UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CIENCIASFISICAS Y MATEMATICASDEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL 520142

Listado 16 (Espacios Vectoriales)

1. Determine cuales de los siguientes conjuntos son espacios vectoriales con las operaciones usualesde adicion y producto por escalar. (En practica b), c) y f))

a) V = {A ∈ Mn(R) : A es diagonal},

b) V = {A ∈ M2(R) : A + At = 0},

c) V =

{A ∈ M2(R) : ∃a, b ∈ R, A =

(

1 a

b 1

)

},

d) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z},

e) V = {(x, y, z) ∈ R3 :

∃t ∈ R, x = t + 1, y = 2t, z = t − 1},

f ) V = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.

2. Sea R+ con las operaciones de suma y producto por escalar definidas por:

∀x, y ∈ R+, x△y = xy; α ∗ x = xα, α ∈ R. ¿Es (R+,△, ∗) espacio vectorial real?.

3. Sea V := {f ∈ C2(0, 1) : ∀x ∈ (0, 1), 3f ′′(x) − 2f ′(x) + f(x) = 0}. Demuestre que V, provisto de lasuma de funciones y multiplicacion por escalar usual, es un espacio vectorial real. (EP)

4. Determine si el subconjunto W es o no subespacio vectorial del conjunto V. (En practica e) yh))

a) V = R3, W = {(x, y, z) : z = 0}.

b) V = R3, W = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 1}.

c) V = R2, W = {(x, y) : y = 1

2x}.

d) V = M2(R),

W = {A : ∃a, b, c ∈ R, A =

(

a b

−b c

)

}.

e) V = M2(R), W = {A : A − At = I}.

f ) V = Mn(R),W = {A : A es triangular superior}.

g) V = Mn(R), W = {A : A es simetrica}.

h) V = P3(R), W = {p : p(0) = 0}.

i) V = Pn(R), W = {p : p(0) = 1}.

5. Sea W := {A ∈ Mn(R) : tr(A) :=n∑

i=1

aii = 0}. Demuestre que W es un subespacio vectorial de

V = Mn(R). (En practica)

6. Sean ~a,~b ∈ R3 tales que ~a ×~b 6= ~0 y sea el conjunto S = {~x ∈ R

3 : ~x · ~a = ~x ·~b = 0}.(En practica)

a) Demuestre que S es un subespacio vectorial de R3.

b) Pruebe que S = {~x = α(~a ×~b) : α ∈ R}.

7. Sean ~a,~b ∈ R3 tales que ~a ×~b 6= ~0 y considere el conjunto S = {~x ∈ R

3 : ~x · (~a ×~b) = 0}.

a) Demuestre que S es un subespacio vectorial de R3.

b) Pruebe que S = {~x = α~a + β~b : α, β ∈ R}.

1

8. Considere el K-espacio vectorial Mn(K). Probar que el subconjunto

U = { A ∈ Mn(K) : A = θ ∨ A es invertible }

no es subespacio vectorial (Indicacion: U no es cerrado para la suma, construir contraejemplo).

9. Sea V = M2(R) y considere (En practica)

W1 = {A : ∃a, b, c,∈ R, A =

(

0 a

b c

)

}, W2 = {A : ∃a, b ∈ R, A =

(

a b

b −a

)

}.

a) Demuestre que W1 y W2 son subespacios vectoriales de V .

b) Describa el conjunto W = W1

⋂

W2 y demuestre que es un subespacio.

10. Sea ~r ∈ R3, ~r 6= θ, y sea L la recta que pasa por θ en la direccion ~r. Demuestre que para todo

~x ∈ R3 existe un subespacio S de R

3, no trivial, que contiene a ~x y al subespacio L. Definir Sy representar graficamente la situacion, vea que S es un plano. Si ~n es un vector normal a S yU = { t~n ∈ R

3 : t ∈ R }, entonces ¿ S + U = S ⊕ U?.

