Universidad Central del Ecuador

Facultad de Ingeniera,Ciencias Fsicas y Matemtica

Escuela de Ciencias

Teora de Conabilidad

Felipe Rosero

Jueves 28 de Mayo de 2015

Contents

1 CONCEPTOS GENERALES 11.1 NECESIDAD DE LA CONFIABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 TIPOS DE COMPONENTES Y SISTEMAS 42.1 CLASIFICACIN DE COMPONENTES Y SISTEMAS POR TIPO DE FUN-

CIONAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 TIPOS DE ANLISIS DE CONFIABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0

Felipe Rosero 1

2.3 TIPOS DE MODELOS PROBABILSTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 TASA DE FALLAS DURANTE LA VIDA DE UN COMPONENTE O SISTEMA . 6

2.5 DIAGRAMAS DE RED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 COMPONENTES REPARABLES 73.1 MODELO DE LOS ESTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 MODELO DE DOS ESTADOS COMO UNA CADENA DE MARKOV . . . . . . . . 7

3.3 MODELOS MULTIESTADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 MODELO DE DOS ESTADOS COMO UN PROCESOS PUNTUAL . . . . . . . . . . 12

3.5 MODELO MULTI ESTADOS MEDIANTE PROCESOS PUNTUALES . . . . . . . . 13

3.6 MODELO DE FRECUENCIA Y DURACIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.7 NDICES DE CONFIABILIDAD ESTADSTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 ANEXOS 154.1 ANEXO A: VOCABULARIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Bibliografa 15

1 CONCEPTOS GENERALES

Felipe Rosero 2

1.1 NECESIDAD DE LA CONFIABILIDAD

A continuacin varios ejemplos de productos y servicios

Productos Servicios

Bombilla Elctrica Electricidad

Tv Gas domiciliario

Bicicleta Telefona

Computador Agua potable

El libro empieza hablando de la necesidad de la conabilidad es por eso que deben aclararse los siguientes

conceptos.

Componentes.-Es un sistema de muchos subcomponentes, los subcomponentes pueden ser clasicadosfun-cionalmente por subsistemas.

Servicios.-Un servicio est conformado por muchos componentes ms la persona encargada de suoperacin.

A su vez un sistema puede ser considerado desde un sistema mayor o ms importante como

un componente. Por lo tanto, en este libro la palabra componente y sistema son intercambi-

ables.

Falla.- Se denomina falla cuando un componente o sistema deja de cumplir parcialmente o totalmente sufuncin. Las fallas pueden ocurrir debido a:

1.-Defectos Tcnicos o Fsicos.

2.-Errores operativos o procedimentales

Calidad.- Se reeres a su desempeo respecto a unas normas tcnicas, como por ejemplo la calidad de agua,calidad de imagen de televisin, calidad del material, etc.

Seguridad.- Que su uso no implique potenciales peligros o riesgos para los usuarios o el medio ambientediferentes a los aceptables o permitidos.

Conabilidad.- Que cumpla su funcin durante el tiempo requerido bajo unas condiciones operativas especi-cadas. Los 3 conceptos mencionados calidad, seguridad y conabilidad estn dirigidos a los componentes o sis-

temas. Posteriormente se presentarn deniciones formales de los conceptos mencionados.

Conabilidad.- Es la probabilidad de que un componente o sistema pueda cumplir su funcin en lascondiciones operativas especicadas en un instante de tiempo dado.

Ejemplo

Felipe Rosero 3

Conabilidad en el rea de las noticias: Se reere al grado de veracidad de las mismas lo cual de-

pende de factores como las fuentes de la informacin y su grado de detalle. Seguridad en las transac-

ciones bancarias: Se reere al grado de proteccin existente para evitar el acceso de personas no au-

torizadas.

Seguridad en sistemas elctricos de potencia: Se reere a la habilidad para operar estable-

mente ante disturbios

como cortocircuitos, prdida de componentes, etc.

Seguridad.- Es la probabilidad de evitar un evento peligroso.

