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Tomado deMathesis 9 (1993) 419-432

LA NATURALEZA DE LAS MATEMATICAS

Y SUS IMPLICACIONES DIDACTICAS

Luz Manuel Santos Trigo

Resumen

Los profesores de matemáticas enseñan esta disciplina de acuerdo a ciertas ideas que ellos tienen

acerca de las matemáticas y cómo estas deben ser aprendidas por los estudiantes. Por ejemplo,

un profesor puede pensar que el aspecto formal de las matemáticas es el ingrediente principal de

esta disciplina. Como consecuencia, en el contenido presentado a los estudiantes existe un gran

énfasis en las demostraciones. Otro profesor puede creer que las matemáticas finalmente se

reducen a un conjunto de fórmulas o algoritmos que el alumno tiene que aprender a aplicar en

varias situaciones. Aquí, el alumno resuelve diversos ejercicios que intentan darle cierta fluidez

en el uso de estos algoritmos. Las diversas ideas que tienen los profesores acerca de las

matemáticas poseen cierta relación con los fundamentos o naturaleza de esta disciplina y su

relación con el aprendizaje. En este artículo se revisan ideas generales de los fundamentos de las

matemáticas y su influencia en los contenidos curriculares y su aprendizaje. Se identifica a la

práctica de desarrollar matemáticas como un aspecto que puede ser importarle en la discusión de

cómo se hacen las matemáticas y su relación con la forma de aprender esta materia. Es decir, se

intenta relacionar los componentes del quehacer matemático con el aprendizaje de esta

disciplina.

Abstract

Mathematics instructors teach mathematics in accondance with what they think of this discipline

and its learning. Indeed, the problems they consider for class discussion and assigments, the type

of learning activities implemented during instruction, and the form of evaluation are aspects that

are shaped by their ideas about mathematics.

Introducción

En los últimos veinticinco años, las matemáticas han tenido un avance significativo tanto en su

propio desarrollo como en sus aplicaciones. Esto ha contribuido a que alguna gente se dedique

a examinar la naturaleza de las matemáticas y su importancia (Steen, 1978, 1988; Davis y Hersh,

1981; National Council of Teachers of Mathematics, 1989, 1990). Este interés ha identificado

un amplio mosaico de concepciones acerca de la naturaleza de las matemáticas incluyendo

aquellas que relacionan a las matemáticas con una estructura axiomática, con un conjunto de

heurísitcas para resolver problemas, o con un conjunto de fórmulas. Estas diversas

concepciones poseen una influencia directa en la forma en que las matemáticas son aceptadas en

la vida diaria y, por lo tanto, desempeñan un papel importante en el currículo matemático, la

forma de enseñanza y el tipo de investigaciones que se realizan en Educación Matemática.

Romberg (1992) argumenta que ha habido cambios dramáticos en la disciplina matemática en el

último cuarto de siglo. Nuevas tecnologías han puesto a discusión la importancia de realizar

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manipulaciones rutinarias simbólicas con lápiz y papel. En contraste, el uso de la tecnología ha

contribuido a conceptualizar a las matemáticas como un medio para resolver problemas.

Tymosczko (1986) afirma que el uso de métodos de prueba o demostración, basados en la

computadora, no permite que el matemático revise paso a paso el desarrollo de la demostración.

Así, los criterios de validación deben considerar la existencia de estos métodos y reconocer que

éstos son importantes en la práctica de desarrollar matemáticas.

El estudio de la naturaleza de las matemáticas se torna importante para el profesor de

matemáticas cuando se examina la preparación que éste recibe. Por ejemplo, la formación

profesional de un profesor a nivel de bachillerato o de universidad pocas veces incluye cursos

mas allá del estudio de los contenidos matemáticos. Es decir, durante el período de su

formación le dedica casi todo el tiempo al estudio de álgebra, geometría, cálculo, análisis,

probabilidad y estadística, y pocas veces se incluyen en su formación aspectos relacionados con

la historia y la filosofía, o aspectos que analicen el propio desarrollo de las matemáticas.