11. Considere los siguientes subconjuntos de P3(R), el espacio vectorial real de polinomios de gradomenor o igual que 3. (En practica)

U = { p ∈ P3(R) : p(5) = 0 }, W = { p ∈ P3(R) : ∃a, b ∈ R,∀x ∈ R, p(x) = ax3 + bx},

V = { p ∈ U : p′(5) = 0 }, Z = { p ∈ P3(R) : ∀x ∈ R, p(x) = p(−x)}.

a) Demuestre que son subespacios vectoriales. Ademas, en cada caso escriba al menos un vectorno nulo y representelo graficamente.

b) Decida si U ∪ V es subespacio vectorial.

c) Determine V ∩ W y V + W . ¿U + W = U ⊕ W ? o ¿V + W = V ⊕ W ?

12. Expresar, si es posible, el elemento indicado como combinacion lineal de la familia dada en elespacio vectorial V sobre R:

a) (1,−1, 2); {(0,−1, 1), (2, 1,−2), (0, 2, 0)}; V = R3.

b) x2 + x − 1; {1, x − 1, (x − 1)2}; V = P2(R).

c) 1; {1, x2 − 1, x3 + 1}; V = P3(R).

d) i − 1; {2 − 2i, 1 + i,−1}; V = C.

13. Considere el espacio vectorial real V de polinomios de grado ≤ 5 definidos sobre [−1, 1].

a) Encuentre un sistema de generadores para

S = {p ∈ V : (∀x ∈ [−1, 1]) p(x) = p(−x)}.

b) Encuentre un sistema de generadores para (En practica b))

W :=

{

p ∈ V :

∫

1

−1

xp(x) dx = 0

}

.

c) Demuestre que V = U ⊕ W , donde U := {p ∈ V : (∃α ∈ R) (∀x ∈ [−1, 1]) p(x) = αx}.

2

d) Encuentre un sistema de generadores para S + U y S + W.

14. Demostrar que el conjunto F = {f : R −→ R | f es funcion}, es un espacio vectorial real con lasoperaciones usuales de suma y producto por escalar de funciones de F .

a) ¿Cuales de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de F?.

1) W = {f ∈ F : ∀x ∈ R, f(−x) = f(x)}.

2) W = {f ∈ F : ∀x ∈ R, f(−x) = −f(x)}.

3) W = {f ∈ F : f es una funcion continua}.

4) W = {f ∈ F : f es una funcion inyectiva}.

5) W = {f ∈ F : f es una funcion derivable}.

b) ¿Cuales de los siguientes conjuntos de funciones de F son linealmente independientes?.

a) {2, x + 2, x2}; b) {1, x + 1}; c) {sen2(x), cos2(x), cos(2x)}.

15. Decidir la independencia lineal del subconjunto A del espacio vectorial V , si: (En practica)

V A

R3 { (3, 6, 1), (2, 1, 1), (−1, 0, −1) }

P2(R) { x2 + x + 1, x − 1, (x − 1)2 }

M2(R)

1 0

0 1

,

1 1

0 0

,

1 1

1 1

16. Encontrar un conjunto l.d. de tres vectores de R3 tal que cualquier subconjunto de dos vectores

sea l.i.. (En practica)

17. Demostrar que si {v1, . . . , vn} es l.i. en un K espacio vectorial V , entonces tambien lo sera:

{v1 − v2, v2 − v3, . . . , vn−1 − vn, vn}

18. Sea A = { p0, p1, . . . , pm } ⊆ Pm(R) tal que cada vector de A se anula en x = 1, es decir:pj(1) = 0 para todo j = 0, 1, . . . ,m. Demuestre que entonces A es l.d. en Pm(R). (EP)

19. Un subconjunto A ⊆ B de un K-espacio vectorial V se dice l.i. maximal en B, si:

(i) A es l.i., (ii) ∀ v ∈ B − A : A ∪ {v} es l.d..

a) Sea V = P2(R). Inspırese en el Lema de Dependencia Lineal para determinar un subconjuntol.i. maximal en:

B = {x2 + 2x + 3, −3x2 − x − 3, −2x2 + x, 6x2 + 3x + 10 }

b) Idem al problema anterior, con V = M2(R) y (En practica))

B =

{ (

1 02 1

)

,

(

2 13 4

)

,

(

1 11 3

)

,

(

0 1−1 0

) }

c) Analogamente, si V = R4, determinar un subconjunto l.i. Maximal en:

B = { (1, 0, 2, 1), (2, 1, 3, 4), (1, 1, 1, 3), (0, 1,−1, 0) }

3

20. Sean S1 = {p1(x), p2(x), p3(x)} y S2 = {q1(x), q2(x), q3(x)} con (En practica)

p1(x) = 1 + 2x + 5x2 + 3x3 + 2x4, q1(x) = 2 + x + 4x2 − 3x3 + 4x4,p2(x) = 3 + x + 5x2 − 6x3 + 6x4, q2(x) = 3 + x + 3x2 − 2x3 + 2x4,p3(x) = 1 + x + 3x2 + 2x4, q3(x) = 9 + 2x + 3x2 − 3x3 − 2x4.

a) Defina los subespacios W1 y W2 generados por S1 y S2 respectivamente.

b) Encuentre una base de los subespacios W1 + W2 y W1

⋂

W2.

21. Dados los conjuntos:

S1 ={

(

1 21 1

)

,

(

1 −12 −1

)

,

(

2 51 3

)

,

(

0 −13 −2

)

}

y

S2 ={

(

−2 13 −2

)

,

(

1 0−1 1

)

,

(

3 −21 0

)

,

(

0 42 1

)

,

(

1 01 0

)

}

.

a) Muestre que los espacios < S1 >, < S2 >, generados por S1 y S2 son iguales.

b) Encuentre una base para S =< S1 >=< S2 >.

22. Encuentre una base de los siguientes subespacios: (a, b y c son Ctes. en R) (En practica 22c))

a) {p ∈ P3(R)| p es par},

b) {(x, y, z) ∈ R3| ax = by = cz},

c) {(x, y, z) ∈ R3| ax + by + cz = 0},

d) {A ∈ M3(R)| A es simetrica},

e) {A ∈ M3(R)| A es antisimetrica}.

23. Encuentre una base y determine la dimension de los siguientes subespacios:(En practica c) y f))

a) W = { (x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 :

x1 = 3x2 ∧ x3 = 7x4 },

b) W =

a b b

0 a c

0 c a

: a, b, c ∈ R

,

c) W =

{

p ∈ P3(R) :

∫

1

−1

tp′(t)dt = 0

}

,

d) W ={

A ∈ M2(R) : A = At}

,

e) W ={

A ∈ M2(C) : A = At}

(K = R),

f ) W ={

A ∈ M2(C) : A = At}

(K = C).

24. Sea V = R4 y sus subespacios F = 〈{~a,~b,~c} 〉 y G = 〈{ ~d,~e }〉, donde ~a = (1, 2, 3, 4),~b = (2, 2, 2, 6),

~c = (0, 2, 4, 4), ~d = (1, 0, −1, 2) y ~e = (2, 3, 0, 1). Determinar las dimensiones de F, G, F ∩ G yF + G y dar una base para cada uno de estos subespacios.

25. Muestre que el conjunto β es base del espacio vectorial V y encontrar el vector coordenada [w]β ,si: (En practica)

V β w

R3 { (1, 1, 0), (2, 0, 3), (−1, 1, 0) } (2, 2, 3)

P3(R) { (t − 1)3, (t − 1)2, (t − 1), 1 } t2 + t + 1

M2(R)

1 1

0 0

1 0

1 0

,

0 0

1 1

,

0 1

0 1

1 −1

1 0

RRS/RNG/JMS/AGS/LNB/JSA/BBM/LRS/agssemestre primavera 2006.

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