Mantenibilidad.- Es la probabilidad de que una operacin dada de mantenimiento pueda ser realizada enun intervalo de tiempo dado.

Otras medidad para la conabilidad:

Cmo mejorar la conabilidad.- Mediante calidad y redundancia.

Calidad.- Se reere a la calidad de materiales, fabricacin, pruebas, calibracin, transporte, y puesta enservicio. Hablando de componentes o sistemas.

Redundancia.- Se colocan componentes de respaldo, por lo tanto, si un componente falla otro debe seguirfuncionando.

Tipos de anlisis en conabilidad:

Cualitativo.- Es una valoracin subjetiva, no se establecen ndices numricos.

Cuantitativo.- Es una valoracin objetiva se establecen ndices numricos que pueden ser probabilsticoso determinsticos.

Determinstico.- Las variables se consideran jas o con funciones que determinan su valor en cualquierinstante de tiempo.

Probabilstico.- Las variables se consideran aleatorias, es decir no tienen un valor jo que permita determi-nar su valor en un instante de tiempo dado.

Analtico.- Se representa el componente o sistema bajo estudio por medio de un modelo matemtico(ecuacin o conjunto de ecuaciones) y se evalan los ndices de conabilidad por medio de soluciones matemticas

directas.

Felipe Rosero 4

Simulacin.- Se simula el comportamiento aleatorio del componente o sistema y se evalan los ndices deconabilidad de forma indirecta por medio de tcnicas numricas.

Histrico.- Se estudia el componente o sistema basado en los datos de su comportamiento operativopasado. Con esto se establecen ndices histricos o medidas de desempeo que generalmente son

estadsticas.

Predictivo.- Mediante un estudio se predicen u obtienen los ndices del componente o sistema para uninstante de tiempo o perodo de tiempo futuro. Se determinan los valores de los ndices de conabilidad o las

funciones de probabilidad.

A continuacin presentamos un cuadro de las entidades que manejan la conabilidad:

2 TIPOS DE COMPONENTES Y SISTEMAS

Se denomina componente a una parte, subsistema o sistema que ser modelado como un tem que hace partede un sistema o que se estudiar aislado en forma global.

Se denomina sistema a un conjunto de componentes o subsistemas

La conabilidad de un tem dado depende de la conabilidad de los componentes que lo conforman y de su

conguracin operativa.

El tem debe ser tratado como un sistema si para un tem dado interesa estudiar el efecto sobre su

conabilidad de la conabilidad individual de cada uno de sus componentes y de su conguracin operativa.

Si solo se desea estudiar la conabilidad del tem como un todo sin detallar en lo que sucede internamente,

ste puede ser tratado como un componente.

2.1 CLASIFICACIN DE COMPONENTES Y SISTEMAS POR TIPO DEFUNCIONAMIENTO

Orientados a una misin: Deben operar sin falla durante un tiempo estipulado que se denomina tiempode misin. Se aceptan fallas de algunos de los subcomponentes siempre y cuando el componente o sistema

contine cumpliendo su funcin.

Felipe Rosero 5

Continuamente operados: Operan en forma continua. Se toleran los estados de indisponibilidad siemprey cuando estos no sean muy frecuentes o muy prolongados.

Reparables y no reparables:

Sistema o componente no reparable: Aquel que se descarta la primera vez que deja de operarsatisfactoriamente (falla).

Ejemplos: Pastilla de frenos, empaque plstico, aislador elctrico

Sistema o componente reparable: Aquel que una vez falla en cumplir al menos una de sus funcionespuede ser restaurado para que cumpla todas sus funciones mediante cualquier mtodo (reparacin, ajuste, etc.)

excepto el reemplazo del componente o sistema completo.

Ejemplos: Plancha elctrica, sistema elctrico de potencia

Cul tipo de modelamiento utilizar?

Se puede considerar como orientado a una misin, continuamente operado, reparable o no reparable

dependiendo del tipo de estudio a adelantar.

