LEY DE COULOMB

PAGE 16Fsica IIIClase n 1

Gua de estudio Clase 1 U1Antes de la 2da clase de Fsica III, es decir, durante la 1ra semana de clases, se recomienda:

1) Estudiar alguno de los siguientes captulos de los siguientes libros:

a) Captulo 21 (Carga elctrica y campo elctrico) del volumen 2 de Fsica Universitaria de Young, Freedman, Sears, Zemansky (El Sears)

b) Captulo 25 (Carga elctrica y Ley de Coulomb) del volumen 2 de Fsica de Resnick, Halliday, Krane (El Resnick)2) Resolver n > 2 problemas de la gua de la U1. Algunos problemas sern explicados en la clase 1, otros estn explicados en el documento U1 Problemas 9 10 y 11 explicados que se puede encontrar en el websia. Cada alumno debe intentar resolver por lo menos 3 problemas de la gua adems de estos.3) Si el estudio de los captulos sugeridos en (1) resulta demasiado extenso para una semana, en su lugar se puede:

a) Repasar completa la clase 1 de la U1

b) Estudiar el siguiente apunte sobre Ley de Coulomb

Por supuesto las actividades 1(a), 1 (b), 2, 3 (a) y 3(b) no son excluyentes. Por ejemplo, se puede:

Estudiar el captulo 25 del Resnick

+ el apunte sobre Ley de Coulomb + resolver, por ejemplo, 6 problemas de la gua

La ley de Coulomb

El cientfico francs Charles Coulomb formul en 1878 la ley que lleva su nombre. Coulomb investig la magnitud de la fuerza de interaccin entre pequeas esferas cargadas elctricamente. En aquella poca nada se saba acerca de la constitucin interna de los tomos y para la mayora de los cientficos la existencia de los mismos era slo una hiptesis. Pero lo que si se conoca era que en condiciones especiales ciertos cuerpos experimentaban fuerzas de atraccin o de repulsin sin necesidad de estar en contacto. Las otras fuerzas de ese tipo que se conocan eran la gravedad que siempre es atractiva, y las fuerzas entre imanes. Pero stas ltimas slo se ponan de manifiesto entre cuerpos de ciertos materiales especiales, fundamentalmente hierro y otros minerales que contenan hierro (magnetita).

Pero las fuerzas elctricas se producan entre cuerpos de una gran diversidad de materiales. En la poca de Coulomb, la investigacin acerca de este tipo de fuerzas haba conducido a los cientficos a la elaboracin de una sencilla teora que se basaba fundamentalmente en las siguientes ideas fundamentales:

Existen dos tipos de carga elctrica: la positiva y la negativa

Las cargas elctricas del mismo signo se repelen, y las cargas de signos opuestos se atraen

La carga elctrica no puede ser creada ni destruida. Slo es posible trasferirla de un cuerpo a otro. Esta idea se conoce como Principio de conservacin de la carga elctrica y su enunciado formal es el siguiente: En un sistema elctricamente aislado, la suma algebraica de las cargas elctricas positivas y negativas es constante. Respecto al comportamiento elctrico existen dos tipos de materiales. Lo conductores en los que la carga elctrica se puede mover con facilidad, puede fluir, es decir trasladarse por todo el material. Los aislantes o dielctricos que se pueden cargar pero la carga queda localizada en cierta regin del material. La carga no puede fluir por ellos.

Este era el estado del conocimiento terico acerca de la electricidad en la segunda mitad del siglo dieciocho. Debemos aclarar tambin que las cargas elctricas, tanto la positiva como la negativa eran consideradas como cierta clase fluidos.

Qu agreg Coulomb a todo este conocimiento? l descubri que las fuerzas elctricas tanto de atraccin como de repulsin son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que separa a los cuerpos cargados, si estos son esfricos o de pequeas dimensiones comparados con la distancia que los separa. Adems la direccin de dicha fuerza coincide con la de la recta que une a ambos cuerpos.

Podemos apreciar en la figura, un esquema con tres situaciones distintas con la misma pareja de cargas. En el primer caso las cargas estn separadas cierta distancia d y se repelen con una fuerza de intensidad F. Cuando las mismas cargas estn separadas el doble de distancia la fuerza se reduce a la cuarta parte. Si las mismas cargas se separan a una distancia 3d entonces ahora la fuerza es F/9.

