Limites de tolerancia

LÍMITES DE TOLERANCIA

FCC BUAPLuis Alfredo Moctezuma

5/14/2016 1Límites de tolerancia

Introducción• En algunos casos, el interés se centra en saber donde

cae la mayoría de los valores de la población

• Esto es útil para conocer el desempeño a largo plazo, no en la siguiente observación

5/14/2016 Límites de tolerancia 2

IntroducciónPermite realizar afirmaciones acerca de la población de la cual proviene tu muestra• Límite bilateral

“Yo tengo _____% confianza de que _____% porciento de la población de la cual provienen mis datos se encuentra entre _____ y _____.”

• Límite unilateral“Tengo _____% confianza de que _____% por ciento de la población de la cual provienen mis datos se encuentra en o debajo de _____.”


Diferencia entre límites de confianza, predicción y de tolerancia

• El intervalo de confianza se usa cuando se está interesado en la media de la población– Se necesita estimar la media de la población y el intervalo de

confianza produce los límites apropiados



• El intervalo de predicción se apl ica cuando es importante determinar un límite para un solo valor– Ni la media ni la ubicación de la mayoría de la población son la

cuestión clave, sólo se requiere la ubicación de una sola nueva observación

– A partir de una muestra de 50 créditos hipotecarios, calcule un intervalo de predicción del 95% para la cantidad del crédito del siguiente cliente



• El intervalo de tolerancia está enfocado en dónde cae la mayoría de las observaciones individuales– ¿Dónde estará la mayor parte de los valores de la población?


Límites de toleranciaAl visualizar un muestreo aleatorio de una distribución normal con media conocida µ y varianza σ2; un límite que cubre el 95% de la población de observaciones es µ ± 1.96σ

• Lo anterior denota un intervalo de tolerancia


Límites de tolerancia• En la práctica µ y σ rara vez se conocen; se debe

aplicar

k se determina de modo que se pueda asegurar con una confianza de (1 – ƴ )100% que los límites dados contienen al menos la proporción 1–α de las mediciones

La tabla de factores de tolerancia para distribuciones normales da valores de k para 1–α= 0.9,0.95,0.99; ƴ=0.05,0.01


Límites de tolerancia, ejemplo• Un inspector de alimentos seleccionó aleatoriamente

30 paquetes de carne de res 95% magra.

• La muestra dio como resultado una media de 96.2% con una desviación estándar muestral de 0.8%


Límites de tolerancia, ejemplo,~• Calcular un intervalo de tolerancia que proporcione

l ími tes b i la tera les de l 95% sobre e l 90% de la distribución de paquetes de carne 95% magra

• n=30 Ẍ=96.2 s= 0.8• De la tabla se obtiene con n=30, 1-α=0.9, ƴ=0.05

k=2.14

• Ẍ ± ks = 96.2 ± (2.14)(0.8)– Limite inferior 96.2 -(2.14)(0.8) = 94.48– Limite superior 96.2 +(2.14)(0.8)= 97.91


Límites de tolerancia, ejemplo,~• Intervalo de tolerancia con límites bilaterales del 95%

sobre el 90% de la distribución de paquetes de carne 95% magra


94.48 97.91

Estimación de la diferencia entre dos medias,dos

muestras


Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras • Comparar el rendimiento promedio de dos tipos de

motor A y B


Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras

• Si se tienen dos poblaciones con medias μ1 y μ2, y varianzas σ1

2 y σ22, el estadístico que da un estimador

puntual de la diferencia entre μ1 y μ2 es Ẍ1−Ẍ2

• Se seleccionan dos muestras aleatorias independientes, una de cada población, de tamaños n1 y n2


Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras,~

• La estimación de la diferencia de dos medias de dos poblaciones μ1 – μ2, se hace por medio del teorema del límite central, se puede asegurar, con una probabilidad de 1 – α, que la variable normal estándar Z, caerá entre –Zα/2 y Zα/2



• Al sustituir para Z, establecemos de manera equivalente que:

• Que conduce al siguiente intervalo de confianza del 100(1 – α)% para μ1 – μ2


Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras,ejemplo1• Se llevó a cabo un experimento donde se compararon dos

tipos de motores A y el B. Se midió el rendimiento de combustible en millas por galón. Para el motor tipo A se realizaron 50 experimentos y 75 con el motor tipo B. La gasolina utilizada y las demás condiciones se mantuvieron constantes

• El rendimiento promedio de gasolina para el motor A fue de 36 millas por galón y el promedio para el motor B fue de 42 millas por galón

• Suponga que las desviaciones estándar de la población son 6 y 8 para los motores A y B, respectivamente


Estimación de la diferencia entre dos medias,dos muestras,ejemplo1• Calcule un intervalo de confianza del 96% sobre μB–μA,

donde μA y μB corresponden a la media de la población del rendimiento de millas por galón para los motores A y B, respectivamente

• La estimación puntual de μB – μA es ẌB-ẌA = 42 - 36= 6• Con α = 0.04, obtenemos z0.02 = 2.05. El intervalo de

confianza del 96% es

3.43 < μB – μA < 8.575/14/2016 Límites de tolerancia 19

Estimación de la diferencia entre dos medias,~

• Varianzas desconocidas pero iguales Si σ12 = σ2

2 = σ2



Estimado agrupado de la varianzaSe puede obtener una estimación puntual de la var ianza común desconocida σ2 agrupando las varianzas muestrales. Si se representa con Sp

2 al estimador agrupado, obtenemos lo siguiente



• Si Ẍ1 y Ẍ2 son las medias de muestras aleatorias independientes con tamaños n1 y n2 respectivamente, tomadas de poblaciones más o menos normales con varianzas iguales pero desconocidas, un intervalo de confianza del 100(1 – α)% para μ1–μ2 es dado por

