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2. Construccióndealgoritmos

Unavezexplicadoslosprocesosdemodeladoyespecificacióndealgoritmos,reconocidasu importancia y la manera de formalizar entradas, salidas, pre y poscondiciones,comenzaremosatrabajarensuconstrucción.Pensemosenlasiguientesituación:invitamosaunamigoaconocernuestronuevoapartamentoperocuandonospideladirección,soloconocemoselnúmerodelatorreydelapartamento,norecordamosladirecciónexacta¿Quéhacemosentonces?¡Ledamosinstrucciones!Debemostenerencuentaqueestasinstruccionestienenqueserclarasyprecisasparaquenuestroamigonosepierdaniseequivoque.Porejemplo:“TomelarutaD21deTransmilenioqueeslamásrápida,ocualquierrutaquelollevealportaldela80;luegosaledelportal,cruzaelpuentepeatonaldelacalle80,siguedoscuadrashaciaeloccidente,volteaalaizquierda,siguetrescuadrasyllegaaunconjuntocerradodetorresgrisesyblancasde15pisos.Miapartamentoesel904delatorre8”.Noesdifícil…Sitenemosclaralainformación,¡Esposibleresolverelproblema!

Formalmente,aunconjuntoordenadoyfinitodeinstruccionesquepermitenobtener,conbaseenunconjuntodeentradas,unconjuntodesalidasquerepresentanlasoluciónalproblema,lollamaremosalgoritmo.

Ahorasabemosloquerequerimosparasolucionarunproblemadeformaorganizada:susentradasysalidas,lasprecondicionesyposcondicionesdefinidasparaesosdatosyunalgoritmoquedescriba,apartirdeinstruccionesclarasyprecisas,pasoapasoloquesedebehacerparallegaraunasolución.Siqueremosdefinirunalgoritmoenunlenguajequecualquierpersonapuedaentenderdebemostenerencuentaciertasreglas.Estasreglasyloselementosqueconstituyenunalgoritmolosiremosconociendoconeltiempo,alolargodeestecurso.¡Comencemos!

2.1 Asignación

Unalgoritmosecomponedeunconjuntodeinstruccionesquedebenserrealizadasordenadamente,conelobjetivodedarsoluciónaunproblema.Laprimeraformaque

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definiremosparaunainstruccióneslaasignación,quesebasaenasignar,comosunombrelodice,unvalorespecíficoaunavariable.Estevalorpuedeserunavariable,unaconstante,oengeneral,unaexpresión.Conlaasignaciónloquesepretendeesalmacenarunresultadoenunavariable.Cuandodefinamosasignaciones,loharemosdelasiguientemanera(Paraunadefiniciónmásformalconsultalalectura3deestasemana):<Variable>←<Expresión>

Veamosalgunosejemplosdeasignaciones:Tabla1.Ejemplosdeasignaciones

Asignación ¿Quépuederepresentar?V←15/2 Elcálculodeunavelocidad,basadaenvaloresdadosdedistanciaytiempo

A←π*R*R Eláreadeuncírculo

P←2*π*R Lalongituddeunacircunferencia

V←π*R*R*h Elvolumendeuncilindro

Alconstruirinstruccionesenformadeasignacionesdebemostenerencuentaquelasexpresionesinvolucradasesténestructuradascorrectamente.

Engeneral,unaexpresiónpuedeestarmalformadasi:

• Contieneerroresrelacionadosconlasintaxisoelordendelossímbolosusados.Porejemplo,laexpresión5+<4estámalformada,dadoquepararealizarcualquieradelasdosoperaciones,serequierendosoperandos.

• Contieneoperacionesquenotienensentidoonorespetanlasreglasmatemáticasimplicadas.Porejemplo5/(8–4*2)implicaquesehagaunadivisiónporcero,locualnotienevalidez.

• Contieneoperacionesquenosepuedenaplicaraltipodedatodelosoperandosimplicados.Porejemplo,noesposibleevaluar57Y85nilaexpresiónV+F*3.

Podemosentonces,definirlasinstruccionesdeunalgoritmoconbaseenunconjuntodeasignaciones.Veamosunejemplo:Sequierecalcularelvolumendeaguaquepuedeseralmacenadoen18vasoscilíndricos,dadoselradiodesubaseysualtura.

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Entonces,loprimeroquedebemoshacereselprocesodemodeladoquesebasaenlaidentificacióndeentradasysalidas.Podemosdecirquerequerimosdedosvariablesdeentrada,quesonlabaseylaalturadelvasoyobtendremosunasalidaqueeselvalordelvolumen.Luego,identificamoslaspreyposcondicionesquehablaríandelosvaloresconloscualestendríasentidosolucionarelproblema.Finalmente,pasamosadefinirelalgoritmoquenospermiteobtenerunasolución,quesefundamentaríaenelcálculodelvolumendeunodelosvasosysuposteriormultiplicaciónpor18.Unaveztengamosestainformaciónrequeridadebemosdocumentarlamejor.Entremásclaridadtengamosenladefinicióndelproblemaydelalgoritmo,mejoresymásprecisosseránlosresultadosobtenidos.