Orientado a una misin Modelo no reparable: En estudios donde interesa la vida esperada delcomponente o sistema dentro de una misin

Orientado a una misin Modelo reparable: Estudios donde interesa el nmero esperado de misionesque puede servir antes de descartarlo.

Continuamente operado Modelo reparable: Interesa estudiar la disponibilidad del componente y suefecto sobre el sistema al que pertenece.

2.2 TIPOS DE ANLISIS DE CONFIABILIDAD

Basados en los registros operativos de un componente o grupo de componentes idnticos se pueden realizar las

siguientes actividades:

1 Calcular ndices de conabilidad que son estadsticas descriptivas; por ejemplo, el tiempopromedio para falla, las horas de indisponibilidad por ao, etc.

2 Construir modelos probabilsticos que representen al componente

Con los ndices de conabilidad se pueden hacer los siguientes anlisis:

Evaluar el desempeo del componente con respecto a valores de referencia u objetivo

Plantear medidas correctivas para mejorar la conabilidad del componente.

Con los modelos probabilsticos se pueden hacer los siguientes anlisis:

Simular la operacin pasada y presente del componente

Predecir el comportamiento futuro del componente

En este caso simularse reere al hecho de que el modelo es una representacin de un fenmeno real, no a

que el mtodo de solucin sea numrico.

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2.3 TIPOS DE MODELOS PROBABILSTICOS

Interno: Es decir se estudia lo que pasa dentro del componente.

Externo: Este modelo es externopues no se ocupa de lo que sucede internamente en el componente paraque pase del estado buenoal estado fallado.

Este tipo de modelo es completamente estadstico

2.4 TASA DE FALLAS DURANTE LA VIDA DE UN COMPONENTE OSISTEMA

Se denomina tasa de fallas de un componente o sistema a la relacin entre el nmero de fallas que experimenta

el componente por unidad de tiempo en que se encuentra operando

En conabilidad es comn asumir que la tasa de fallas durante la vida operativa de un componente reparable

o no reparable sigue la curva en forma de tina esta curva tiene tres periodos:

Infantil

Vida til

Obsolescencia

2.5 DIAGRAMAS DE RED

Un diagrama de red indica cules combinaciones de fallas de los componentes resultarn en la falla del sistema.

Si un componente falla o est indisponible, se remueve del diagrama de red.

Si se retiran sucientes bloques del diagrama de red de tal forma que se interrumpe la conexin entre los

puntos de entrada y salida, el sistema ha fallado o queda indisponible

Un sistema se puede representar por medio de un diagrama de red, bloques o lgico en el cual, cada

componente se representa como un bloque independiente de los otros componentes; la conexin entre

componentes depender de la conguracin operativa del sistema. Este tipo de modelamiento se puede aplicar

si el sistema es una estructura monotnica, aquella donde se cumple que:

1 Cada componente solo tiene dos estados: buenoy fallado, disponiblee indisponible, etc.

2 El sistema solo tiene dos estados: buenoy fallado, disponiblee indisponible, etc.

3 El sistema est operando si todos los componentes estn operando.

4 El sistema est fallado o indisponible si todos los componentes han fallado o estn indisponibles

5 La falla de un componente en un sistema ya fallado no puede restaurar el sistema a la operacin

6 La reparacin de un componente en un sistema operativo no puede causar la falla del sis-

tema.

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3 COMPONENTES REPARABLES

3.1 MODELO DE LOS ESTADOS

La principal caracteristica de un componente o un sistema reparable es: Que se puede realizaruna operacion de mantenimiento para as poder alargar o aumnetar la vida util del sistema ocomponente.

