
f : Ω ⊂ R3 → R diferenciable
⇒∇f =
(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z
)gradiente de f
-
rotor campos conservativos
el operador nabla
ejemplo
ejemplo
f : Ω ⊂ R3 → R diferenciable⇒
∇f =(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z
)
gradiente de f
-
rotor campos conservativos
el operador nabla
ejemplo
ejemplo
f : Ω ⊂ R3 → R diferenciable⇒
∇f =(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z
)gradiente de f
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rotor campos conservativos
rotor
rotor de un campo
rotor de XX : Ω ⊂ R3 → R3 campo diferenciable
rotor de X
∇∧ X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
X1 X2 X3
∣∣∣∣∣∣∣
rot X =(∂X3∂y− ∂X2
∂z,∂X1∂z− ∂X3
∂x,∂X2∂x− ∂X1
∂y
)
-
rotor campos conservativos
rotor
rotor de un campo
rotor de XX : Ω ⊂ R3 → R3 campo diferenciablerotor de X
∇∧ X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
X1 X2 X3
∣∣∣∣∣∣∣
rot X =(∂X3∂y− ∂X2
∂z,∂X1∂z− ∂X3
∂x,∂X2∂x− ∂X1
∂y
)
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rotor campos conservativos
rotor
rotor de un campo
rotor de XX : Ω ⊂ R3 → R3 campo diferenciablerotor de X
∇∧ X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
X1 X2 X3
∣∣∣∣∣∣∣
rot X =(∂X3∂y− ∂X2
∂z,∂X1∂z− ∂X3
∂x,∂X2∂x− ∂X1
∂y
)
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rotor campos conservativos
rotor
rotor de un campo
rotor de XX : Ω ⊂ R3 → R3 campo diferenciablerotor de X
∇∧ X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
X1 X2 X3
∣∣∣∣∣∣∣rot X =
(∂X3∂y− ∂X2
∂z,∂X1∂z− ∂X3
∂x,∂X2∂x− ∂X1
∂y
)
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rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1X(x , y , z) = (x , xy ,1)
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
x xy 1
∣∣∣∣∣∣∣
= (0,0, y)
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rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1X(x , y , z) = (x , xy ,1)
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
x xy 1
∣∣∣∣∣∣∣
= (0,0, y)
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rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 1
ejemplo 1X(x , y , z) = (x , xy ,1)
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
x xy 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (0,0, y)
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rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (xy ,− sin z,1)
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
xy − sin z 1
∣∣∣∣∣∣∣
= (cos z,0,−x)
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rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (xy ,− sin z,1)
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
xy − sin z 1
∣∣∣∣∣∣∣
= (cos z,0,−x)
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rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (xy ,− sin z,1)
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
xy − sin z 1
∣∣∣∣∣∣∣ = (cos z,0,−x)
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rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 3
campo planoX = (P,Q) campo plano
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
P Q 0
∣∣∣∣∣∣∣
=
(0,0,
∂Q∂x− ∂P∂y
)
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rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 3
campo planoX = (P,Q) campo plano
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
P Q 0
∣∣∣∣∣∣∣
=
(0,0,
∂Q∂x− ∂P∂y
)
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rotor campos conservativos
ejemplos
ejemplo 3
campo planoX = (P,Q) campo plano
rot X =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
P Q 0
∣∣∣∣∣∣∣ =(
0,0,∂Q∂x− ∂P∂y
)
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rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
v velocidad de Q
-
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Q
-
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Q
-
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ
-
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ‖v‖ = ωα
= ωr sin θ
-
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
v velocidad de Q~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ‖v‖ = ωα = ωr sin θ
-
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒v = ~ω ∧ r
= (−ωy , ωx ,0)
-
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
~ω vector velocidadangular de Qr vector posición de Qα = r sin θ‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒v = ~ω ∧ r = (−ωy , ωx ,0)
-
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
α = r sin θ‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒ v = ~ω∧ r = (−ωy , ωx ,0)⇒
