LABORATORIO LABORATORIO DE MATEMÁTICADE MATEMÁTICA

Setiembre de 2007Marcos Díaz Abanto

¿Qué es la matemática?¿Qué es la matemática?

Federico Engels:”la matemática es una ciencia Federico Engels:”la matemática es una ciencia que tiene como objeto las formas espaciales y que tiene como objeto las formas espaciales y las relaciones cuantitativas del mundo real” y las relaciones cuantitativas del mundo real” y añadimos, que nos permite el desarrollo de las añadimos, que nos permite el desarrollo de las capacidades matemáticas, que son: capacidades matemáticas, que son: razonamiento y demostración, comunicación razonamiento y demostración, comunicación matemática y resolución de problemas; matemática y resolución de problemas; contribuyendo al desarrollo de las capacidades contribuyendo al desarrollo de las capacidades fundamentales: creatividad, pensamiento fundamentales: creatividad, pensamiento crítico, toma de decisiones y solución de crítico, toma de decisiones y solución de problemas.problemas.

Razonamiento y demostraciónRazonamiento y demostración Es expresarse, ordenando ideas en la Es expresarse, ordenando ideas en la

mente para llegar a una conclusiónmente para llegar a una conclusión. Esta . Esta definición implica varios supuestos: primero definición implica varios supuestos: primero supone que el sujeto tiene que establecidas supone que el sujeto tiene que establecidas ideas, éstas se constituyen gracias a la ideas, éstas se constituyen gracias a la capacidad de capacidad de abstraerabstraer; segundo, asume el ; segundo, asume el ordenamiento de las ideas (ordenar es el ordenamiento de las ideas (ordenar es el resultado de la capacidad de resultado de la capacidad de relacionar relacionar razonamiento y demostración)razonamiento y demostración)

Razonar y pensar matemáticamente implica Razonar y pensar matemáticamente implica percibir patrones, estructuras o regularidades, percibir patrones, estructuras o regularidades, tanto en situaciones del mundo real como en tanto en situaciones del mundo real como en objetos simbólicos; ser capaz de preguntarse si objetos simbólicos; ser capaz de preguntarse si esos patrones son accidentales o si hay razones esos patrones son accidentales o si hay razones para que aparezcan; poder formularpara que aparezcan; poder formular conjeturas y conjeturas y demostrarlas.demostrarlas.

Demostrar es establecer una sucesión finita de Demostrar es establecer una sucesión finita de pasos partiendo de proposiciones verdaderas pasos partiendo de proposiciones verdaderas para fundamentar la veracidad de una para fundamentar la veracidad de una proposición.proposición.

““Una demostración matemática es una manera Una demostración matemática es una manera formal de expresar tipos particulares de formal de expresar tipos particulares de razonamiento y de justificación”razonamiento y de justificación”

Comunicación matemáticaComunicación matemática Es una de las capacidades del área que adquiere un Es una de las capacidades del área que adquiere un

significado especial en la educación matemática porque, significado especial en la educación matemática porque, entre otras cosas permite expresar, compartir y aclarar las entre otras cosas permite expresar, compartir y aclarar las ideas, las cuales llegan a ser objeto de reflexión, ideas, las cuales llegan a ser objeto de reflexión, perfeccionamiento, discusión, análisis y reajuste. El perfeccionamiento, discusión, análisis y reajuste. El proceso de comunicación ayuda también a dar significado proceso de comunicación ayuda también a dar significado y permanencia a las ideas y difundirlas. y permanencia a las ideas y difundirlas.

Comprender implica hacer conexiones. Esta capacidad Comprender implica hacer conexiones. Esta capacidad contribuye también al desarrollo de un lenguaje para contribuye también al desarrollo de un lenguaje para expresar las ideas matemáticas, y apreciar la necesidad de expresar las ideas matemáticas, y apreciar la necesidad de la precisión en este lenguaje. Los estudiantes que tienen la precisión en este lenguaje. Los estudiantes que tienen oportunidades, estímulo y apoyo para hablar, escribir, leer oportunidades, estímulo y apoyo para hablar, escribir, leer y escuchar en las clases de matemática, se benefician y escuchar en las clases de matemática, se benefician doblemente porque comunican para aprender matemática, doblemente porque comunican para aprender matemática, y aprenden a comunicar matemáticamente.y aprenden a comunicar matemáticamente.