Implícitamente se piensa que el solo estudio de las propias matemáticas le proporcionará los

elementos para enseñar esta disciplina. Como resultado, en la práctica de enseñar matemáticas

generalmente el profesor adopta un modelo de enseñanza que recoge elementos de su propia

experiencia como estudiante. Con este modelo se acompañan ideas respecto al papel del

profesor (generalmente un expositor ante el pizarrón), a los tipos de problemas de clase y de la

tarea, al tipo de evaluación del estudiante, al uso de un libro de texto y al papel del estudiante en

el salón de clases.

En realidad, cada profesor posee un modelo o una caracterización de lo que son las matemáticas

y cómo estas pueden ser aprendidas por el estudiante. Su experiencia como estudiante se vuelve

determinante en las ideas que él tenga acerca de esta disciplina. Este modelo influye en las

decisiones diarias que tiene que tomar respecto a cómo presentar el contenido en el salón de

clases. De aquí que sea importante identificar algunas conceptualizaciones acerca de qué son las

matemáticas y de su desarrollo, así como, sus relaciones con la enseñanza. Esta discusión

permitirá ubicar las diferentes propuestas relacionadas con el aprendizaje de las matemáticas y

analizar algunas ventajas y limitaciones a ser consideradas en la práctica de la enseñanza. En este

artículo se presentan diversas posiciones acerca de la naturaleza de las matemáticas.

En el desarrollo del presente artículo se identifican tres escuelas que abordan aspectos

relacionados con los fundamentos de las matemáticas: la logicista, la formalista y la

constructivista. Sin embargo, la discusión acerca de cómo se hacen o desarrollan las

matemáticas, o qué evidencias hacen posible la validez de un teorema o desarrollo matemático,

han apuntado hacia el estudio de la práctica del desarrollo de esta disciplina como Van

Bendegem (1993, 22) sugiere:

"Si uno desea estudiar problemas relacionados con aspectos educacionales de las

matemáticas o las relaciones diversas y complejas entre las matemáticas y la

cultura, o los procesos psicológicos y sociales de la invención y construcción

matemática, uno necesitará una teoría o al menos un modelo de la práctica de

cómo se desarrollan las matemáticas"

Es decir, la caracterización del quehacer matemático se torna importante para el aprendizaje de

esta disciplina.

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La importancia del estudio de la naturaleza de las matemáticas

En la práctica de la enseñanza de las matemáticas, el profesor continuamente toma decisiones

respecto al contenido y la forma de presentación en el salón de clases. Estas decisiones pueden

tomar distintas formas dependiendo de qué tipo de conceptualización de las matemáticas se

comparta. Por ejemplo, aceptar a las matemáticas como un cuerpo estático de conocimientos

que se desarrolla vía el lenguaje formal es un punto de vista opuesto al de ver a las matemáticas

como una disciplina dinámica que cambia y se ajusta constantemente a los diversos resultados de

su desarrollo y aplicación. Estos puntos de vista producen o incluyen actividades diferentes en

cuanto al ambiente en el salón de clases y también en cuanto al tipo de problemas o ejemplos

seleccionados para la presentación de los contenidos. Dossey (1992) argumenta que la falta de

una filosofía común de las matemáticas da lugar a serias ramificaciones tanto en la práctica como

en la enseñanza de esta disciplina. Además sugiere que la falta de un consenso es la razón por la

cual las diferentes filosofías no son ni siquiera discutidas (Dossey 1992,39). Sin embargo, estos

diferentes puntos de vista son transmitidos a los estudiantes y contribuyen a la formación de sus

propios conceptos acerca de la naturaleza de las matemáticas. Algunos estudiantes creen que las

matemáticas se reducen a un conjunto de resultados que se deben memorizar, que las

matemáticas son sólo accesibles a los buenos estudiantes, o que los problemas matemáticos se

resuelven en pocos minutos o no se resuelven Schoenfeld (1985). Esto le da racionalidad a una

revisión de las diversas concepciones de las matemáticas y sus relaciones con el aprendizaje de

las mismas.

Las primeras controversias

Aun cuando en cada civilización se han encontrado huellas de la existencia de las matemáticas,

existe poca información acerca de los aspectos relacionados con la naturaleza de esta disciplina.