Adems, ley de Coulomb, determina una manera de definir cuantitativamente el concepto de carga elctrica. Suponiendo que los dos cuerpos tengan la misma carga, midiendo la distancia entre ellos y la fuerza con que se repelen se puede definir la carga elctrica en funcin de estas dos magnitudes conocidas.

Vamos a plantear ahora la expresin matemtica de la ley de Coulomb que incluye todos los aspectos mencionados hasta ahora:

En esta frmula q1 y q2 son los valores de las cargas de los dos cuerpos que interactan elctricamente. La distancia de separacin entre ellos se ha designado como r12. es la fuerza (magnitud vectorial) que la carga q1 ejerce sobre la carga q2. Esta fuerza tiene la direccin y el sentido representada por el versor (vector unitario) . Estas magnitudes, incluidas en la frmula de la ley de Coulomb, se muestran en la figura 5.

Qu significa la k que est multiplicando el segundo miembro de la igualdad?

Si se eligen las unidades en que se deben expresar la distancia de separacin entre las cargas y la fuerza entre ellas, se puede definir la unidad de carga elctrica de manera que k = 1. Pero en el sistema internacional de unidades la unidad de fuerza debe ser el Newton y el metro como unidad de distancia. Tambin se elige como unidad de carga el Coulomb y por lo tanto experimentalmente se determina que k debe valer:

Ley de COULOMB: La fuerza de atraccin o de repulsin entre dos cargas elctricas puntuales es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La direccin de dicha fuerza coincide con la recta que pasa por los dos puntos de carga. El sentido es de atraccin si ambas cargas son de diferente signo y de repulsin cuando ambas cargas son del mismo tipo (igual signo)

El valor de las cargas se designa con q y se expresa en la unidad Coulomb que se abrevia C (En el sistema internacional S.I de unidades. MKS). La distancia entre las dos cargas puntuales se designa con r y se expresa en metros. La constante de proporcionalidad tiene un valor que se determina experimentalmente y deben ser las que correspondan para que la fuerza quede expresada en Newton:

Para que quede claramente expresado el carcter vectorial de la fuerza, conviene escribir la frmula incluyendo un versor (vector unitario) que indique la direccin de la fuerza. Este versor se puede representar como el cociente entre el vector, que tiene su origen en una carga y su extremo en la otra, y el mdulo de dicho vector. Este mdulo es simplemente la distancia entre los dos puntos. Este cociente siempre tendr mdulo igual a 1 (sin unidades)

Ejemplo explicado: Cmo se calcula la fuerza entre dos cargas utilizando la ley de Coulomb?

Supongamos que una pequea esfera est ubicada en el origen de coordenadas y su carga es q1 = 3(10-6 C. Otra pequea esfera est ubicada en la posicin (0; 4 cm; 3 cm) y su carga es q2 = 7,2(10-6 C. Determinar la fuerza que q1 ejerce sobre q2

Comenzamos por hacer un buen esquema que represente a la situacin que se describe en el enunciado.

Debemos tener en cuenta que la fuerza es una magnitud vectorial y por lo tanto tenemos que determinar su mdulo, direccin y sentido. Para realizar el clculo completo necesitamos expresar el versor que figura en la ley de Coulomb en funcin de sus componentes cartesianas.

Recordemos que un versor es un vector unitario que permite definir una direccin y un sentido. Para ello debe cumplir con las siguientes propiedades: a) Su mdulo debe ser 1 b) No debe tener unidades.

En nuestro caso debe tener la direccin determinada por la recta que pasa por las posiciones ocupadas por ambas cargas. Su sentido debe estar orientado desde el origen (desde q1) hacia el punto (0; 4 cm; 3 cm) que es la posicin de q2.

Ya estamos en condiciones de aplicar la frmula correspondiente a la ley de Coulomb:

Este resultado se puede interpretar de dos maneras equivalentes:

La fuerza que q1 ejerce sobre q2 tiene dos componentes: Una componente horizontal (paralela al eje y) cuyo valor es de 103,68 N y una componente vertical (paralela al eje z) cuyo valor es de 77,76 N.

