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2 Bachillerato
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s = B + m v
r = A + l u
B
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Proyecto MaTEX
Lmites de Funciones
Fco Javier Gonzalez Ortiz
DirectorioTabla de ContenidoInicio Artculo
c 2004 [email protected]
11 de junio de 2004 Versin 1.00
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Tabla de Contenido
1. Introduccion
2. Infinitesimos
2.1. Algebra de infinitesimos2.2. Orden de un infinitesimo2.3. Infinitesimos equivalentes2.4. Principio de Sustitucion
3. Infinitos3.1. Orden de un infinito
3.2. Los infinitos: potencial, exponencial y logartmico4. Calculo de lmites f(x)g(x)
4.1. Casos indeterminados de lmites f(x)g(x)
5. Regla de LHopital
Caso
Caso 0 Caso
Soluciones a los EjerciciosSoluciones a los Tests
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Seccion 1: Introduccion 3
1. Introduccion
Si has llegado hasta aqu suponemos que has superado el captulo deLmites de Funciones I. En este captulo vas a profundizar en el calculo de
lmites con funciones:trigonometricas,
exponenciales y
logartmicas
que no se han tratado en el captulo anterior.Para ello introduciremos los conceptos de infinitesimo e infinito. Esto nos
permitira calcular el tipo de lmite indeterminado de la forma 00
que es el
mas importante y es objeto esencial del Calculo diferencial.El nivel de este captulo es adecuado para alumnos de 2o de Bachillerato.
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Seccion 2: Infinitesimos 4
2. Infinitesimos
Toda variable f(x) se llama infinitamente pequena o infinitesimo cuandotiende a 0.
f(x) 0La condicion esencial es la variabilidad y tener por lmite 0.
No hablamos de numeros infinitamente pequenos, sera un contrasentido.El numero 102002 es realmente pequeno pero no infinitamente pequeno.
La condicion esencial del infinitesimo es que se pueda hacer tan pequenocomo queramos, por lo que debe ser una expresion variable.
Decimos que x2
es infinitesimo en x = 0, pues x2
0 en x = 0. Perodecimos que 1 + x2 no es infinitesimo , pues 1 + x2 1 en x = 0.Tambien sen x es infinitesimo en x = 0, pues sen x 0 en x = 0. Pero
decimos que 2 + sen x no es infinitesimo , pues 2 + sen x 2 en x = 0.As mismo, sen(1 + x) no es infinitesimo en x = 0, pues sen(1+ x) sen1
en x = 0, pero si lo es en x = 1.Y as sucesivamente.
Ejemplo 2.1. Las siguientes funciones son infinitesimos en los puntos que seindican
a) lmx1
x 1 b) lmx
1
xc) lm
x0x2
d) lmx0
sen x e) lmx/2
cos x f) lmx0
tan x
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Seccion 2: Infinitesimos 5
g) lmx0
ex 1 h) lmx0
(1 cos x i) lmx0
ln(1 + x)
2.1. Algebra de infinitesimos
Regla I La suma finita de infinitesimos es un infinitesimo.(x) 0 (x) 0 = (x) + (x) 0lmx0
x2 + sen x = 0 lmx0
x4 + sen x2 = 0
Regla II EL producto de un infinitesimo por una constante, o por una vari-able acotada, es un infinitesimo.
k R, (x) 0 = K(x) 0z(x) acotada , (x) 0 = z(x)(x) 0
2.2. Orden de un infinitesimo
Cuando x 0 las variables:x, x2, x3, , xm,
son infinitesimos y estas se toman como tipos de comparacion de otros in-finitesimos. Decimos que f(x) es un infinitesimo en el punto x = a de ordenn cuando
lmxa
f(x)
(x
a)n= Cte = 0
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Seccion 2: Infinitesimos 6
2.3. Infinitesimos equivalentes
Dos infinitesimos se dicen equivalentes ( ) cuando el lmite de sucociente es 1. Si 0 y 0 son infinitesimos.
lim
= 1
Teorema 2.1. Los infinitesimos x sen x tan x son equivalentes en x = 0.
lmx0
sen x
x= 1 lm
x0
tanx
x= 1 (1)
Para su aplicacion se puede sustituir x por cualquier variable (x) quetambien sea un infinitesimo. Estos son algunos ejemplos:
Ejemplo 2.2. Las siguientes infinitesimos equivalentes en los puntos que seindican
a) limx0
sen2x2x
= 1 b) limx0
sen5x5x
= 1 c) limx0
sen3x23x2
= 1
d) limx0
tan6x
6x= 1 e) lim
x0tan(x3)
x3 = 1 f) limx1tan(x 1)
x 1 = 1
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Seccion 2: Infinitesimos 7
Ejercicio 1. Escribir el infinitesimo equivalente en x = 0 a:
a) sen x3 b) tan(x + x2) c) sen17 x3
Teorema 2.2. Los infinitesimos 1
cos x
1
2x2 son equivalentes en x = 0.