rot v =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
−ωy ωx 0
∣∣∣∣∣∣∣
-
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒ v = ~ω∧ r = (−ωy , ωx ,0)⇒
rot v =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
−ωy ωx 0
∣∣∣∣∣∣∣rot v = (0,0,2ω)
= 2~ω
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ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - sólido rígido
‖v‖ = ωα = ωr sin θ⇒ v = ~ω∧ r = (−ωy , ωx ,0)⇒
rot v =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
−ωy ωx 0
∣∣∣∣∣∣∣rot v = (0,0,2ω) = 2~ω
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rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - fluido
X velocidad en (x , y , z)
-
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - fluido
X velocidad en (x , y , z)∇∧ X = 2 velocidadangular
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rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - fluido
X velocidad en (x , y , z)∇∧ X = 2 velocidadangular∇∧ X(x , y , z) = ~0⇒ elfluido no tiene remolinosen (x , y , z)
-
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - fluido
∇∧ X = 2 velocidadangular∇∧ X(x , y , z) = ~0⇒ elfluido no tiene remolinosen (x , y , z)la ruedita gira con el fluido,pero no alrededor de sueje
-
rotor campos conservativos
ejemplos
el rotor y las rotaciones
el rotor y las rotaciones - aplicación - fluido
∇∧ X(x , y , z) = ~0⇒ elfluido no tiene remolinosen (x , y , z)la ruedita gira con el fluido,pero no alrededor de suejeesto es lo que pasa con unlíquido que se desagota
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rotor campos conservativos
campo irrotacional
campo irrotacional
campo irrotacional
X : Ω→ R3 campo vectorial
X campo irrotacionalsi
rot X ≡ ~0
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rotor campos conservativos
campo irrotacional
campo irrotacional
campo irrotacional
X : Ω→ R3 campo vectorialX campo irrotacional
sirot X ≡ ~0
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rotor campos conservativos
campo irrotacional
campo irrotacional
campo irrotacional
X : Ω→ R3 campo vectorialX campo irrotacionalsi
rot X ≡ ~0
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rotor campos conservativos
campo irrotacional
ejemplo
ejemplo
X(x , y , z) =(y ,−x ,0)x2 + y2
es irrotacional en su dominio
rot X =(
0,0,∂
∂x
(−x
x2 + y2
)− ∂∂y
(y
x2 + y2
))
rot X =(
0,0,−(x2 + y2)− 2x2 + (x2 + y2)− 2y2
(x2 + y2)2
)
= ~0
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rotor campos conservativos
campo irrotacional
ejemplo
ejemplo
X(x , y , z) =(y ,−x ,0)x2 + y2
es irrotacional en su dominio
rot X =(
0,0,∂
∂x
(−x
x2 + y2
)− ∂∂y
(y
x2 + y2
))
rot X =(
0,0,−(x2 + y2)− 2x2 + (x2 + y2)− 2y2
(x2 + y2)2
)
= ~0
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rotor campos conservativos
campo irrotacional
ejemplo
ejemplo
X(x , y , z) =(y ,−x ,0)x2 + y2
es irrotacional en su dominio
rot X =(
0,0,∂
∂x
(−x
x2 + y2
)− ∂∂y
(y
x2 + y2
))
rot X =(
0,0,−(x2 + y2)− 2x2 + (x2 + y2)− 2y2
(x2 + y2)2
)
= ~0
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rotor campos conservativos
campo irrotacional
ejemplo
ejemplo
X(x , y , z) =(y ,−x ,0)x2 + y2
es irrotacional en su dominio
rot X =(
0,0,∂
∂x
(−x
x2 + y2
)− ∂∂y
(y
x2 + y2
))
rot X =(
0,0,−(x2 + y2)− 2x2 + (x2 + y2)− 2y2
(x2 + y2)2
)= ~0
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rotor campos conservativos
campos conservativos
campos conservativos
campos conservativosX campo vectorial
X campo conservativo o de gradientessi
X = ∇f
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rotor campos conservativos
campos conservativos
campos conservativos
campos conservativosX campo vectorialX campo conservativo o de gradientes
siX = ∇f
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rotor campos conservativos
campos conservativos
campos conservativos
campos conservativosX campo vectorialX campo conservativo o de gradientessi
X = ∇f
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
-
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 1
ejemplo 1
X = (x ,y ,z)√x2+y2+z2
= (fx , fy , fz)?
f =∫
xdx√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cyz
f =∫
ydy√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxz
f =∫
zdz√x2 + y2 + z2
=√
x2 + y2 + z2 + Cxy
⇒ ∇f = X
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1)
= (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz
⇒ f (x , y , z) = xy + z
f = z + Cxycumple ∇f = X
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?