La fuerza que q1 ejerce sobre q2 tiene una intensidad (mdulo) igual a 129,6 N y una direccin y sentido determinada por el versor . Esto es lo mismo que decir que la direccin de dicha fuerza forma con el eje y un ngulo determinado por . Es decir

El campo elctricoEl campo elctrico es una magnitud vectorial que se utiliza para la descripcin matemtica de las interacciones elctricas. La fuerza dada por la ley de Coulomb nos proporciona el mdulo, la direccin y el sentido de dichas interacciones. Por qu es necesario definir una nueva magnitud, el campo elctrico, que aparentemente cumple la misma funcin que el concepto de fuerza?

En primer lugar debemos destacar que la fuerza electrosttica entre cuerpos cargados es una interaccin a distancia. Esto quiere decir que este tipo de fuerza no requiere que haya contacto entre los cuerpos cargados que se atraen o se repelen y que tampoco es necesario que exista un vnculo material entre ellos. La fuerza gravitatoria tambin es una interaccin a distancia. Por ello tambin existe el concepto de campo gravitatorio.

Vamos a definir el campo elctrico utilizando como ejemplo un caso particular: El campo elctrico originado por una carga puntual. Supongamos que en algn punto del espacio hay una pequea esfera cargada. Elegimos el caso en que su carga Q es negativa.

En algn otro punto del espacio colocamos otra carga qo, que denominaremos carga de prueba o carga exploradora, en este caso de signo positivo. Estas dos cargas se atraen y por lo tanto existe una fuerza que Q ejerce sobre la carga de prueba qo y tambin existe otra fuerza, de igual mdulo, de igual direccin y sentido opuesto, que la carga de prueba ejerce sobre Q.

A partir de ahora concentraremos nuestra atencin slo en la primera de estas fuerzas. Se entiende que esta fuerza tiene direccin radial, si tomamos como centro a la carga Q, y su sentido apunta hacia Q, por ser sta negativa. El mdulo de dicha fuerza es inversamente proporcional a la distancia entre Q y el punto donde ubiquemos a la carga de prueba. En la figura se muestran los vectores que representan a dichas fuerzas para distintas posiciones de la carga de prueba indicada con(, mientras que la carga Q, productora del campo est representada con una esfera gris sombreada. Observemos que para iguales distancias el mdulo de la fuerza es el mismo. Es decir:

Vamos a definir ahora el campo elctrico. Esta magnitud es vectorial de igual direccin y sentido que la fuerza que acta sobre la carga de prueba y cuyo mdulo es igual al cociente entre el mdulo de la fuerza y el valor de la carga de prueba. En smbolos:

Prestemos atencin a lo siguiente. El campo elctrico se define como el cociente entre una magnitud vectorial y una magnitud escalar, entonces la direccin del vector es la misma que la del vector . Pero como, por convencin se adopta que la carga de prueba sea siempre positiva, el sentido del vector tambin ser el mismo que el sentido del vector . El mdulo de ser el cociente entre el mdulo de y el valor de la carga de prueba qo. Es decir:

Entonces el campo elctrico es una magnitud que resulta independiente del valor de la carga de prueba. El campo ser funcin del valor de la carga productora del campo Q y de las coordenadas del punto del espacio. A la posicin donde est ubicada la carga productora Q se la denomina punto fuente. A todo punto del espacio donde exista , independientemente de la presencia en ese lugar de una carga de prueba, se lo denomina punto campo.

Si quitamos la carga de prueba de todas las posiciones indicadas en la figura anterior, la carga Q ya no puede estar ejerciendo ninguna fuerza, pero sin embargo produce (o provoca) en cada uno de los puntos del espacio la existencia de una magnitud fsica llamada campo elctrico que se representa en la figura.

Esta figura y la figura anterior, donde estn graficadas las fuerzas, son muy parecidas. Pero antes haba en ciertos puntos cargas de prueba y sobre estas cargas actuaban fuerzas. Ahora las cargas de prueba ya no estn y el esquema no muestra ninguna fuerza.