Unalgoritmobiendefinidopermiteque,dadounconjuntodedatosdeentradaquecumplelasprecondiciones,sesigueninstruccionesquepermitenhallarunconjuntodesalidasquedebencumplirlasposcondicionesdefinidas.

2.2 Estructuraformaldeunalgoritmo

Sijuntamoslosprocesosdemodelado,especificaciónyconstruccióndealgoritmos(conbaseenasignacionescomolohemosvisto)podemosdefinirunaformageneralparaescribirunalgoritmo.Veamos:

Tabla2.Estructuradeunalgoritmo

Algoritmo<Nombre del algoritmo> Unnombrequeindiqueloquepretendemoshacerconestealgoritmo

Entradas Variablesdeentrada

Pre:{…} Condicionesparalasvariablesdeentrada

Inicio Iniciodelalgoritmo Paso 1 Paso 2 . . . Paso n

Cadapasooinstruccióninvolucradaenlasolucióndelproblema

Fin Findelalgoritmo

Salidas Variablesdesalidas

Pos:{…} Condicionesquedeberáncumplirlassalida

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Yparaelejemplovistoantes,ladefiniciónpodríaserlasiguiente:

Tabla3.Ejemplosdealgoritmodeacuerdoconlaestructura

AlgoritmoVolumenDelCilindroEntradas radio, altura: RealPre:{radio>0 Y altura>0 }InicioVariables v: Real v ← π*radio*radio*altura volumen ← 18 * vFinSalidas volumen: RealPos:{volumen > 0}Cuando definimos algoritmos de esta forma, obtenemos lo que llamaremospseudocódigo, lenguaje que no es demasiado formal y está definido para describir deformasencilla,claraeindependientedeunlenguajedeprogramación,instruccionesquesedebenrealizarparaobtenerelresultadodeunproblema.Másadelanteveremosqueessencillopasardeestepseudocódigoallenguajedeprogramaciónenelquetrabajaremos.

2.2.1 Unejemplo

Muchasveceslosprocesosdemodeladoyespecificaciónrequierenuntrabajoadicionalparaidentificaryposteriormenteconstruirunalgoritmo.Veamosunejemploaúnmásinteresante:

Serequierecalculareláreadecadatriánguloconstruidoaltrazarlíneasdeunpuntodecoordenadas(x,y)alostresvértices{(0,0), (w,0) y (w,h)}deuntriánguloubicadoenelprimercuadrantedelplanocartesiano,comolomuestralagráfica.Elpunto(x,y)debeestardentrooenelbordedeltriángulo.

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Gráfica1.Informacióndelproblema

ModeladoEntradas:x, y, w, h: Real Dadoquerequerimoslainformacióndelascoordenadasdelpuntoydelosvaloresdewyhparaconocerlascoordenadasdelosvértices.

Salidas:a1,a2,a3: RealDadoqueelalgoritmodebecalculareláreadecadatriángulo.EspecificaciónPrecondiciones:

1. Queeltriánguloestéenelprimercuadrante

Paratalfin,debemosdefinirqueelpuntodecoordenadas(w,h)estéenelprimercuadrante;formalmente:{w>0 Y h>0}.Elpunto(0,0)sedescarta,dadoqueobtendríamosuntriángulodeáreacero.

2. Queelpuntodecoordenadas(x,y)estédentrodeltriángulo

Debemosdefinirprecondicionessimilaresalasdelpuntoanterior,peroesnecesariotenerencuentamásfactoresdadoquedebemoslimitarelpuntodentrodeunáreamáspequeña.Comencemosconx:{x >= 0 Y x <= w};paray,ademásdeverificarqueseencuentreenelintervalo[0,h]debemosverificarqueseencuentredebajoosobrelahipotenusadeltriángulo.Podemosdefinirestasprecondicioneshallandolaecuacióndelarectaquerepresentalahipotenusaparaconocerlaalturaquedeberíatenerlacoordenada,comolomuestralasiguientefigura:

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Gráfica2.Representacióndelacondiciónaverificar

Laecuacióngeneraldelarectaesy=mx+b,dondemeslapendientedelarectayequivaleah/w.Comob,elinterceptoconelejeverticalescero,podemosignorarla,ypodemosescribirloquenosinteresa:lacoordenadaydebesermayoroigualqueceroymenoroigualquelaalturadelarectaenelpuntox.Estoes:{y>=0 Y y<=(h/w)*x}.Simplementereescribimosmcomo(h/w).

Poscondiciones:

1. Elvalordecadaáreadebesermayorquecero,dadoquenotienesentidounáreanegativaycomowyhsonmayoresquecero,nodeberáserposibleobteneráreasnulas.Estoes:{a1>0 Y a2>0 Y a3>0}.

2. Lasumadelasáreasdebeserigualaláreatotaldeltriángulo.Estoes:{a1 + a2 + a3 = w*h/2},calculandoeláreadeltriángulocompletoconlafórmula.