Platón parece ubicarse entre los primeros que intentan clarificar una posición al indicar que los

objetos matemáticos tienen una existencia propia, más allá de la mente. Es decir, existen

independientemente del individuo. Esta posición le permitió distinguir a la aritmética (teoría de

números) de la logística (técnicas de cálculo). Platón argumentó que el estudio de la aritmética

produce un efecto positivo en los individuos, que les ayuda a razonar en una forma abstracta.

Por otro lado, Aristóteles veía a las matemáticas como una de las divisiones del conocimiento

que se diferenciaba del conocimiento físico y del teológico.

Respecto al conocimiento matemático, Aristóteles negaba que las matemáticas fueran una teoría

de un conocimiento externo, independiente e inobservable. Asociaba a 1as matemáticas con una

realidad donde el conocimiento se obtiene por experimentación, observación y abstracción. Esta

posición comparte que la construcción de las ideas matemáticas se da a través de idealizaciones

realizadas por los matemáticos como un resultado de su experiencia con objetos en un contexto

específico. Dossey (1992) apunta que Aristóteles intentó entender a las relaciones matemáticas

a través de la colección y clasificación de resultados empíricos derivados de experimentos y

observación y después por medio de la deducción de un sistema que explicara las relaciones

inherentes de los datos (Dossey 1992, 40).

Los puntos de vista de Platón y Aristóteles han representado los grandes polos donde ha

oscilado la discusión acerca de la naturaleza de las matemáticas.

Estos dos puntos de vista se reflejaron no solamente en las matemáticas sino también en otras

ciencias. En los siglos XVII y XVIII el aceptar o no la existencia de un objeto de estudio

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independientemente del individuo se convirtió en un argumento importante acerca de la forma

del quehacer científico entre los racionalistas y los experimentalistas. Sin embargo, el desarrollo

de las geometrías no euclidianas influyó en la ubicación de las matemáticas.

El establecimiento de la consistencia de las geometrías, no euclidianas en la

mitad del siglo XVlll finalmente liberó a las matemáticas de un restringido

conjunto de axiomas pensados como el único modelo para el mundo externo

(Dossey 1992, 40).

Como consecuencia, esto produjo una nueva visión del conjunto de axiomas que sustentan un

desarrollo matemático.

La naturaleza de las matemáticas en los siglos XIX y XX

La pérdida de la certidumbre en la geometría fue filosóficamente intolerable, porque esto

implicaba desconfianza en todo el conocimiento humano. Los matemáticos de esta época

empezaron a buscar en la aritmética los fundamentos de las matemáticas. Es aquí donde la teoría

de conjuntos infinitos empieza a relacionarse con la naturaleza de las matemáticas. Sin embargo,

la aparición de las paradojas mostró otra vez la debilidad de esta propuesta. Esta discusión

pareció ser importante en el desarrollo de las tres escuelas mencionadas antes acerca de la

naturaleza de las matemáticas: logicista, constructivista y formalista.

La escuela logicista fue una continuación de la escuela platónica. Sus seguidores compartían

que las proposiciones matemáticas se podían expresar como proposiciones generales cuya

verdad depende de su forma y no de su interpretación en un contexto específico. Su principal

objetivo fue encontrar una reformulación de la teoría de conjuntos la cual evitara la paradoja de

Russell (el conjunto de todos los conjuntos que se incluye a sí mismo). Entre los seguidores de

esta corriente se encuentra Frege, Russell y Whitehead. El trabajo de esta escuela propició un

gran avance en el desarrollo de la lógica pero fue un fracaso en cuanto a su principal objetivo.

Goodman (1986) afirma que la intuición matemática es prácticamente real. Esta es sólo

comprensible como un principio no deductivo dentro de la estructura de las propias matemáticas.

Sin embargo, para los logistas no existe la realidad objetiva de cualquier estructura. Así, por el

principio de objetividad, el logicismo no puede ser una adecuada filosofía de las matemáticas.