Para pensar

Dos estudiantes, Matas y Florencia, que han estudiado el texto El campo elctrico mantienen el siguiente dilogo:

M: Es evidente que el campo elctrico es inversamente proporcional a la carga de prueba ya que est en el denominador de la frmula.

F: Sin embargo, en el texto dice claramente que el valor del campo elctrico no depende del valor de la carga de prueba.

M: No puede ser. Leste mal. La frmula est muy clara:

F: Yo no le mal. Dice exactamente as: Entonces el campo elctrico es una magnitud que resulta independiente del valor de la carga de prueba. El campo ser funcin del valor de la carga productora del campo Q y de las coordenadas del punto del espacio

Cmo podras ayudar a Matas y a Florencia a salir de su confusin?

Definicin de campo elctrico

Hemos definido una magnitud vectorial, como la fuerza, pero que no depende de la presencia de una carga en el punto del espacio. Supongamos que en una posicin del espacio hay una carga puntual Q. A dicho punto que lo designamos con las coordenadas primadas lo llamaremos punto fuente del campo elctrico. Con esto queremos decir que la carga Q ubicada en ese punto produce o provoca la existencia del campo elctrico.

Supongamos que en otro punto cualquiera del espacio , que llamaremos punto campo, hay una carga puntual que llamaremos carga de prueba o carga exploradora qo (por convencin positiva) Utilizando la ley de Coulomb calculamos la fuerza que la carga Q ejerce sobre la carga qo, que se puede expresar de diferentes maneras, como vemos a continuacin:

La fuerza que la carga Q, productora del campo, ubicada en el punto fuente, ejerce sobre la carga de prueba qo depende del valor de ambas cargas, de las coordenadas del punto fuente y de las coordenadas del punto campo . En esta figura estamos suponiendo que la carga Q es positiva.Se define como campo elctrico a la magnitud vectorial que resulta de dividir esta fuerza (magnitud vectorial) por el valor de la carga de prueba positiva qo (magnitud escalar). De este modo el campo elctrico resulta independiente del valor de qo y es una funcin de las coordenadas del punto campo. Dicho de otro modo es una propiedad del espacio. Es decir, el espacio se ve afectado o modificado por la presencia de una carga Q

Si la carga Q se encuentra en el origen de coordenadas, podemos ver con claridad que el campo elctrico en cualquier punto del espacio es un vector cuyo mdulo es directamente proporcional al valor de Q, inversamente proporcional a la distancia r entre el punto campo y el origen, La direccin de dicho vector coincidir con la del versor radial (en coordenadas esfricas) Su sentido depender de si la carga Q es positiva o negativa.

Esta frmula expresa el vector campo elctrico en un punto del espacio producido por una carga puntual ubicada en el origen de coordenadas. Es el resultado de la combinacin de la ley de Coulomb y de la definicin de campo elctrico.

Se puede expresar en coordenadas cartesianas, haciendo explcita la dependencia de las coordenadas x, y, z:

Si la carga Q es positiva, el campo tiene el sentido indicado en la figura. Si la carga Q es negativa, tiene el sentido opuesto. Apunta hacia la carga Q.

La constante kPor razones que se explicaran ms adelante, es usual que la constante de proporcionalidad de la ley de Coulomb se exprese en funcin de la constante universal o, conocida como permitividad del vaco. Su valor es:

La constante k, se expresa habitualmente como:

La frmula del campo elctrico producido por una carga puntual queda entonces de la siguiente manera:

No parece cmodo expresar la constante de una frmula en funcin de otras tres constantes. Las ventajas de hacer esto as se vern ms adelante. Por ahora slo diremos lo siguiente: si escribimos la frmula as: se puede apreciar que el campo es proporcional a la carga que lo produce Q e inversamente proporcional al rea de una esfera, 4r2, centrada en dicha carga. Adems el mdulo del campo tiene el mismo valor en todos los puntos ubicados sobre esa superficie esfrica. Si tomamos una esfera mayor (es decir, nos ubicamos a mayor distancia r de la carga Q) el mdulo del campo ser menor.