Las diferentes formas de representación, Las diferentes formas de representación, tales como los diagramas, las gráficas y las tales como los diagramas, las gráficas y las expresiones simbólicas se deben considerar expresiones simbólicas se deben considerar como elementos esenciales para sustentar la como elementos esenciales para sustentar la comprensión de los conceptos y relaciones comprensión de los conceptos y relaciones matemáticas, para comunicar enfoques, matemáticas, para comunicar enfoques, argumentos y conocimientos, para reconocer argumentos y conocimientos, para reconocer conexiones entre conceptos matemáticos y conexiones entre conceptos matemáticos y para aplicar la matemática a problemas para aplicar la matemática a problemas reales o problemas matemáticos.reales o problemas matemáticos.

Resolución de problemasResolución de problemas Resolver un problema significa buscar de Resolver un problema significa buscar de

forma consciente una acción apropiada para forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata. pero no alcanzable de forma inmediata. (George Polya).(George Polya).

La capacidad de resolución de problemas La capacidad de resolución de problemas es de suma importancia por su carácter es de suma importancia por su carácter integrador, ya que posibilita el desarrollo de integrador, ya que posibilita el desarrollo de las otras capacidades. Resolver problemas las otras capacidades. Resolver problemas implica encontrar un camino que no se implica encontrar un camino que no se conoce de antemano, es decir, una conoce de antemano, es decir, una estrategia para encontrar una solución.estrategia para encontrar una solución.

Laboratorio de matemáticaLaboratorio de matemática1. Justificación 1. Justificación Existe un gran preocupación por el desarrollo de las Existe un gran preocupación por el desarrollo de las

capacidades de nuestros o nuestras estudiantes, que capacidades de nuestros o nuestras estudiantes, que repercutirá en su formación integral, en su repercutirá en su formación integral, en su concentración y en sus aprendizajes; motivo por el concentración y en sus aprendizajes; motivo por el cual desde muy diversos ámbitos se ha está cual desde muy diversos ámbitos se ha está propugnando nuevas alternativas para que esto propugnando nuevas alternativas para que esto suceda.suceda.

Nuestra intención, a través de esta propuesta de Nuestra intención, a través de esta propuesta de trabajo, es la de ofrecer unos materiales que les trabajo, es la de ofrecer unos materiales que les puedan servir al o la docente en su trabajo cotidiano y puedan servir al o la docente en su trabajo cotidiano y a los o las estudiantes como un complemento a lo que a los o las estudiantes como un complemento a lo que reciben en el aula; para el desarrollo de sus reciben en el aula; para el desarrollo de sus capacidades, valores y actitudes.capacidades, valores y actitudes.

Algo más que no debe faltar en este Laboratorio de Matemática es la Algo más que no debe faltar en este Laboratorio de Matemática es la alegría. Si cuando estamos “trabajando” con nuestros o nuestras alegría. Si cuando estamos “trabajando” con nuestros o nuestras estudiantes no nos divertimos, los dos, algo estamos haciendo mal. El estudiantes no nos divertimos, los dos, algo estamos haciendo mal. El aprendizaje, el crecimiento en el conocimiento, el acercamiento al aprendizaje, el crecimiento en el conocimiento, el acercamiento al talento debe ser divertido. Nuestro mejor aliado es el juego. Los niños talento debe ser divertido. Nuestro mejor aliado es el juego. Los niños cuanto más pequeños, más aún tienen una atención corta pero hábil. cuanto más pequeños, más aún tienen una atención corta pero hábil. El secreto pasa entonces por hacer las tareas de desarrollo gratas y El secreto pasa entonces por hacer las tareas de desarrollo gratas y divertidas.divertidas.

El Laboratorio de matemática no debe ser tomado como un simple El Laboratorio de matemática no debe ser tomado como un simple espacio de entretenimiento, ni pasar el tiempo con nuestros o nuestras espacio de entretenimiento, ni pasar el tiempo con nuestros o nuestras estudiantes. Sino, teniendo en cuenta aspectos como los distintos estudiantes. Sino, teniendo en cuenta aspectos como los distintos ritmos de aprendizaje de los o las estudiantes con dificultades o con los ritmos de aprendizaje de los o las estudiantes con dificultades o con los privilegiados y el principio de Matemática para todos, las actividades privilegiados y el principio de Matemática para todos, las actividades estarán encaminadas a cubrir la atención a la diversidad.estarán encaminadas a cubrir la atención a la diversidad.