La escuela constructivista estuvo representada por Brouwer alrededor de 1908. La principal

premisa en esta corriente era que las ideas matemáticas existen sólo si éstas son construibles por

la mente humana. Es decir, los objetos matemáticos no pueden ser considerados significativos o

que existen al menos que éstos se obtengan por una construcción con pasos finitos. Goodman

(1986) indica que la verdad matemática es prácticamente real. Es decir, sin la realidad práctica

de la verdad matemática no existiría el rigor matemático. Como la esencia del constructivismo

rechaza la realidad objetiva de la verdad matemática, entonces, por el principio de objetividad, el

constructivismo no puede ser una filosofía adecuada para las matemáticas.

La escuela formalista aparece en el escenario a principios del siglo XX. Hilbert es el principal

promotor de esta corriente. Las ideas de esta escuela contemplan introducir un lenguaje y reglas

formales de inferencia para demostrar teoremas (método axiomático), desarrollar una teoría de

propiedades combinatorias de este lenguaje formal considerado como un conjunto de reglas para

transformar fórmulas (matemáticas), probar con argumentos finitos que una contradicción no

puede ser derivada dentro de este sistema. Con este plan hubo un gran progreso en el desarrollo

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de estas ideas, sin embargo, Godel, en 1931, estableció que era imposible pensar en un sistema

axiomático del tipo de Hilbert. Goodman (1986) describe la experiencia de desarrollar

matemáticas; la instrospección muestra que cuando uno está haciendo matemáticas, al intentar

resolver un Problema que no sabe resolver, uno raramente trata con símbolos. En esta etapa,

uno se enfrenta a ideas y construcciones. Uno de los trabajos más duros para un matemático

ocurre cuando este tiene una idea pero, por un momento es incapaz de expresarla en un camino

formal. Las matemáticas hablan acerca de ideas construcciones y pruebas, de tal manera que es

claro que los matemáticos tiene en mente algo mas que símbolos. Goodman (1986, 84).

Dossey (1992) argumenta que estas tres corrientes de pensamiento consideraban el contenido

matemático como un producto. Con los logistas, los contenidos eran los elementos de una

matemática clásica: sus definiciones, sus postulados y sus teoremas. Para los constructivistas,

los contenidos eran los teoremas que habían sido construidos a partir de principios vía patrones

válidos de razonamiento. En los formalistas de las matemáticas contenían estructuras

axiomáticas formales para liberar a las matemáticas clásicas de sus problemas.

Hersh (1979, 33) resume la influencia de la corriente formalista en la enseñanza de las

matemáticas cuando escribe:

En la última mitad del siglo pasado, más o menos, se ha visto una tendencia

formalista como el punto de vista más elegido en la filosofía de las matemáticas.

En este mismo período, el estilo dominante en las revistas de matemáticas, y aun

en los textos y tratados, ha sido insistir en los detalles precisos de las definiciones

y pruebas, pero excluyendo o minimizando la discusión de por qué un método es

interesante o por qué un método particular de prueba es usado. La concepción de

uno de lo que son las matemáticas afecta cómo deben ser presentadas. Otro

ejemplo es la importación, en los sesenta, de la notación teórica de los conjuntos

y la axiomática, al currículum del bachillerato. Esto no fue una aberración

inexplicable, como los críticos algunas veces parecen imaginar. Esto fue una

consecuencia predecible de una doctrina filosófica que reduce a las matemáticas

a un sistema axiomático expresado en un lenguaje teórico de conjuntos.

Kuhn (1977) identifica dos conceptualizaciones de las matemáticas (la pura y la aplicada) que

han generado diversas discusiones respecto a su naturaleza. Kuhn menciona que durante el

siglo XIX se desarrolla un cambio gradual en la percepción de la identidad de las matemáticas.

Quizás hasta mediados de siglo tópicos como mecánica celeste, hidrodinámica y elasticidad eran

el centro de la investigación profesional en matemáticas. Sin embargo, setenta y cinco años más

tarde éstos se convirtieron en matemáticas aplicadas. En su estudio, éstas se separaban de las

preguntas más abstractas de las matemáticas puras que habían sido centrales para la disciplina.

Kuhn argumenta que esta separación ocurrió en caminos y tiempos diferentes en diversos países.

Esta caracterización influyó en la forma de presentar el currículum a estudiar en esos lugares.