Otra manera de decir esto mismo: Para una carga puntual Q, el producto del mdulo del campo elctrico en un punto de una superficie esfrica centrada en la carga, por el rea de esa esfera es una constante independiente del radio de la esfera pero proporcional al valor de la carga ubicada en el centro. En efecto, vemos que:

Campo elctrico producido por un conjunto de cargas puntuales Si queremos determinar el campo elctrico en un punto del espacio producido por un conjunto de cargas puntuales, podemos recurrir al principio de superposicin. Como la relacin entre el campo y la carga que lo provoca es lineal, podemos calcular el campo que produce una carga qi independientemente de la presencia de las dems cargas. Luego podemos repetir el procedimiento para las dems cargas y finalmente debemos realizar la superposicin, que en este caso es la suma vectorial de los campos Ei calculados.

Para mayor claridad supongamos que tenemos 4 cargas ubicadas en el plano xy y queremos calcular el campo en un punto de dicho plano.

Aplicamos para cada carga en forma independiente de la presencia de las otras la frmula del campo de una carga puntual.

El campo en el punto sealado por el vector posicin se obtiene sumando vectorialmente los cuatro vectores.

En general, para este caso, o para cualquier otro con N cargas ubicadas en el espacio:

El campo elctrico producido por dos cargas o ms

Si en un lugar de una sola carga productora de campo tenemos varias, el campo elctrico en un punto del espacio ser la suma vectorial de los campos que cada una de las cargas produce como si la otra no estuviera. Este resultado es otra aplicacin del principio de superposicin. Vamos a aclarar su significado desarrollando un ejemplo explicado

Ejemplo explicado: Dos cargas Q1 = (5(10(12 C y Q2 = 5(10(12 C estn fijas separadas por una distancia de 8 centmetros. Determinar el campo elctrico en los puntos A, B y C

Comenzamos por determinar el campo en el punto B producido por la carga Q1 . Para ello suponemos que en B colocamos una carga de prueba qo de valor arbitrario y aplicamos la ley de Coulomb:

Por lo tanto el campo en B, producido por la carga Q1 , lo obtenemos aplicando la definicin de campo elctrico:

Como ya sabemos el campo en el punto B, producido por la carga Q1 , slo depende del valor de dicha carga y de las coordenadas del punto B. Su valor es independiente del valor de la carga de prueba. El mdulo del vector cuyo origen es la carga y cuyo extremo es el punto B, lo obtenemos aplicando el teorema de Pitgoras:

Expresamos el versor (vector unitario que indica una direccin y un sentido):

Ya tenemos todos los elemento necesarios para calcular el campo en B, producido por la carga Q1 :

Este resultado se puede expresar de dos maneras.

El campo elctrico que la carga Q1 produce en el punto B tiene un mdulo de 4.5 N/C y forma un ngulo con el eje x aproximadamente igual a 143 o +217.

El campo elctrico que la carga Q1 produce en el punto B es un vector que tiene una componente en x que vale 3.6 N/C y una componente en y que vale 2.7 N/C

Ahora, en forma resumida, repetimos todo el procedimiento para calcular el campo elctrico que en el punto B produce la carga Q2.

Hemos calculado , el campo que Q1 produce en B sin tener en cuenta la presencia de la carga Q2. Luego calculamos el campo que Q2 produce en B, , sin tener en cuenta la presencia de la carga Q1. El campo elctrico en B es la superposicin de estos dos campos. Como se trata de magnitudes vectoriales lo que debemos hacer es la suma vectorial de y :

La aplicacin del principio de superposicin se puede ilustrar grficamente. Dibujamos el campo en B producido por Q1 y el campo en B producido por Q2 y luego realizamos la suma vectorial

Dejamos como tarea para los estudiantes la determinacin del campo elctrico en los puntos A y C.

Lneas de campo

Existe una forma muy til de representacin visual del campo elctrico. Para ello se utilizan las lneas de campo, tambin llamadas lneas de fuerza.

En el caso de una carga negativa puntual el mapa de lneas de campo es el que se muestra en la figura. Las lneas de campo son radiales. Nacen en el infinito y finalizan sobre la carga negativa. El vector campo elctrico en cada punto del espacio tiene la misma direccin y sentido que la lnea de campo que pasa por dicho punto.