Las principales consideraciones para el modelo son:

1. Fallas Simultaneas

2. Que el componente pueda ser reparado mientras opera (falla parcial)

3. Que el componente vuelva a fallar mientras es reparado

Para el modelamiento se requieren muestras aleatorias representativas de:

1 Tiempos para falla ( ttf1; ttf2; ::; ttfn)

2 Tiempos para reparacin ( ttf1; ttf2; ::; ttfn )

Estas muestras se toman de:

1 El componente que se quiere modelar

2 Una poblacin de componentes idnticos al que se quiere modelar (Data pooling)

3.2 MODELO DE DOS ESTADOS COMO UNA CADENA DE MARKOV

La secuencia de fallas y reparaciones de un componente reparable dene un proceso aleatorio que se puede

representar como una cadena de Markov de dos estados discretos y tiempo continuo.

De 1 a 2 Tasa de fallas (t) = 1=E(ttf) = dE[nf (t)]dtDe 2 a 1 Tasa de reparaciones (t) = 1=E(ttr) = dE[nr(t)]dt

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Deduccin del modelo matemtico

Probabilidad de una falla en t = Probabilidad de una falla en (t + dt) = (t)dt

Probabilidad de una reparacin en t = Probabilidad de una reparacin en (t + dt) = (t)dt

La probabilidad de estar en el estado operativo despus de un intervalo de tiempo dt es igual a la probabilidad

de estar operativo en t y no haber fallado en dt + probabilidad de estar fallado en t y haber sido reparado en

dt :

P1(t+ dt) = P1(t) [1 (t)dt] + P2(t) [(t)dt] (4.1)

La probabilidad de estar en el estado de reparacin (fallado) despus de un intervalo de tiempo dt es igual

a la probabilidad de estar fallado en t y no haber sido reparado en dt + probabilidad de estar no fallado en t y

haber fallado en dt :

P2(t+ dt) = P2(t) [1 (t)dt] + P2(t) [(t)dt] (4.2)

y este en su sistema de ecuaciones diferenciales

dP1(t)

dt= (t)P1(t) + u(t)P2(t) (4.3)

y lo podemos expresar en algunas de las formas siguientes:

dP1(t)dt

dP2(t)dt

!=

(t) u(t)(t) u(t)

! P1(t)

P2(t)

!(4.4)

P1(t)

P2(t)

!=

(t) u(t)(t) u(t)

! P1(t)

P2(t)

!P (t) = HtP (t)

Donde Hes la matriz estocstica de tasas de transiscion de los estados.

Cmo obtener y resolver este modelo

Es necesario analizar la tendencia e independencia de las muestras de tiempos de falla y de tiempos de

reparacion.

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Condiciones Modelo Caractersticas Mtodo de solucin

1.Los tiempos para falla y

de reparacin son estacionarios

, independientes y

exponencialmente distribuidos

Cadena Markov

homogenea

exponencial

(t)constantes

(t)constantes

1. Analitica

2. Mtodos numericos

3. Simulacion Montecaarlo

Los tiempos para falla y de

reparacin son estacionarios,

independientes, pero

ambos no estn

exponencialmente distribuidos.

Cadena Markov

homogenea

general

(t)constantes

(t)constantes

1. Simulacion Montecarlo

2. Mecanismod e las etapas

3. Adicion de variables

Los tiempos para falla

o los de reparacion son

no estacionarios

Cadena Markov

no homogenea

(t) y (t) son

variables

o una variable y el

otro constante

1. Analitica para algunos casos

2. Mtodos numericos

Modelamiento de tasas de eventos no constantes

Se puede hallarse haciendo el ajuste, con el mtodo de mnimos cuadrados de una funcin a los valores de

tasa de eventos en sub-periodos (das, semanas, meses, aos, etc.) del periodo T cubierto por la muestra de

datos.

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dond las tasas de los eventos esta dada por:

k =nfkPttf

k

=nfk

TkPttf

k

= 1ttfk

k =nrkPttr

k

=nfk

TkPttf

k

= 1ttrk

Donde:

nfk : Es el numero de fallas que ocurrieron en el subperiodo k .

nrk : Es el numero de reparaciones que se realizaron ocurrieron en el subperiodo k .P: Es la sumatoria de los tiempos asociados a las fallas o reparaciones que ocurrieron o se realizaron durante

el subperiodo k .

