1

-x x

-y

3

6

y

3 u

1 u3 u

1 u

I.E.”JOSÉ MARÍA ARGUEDAS” QUINTO AÑO

Ecuación de la Recta:

Es una expresión matemática que sólo se

verifica o satisface para los puntos de la recta.

De acuerdo a la forma de la ecuación se tiene la

ecuación punto-pendiente y la ecuación general.

Ecuación Punto Pendiente

a, b y c: Ec. General: ax + by + c = 0

constantes

Recta que pasa por el origen de coordenadas

Sea la ecuación: Y = - X

Vemos que la ecuación anterior carece de ordenada al origen, es decir: b = 0. La recta pasa por el origen 0

b = 0 m = tg =

sen αcos α =

−1 u1 u

Rectas paralelasDadas dos rectas que responden a las siguientes ecuaciones:

y1 = m1 x + b1

y2 = m2 x + b2

Dichas rectas serán paralelas si: m1 = m2

Ej.: gráfico – numérico

y1 = 2x + 7y2 = 2x + 3

m1 = m2 = 2

Rectas perpendicularesDadas dos rectas y1 , y2 que responden a las siguientes ecuaciones:

y1 = m1 x + b1

Y2 = m2 x + b2

Si: m1 =

−1m2

las rectas serán perpendiculares.Ej. gráfico – numérico

y1 = 3x + 6

y2 = -

13 x + 3

Casos particulares:

Si: m = 0

resulta y = b = constante

será una recta paralela al eje x.Ej.: y = 4

Un caso similar se presenta si: x = a = constante

Su representación será una recta paralela al eje Y.

y

x

L

º

L⃗ : y=mx+b

0 (a,0)

(0,b)

y = b

bx

y

y = a

a

x

y

2

I.E.”JOSÉ MARÍA ARGUEDAS” QUINTO AÑO

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Dadas las coordenadas de dos puntos de una recta es posible encontrar la ecuación de la recta que determine.

Dados Po (xo ; yo) y P1 (x1 ; y1), dos puntos cualesquiera, representamos ambos en el plano:

sen =

cat . op .hip . =

y1− yoPo P1

cos =

cat . ady .hip . =

y1− yoPo P1

tg =

sen αcos α =

y1− yoPo P1x1−xoPo P1 =

y1− yopo p1

=

y1− yox1 xo = m

Tomando un punto cualquiera entre Po y P1, en nuestro caso M (x,y), la tangente de la recta en ese punto es: m = tg

o sea m =

y− yox− yo

pero como = resulta tg = tg(por correspondiente);

de donde; y – yo =

y1− yoy1−xo (x – xo)

Ecuación de la recta que pasa por 2 puntosEj.: numérico:

Dados Po (4,3) y P1 (2, -1), reemplazando en la fórmula se tendrá:

y – yo =

y1− yox1− yo (x – xo)

y – 3 =

(−1)−32−4 (x – 4)

y = 2x – 8 + 3 = 2x – 5

y = 2x – 5

1. Qué inclinación tienen las siguientes rectas:

Si es paralela al eje XSi es paralela al eje YSi es paralela a la bisectriz del primer cuadranteSi es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante

2. Qué pendiente tienen las siguientes rectas:Si es paralela al eje XSi es paralela al eje YSi es paralela a la bisectriz del primer cuadranteSi es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante

3. Hallar la pendiente de los segmentos determinados por los siguientes puntos.

A(3;4) , B(-1;2)C(7;8) , D(-1;-5)E(4;5) , F(-2;5)G(5;-3) , H(5;7)

4. Haciendo uso de pendientes diga si son colineales los puntos:

A(-3;-2) , B(-1;-2) y C(0;4)M(10;0) , N(9;2) , P(6;8)R(-2;-3) , S(2;-1) y T(10;3)

5. Determinar la inclinación de las rectas cuya pendiente es:

√33

1-1

√3

6. Calcular la pendiente de la recta. S↔

a)

34

b) √2

c)

12

d) 2e) 1

7. Calcular la ecuación de la recta punto pendiente:

a) y = x-1 b) y = x+1 c) y = 2x+1

3√2

3

3

y

x

x

y L⃗

(-1,0)

(0,1

3

I.E.”JOSÉ MARÍA ARGUEDAS” QUINTO AÑO

d) y = 1-x e) x – 3

8. Determine la ecuación de la mediatriz del segmento. Si: A (-3,2) y B (1,6)a) y = x+3 b) y = 2x+3 c) y = -x+3d) y = -2x+3 e) y = x-3

9. Una recta pasa por el punto P(1;6) la suma de las coordenadas en el origen es 2. ¿Cuál es la ecuación general de la recta?