En la figura mostramos las lneas de campo para el caso de una carga puntual positiva. El mapa es anlogo al que corresponde a una carga puntual negativa, pero en este caso las lneas nacen en la carga positiva y no tienen fin. Es decir se dirigen hacia el infinito.

En las figuras siguientes mostramos otros casos ms complicados donde las lneas de campo no son rectas. A la derecha podemos observar el caso de dos cargas de igual valor absoluto separadas por una distancia (dipolo elctrico). El mapa nos muestra lneas de campo que salen de la carga positiva y terminan sobre la carga negativa. A la izquierda podemos apreciar el mapa de lneas de campo de dos cargas de igual signo.

En la prxima figura vemos otros mapas de lneas de campo para conjuntos de dos cargas de distinto valor y/o de distinto signo. Como se puede apreciar estos mapas ya no tienen la simetra de los de la figura anterior.

Hasta aqu hemos mostrado lneas de campo para distintas configuraciones de carga. Qu es lo que nos muestran estas lneas? Por qu tambin se las denomina lneas de fuerza?

La propiedad fundamental que define a estas lneas es la siguiente:

El vector campo elctrico en un punto del espacio tiene siempre direccin tangente a la lnea de campo que pasa por dicho punto. El sentido del vector campo elctrico es el mismo que el de la lnea correspondiente.

En base a esta definicin se pueden deducir todas las propiedades de las lneas de campo:

Una lnea de campo comienza en una carga positiva o no tiene comienzo (viene desde el infinito). Las cargas positivas son fuentes de lneas de campo.

Una lnea de campo termina en una carga negativa o no tiene fin (se dirige hacia el infinito). Las cargas negativas son sumideros de lneas de campo.

Si una carga puntual se coloca en un punto del espacio donde existe campo elctrico, sobre dicha carga acta una fuerza que es tangente a la lnea de campo. Su sentido coincide con la de la lnea si la carga puntual es positiva. El sentido de la fuerza es opuesto al de la lnea si la carga es negativa.

Las lneas de campo son continuas en las regiones donde no hay cargas. Slo son discontinuas en los puntos donde hay cargas.

Las lneas de campo no se pueden cruzar.

La densidad de lneas en una regin del espacio es proporcional a la intensidad (mdulo) del campo elctrico en dicha regin.

Para aprender ms sobre lneas de campo, experimentando en forma virtual, te recomendamos visitar los siguientes sitios:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo/intro.htmhttp://www.cco.caltech.edu/~phys1/java/phys1/EField/EField.htmlCampo elctrico uniforme

Un caso especial por su sencillez y por sus aplicaciones prcticas es el de un campo elctrico que tiene el mismo mdulo, la misma direccin y el mismo sentido en todos los puntos de una regin determinada. En este caso las lneas de campo deben ser paralelas ya que el campo debe tener la misma direccin en todos los puntos. Adems deben estar igualmente espaciadas ya que la densidad de lneas debe ser uniforme para representar que el mdulo del campo no cambia de un punto a otro.

La realizacin prctica de un campo con estas caractersticas se puede lograr, en forma aproximada, cargando dos superficies planas enfrentadas con cargas iguales y de signo opuesto uniformemente distribuidas. Si una partcula cargada se encuentra dentro de una regin donde hay un campo elctrico uniforme experimenta una fuerza que se mantendr constante mientras la partcula permanezca en dicha regin. Si la partcula tiene carga positiva la fuerza sobre ella originada por las placas cargadas tiene la misma direccin y sentido que el campo. Si la carga es negativa la fuerza tendr sentido opuesto.

En el primer caso el campo tender a llevar la partcula hacia la placa negativa. En el segundo caso el campo intentar arrastrar a la partcula hacia la placa positiva.

Campo elctrico producido por una distribucin continua de cargasSi tenemos que calcular el campo elctrico en un punto del espacio provocado por un cuerpo cargado, en principio, podramos proceder del siguiente modo. Dividimos a todo el cuerpo en una gran cantidad N de pedacitos. Cada uno de ellos tendr una pequea parte de la carga total del cuerpo. Calculamos el campo producido por cada pedacito como si fuera una carga puntual. Esto lo hacemos para cada uno de esos elementos de carga. Es decir N veces. Luego sumamos vectorialmente estos N vectores E y obtenemos el campo que buscamos usando la frmula que ya vimos:

Bueno, esto es fcil de decir pero seguramente resultar demasiado laborioso para hacer.