f = yx + Cyzf = yx + Cxz
⇒ f (x , y , z) = xy + z
f = z + Cxycumple ∇f = X
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyz
f = yx + Cxz
⇒ f (x , y , z) = xy + z
f = z + Cxycumple ∇f = X
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz
⇒ f (x , y , z) = xy + zf = z + Cxycumple ∇f = X
-
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz
⇒ f (x , y , z) = xy + z
f = z + Cxy
cumple ∇f = X
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rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz ⇒ f (x , y , z) = xy + zf = z + Cxy
cumple ∇f = X
-
rotor campos conservativos
campos conservativos
ejemplo 2
ejemplo 2X = (y , x ,1) = (fx , fy , fz)?f = yx + Cyzf = yx + Cxz ⇒ f (x , y , z) = xy + zf = z + Cxycumple ∇f = X
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rotor campos conservativos
potencial escalar
potencial escalar
potencial escalar
X : Ω→ R3 campo vectorial
f potencial escalar de Xsi
∇f = X
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rotor campos conservativos
potencial escalar
potencial escalar
potencial escalar
X : Ω→ R3 campo vectorialf potencial escalar de X
si∇f = X
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rotor campos conservativos
potencial escalar
potencial escalar
potencial escalar
X : Ω→ R3 campo vectorialf potencial escalar de Xsi
∇f = X
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rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable
(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒
∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivel
f (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel
⇒∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivel
f (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒
∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivel
f (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒
∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivel
f (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
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rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒
∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivelf (α(t)) = c curva contenida en la superficie S
α(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒
∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivelf (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)
⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
campo de gradientes y superficies de nivel
teoremaf : R3 → R diferenciable(x0, y0, z0) ∈ S ⊂ f−1(c) superficie de nivel⇒
∇f (x0, y0, z0) ⊥ S
vector perpendicular a la superficie de nivelf (α(t)) = c curva contenida en la superficie Sα(0) = (x0, y0, z0)⇒ ∇f (x0, y0, z0).α′(0) = 0
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rotor campos conservativos
potencial escalar
demostración
demostración
f (α(t)) = c ∀t
⇒ ddt f (α(t)) = 0x regla de la cadena∇f (α(0)).α′(0) = 0
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
demostración
demostración
f (α(t)) = c ∀t⇒ ddt f (α(t)) = 0
x regla de la cadena∇f (α(0)).α′(0) = 0
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
demostración
demostración
f (α(t)) = c ∀t⇒ ddt f (α(t)) = 0x regla de la cadena
∇f (α(0)).α′(0) = 0
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
demostración
demostración
f (α(t)) = c ∀t⇒ ddt f (α(t)) = 0x regla de la cadena∇f (α(0)).α′(0) = 0
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)
f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− z
superficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
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rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)
⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
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rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)
divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
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rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitario
respuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
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rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 1
ejemplo 1encontrar un vector unitario ⊥ a la superficiez = x2y2 + y + 1 en (0,0,1)f (x , y , z) = x2y2 + y + 1− zsuperficie S = f−1(0)⇒ ∇f (0,0,1) ⊥ S en (0,0,1)divido por la norma y obtengo vector unitariorespuesta:
v =∇f (0,0,1)‖∇f (0,0,1)‖
=(0,1,−1)√
2
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rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 2
ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga
se establece un potencial eléctrico φ : R3 → Rsuperficies de nivel de φ: superficies equipotencialesel campo eléctrico es E = −∇φE ⊥ (superficies equipotenciales)
líneas equipotenciales
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 2
ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga se establece un potencial eléctrico φ : R3 → R
superficies de nivel de φ: superficies equipotencialesel campo eléctrico es E = −∇φE ⊥ (superficies equipotenciales)
líneas equipotenciales
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 2
ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga se establece un potencial eléctrico φ : R3 → Rsuperficies de nivel de φ: superficies equipotenciales
el campo eléctrico es E = −∇φE ⊥ (superficies equipotenciales)
líneas equipotenciales
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 2
ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga se establece un potencial eléctrico φ : R3 → Rsuperficies de nivel de φ: superficies equipotencialesel campo eléctrico es E = −∇φ
E ⊥ (superficies equipotenciales)
líneas equipotenciales
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
ejemplo 2
ejemplo 2 - aplicación - líneas equipotenciales2 conductores, uno con carga ⊕ otro con carga se establece un potencial eléctrico φ : R3 → Rsuperficies de nivel de φ: superficies equipotencialesel campo eléctrico es E = −∇φE ⊥ (superficies equipotenciales)
líneas equipotenciales
-
rotor campos conservativos
potencial escalar
líneas equipotenciales
líneas equipotenciales
-
rotor campos conservativos
el rotor de un gradiente es cero
el rotor de un gradiente es cero
teoremaf : Ω ⊂ R3 → R función C2
⇒rot(∇f ) = ~0
-
rotor campos conservativos
el rotor de un gradiente es cero
el rotor de un gradiente es cero
teoremaf : Ω ⊂ R3 → R función C2
⇒rot(∇f ) = ~0
-
rotor campos conservativos
el rotor de un gradiente es cero
el rotor del gradiente es cero
demostración
rot(∇f ) =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
fx fy fz
∣∣∣∣∣∣∣ = (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy ) = ~0
-
rotor campos conservativos
el rotor de un gradiente es cero
el rotor del gradiente es cero
demostración
rot(∇f ) =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
fx fy fz
∣∣∣∣∣∣∣
= (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy ) = ~0
-
rotor campos conservativos
el rotor de un gradiente es cero
el rotor del gradiente es cero
demostración
rot(∇f ) =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
fx fy fz
∣∣∣∣∣∣∣ = (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy )
= ~0
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rotor campos conservativos
el rotor de un gradiente es cero
el rotor del gradiente es cero
demostración
rot(∇f ) =
∣∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂z
fx fy fz
∣∣∣∣∣∣∣ = (fzy − fyz , fxz − fzx , fyx − fxy ) = ~0
rotorel operador nablarotorejemploscampo irrotacional
campos conservativoscampos conservativospotencial escalarel rotor de un gradiente es cero