Limites y Desigualdades
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LÍMITES Y DESIGUALDADES TEOREMAS Demostración: Tomando c = a - b, tenemos E > 0 y b = a – E. Por la definición de límite Existe n 0 ∈ ℕ tal que n > n 0 ⇒ a – E < X n < a + E ⇒ b < X n . La otra afirmación se prueba de forma análoga. Corolario 01.- Sea a = lim X n Si a > 0 entonces, para todo n suficientemente grande, se tiene X n > 0. Análogamente, si a < 0 entonces X n < 0 para todo n suficientemente grande. Corolario 02.- Sean a = lim X n y b = lim Y n Si X n < Y n , para todo n suficientemente grande entonces a ≤ b. En particular, si X n ≤ b para todo n suficientemente grande entonces lim X n ≤ b. En efecto, si tuviésemos b < a entonces tomaríamos c ∈ R tal que: b < c < a y tendríamos, por el Teorema 5, Sea a = lim X n Si b < a entonces, para todo n suficientemente grande, se obtiene b < X n . Análogamente, si a < b entonces X n < b para todo n suficientemente grande. Sea P una propiedad referente a los términos de una sucesión (X n ). Diremos que: “Para todo n suficientemente grande X n cumple la propiedad P” para significar que “Existe n 0 ∈ ℕ tal que n ≥ n 0 ⇒ X n cumple la propiedad P”.
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LMITES Y DESIGUALDADES
Sea P una propiedad referente a los trminos de una sucesin (Xn).Diremos que: Para todo n suficientemente grande Xn cumple la propiedad P para significar que Existe n0 tal que n n0 Xn cumple la propiedad P.
TEOREMAS
Teorema 05
Sea a = lim Xn Si b < a entonces, para todo n suficientemente grande, se obtiene b < Xn.Anlogamente, si a < b entonces Xn < b para todo n suficientemente grande.
Demostracin:
Tomando c = a - b, tenemos E > 0 y b = a E.Por la definicin de lmiteExiste n0 tal que n > n0 a E < Xn < a + E b < Xn.La otra afirmacin se prueba de forma anloga.
Corolario 01.- Sea a = lim Xn Si a > 0 entonces, para todo n suficientemente grande, se tiene Xn > 0.Anlogamente, si a < 0 entonces Xn < 0 para todo n suficientemente grande.
Corolario 02.- Sean a = lim Xn y b = lim Yn Si Xn < Yn, para todo n suficientemente grande entonces a b. En particular, si Xn b para todo n suficientemente grande entonces lim Xn b.
En efecto, si tuvisemos b < a entonces tomaramos c R tal que: b < c < a y tendramos, por el Teorema 5, Yn < c < Xn para todo n suficientemente grande, contradiciendo la hiptesis.
Observacin: Si tuviramos Xn < Yn no podramos concluir que a < b. basta considerar
Xn = 0 e Yn = 1/n.
Teorema 06 o Teorema del Sandwich
Si lim Xn = lim Yn = a y Xn Zn Yn para todo n suficientemente grande entonces lim Zn = a.
Demostracin:Dado cualquier E > 0, existen n1.n2 tales que n > n1 a E < Xn < a + E y n > n2 a E < Yn < a + E.Sea n0 = mx{n1.n2}.Entonces n > n0 a E < Xn Zn Yn < a + E Zn (a E ; a + E), Luego lim Zn = a.