Cadenas de Markov homogneas

(t) = = 1=E(ttf) (t) = = 1=E(ttr)

Fttf (t)La funcin de distribucin de

probabilidad de los tiempos para falla

Tambin se puede utilizar la correspondiente

funcin de densidad de probabilidad fttf (t)

Fttr(t)La funcin de distribucin de

probabilidad de los tiempos de reparacion

Tambin se puede utilizar la correspondiente

funcin de densidad de probabilidad fttr(t)

Simulacin de Montecarlo para resolver una cadena de Markov homognea

Para resolver la cadena de Markov homognea de dos estados, con cualquier combinacin de distribuciones,

con el siguiente algoritmo de simulacin de Montecarlo secuencial:

Al inicio de la simulacin: t = 0 , i = 0

Paso 1: Incremente el contador de iteraciones haciendo i = i +1

Paso 2: Genere un tiempo para falla i ttf utilizando la distribucin de los tiempos para falla

Paso 3: Genere un tiempo para falla i ttr utilizando la distribucin de los tiempos para reparacin

Paso 4: Incremente el reloj de la simulacin haciendo - i = i 1 + i + i t t ttf ttr

Paso 5: Evale el criterio de parada. Si ste se cumple terminar; de lo contrario, regresar al paso 1

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Al terminar la simulacin calcular:

P1(1) = A =Pttft P1(1) = U =

Pttrt

Solucin de una cadena de Markov no homognea

Solo es posible hallar soluciones analticas para ciertas formas de las funciones matemticas utilizadas para

las tasas de transicin entre eventos.

Ademas se toma las siguientes argumentos:

1

La tasa de fallas de la mayora de componentes se incrementa con su uso. As, sta es funcin

del tiempo de operacin del componente. Entonces, si el componente est inactivo o bajo

mantenimiento, la tasa de fallas no crece durante esos periodos. En este caso, la tasa de

fallas sera funcion de un tiempo local rf referido a la operacion, no del tiempo

global t de observacin del proceso el cual es la suma de los tiempos de falla y reparacin.

2

La tasa de reparaciones de la mayora de componentes depende de factores propios del

proceso de reparacin: la carga de trabajo de los operarios, la prdida de rendimiento de los

operarios debido al envejecimiento, la falta de incentivos laborales, etc. En este caso, la tasa de

reparaciones sera funcin de un tiempo local r,referido al tiempo de labor, no del tiempo

global t de observacin del proceso el cual es la suma de los tiempos de falla y reparacin.

3.3 MODELOS MULTIESTADO

Tambin se pueden denir modelos multi-estado para los componentes reparables. Los estados se reeren a

situaciones de desgaste o estados operativos relacionados con la capacidad de produccin del componente.

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Modelo matemtico

`P (t) = HtP (t)

donde

P (t) :Es el vector la de las probabilidades de cada uno de los estados como funcin del tiempo.

`P (t) :Es el vector la de las derivadas con respecto al tiempo de las probabilidades de cada uno de los

estados como funcin del tiempo

H : Es la matriz estocstica de tasas de transicin entre estados. Es el generador innitesimal de la cadena.

Sus trminos se denen como:

H = h11(t) h12(t) .... h1n(t)h21(t) h22(t) .... h2n(t):: .... .... ....

hn1(t) hn2(t) .... hnn(t)

hii(t) : Es el negativo de la sumatoria de todas las tasas de transicin que salen del estado i

hii(t): Es la tasa de transicin que sale del estado i al estado j

3.4 MODELO DE DOS ESTADOS COMO UN PROCESOS PUNTUAL

Para el caso de los componentes reparables, cuando la magnitud de los tiempos de las reparaciones es muy

pequea comparada con respecto a la magnitud de los tiempos para falla, es usual desacoplar el proceso de

Markov y estudiar nicamente el proceso de llegada de las fallas

El modelar el componente reparable mediante un proceso estocstico puntual de las fallas implica:

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1 Las fallas ocurren una a la vez: Algunos investigadores argumentan que esto es vlido pues en trminosprcticos es difcil probar que dos fallas ocurren en el mismo instante de tiempo.