2. Objetivos del Laboratorio de Matemática2. Objetivos del Laboratorio de Matemática   Manipulativas,Manipulativas, aprovechando las tendencias naturales aprovechando las tendencias naturales

de manipular objetos concretos para, a través de la de manipular objetos concretos para, a través de la observación, el diseño, la construcción y la composición observación, el diseño, la construcción y la composición de dichos objetos analizar las propiedades de carácter de dichos objetos analizar las propiedades de carácter matemático que existen en ellos y/o en su utilización y matemático que existen en ellos y/o en su utilización y manejo.manejo.

ReflexivasReflexivas, utilizando los juegos y diversos materiales , utilizando los juegos y diversos materiales de estrategia se pretende que los o las estudiantes de estrategia se pretende que los o las estudiantes desarrollen la capacidad lógica de razonamiento, la desarrollen la capacidad lógica de razonamiento, la observación y la concentración, potenciando así la observación y la concentración, potenciando así la confianza en sus propias capacidades, aumentando la confianza en sus propias capacidades, aumentando la autoestima; permitiendo además, la abstracción de su autoestima; permitiendo además, la abstracción de su contenido matemático.contenido matemático.

4. Objetivo específicos4. Objetivo específicos

Manipular materiales que favorezcan la comprensión y Manipular materiales que favorezcan la comprensión y la resolución de problemas, valorando la interrelación la resolución de problemas, valorando la interrelación que existe entre la actividad manual y la intelectual. que existe entre la actividad manual y la intelectual. Además de realizar las actividades de manera lúdica. Además de realizar las actividades de manera lúdica. Si es posible que los o las estudiantes construyan sus Si es posible que los o las estudiantes construyan sus propios materiales de juegos matemáticos.propios materiales de juegos matemáticos.

Trabajar en equipo para llevar a cabo utarea, sabiendo Trabajar en equipo para llevar a cabo utarea, sabiendo confrontar las opiniones con las de las o los confrontar las opiniones con las de las o los compañeros, aceptar y desarrollar en grupo mejores compañeros, aceptar y desarrollar en grupo mejores estrategias y soluciones, valorando las ventajas de la estrategias y soluciones, valorando las ventajas de la cooperación.cooperación.

  

Desarrollar la capacidad de descubrir como se Desarrollar la capacidad de descubrir como se agrupan los componentes de los de los agrupan los componentes de los de los materiales, permitiendo el análisis de la materiales, permitiendo el análisis de la proporcionalidad y la descomposición mental proporcionalidad y la descomposición mental de una figura en piezas más pequeñas de una de una figura en piezas más pequeñas de una determinada forma.determinada forma.

Elaborar estrategias personales para la Elaborar estrategias personales para la resolución de las diversas actividades resolución de las diversas actividades presentadas, actuando con imaginación y presentadas, actuando con imaginación y creatividad, valorando la importancia no sólo creatividad, valorando la importancia no sólo de los resultados, sino del proceso que los de los resultados, sino del proceso que los produce.produce.

Conocer y valorar las propias capacidades Conocer y valorar las propias capacidades matemáticas para afrontar las situaciones que matemáticas para afrontar las situaciones que requieran su empleo o que permitan disfrutar requieran su empleo o que permitan disfrutar con los aspectos creativos, manipulativos, con los aspectos creativos, manipulativos, estéticos o utilitarios de la matemática.estéticos o utilitarios de la matemática.

Favorecer en los o las estudiantes el desarrollo Favorecer en los o las estudiantes el desarrollo de cualidades personales como la de cualidades personales como la perseverancia y la dedicación sostenida en el perseverancia y la dedicación sostenida en el empeño.empeño.

Elaborar, con los o las estudiantes, materiales Elaborar, con los o las estudiantes, materiales referidos a referidos a juegos y artificios numéricos, juegos juegos y artificios numéricos, juegos de cálculos, formas geométricas, juegos con de cálculos, formas geométricas, juegos con palitos de fósforos, entre otros.palitos de fósforos, entre otros.

Elaborar, con los estudiantes, materiales de Elaborar, con los estudiantes, materiales de concentración.concentración.