Vamos a tratar de mejorar este mtodo. En primer lugar hacemos que el nmero de elementos de carga sea muy grande. Es decir que N ( (. Por lo tanto cada pedacito ahora se convierte en una porcin infinitesimal de carga dq. La suma finita se transforma en una suma infinita. Es decir, en una integral. La posicin de cada uno de los elementos infinitesimales (puntuales) de carga la indicamos con un vector posicin variable . Las coordenadas x`, y` y z` deben recorrer toda la distribucin de carga. Son los infinitos puntos fuente. El punto donde queremos calcular el campo es fijo y est indicado por el vector posicin: , donde x, y y z son las coordenadas de dicho punto campo. Entonces:

Si la carga est distribuida en un volumen definimos la densidad volumtrica de carga en Coulomb/m3: , por lo tanto y

(Integral de volumen)Si la carga est distribuida en una superficie (dos dimensiones), definimos la densidad superficial, en Coulomb/m2, de carga , por lo tanto y entonces

(Integral de superficie)Si la distribucin de carga es unidimensional (lnea de carga), definimos la densidad longitudinal de carga, carga por unidad de longitud, en Coulomb/m, ; por lo tanto cada elemento infinitesimal de carga se expresar como: , entonces

(Integral de lnea o curvilnea)

Estas integrales pueden resolverse en coordenadas cartesianas, cilndricas o esfricas. En cada caso habr que expresar los elementos infinitesimales en las coordenadas correspondientes.

EJEMPLO: Campo elctrico de un disco plano cargado superficialmente con densidad de carga uniformeSupongamos que un disco plano, de radio R y de espesor despreciable est cargado uniformemente con una carga Q. En este caso la densidad superficial de carga ser uniforme

El disco est ubicado en el plano yz con su centro coincidente con el origen de coordenadas. Vamos a determinar la expresin del campo elctrico en un punto del eje x que en este caso es el eje de simetra de la distribucin de carga (simetra cilndrica). El elemento de superficie es un rectngulo con dos lados rectos que son porciones radiales dr` y dos lados curvos que son arcos de circunferencia rd(. Las coordenadas primadas se refieren a la posicin de los elementos de la distribucin de carga. Es decir, a los puntos fuente. El campo ser calculado en un punto cuyo vector posicin es

El vector posicin de un elemento infinitesimal de carga es

En este caso ( es uniforme. No depende de las coordenadas. Su valor es constante en toda la superficie del disco, por lo tanto no es afectada por la integral. Importante: x tambin es una constante ya que la integral est extendida a toda el rea del disco y x es la coordenada del punto campo.

Solucin de la integral

Esta expresin nos da el vector campo elctrico para todo punto del eje x (eje de simetra perpendicular al disco) en funcin de la coordenada x. Podemos apreciar que el resultado no tiene componentes en las direcciones y ni z. Hubiramos podido predecir esto sin necesidad de resolver la integrales.Cada elemento infinitesimal de carga considerado como una carga puntual (punto fuente) provoca en un punto del eje x (punto campo) un vector campo que tiene una componente en la direccin del eje x y otra componente perpendicular al eje x. Cuando sumamos las infinitas contribuciones de todos los elementos infinitesimales del disco cargado, todas las componentes transversales al eje x tienen otra componente de igual mdulo y sentido opuesto. Esto se debe a la simetra cilndrica de la distribucin.

Vamos a analizar la frmula del campo hallada para puntos del eje x muy alejados del disco. Con muy alejados queremos decir puntos en los cuales x >>> R.

Con la condicin x >>> R obtenemos una expresin equivalente a la del campo producido por una carga puntual ubicada en el origen. Es decir, desde un punto del eje x ubicado a gran distancia del origen (mucho mayor que el radio del disco) el disco se ve como un punto cargado.

En forma anloga podemos averiguar cul es la expresin aproximada para puntos del eje x muy prximos al disco. Es decir, para x