Los aspectos discutidos de las matemáticas en relación a su naturaleza se seleccionaron por

motivos de conveniencia con la idea de dar un panorama general respecto a diversas posiciones.

Es importante mencionar que existen otros enfoques a esta discusión que de alguna forma

también resaltan la importancia de discutir estos aspectos alrededor de alguna propuesta

curricular de las matemáticas (Browder 1976 y Confrey 1980).

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La naturaleza de las matemáticas y la práctica de desarrollar matemáticas

Davis y Hersh (1981) señalan que los matemáticos en la práctica real de desarrollar matemáticas

pocas veces reflexionan sobre la naturaleza de las matemáticas. En el desarrollo de las ideas

matemáticas es común que el matemático trabaje como si la disciplina describiera un objetivo

existente en la realidad donde la práctica de trabajar en esta disciplina puede ser falible. Sin

embargo, cuando es cuestionado sobre la naturaleza de las matemáticas frecuentemente niega

esta noción y la describe como un juego de símbolos sin sentido. En la opinión de Hersh (1986)

el trabajo diario del matemático no es controlado por la idea de validar cada paso con

argumentos formales, sino que éste procede guiado por la intuición en la exploración de

conceptos y sus interacciones.

Dossey (1992) sugiere que estas ideas apuntan a un reconocimiento de que el desarrollar

matemáticas debe aceptarse como una actividad humana, una actividad no gobernada

estrictamente por alguna escuela de pensamiento, que incorpore los elementos que describen la

práctica de hacer matemáticas.

Una caracterización de las matemáticas en términos de la resolución de problemas refleja una

dirección que cuestiona la aceptación de las matemáticas como un conjunto de hechos,

algoritmos, procedimientos o reglas que el estudiante tiene que memorizar o ejercitar. En su

lugar, los estudiantes participan activamente en el desarrollo de las ideas matemáticas, los

problemas son definidos con menos precisión, donde el aprendizaje se relaciona con la práctica

de desarrollar matemáticas. Es decir, el estudiante aprende matemáticas al ser inmerso en un

medio similar al de la gente que hace matemáticas.

La propuesta curricular del National Council of Teachers of Mathematics incorpora este punto

de vista al indicar que el estudio de las matemáticas debe enfocarse al proceso de desarrollar

matemáticas. Aquí se contempla un ambiente de clase donde el estudiante tenga un papel activo

al discutir problemas, proponer ejemplos y contraejemplos, usar conjeturas y, en general,

construir el conocimiento matemático. En la propuesta se consideran aspectos tales como la

resolución de problemas, la necesidad de comunicarse matemáticamente y la búsqueda de las

conexiones de las matemáticas con otras disciplinas (NCTM 1989, 1991).

Barbeau (1989) sugiere que la mayoría de la gente percibe a las matemáticas como un conjunto

fijo de conocimientos pulidos y acabados. Su materia es la manipulación de números y la prueba

de deducciones geométricas. Es una disciplina fría y austera que le da poco espacio al juicio y a

la creatividad. Este punto de vista es indudablemente una reflexión de las matemáticas que se

estudian en la escuela. Un punto de vista opuesto a esa idea concibe a las matemáticas como

una disciplina falible, cambiante y similar a otras disciplinas como un producto de la inventiva

humana. Romberg (1992) apunta a que este punto de vista dinámico de las matemáticas tiene

consecuencias importantes para el currículum. Por ejemplo, la enseñanza de las matemáticas,

contempla aceptar que los estudiantes puedan crear o desarrollar sus propios conocimientos

matemáticos. Steen (1990) resalta que los resultados producidos por las computadoras y sus

aplicaciones están cambiando profundamente la forma de desarrollar las matemáticas, la de

enseñarlas, así como la forma de aprenderlas. De aquí que sea imperativo repensar un

currículum que incluya una discusión amplia de estas formas de concebir a las matemáticas y su

manera de aprenderlas.