2 La indisponibilidad del componente es despreciable: Esto se cumple para muchos componentes;sin embargo, se recomienda vericarlo para cada caso bajo estudio.

3 Las reparaciones son mnimas: En este tipo de modelamiento se asume que las reparaciones nocambian el estado de conabilidad del componente

Cmo obtener este modelo

3.5 MODELO MULTI ESTADOS MEDIANTE PROCESOS PUNTUALES

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Para un componente reparable con varios estados operativos tambin se puede utilizar el modelamiento

mediante procesos puntuales

Los modelos puntuales de cada modo de falla se obtienen de las respectivas muestras de tiempos de transicin

entre estados

3.6 MODELO DE FRECUENCIA Y DURACIN

: Donde es una tasa de fallas constante

r : Donde es el tiempo medio para reparacin constante

La indisponibilidad del componente en [%] o [horas/ao] se calcula como:

U = r

Este tipo de modelamiento se denomina de frecuencia y duracinpues se deriva de la tcnica del mismo

nombre del proceso de Markov homogneo y porque es la frecuencia de fallas y r es la duracin de las fallas.

3.7 NDICES DE CONFIABILIDAD ESTADSTICOS

T Tiempo de estudio o periodo de los registros, generalmente [aos]

n Nmero total de salidas en el periodo T

nf Nmero de fallas en el periodo T

N Nmero de componentes o longitud total del(os) componente(s)

X Longitud desconectada en una salida o falla dada

XprLongitud promedia desconectada en una salida o falla

tto Tiempo para salida planeada, no planeada o falla

r Tiempo medio para reparacin

MTTRS Tiempo medio para restauracin (reconexin de salidas planeadas y no planeadas)

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4 ANEXOS

4.1 ANEXO A: VOCABULARIO

Conabilidad: Es la probabilidad de que un componente o sistema pueda cumplir su funcin en las condicionesoperativas especicadas durante un intervalo de tiempo dado.

Falla: Una falla es una condicin que puede interrumpir la continuidad o la secuencia ordenada de unproceso o de un sistema dinmico, alterando su desenvolvimiento.

Disponibilidad: Es la probabilidad de que un componente o sistema pueda cumplir su funcin o este listopar acumplirla en las condiciones operativas especicadas en un instante de tiempo dado.

Seguridad: Es la probabilidad de evitar un evento peligroso.

Mantenibilidad: Es la probabilidad de que una operacin dada de mantenimiento pueda ser realizada enun intervalo de tiempo dado.

Sistema: Una coleccin de dos o ms sockets con sus partes asociadas los cuales estn interconectados pararealizar una o ms funciones. Un sistema puede ser considerado como una parte de un sistema mayor.

Tasa de falla: Se denomina tasa de fallas de un componente o sistema a la relacin entre el nmero defallas que experimenta el componente por unidad de tiempo en que se encuentra operando.

Vida til: Es el periodo en que una unidad de producto funciona con una razn de falla que se consideraaceptable por parte del cliente.

Reparable: Es cuando para un objeto se puede alargar su ciclo de vida, siendo reparando, cambiandocomponentes o realizando mantenimiento.

No reparable: En otras palabras, el componente o sistema tiene una sola vida, no hay posibilidad derealizar una operacin para alargar su ciclo de vida.

5 Bibliografa

References

[1] Conceptos de Conabilidad. http://icicm.com/les/CursoConabilidad.ppt

[2] Galindo, Edwin(2008). Estadstica, Mtodos y Aplicaciones . Quito,Ecuador: Prociencia Editores.

[3] Normas A.P.A. para citar informacin bibliogrca. http://www.capitalemocional.com/apa.html

[4] Zapata, Carlos(2011). Conabilidad en Ingeniera . Pererira,Colombia: Universidad Tecnolgica de Pereira.