Conlainformacióndefinida,podemosescribirelalgoritmodelasiguienteforma:

Tabla4.Algoritmodesolucióndelproblema

AlgoritmoÁreas

Entradas x,y,w,h: Real

Pre: {w>0 Y h>0 Y x>=0 Y x<=w Y y>=0 Y y<=(h/w)*x}Inicio a1←w*y/2 a2←h*(w-x)/2 a3←w*h/2-a1-a2

a1ya2secalculanconlafórmulageneral,a3secalculacomoladiferenciaentreeláreatotalyla

sumadelasáreaspreviamentecalculadas.

Fin

Salidas a1,a2,a3: Real

Pos:{a1>0 Y a2>0 Y a3>0 Y a1+a2+a3 = w*h/2}

Parafinalizar,verifiquemoselalgoritmoconalgunosvalores.

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Dadoslosvaloresdelasvariablesdeentradax=-15, y=18, w=30, h=24los

reemplazamosenlaexpresiónquedescribelasprecondicionesysilasentradassonválidas,laexpresióndebeserverdadera,enotrocaso,seráfalsa.Veamos:

Dado{w>0 Y h>0 Y x>=0 Y x<=w Y y>=0 Y y<=(h/w)*x},reemplazamos:30>0 Y 24>0 Y -15>0 Y -15<=30 Y 18>=0 Y 18<=(24/30)*-15 V Y V Y F Y V Y V Y 18<=-12 V Y V Y F Y V Y V Y V F Larespuestaesfalsadadoqueelvalordexesnegativo.Enestecasoesimportantenotarquelosvaloresdeentradadefinidos,correspondenaunproblemadistintoalquesepretendesolucionar,porlotantonotienesentidocalcularsusoluciónbajoelesquemadefinido.

Parax=10, y=5, w=-3, h=4Dado{w>0 Y h>0 Y x>=0 Y x<=w Y y>=0 Y y<=(h/w)*x},reemplazamos:-3>0 Y 4>0 Y 10>=0 Y 10<=-3 Y 5>=0 Y 5<=(4/-3)*10 F Y V Y V Y V Y V Y 5<=-13.3 F Y V Y V Y V Y V Y V F Larespuestaesfalsadadoqueelvalordewesnegativo.

Parax=1, y=4, w=8, h=5Dado{w>0 Y h>0 Y x>=0 Y x<=w Y y>=0 Y y<=(h/w)*x},reemplazamos:8>0 Y 5>0 Y 1>=0 Y 1<=8 Y 4>=0 Y 4<=(5/8)*1 V Y V Y V Y V Y V Y 4<=0.625 V Y V Y V Y V Y V Y F F Larespuestaesfalsadadoqueelvalordeelpunto(x,y),apesardecumplirlamayoríadelasprecondiciones,estáporencimadelahipotenusa.

Parax=5, y=3, w=10, h=8Dado{w>0 Y h>0 Y x>=0 Y x<=w Y y>=0 Y y<=(h/w)*x},reemplazamos:10>0 Y 8>0 Y 5>=0 Y 5<=10 Y 3>=0 Y 3<=(8/10)*5 V Y V Y V Y V Y V Y 3<=4 V Enestecasolarespuestaesverdaderaypodemosejecutarelalgoritmo.

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a1←w*y/2 a1←10*3/2

a1←15 a2←h*(w-x)/2

a2←8*(10-5)/2 a2←20

a3←w*h/2-a1-a2

a3←10*8/2–15-20 a3←5

Ahora,conestosvaloresseverificanlasposcondiciones:Dado{a1>0 Y a2>0 Y a3>0 Y a1+a2+a3 = w*h/2},reemplazamos: a1>0 Y a2>0 Y a3>0 Y a1+a2+a3 = w*h/2 15>0 Y 20>0 Y 5>0 Y 15+20+5 = 10*8/2 V Y V Y V Y 40 = 40 V Y V Y V Y V V Larespuestahalladaesválida.

EnresumenParalograrlaconstruccióndeunbuenalgoritmoesnecesariotenerencuentaladefinicióncorrectayclaradeentradasysalidas,ydelascondicionesquedefinenquedichosvaloressonválidos(precondicionesaplicadasalasentradasyposcondicionesaplicadasalassalidas).Dichascondicionesserepresentanmedianteexpresionesbooleanasquedeberánserverdaderasalreemplazarlosdatos.Elprimerelementoquenospermiteconstruiralgoritmoseslaasignación.Mediantesuusobuscamosasignarvalores(quepuedenserconstantes,variablesoengeneral,expresiones)avariablesespecíficas.

Paratenerencuenta:• Verificarenpapellasolucióndelalgoritmo“Áreas”paravariosconjuntosdevariables

deentrada.Verificargráficamentequelosvaloreshalladostengansentido.

• Verificarlaconstrucción,basándoseenlasgráficas,delasasignacionesquecalculaneláreadecadatriánguloindependiente.

• Sinnecesidaddetenerencuentalosvaloresdea1ya2,¿Cómopodríacalcularsea3?