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Los profesores y la naturaleza de las matemáticas

Las ideas que los profesores tienen acerca de las matemáticas moldean las actividades del salón

de clases. Hersh (1986) menciona que el punto de vista de los profesores acerca de cómo se

debe desarrollar la enseñanza de las matemáticas en el salón de clases depende de lo que piensen

de la naturaleza de las matemáticas y no de lo que crean que debe ser el mejor método para

enseñar. Por ejemplo, si el profesor asume la existencia de un cuerpo fijo de conocimientos que

deben ser trasmitidos a los estudiantes, entonces su papel se asocia con la autoridad única para

presentar ese conocimiento. Thompson (1989) identifica varias formas de caracterización de las

matemáticas en los profesores; además, estas ideas frecuentemente cambian al ser implantadas en

el salón de clases. Es decir, un profesor puede caracterizar a las matemáticas como una

disciplina formal y rigorista pero presentarlas a sus estudiantes de una manera no consistente con

estos principios. Además resalta que la falta de una discusión abierta acerca de la naturaleza de

las matemáticas entre los profesores puede explicar algunas de las inconsistencias entre la forma

de conceptualizarlas y enseñarlas.

Concebir a las matemáticas como una disciplina dinámica implica reformular tanto los contenidos

como la forma de su enseñanza. Es importante reducir el énfasis de los cálculos aritméticos,

especialmente la memorización de algoritmos o fórmulas, y dar más énfasis al significado de las

operaciones, a la evaluación razonable de los resultados y a la selección de procedimientos y

estrategias adecuadas. Algunos contenidos que se consideran importantes, pero que necesitan

ser reformulados con base en una visión diferente de las matemáticas, incluyen álgebra,

geometría y medición, probabilidad y estadística, funciones, patrones y matemáticas discretas.

En relación al uso de los libros de texto, que son otra fuente de información de cómo las

matemáticas se relacionan en el salón de clases, es común encontrar profesores que usan el libro

de texto como un instrumento siguiéndolo al pie de la letra y usando las sugerencias para

presentar el contenido. Aquí la clase de matemáticas se reduce a la explicación del libro de

texto; las matemáticas son un producto acabado, escrito en forma coherentemente y pulida. Es

decir, en general el libro no exhibe los tropiezos o problemas que acompañan el desarrollo de las

ideas matemáticas. Se le recomienda al estudiante seguir la secuencia de contenido y de los

ejercicios que aparecen. El profesor y el libro de texto se convierten en autoridad para el

estudiante que le permiten determinar cuándo un resultado o un problema es correcto (Santos

Trigo 1992).

Un ejemplo que ilustra las diversas conceptualizaciones del currículum en cuanto a la naturaleza

de las matemáticas es el tipo de currículum oficial propuesto en algunos países. Algunos

modelos que han tenido mucha influencia, en el ámbito internacional, incluyen:

a. el currículum francés, el cual enfatiza el aspecto formal de las matemáticas. Diudonné, por

ejemplo, comparte que en el estudio de las matemáticas se debe adoptar una terminología y

lenguaje más precisos. Además, sugiere reemplazar la tradicional geometría euclidiana por el

estudio del álgebra lineal y, particularmente, el estudio de espacios vectoriales. Esta

tendencia curricular también se refleja en Bélgica con el trabajo de Georges Papy y en

Quebec, Canadá, con Zoltan Dienes.

b. el currículum británico, el cual le da mucha importancia a las aplicaciones de las matemáticas.

Thwartes (1972) afirma que en Inglaterra se piensa que los conceptos matemáticos deben

estudiarse gradualmente. Deben ser introducidos en un nivel intuitivo y desarrollados

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paralelamente con otras ideas intuitivas, de tal forma que los patrones y los marcos lógicos

emerjan gradualmente. Además, para que los estudiantes aprendan es necesario considerar

múltiples aplicaciones de los conceptos matemáticos.

c. el currículum norteamericano intenta asociar la resolución de problemas al aprendizaje de las

matemáticas. Un aspecto que actualmente ha permeado el desarrollo del currículum en E.U.A. y

Canadá es el impacto que ha tenido el desarrollo de las nuevas tecnologías en la educación.

