Latransformada de Laplacees un tipo detransformada integralfrecuentemente usada para la resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de unafuncinf(t) definida (enecuaciones diferenciales, en anlisis matemtico o enanlisis funcional) para todos losnmeros positivost 0, es la funcinF(s), definida por:

siempre y cuando la integral est definida. Cuandof(t) no es una funcin, sino unadistribucincon una singularidad en 0, la definicin es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versin unilateral. Tambin existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de LaplaceF(s) tpicamente existe para todos los nmeros realess>a, dondeaes una constante que depende del comportamiento de crecimiento def(t).es llamado eloperadorde la transformada de Laplace.

Propiedades[editar]Linealidad[editar]

Derivacin[editar].

Integracin[editar]

Dualidad[editar]

Desplazamiento de la frecuencia[editar]

Desplazamiento temporal

Nota:es lafuncin escaln unitario.Desplazamiento potencian-sima[editar]

Convolucin[editar]

Transformada de Laplace de una funcin con periodop[editar]

Condiciones de convergencia[editar](que crece ms rpido que) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que, es una funcin de orden exponencial de ngulos.Teorema del valor inicial[editar]Sea una funcinderivable a trozos y queEntonces:

es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.Teorema del valor final[editar]Seauna funcin derivable a trozos tal que.Entonces:

es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.Tabla de las transformadas de Laplace ms comunes[editar]La siguiente tabla provee la mayora de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable. Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada trmino.

Aqu est una lista de las transformadas ms comunes. En elladenota a la llamada funcin deHeavisideo funcin escaln, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia prctica.IDFuncinDominio en el tiempo

Dominio en la frecuencia

Regin de la convergenciaparasistemas causales

1retraso ideal

1aimpulso unitario

2ensima potencia retrasada y condesplazamiento en la frecuencia

2an-sima potencia

2a.1q-sima potencia

2a.2escaln unitario

2bescaln unitario con retraso

2cRampa

2dpotencia n-sima con cambio de frecuencia

2d.1amortiguacin exponencial

3convergencia exponencial

3bexponencial doble

4seno

5coseno

5bseno con fase

6seno hiperblico

7coseno hiperblico

8onda senoidal conamortiguamiento exponencial

9onda cosenoidal conamortiguamiento exponencial

10raz n-sima

11logaritmo natural

12Funcin de Besselde primer tipo,de ordenn

13Funcin de Bessel modificadade primer tipo,de ordenn

14Funcin de Besselde segundo tipo,de orden 0

15Funcin de Besselmodificadade segundo tipo,de orden 0

16Funcin de error

Notas explicativas: representa lafuncin escaln unitario. representa laDelta de Dirac. representa lafuncin gamma. es laconstante de Euler-Mascheroni. , un nmero real, tpicamente representatiempo, aunque puede representarcualquiervariable independiente. es lafrecuencia angularcompleja. ,,, ysonnmeros reales. es unnmero entero.

sistema causales un sistema donde larespuesta al impulsoh(t) es cero para todo tiempotanterior at= 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC parasistemas anticausales. Vase tambincausalidad.