UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

FACULTAD DE CIENCIASFISICAS Y MATEMATICASDEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL 520142

Listado 7 (Funciones Circulares I)

1. Encuentre el valor exacto de las coordenadas de P (t) para t = 5π6 , 2π

3 ,−π6 , 3π. Ademas,

indique el cuadrante en que se encuentra.

2. Determine a que cuadrantes puede pertenecer el punto (x, y) si sabe que:. (En practica d))

a) x = sen(13π6 ), b) y = sen(62π

3 ), c) y = cos(5π3 ), d) x = sen(−21π

2 ).

3. Utilice el Principio de Induccion Matematica, para establecer que si α ∈ [0, π/2] y k ∈ Z,se verifica: (En practica)

sen(kπ

2+ α

)

=

(−1)(k−1)/2 cos(α), si k es impar,

(−1)k/2 sen(α), si k es par.

4. Demuestre las siguientes igualdades:

a) cos(π) = cos(3π), d) sen(π3 ) = sen(2π

3 ),b) cos(1,9 + π) = − cos(1,9), e) sen(−4 + π) = − sen(4 − π),c) cos(13,8π) = cos(15,8π), f) sen(3π

4 ) = sen(π4 ).

5. Resuelva las siguientes ecuaciones, es decir, determine todos los θ ∈ R tal que:

a) sen(π/3) = sen(θ) b) tan(3π/4) = tan(θ)

(En practica a))

6. Calcule el valor exacto de tan(x1 + x2), donde sen(x1) = 23 , P (x1) 6∈ 1er cuadrante,

sec(x2) = −54 y P (x2) ∈ 3er cuadrante.

7. Determine el perıodo de las siguiente funciones (En practica f2)

f1(x) = sen(2x), f2(x) = cos( x√

3), f3(x) = tan(x

2 ).

8. Sabiendo que tan(x

2) =

1

2, calcular sen(x) y cos(x). (En practica)

1

9. Pruebe que: (En practica b))

a) sen(α) = sen(β) ⇐⇒ (α + β) = (2k + 1)π ∨ (α − β) = 2kπ, k ∈ Z

b) cos(α) = cos(β) ⇐⇒ (α − β) = 2kπ ∨ (α + β) = 2kπ k ∈ Z

c) tan(α) = tan(β) ⇐⇒ (α − β) = kπ, k ∈ Z

¿Que puede decir si csc(α) = csc(β)o sec(α) = sec(β) o cot(α) = cot(β), respectivamen-te?

10. Si sen(α) = −24

25, sen(β) =

3

5, donde

π

2≤ α ≤

3π

2y

π

2≤ β ≤ π, calcular:

a) sen(α ± β), b) cos(α ± β), c) tan(α ± β).

11. Demuestre las siguientes identidades trigonometricas y su domino de validez:

a)1 − sen(α)

1 + sen(α)= (sec(α) − tan(α))2, b) sec2(x) − tan2(x) = 1,

c)cos(α) + sen(α)

cos(α) − sen(α)= sec(2α) + tan(2α), d) cosec2(x) − cot2(x) = 1,

e) (cos(α2 ) − sen(α

2 ))2 = 1 − sen(α), f)sec(α) − 1

sec(α)= 2 sen2(α

2 ),

g) a cos(2x) + b sen(2x) = a, si tan(x) =b

a

h) cos(x) · sen(y) = 12(sen(x + y) − sen(x − y)),

i) sen(u) − sen(v) = 2cos(u + v

2) · sen(

u − v

2). (En Practica i))

12. Calcule la sumatoria. Indicacion: Demuestre primero la siguiente identidad trigonometrica:csc(α) = cot(α

2 ) − cot(α) y luego use la propiedad telescopica de sumatorias.

Sn =n

∑

k=1

csc(2k−1α).

13. Demuestre que las siguientes expresiones no dependen de α y determine su valor.

a) sen(α) cos(π4 − α) + cos(α) cos(π

4 + α).

b) cos(α) cos(π6 + α) + sen(α) cos(π

3 − α).

RRS/RNG/JMS/AGS/LNB/JSA/BBM/LRS/ags semestre otono 2006

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