– Donde Sp es la estimación agrupada de la desviación estándar de la población y tα/2 es el valor t con v = n1 + n2 – 2 grados de libertad, que deja una área de α/2 a la derecha



Consideraciones

– Cuando σ1 = σ2 = σ pero ésta se desconoce, requiere suponer que las poblaciones son normales

– Si las varianzas de la población son considerablemente diferentes, aún obtenemos resultados razonables cuando las poblaciones son normales, siempre y cuando n1 = n2



Varianzas desconocidas y distintas• Al calcular el estimado de un intervalo de μ1–μ2 cuando

no es probable que las varianzas de la población desconocidas sean iguales

tiene aproximadamente una distribución t con v grados de libertad

V se redondea al entero menor más cercanoEl estimado de los grados de libertad se denomina aproximación de Satterthwaite



• Intervalo con el estadístico T'

donde tα/2 es el valor de la distribución t con v grados de libertad


Estimación de la diferencia entre dos medias, ejemplo2

• El Departamento de zoología de una universidad llevó a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósforo químico medido en dos estaciones diferentes de un rio.

• Se reunieron 15 muestras de la estación 1 y 12 muestras de la estación 2


Estimación de la diferencia entre dos medias, ejemplo2– Las 15 muestras de la estación 1 tuvieron un

contenido promedio de 3.84 mg/L y una desviación estándar de 3.07 mg/L

– Las 12 muestras de la estación 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49 mg/L y una desviación estándar de 0.80 mg/L



• Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en el contenido promedio verdadero de ortofósforo en estas dos estaciones. Suponga que las observaciones provienen de poblaciones normales con varianzas diferentes

• Para la estación 1: Ẍ1=3.84, s1=3.07 y n1 = 15• Para la estación 2: Ẍ2=1.49, s2=0.80 y n2 = 12

Se busca un intervalo de confianza del 95% para μ1 – μ2



• Grados de libertad



• Intervalo

– Intervalo de confianza del 95% – α=0.05 de la tabla A.4(distribución t ) t0.025=2.120

0.599< µ1-µ2< 4.100



• Se tiene un 95% de confianza de que el intervalo de 0.60 a 4.10 miligramos por litro contiene la diferencia del promedio verdadero del ortofósforo que contienen estos dos lugares


Observaciones pareadas


Observaciones pareadas• Procedimiento de estimación para la diferencia de dos

medias– cuando las muestras no son independientes y las varianzas de

las dos poblaciones no son necesariamente iguales

– La intención al parear es reducir σD


Observaciones pareadas• Al realizar una prueba de una nueva dieta con 15

individuos, los pesos antes y después de seguir la dieta conforman la información de las dos muestras

• Las dos poblaciones son “antes” y “después”, y la unidad experimental es el individuo

• Para determinar si la dieta es efectiva consideramos las diferencias d1, d2,..., dn en las observaciones pareadas


Observaciones pareadas• Estas diferencias son los valores de una muestra

aleatoria D1, D2,..., Dn de una población de diferencias, que supondremos distribuidas normalmente, con media μD = μ1 – μ2 y varianza σD

2

– Se estima σD2 mediante sd

2 , la varianza de las diferencias que constituyen nuestra muestra

• La i-ésima diferencia del par es:


Observaciones pareadas• Elegir n pares de sujetos, donde cada par tenga una

característica similar, como el coeficiente intelectual (CI), la edad o la raza

• Luego para cada par seleccionar un miembro al azar para ob tener un va lo r de X1 , e l o t ro m iembro proporciona el valor de X2

opcional


Observaciones pareadas• X1 y X2 podrían representar las calificaciones obtenidas

por dos individuos con igual CI

– Individuo uno es asignado al azar a un grupo que usa el método de enseñanza convencional

– Individuo dos es asignado al azar a un grupo que util iza materiales programados

opcional


Observaciones pareadas• Se puede establecer un intervalo de confianza del

100(1–α)% para μD escribiendo

• Donde, t es un valor de la distribución t con n – 1 grados de libertad


Observaciones pareadas• Si y sd son la media y la desviación estándar,

respectivamente, de las diferencias distr ibuidas normalmente de n pares aleatorios de mediciones, un intervalo de confianza del 100(1 – α)% para μD=μ1–μ2 es

• Donde tα/2 es el valor t con v = n – 1 grados de libertad, que deja una área de α/2 a la derecha


Observaciones pareadas, ejemplo

• Un estudio reporta los niveles de la dioxina TCDD en 20 veteranos de Vietnam, quienes posiblemente estuvieron expuestos al agente naranja. En la tabla se presentan los niveles de tcdd en plasma y tejido adiposo



• Calcule un intervalo de confianza del 95% para μ1 – μ2, donde μ1 y μ2 representen las medias verdaderas de los niveles de TCDD en plasma y en tejido adiposo, respectivamente.

• Suponga que la distribución de las diferencias es casi normal



• Como las observaciones están pareadas, μ1 – μ2 = μD

• La estimación puntual de μD es = – 0.87. La desviación estándar sd de las diferencias muestrales es



• Con α = 0.05, en la tabla A.4 t0.025 = 2.093 v =n–1= 19 grados de libertad

Por lo tanto, el intervalo de confianza del 95% es

–2.2634 < μD < 0.5234

No hay diferencia significativa entre el nivel medio de TCDD en plasma y el nivel medio de TCDD en tejido adiposo5/14/2016 Límites de tolerancia 43

Referencias• Walpole,Myers.Probabilidad y estadística para ingeniería y

ciencias: Pearson

• Editor de formulas: www.mathway.com

• NotaciónẌ= media muestral


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