Por razones de análisis es importante identificar algunos aspectos o niveles del currículum. Por

ejemplo, el currículum intentado, que se relaciona con los planes y programas oficiales

propuestos; el currículum implantado, que se caracteriza por la forma en que el maestro lo

interpreta o lo lleva a cabo en el salón de clases; y el currículum logrado que es el que

finalmente aprenden los estudiantes. La discusión de la naturaleza de las matemáticas y sus

relaciones con la enseñanza y el aprendizaje puede contribuir a la disminución de marcadas

diferencias entre estos tres niveles.

En el aspecto concreto de la enseñanza, Ernest (1989) identifica tres puntos de vista diferentes

acerca de las matemáticas:

i) las matemáticas no son un producto terminado sino una disciplina dinámica que está

avanzando constantemente y reajustándose a nuevas situaciones (el punto de vista de la

resolución de problemas);

ii) las matemáticas, son vistas como una disciplina monolítica, como un producto estático

inmutable, el cual es descubierto y no creado (el punto de vista platonista);

iii) las matemáticas son vistas como una disciplina útil que contiene un conjunto de hechos,

reglas y fórmulas que se aplican en la solución de problemas (el punto de vista instrumental).

Estas formas de conceptualizar las matemáticas conllevan diversas posiciones en relación al

aprendizaje. Es decir, un punto de vista activo de la resolución de problemas asociado con el

conocimiento matemático puede llegar a aceptar la existencia o tratar de entender los diversos

métodos y procedimientos usados por los estudiantes al resolver los problemas, mientras que un

punto de vista estático platonista o instrumentalista puede ocasionar la insistencia por parte de

los profesores por identificar sólo un método correcto para resolver cada problema. Estas

diferentes formas de presentar a las matemáticas en el salón de clases conllevan también diversas

formas de evaluación del progreso de los estudiantes. Mientras que para un punto de vista

platónico o instrumentalista un examen puede ser un indicador del progreso matemático, para

una concepción dinámica relacionada con la resolución de problemas se considera importante no

sólo las diversas soluciones que un problema pudiera tener sino también la calidad de éstas.

Además, es importante considerar las discusiones grupales que se dan en el desarrollo de la

clase.

En relación con el tipo de lecturas que se recomienda consideren los profesores de matemáticas

en su formación, se encuentran reflexiones de matemáticos como Polya (1945; 1954), Halmos

(1980), Lakatos (1976), Davis y Hersh (1981), Schoenfeld (1985), y Steen (1978; 1978; 1990).

Estas lecturas analizan el proceso de desarrollar matemáticas y pueden ser de utilidad para

entender aspectos relacionados con el aprendizaje de los estudiantes.

En resumen, conocer el desarrollo y las diversas perspectivas relacionadas con la naturaleza de

las matemáticas proporciona a los profesores elementos que les ayudan a evaluar su propia

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conceptualización de las matemáticas y relacionarla con aspectos ligados más directamente con

la práctica de desarrollar matemáticas. Esto influirá en que el tipo de decisiones que tomen en la

práctica de la enseñanza de esta disciplina sean acordes con el significado de lo que es aprender

en este campo de conocimiento.

Finalmente, la pregunta ¿qué significa el aprender matemáticas? está relacionada con el

significado o caracterizaci6n de las matemáticas. En el pasado, se aceptaba que el aprender era

básicamente una acumulación de pedazos de información en algún orden. En la actualidad esta

concepción es ampliamente cuestionada. Existe o se reconoce una tendencia de que aprender

matemáticas es hacer o desarrollar esta disciplina. Así, una persona al hacer matemáticas recoge

información, descubre o crea relaciones en el curso de una actividad con algún propósito. Es

decir, en matemáticas uno puede aprender conceptos acerca de números, cómo resolver

ecuaciones y aprender algunas definiciones; pero esto no es desarrollar matemáticas. Hacer o

desarrollar matemáticas incluye el resolver problemas, abstraer, inventar y probar relaciones.

Steen (1990) indica que la computadora, la calculadora y otros aparatos tecnológicos están

cambiando lo que significa hacer o desarrollar matemáticas. Sostiene que las matemáticas son la

ciencia de los patrones y que la tecnología provee a los matemáticos y alumnos poderosas

herramientas para examinar y elaborar patrones complejos que antes eran difíciles de tratar.

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