Limites Imp

Lmites de funciones reales de variable real

Cesar Asensio, Luis M. Esteban y Antonio R. Laliena

Dpto. Matematica Aplicada

E.U.P.L.A.

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA) Lmites 1 / 20

Indice

1 El concepto de lmite

2 Calculo de lmites

3 Tecnicas de eliminacion de indeterminaciones


Definicion

Un mnimo de lenguaje topologico

Entorno de x0: cualquier conjunto que contenga a (x0, x0+).

x( )x0

Entorno reducido de x0: conjunto obtenido al eliminar x0 de unode sus entornos.

x( )x0

Semientorno por la derecha de x0: cualquier conjunto que contengaa [x0, x0 + ).

x)[

x0

Semientorno por la izquierda de x0: cualquier conjunto quecontenga a (x0 , x0].

x](x0


Definicion

Un mnimo de lenguaje topologico (2)

Semientorno reducido por la derecha o izquierda.

x)

x0 x(

x0

Entorno de : cualquier conjunto que contenga a (a,),respectivamente (, a).R = R {,}.


Definicion

Definicion

f : D R R, D al menos entorno reducido de x0 R.lmxx0 f(x) = l RPara cualquier entorno Vl de l hay un Ux0 , entorno reducido de x0,cumpliendo

f(Ux0) Vl

y

x( )x0

^

_

l La grafica de la funcion esta en la zona coloreada


Definicion

Primeras propiedades

NOTAS:1 En lenguaje menos tecnico, la definicion de lmite nos dice que

cuando nos acercamos a x0 (por el eje de abcisas) las imagenes seacercan a l (por el eje de ordenadas).

2 No importa lo que suceda en x0, solo en sus alrededores.

3 Notacion f(x)xx0 l.

PROPIEDADES:1 Unicidad.

2 Existencia de lmite = acotacion.


Definicion

Lmites laterales

f : D R R, D al menos semientorno reducido de x0 R por laderecha (izquierda).

lmxx+0 f(x) = l R (lmxx0 f(x) = l R)Para cualquier entorno Vl de l hay un Ux0 , semientorno reducido de x0por la derecha (izquierda), cumpliendo

f(Ux0) Vl.

NOTAS: Con mnimos cambios, las del lmite.

PROPIEDADES:1 Con mnimos cambios, las del lmite.2 El lmite existe si y solo si existen los laterales y son iguales.


Definicion

Lmites infinitos y en el infinito

Analogamente (ejercicio)

lmxx0

f(x) = ,

lmxx0

f(x) = ,

lmx f(x) = l R,

lmx f(x) = .


Calculo de lmites

Aritmetica de lmites

f, g : D R R, D al menos entorno reducido de x0 R.Teorema

Si existen lmxx0 f(x) = l R y lmxx0 g(x) = m R, entoncesexisten y valen

1 lmxx0(f(x) + g(x)

)= l +m, salvo el caso ,

2 lmxx0(f(x)g(x)

)= lm, salvo el caso 0,

3 lmxx0(f(x)/g(x)

)= l/m, salvo los casos / y 0/0,

(g(x) 6= 0),4 lmxx0

(f(x)g(x)

)= lm, salvo los casos 1, 00 y 0,

(f(x) > 0).


Calculo de lmites

Aritmetica de lmites (2)

Observaciones:

1 Lo que el anterior Teorema dice es que, a efectos practicos, loslmites se pueden calcular sustituyendo x0 en la expresion de la quehay que calcular el lmite.

2 Ejemplo:lmxpi

(x2 + sinx

)= pi2 + sinpi = pi2.

3 Indeterminaciones: , 0, /, 0/0, 1, 00 y 0.4 Ejemplo:

lmx0

x2

sinx=?,

ya que aparece un 0/0.

5 Aparecen operaciones que involucran infinitos,...


Calculo de lmites

Aritmetica de infinito

SUMA

+ a ?b a+ b ?

Ejemplo:lmx

(x+ 3

)=+ 3 =.


Calculo de lmites

Aritmetica de infinito (2)

PRODUCTO a, b > 0

* a 0 a ? b ab 0 ab 0 ? 0 0 0 ?

b ab 0 ab ?

Ejemplo:

lmx

(x2 3x) = lm

x(x 3)x = =.


Calculo de lmites

Aritmetica de infinito (3)

COCIENTE x/y. a, b > 0

y \ x a 0 a ? 0 0 0 ?b a/b 0 a/b 0 * * ? * *

b a/b 0 a/b ? 0 0 0 ?

Ejemplo:

lmx

x2 3x2x+ 1

= lmx

x23xx

2x+1x

= lmx

x 32 + 1/x

= 32 + 0

=.


Calculo de lmites

Aritmetica de infinito (4)POTENCIA xy. a, b > 0

y \ x 0 0 < a < 1 1 a > 1 ? 0 0b ab 1 ab 00 ? 1 1 1 ?

b 0 ab 1 ab 0 0 ?

Ejemplo:

lmx0+

(x+ 12

) 1x =

(12

)= 0.

Nota: Para calcular estos lmites puede ser util la identidad

f(x)g(x) = eg(x) ln f(x).


Calculo de lmites

Calculo de lmites con wxMaxima

wxMaxima permite calcular lmites con la orden (accesible desde lapestana Analisis) limit.

Por ejemplo,

limit((x+1/2)^(1/x), x, 0,plus);

calcula el lmite del ultimo ejemplo.

Ejercicio: Calcular con wxMaxima los lmites

lmx

(x+ 3

), lm

x(x2 3x), lm

xx2 3x2x+ 1

.


Equivalencias

Ordenes de infinitos

OBJETIVO: Comparar infinitos.

Ordenes de infinitos: ord xx0 [f(x)] > ord xx0 [g(x)]

significa

f(x), g(x)xx0 con f(x)/g(x) xx0 .

Se cumple (x)

ord [(lnx)p] < ord [xq] < ord [rx] < ord [xtx]

para p > 0, q > 0, r > 1, t > 0.

Ejemplo:

lmx

lnx

x= 0.

Cuanto vale lmxln(lnx)x ?.


Equivalencias

Equivalencias

f(x) g(x) para x x0g(x)

f(x)

xx0 1.

Por ejemplo,x+ 1 1 x/2 para x 0 ya que

lmx0

x+ 1 1x/2

= lmx0

x+ 1 1x/2

x+ 1 + 1x+ 1 + 1

= lmx0

x12x(x+ 1 + 1)

= 1.


Equivalencias

Utilidad de las equivalencias

Principio de sustitucion

Si f(x) g(x) para x x0 entonces

lmxx0

f(x)(x) = lmxx0

g(x)(x),

lmxx0

(x)

f(x)= lm

xx0(x)

g(x),

siempre que los lmites de la derecha existan.

En lenguaje menos tecnico, en un lmite se puede sustituir una expresionpor otra equivalente si la parte sustituida multiplica (divide) a todo elresto del lmite, es decir a la parte no sustituida.


Equivalencias

Ejemplo de utilizacion de equivalencias

Se sabe que sinx x para x 0 y as podemos sustituir

lmx0

(x+ 1) sinxx+ 1 1 = lmx0

(x+ 1)xx+ 1 1 ,

por aplicacion del Principio de sustitucion.

En el lmite

lmx0

x+ sinxx+ 1 1

no se puede sustituir sinx por x invocando el Principio de sustitucion.


Equivalencias

Unas cuantas equivalencias

u(x)xx0 1

lnu u 1.

(x)xx0 0

ln(1 + ) ,a 1 ln a, (a ln a+ 1),sin tan arcsin arctan ,1 cos 2/2, (cos 1 2/2).


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