MaterialesMateriales Los materiales considerados serán una diversidad de Los materiales considerados serán una diversidad de

rompecabezas, juegos lógicos y de estrategia.rompecabezas, juegos lógicos y de estrategia. Formas planasFormas planas poliominós, mosaicos y tangramas como la T, Mi amigo poliominós, mosaicos y tangramas como la T, Mi amigo

mágico entre otros; el juego de triángulos, entre otros.mágico entre otros; el juego de triángulos, entre otros. CuerposCuerpos El cubo de O´berine, el cubo diabólico, el cubo de El cubo de O´berine, el cubo diabólico, el cubo de

soma, el cubo de Steinhaus, el cubo de Hungría, el soma, el cubo de Steinhaus, el cubo de Hungría, el cubo de Lesk y el cubo serpiente; los cubos diabólicos.cubo de Lesk y el cubo serpiente; los cubos diabólicos.

OtrosOtros JJuegos y artificios numéricos, juegos de cálculos, uegos y artificios numéricos, juegos de cálculos,

formas geométricas, juegos con palitos de fósforos, formas geométricas, juegos con palitos de fósforos, entre otros.entre otros.

El trabajo con materiales:El trabajo con materiales: Proporciona una fuente de actividades matemáticas Proporciona una fuente de actividades matemáticas

estimulantes.estimulantes. Permite que los alumnos realicen actividades de forma Permite que los alumnos realicen actividades de forma

autónoma.autónoma. Se puede adaptar al trabajo en grupo sobre un tema Se puede adaptar al trabajo en grupo sobre un tema

particular.particular. Los materiales didácticos potencian una enseñanza más Los materiales didácticos potencian una enseñanza más

rica, más activa, más creativa y más participativa de los temas rica, más activa, más creativa y más participativa de los temas habituales del currículo de secundariahabituales del currículo de secundaria

Como se señala en el Informe CockroftComo se señala en el Informe Cockroft[1][1], con bastante , con bastante frecuencia se considera que en la enseñanza secundaria frecuencia se considera que en la enseñanza secundaria no son necesarias actividades prácticas; pero esto no es no son necesarias actividades prácticas; pero esto no es cierto, como tampoco lo es que dichas actividades deban cierto, como tampoco lo es que dichas actividades deban ser llevadas a cabo únicamente por los alumnos de ser llevadas a cabo únicamente por los alumnos de rendimiento bajo; por el contrario los alumnos de todos los rendimiento bajo; por el contrario los alumnos de todos los niveles pueden beneficiarse con el desarrollo de niveles pueden beneficiarse con el desarrollo de experiencias prácticas apropiadas.experiencias prácticas apropiadas.

Este tipo de enseñanza de la Matemática (que ha tenido Este tipo de enseñanza de la Matemática (que ha tenido además en nuestro país ilustres practicantes y teóricos, además en nuestro país ilustres practicantes y teóricos, como Puig Adam) reclama la necesidad de un como Puig Adam) reclama la necesidad de un Laboratorio Laboratorio de Matemáticade Matemática con los materiales manipulativos con los materiales manipulativos apropiados.apropiados.

[1][1] Informe COCKROFT, Las Matemáticas si cuentan. MEC, Madrid, 1985. Informe COCKROFT, Las Matemáticas si cuentan. MEC, Madrid, 1985.

CARACTERISTICAS QUE DEBEN TENER CARACTERISTICAS QUE DEBEN TENER

LOS MATERIALES Y COMO USARLOSLOS MATERIALES Y COMO USARLOS Por materiales didácticos entendemos todos Por materiales didácticos entendemos todos

aquellos objetos, juegos, medios técnicos, etc., aquellos objetos, juegos, medios técnicos, etc., capaces de ayudar al alumno a suscitar capaces de ayudar al alumno a suscitar preguntas, sugerir conceptos o materializar preguntas, sugerir conceptos o materializar ideas abstractas. Deben ser sencillos y ideas abstractas. Deben ser sencillos y próximos al mundo del alumno.próximos al mundo del alumno.

Es necesario que los alumnos manipulen Es necesario que los alumnos manipulen diversidad de materiales y lo hagan con diversidad de materiales y lo hagan con regularidad. Un uso esporádica del material regularidad. Un uso esporádica del material convierte a éste más en una curiosidad que en convierte a éste más en una curiosidad que en una herramienta metodológica.una herramienta metodológica.