10. Una recta tiene pendiente m = 4; además la suma de los cuadrados de sus coordenadas en el origen es 17. ¿Cuál es su ecuación?

11. El punto Q(-3;1) divide al segmento de recta interceptado por los ejes según la razón:

QBQA = -

12

Hallar la ecuación de la recta

12. Dados los puntos P(2;3) y Q(-1;0), hallar la ecuación de la recta que pasa por Q, perpendicular al segmento PQ

13. Determinar para que valor de a la recta:(a + 2)x + (a2 – 9)y + 3a2 – 8a + 5 = 0a) es paralela al eje de abscisas;b) es paralela al eje de ordenadas;c) pasa por el origen de coordenadas

14. Determinar para qué valores de a y b las dos rectas

ax – 2y – 1 = 0 , 6x – 4y – b = 0a) tienen un punto común;b) son paralelasc) son perpendiculares

15. Determinar para qué valores de m y n las dos rectas:a) son paralelasb) coincidenc) son perpendicularesd) concurrentes

1. Hallar el área del triángulo formado por las rectas→L1 : y = 3x – 5→L2 : y =

x2

→L3 : y = 4a) 6 2 b) 13 c) 7,5d) 15 e) 30

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el 1er., 2do. y 4to. cuadrante. El punto (3,2) pertenece a ellas y los interceptos son iguales.

a) y = x+5 b) y = -x+5 c) y = x-5d) y = 2x+5 e) y = x-3

3. Dado el triángulo ABC, se tiene que A(2,3), B(3,6) y C(5,4). Calcule la ecuación de la recta que pasa por la altura, relativa al lado

AC ,

a) y = 3x+10 b) y = 3x+20 c) y= 2x+30d) y = x+12 e) y = 3x+15

4. Calcular la ecuación de la recta L

a) y = √3x-4 d) y = 5√3 x-4

b) y = ( 5√3−45 )

x+4 e) y=

(5√3+4 )5 x-

4

c) y = √5 - 4

5. Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (7,8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (-2,2) y (3-4)

a) y = x + 5 d) y =

25

x -

365

b) y =

25 x -

265 e) y =

2x5 + 30

c) y =

25 x +

265

6. Calcular el valor de “k”; para que la recta

(b,0

A (3,2

(0,b

L

10(0,0)

(0,4)

60º60º

60º

y

x

L

1

L2

(-2,2)(3,4)

(7,8)y

x

L

y

x

C

A

B

4

I.E.”JOSÉ MARÍA ARGUEDAS” QUINTO AÑO

kx + 3y – 9 = 0, determine en el eje “x”, un segmento igual a – 4.

a) -

94 b) -

43 c)

98

d) 2 e) 1

7. Determine el área de la región sombreada:

Si:

→L1 : y = x + 2→L2 : Y = -2x + 5

a) 11 b) 11,5 c) 22d) 21 e) 23

8. Calcular el área de la región poligonal ABCD

a) 42 b) 82 c) 164d) 41 e) 52

9. El área de un triángulo es 8 u2; dos de sus

vértices son los puntos A(1;-2), B(2;3) y el

tercer vértice C está en la recta 2x + y – 2 =

0

Determinar las coordenadas del vértice C.

10. Dados los vértices de un triángulo A(1;-1), B(-

2;1) y C(3;5), hallar la ecuación de la recta

perpendicular trazada desde el vértice A a la

mediana trazada desde el vértice B.

11. Hallar las ecuaciones de los lados de un

triángulo ABC conociendo uno de sus vértices

C(4;-1) y las ecuaciones de una de las alturas

2x-3y + 12 = 0 y la mediana.

12. Una recta pasa por el punto de intersección

de las rectas: 2x – 3y – 5 = 0 y x + 2y –

13 = 0

y el segmento que determina sobre el eje X

es igual al doble de su pendiente. Hallar la

ecuación de dicha recta.

13. Determinar los valores de k1 y k2 para que las

dos ecuaciones: k1x – 7y + 18 = 0 y 8x – k2y

+ 9k1 = 0

Representan la misma recta

14. Una recta L1, de pendiente negativa cuya

ordenada en el origen es 5, forma con el eje

de ordenadas y con la recta L2 : 7x – y – 19 =

0, un triángulo de área 36 u2. Determinar la

ecuación general de la recta L1.

15. Hallar la ecuación de una recta L de

pendiente positiva que intercepta al eje X en

un punto A y a la recta L1 : x = 6 es un punto

B de ordenada 8, si se sabe además que L, L1

y el eje X determinan un triángulo de área

igual a 48 u2.

Mg. Luis Alberto Churampi ArellanoL2 L1

x

y

L : kx + 3y – 9 =

(-4,0)

y

x

(2,3)

(6,12) (12,12)

(12,1)

y

x