En el informe Crockoft (párrafo 243) se En el informe Crockoft (párrafo 243) se sugiere que la enseñanza de las Matemáticas a sugiere que la enseñanza de las Matemáticas a

cualquier nivel debe incluir la posibilidad de cualquier nivel debe incluir la posibilidad de realizar:realizar:

Exposición del profesor.Exposición del profesor. Discusiones de los alumnos tanto con el Discusiones de los alumnos tanto con el profesor como entre sí.profesor como entre sí. Trabajo práctico adecuado.Trabajo práctico adecuado. Consolidación y práctica de los conocimientos y Consolidación y práctica de los conocimientos y

las rutinas fundamentales.las rutinas fundamentales. Resolución de problemas, incluida la aplicación Resolución de problemas, incluida la aplicación

de la Matemática a la vida diaria.de la Matemática a la vida diaria.

Cuando nos enfrentamos a un problema, no Cuando nos enfrentamos a un problema, no disponemos de un algoritmo cuya aplicación disponemos de un algoritmo cuya aplicación nos lleve a la solución; igual nos ocurre con las nos lleve a la solución; igual nos ocurre con las actividades con materiales a las que también se actividades con materiales a las que también se les puede aplicar las cuatro etapas que Polya les puede aplicar las cuatro etapas que Polya propone para la resolución de un problemapropone para la resolución de un problema[1][1]..

Comprender la situación que nos plantea la Comprender la situación que nos plantea la actividadactividad

§       Trazar un plan para resolverla.§       Trazar un plan para resolverla.                   Poner en práctica el plan.Poner en práctica el plan.                   Comprobar los resultados.Comprobar los resultados.

[1][1] POLYA, G. Cómo plantear y resolver problemas. Trillas. POLYA, G. Cómo plantear y resolver problemas. Trillas. Editorial. México. 1945.Editorial. México. 1945.

En esta situación, los materiales didácticos En esta situación, los materiales didácticos manipulables tienen y seguirán teniendo una gran manipulables tienen y seguirán teniendo una gran importancia como instrumentos que ayudan al importancia como instrumentos que ayudan al alumno a comprender y hacer Matemáticas alumno a comprender y hacer Matemáticas porque:porque:

Los materiales didácticos son instrumentos, que a Los materiales didácticos son instrumentos, que a pesar de ser tan simples, permiten transformar en pesar de ser tan simples, permiten transformar en externos y tangibles los productos del externos y tangibles los productos del pensamiento de los alumnos. Así sus ideas se pensamiento de los alumnos. Así sus ideas se convierten en “objetos” susceptibles de convierten en “objetos” susceptibles de observación, análisis, reflexión y discusión, tanto observación, análisis, reflexión y discusión, tanto individual como colectiva.individual como colectiva.

El uso ordenado de los materiales didácticos El uso ordenado de los materiales didácticos en una sesión de aprendizaje de Matemática en una sesión de aprendizaje de Matemática potencia las capacidades del estudiante y le potencia las capacidades del estudiante y le permite el acceso a las nuevas posibilidades permite el acceso a las nuevas posibilidades de pensar, crear, entender, aprender y de pensar, crear, entender, aprender y conectar los conocimientos matemáticos.conectar los conocimientos matemáticos.

Como Como Ejemplo 1Ejemplo 1, podemos citar el uso del , podemos citar el uso del cubo de O´berine, que permite el desarrollo cubo de O´berine, que permite el desarrollo de la creatividad.de la creatividad.

Ejemplo 2Ejemplo 2

¿Cuántas hileras de 3 monedas ¿Cuántas hileras de 3 monedas se pueden formar sobre una se pueden formar sobre una mesa con 7 monedas? mesa con 7 monedas?

Algunas configuracionesAlgunas configuraciones

Ejemplo 3Ejemplo 3

Se tienen nueve monedas, todas aparentemente Se tienen nueve monedas, todas aparentemente iguales, una pesa ligeramente menos que las iguales, una pesa ligeramente menos que las demás. Usando una balanza de dos platillos, en demás. Usando una balanza de dos platillos, en sólo dos pesadas determina la moneda que pesa sólo dos pesadas determina la moneda que pesa menos.menos.

FINFIN