limx0
1 cosx12x2
= 1 (2)
Para su aplicacion se puede sustituir x por cualquier variable (x) que
tambien sea un infinitesimo. Ejemplos de esto son:
a) limx0
1 cos2x12 4x
2= 1 b) lim
x01 cos5x2
12 25x
4= 1
c) limx0
1 cos x12 x
= 1 d) limx0
1 cos2x12 4x
2= 1
Ejercicio 2. Escribir el infinitesimo equivalente en x = 0 a:
a) 1 cos x2 b) 1 cos3 c) 1 cos x2
d) 1
cos
x3 e) 1
cos3x7 f) 1
cos(sen x)
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Seccion 2: Infinitesimos 8
Teorema 2.3. Cuando x 0, ln(1 + x) x son equivalentes
limx0
ln(1 + x)
x= 1 (3)
Para su aplicacion se puede sustituir x por cualquier variable (x) quetambien sea un infinitesimo. Ejemplos de esto son:
a) limx0
ln(1 + 2x)
2x= 1 b) lim
x0ln(1 x)
x = 1
c) limx0 ln(1 + x
2
)x2 = 1 d) limx0 ln(1 + 5
x)5x = 1
e) limx0
ln(1 + sen x)
sen x= 1 f) lim
x0ln(1 + tan x)
tan x= 1
Ejercicio 3. Escribir el infinitesimo equivalente en x = 0 a:
a) ln(1 +
x3) b) ln(1 + 3x7) c) ln(1 + sen x)
d) ln(1 3x) e) ln(1 + x3
) f) ln(1 + 2 tan x)
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Seccion 2: Infinitesimos 9
Teorema 2.4. Cuando x 0, ex 1 x son equivalentes
limx0
ex 1x
= 1 (4)
Para su aplicacion se puede sustituir x por cualquier variable (x) quetambien sea un infinitesimo. Ejemplos de esto son:
a) limx0
e2x 12x
= 1 b) limx0
ex 1x = 1
c) limx0 ex2
1x2 = 1 d) limx1 ex
1
1x 1 = 1
Ejercicio 4. Escribir el infinitesimo equivalente en x = 0 a:
a) e2x3 1 b) esenx 1 c) etanx2 1
Recogemos en una tabla las equivalencias de infinitesimos que hemos visto
anadiendo las inversa del seno y la tangente. Es conveniente aprenderlas parafacilitar el calculo de lmites con infinitesimos.
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Seccion 2: Infinitesimos 10
Equivalencias
sen (x)
(x)
1 cos (x) 12
(x)2
tan (x) (x)
ln (1 + (x))
(x)
e(x) 1 (x)
arc sen (x) (x)
arctan (x) (x)
Tabla de Infinitesimos
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Seccion 2: Infinitesimos 11
Responde a las siguientes cuestiones sobre infinitesimos:
Test. Responde a las siguientes preguntas.
1. La funcion f(x) = (x 1)2 es un infinitesimo en:
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1
2. La funcion f(x) = (x a)2 es un infinitesimo en:
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = a
3. La funcion f(x) =1
x es un infinitesimo en:
(a) x = 0 (b) (c) Nunca4. La funcion f(x) = 1 + x2 es un infinitesimo en:
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 15. La funcion f(x) = ln x es un infinitesimo en:
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1
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Seccion 2: Infinitesimos 12
Test. Responde a las siguientes preguntas.
1. La funcion f(x) = ln(x 1) es un infinitesimo en:
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 2 (d) x = 12. La funcion f(x) = ex 1 es un infinitesimo en:
(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1
3. El orden del infinitesimo 5 x3 en x = 0, es:
(a) 3 (b) 2 (c) 5
4. El orden del infinitesimo 4 3x en x = 0, es:
(a) 3 (b) 1/3 (c) 1 (d) 4
5. El orden del infinitesimo 4 5
x2 en x = 0, es:
(a) 5 (b) 2 (c) 2/5 (d) 4
6. El orden del infinitesimo x2 1 en x = 1, es:
(a) 0 (b) 2 (c) 1 (d) Ninguno
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Seccion 2: Infinitesimos 13
Inicio del Test Buscar el infinitesimo equivalente en cada caso:
1. En x = 0, f(x) = sen x2 equivale a:
(a) x (b) x
2
(c) Ninguno de losotros
2. En x = 0, f(x) = sen 2x equivale a:
(a) x (b) x2 (c) Ninguno de losotros
3. En x = 0, f(x) = 1 cos4x equivale a:
(a) 8x2 (b) 4x2 (c) 4x (d) Ninguno delos otros
4. En x = 0, f(x) = 1 cos x equivale a:
(a) x (b) 12
x (c) Ninguno
Final del Test Puntos:
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Seccion 2: Infinitesimos 14
Inicio del Test Buscar el infinitesimo equivalente en cada caso:
1. En x = 0, ln(1 + x2) equivale a:
(a) x (b) x
2
(c) 1 + x
2
2. En x = 0, ln(1 3 x2) equivale a:
(a) x2 (b) x2 (c) 3 x2
3. En x = 0, ln(1 +
x3) equivale a:
(a) x3 (b) x3 (c) 1 + x34. En x = 0, ln(1 + sen x) equivale a:
(a) x (b) tan x (c) senx (d) Todos losanteriores
5. En x = 1, ln(x) equivale a:
(a) x 1 (b) x (c) x2 (d) NingunoFinal del Test Puntos:
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Seccion 2: Infinitesimos 15
Inicio del Test Buscar el infinitesimo equivalente en cada caso:
1. En x = 0, ex2 1 equivale a:
(a) x (b) x
2
(c) 1 + x
2
2. En x = 0, ln(cos x) equivale a:
(a) x 1 (b) cos x (c) cos x 13. En x = 0, e
x 1 equivale a:
(a) x (b) x (c) x 14. En x = 0, esenx
2 1 equivale a:
(a) x2 1 (b) senx (c) x25. En x = 1, ln(ex) equivale a:
(a) ex 1 (b) x (c) senx (d) Todas ellasFinal del Test Puntos:
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Seccion 2: Infinitesimos 16
Ejercicio 5. Aplicar equivalencias a los siguientes infinitesimos en el puntoindicado
a) (sen5x)x=0 b) [tan(1 x)]x=1c) 1 cos x2x=0 d) [arcsin3x]x=0e) [ln x]x=1 f) [arctan sen x]x=0
g) [esenx 1]x=0 h) [ln(cos x)]x=0i)
sen3
xx=0
Ejercicio 6. Determinar el orden de los siguientes infinitesimos en x = 0a) sen x b) tan x
c) 1 cos x d) 4x3 + x50
e) ln(1 x) f) ex 1
g) e3x2
1 h) ln(1 x3
)i) sen3x2
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Seccion 2: Infinitesimos 17
2.4. Principio de Sustitucion
A la hora de aplicar equivalencias de infinitesimos en los lmites hay quetener en cuenta que la sustitucion no se puede hacer literalmente. Para hacerlo
hay que limitarse al siguiente principio:
[P.S.] Si en una expresion de un lmite se sustituye un factor o divisorpor otro equivalente, el lmite de la expresion no vara si se sustituye
Un factor finito por su lmite, no nulo
Un factor infinitesimo por otro equivalente
Tengase presente este principio de sustitucion para los infinitesimos queesten multiplicando o bien dividiendo. Si la sustitucion se realiza cuando estansumando o restando es facil cometer errores.
Ejemplo 2.3. Aplicar el principio de sustitucion a los lmites:
a) lmx0
sen2x
sen5x b) lmx0
sen3x
sen5xSolucion:
a) lmx0
sen2x sen5x = limx0
(2x) (5x) = 0
b) lmx0
sen3x
sen5x= lim
x03x
5x=
3
5
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Seccion 2: Infinitesimos 18
Aviso Tener mucho cuidado en no sustituir un infinitesimo queeste sumando por otro equivalente, los resultados pueden ser absurdos.
Por ejemplo
limx0
x sen xx
= limx0
x xx
= 0 falso
limx0
tan x sen xx3
= limx0
x xx3
= 0 falso
limx0
tan x (sen x + 2x3)x3
= limx0
x (x + 2x3)x3
= 2 falso
limx0
tan x sen x2x3
= limx0
x x2x3
= 1 correcto
Ejercicio 7. Aplicar equivalencias al calculo de los siguientes lmites:
a) 3sen2x4x
b) 1 cos4x5x2
c) sen x tan x1 cos x
d)ln x
2 2x e)ln(1 + x)
1 ex f)x sen xln(cos x)
g)ln(1 + 5 x)
1
e3x
h)sen2 x
1
cos2x
i)5x sen2x
4x2
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Seccion 3: Infinitos 19
3. Infinitos
Toda variable f(x) se llama infinitamente grande o infinita para x = acuando tiende a .
limxa f(x) Ejemplo 3.1. Las siguientes funciones son infinitos:
a) limx1
1
x 1 b) limxx c) limx01
x2
d) limx
3x2 e) limx/2
tan x f) limx
0+ln x
Ejercicio 8. Indicar si las siguientes funciones son infinitos:
a) limx1
1 + x
1 x b) limx 2x c) lim
x01
sen xd) lim
x+2x e) lim
x+ex f) lim
x+ln x
3.1. Orden de un infinitoCuando x las variables:
x, x2, x3, , xm, son infinitos y estas se toman como tipos de comparacion de otros infinitos.En la comparacion caben cuatro casos:
f(x) g(x)
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s = B + m v
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Seccion 3: Infinitos 20
Si limf(x)
g(x)= Se dice f(x) es de orden superior a g(x)
Si limf(x)
g(x)= 0 f(x) es de orden inferior a g(x)
Si limf(x)
g(x)= finito = 0 son del mismo orden
Si limf(x)
g(x)= no existe , no son comparables
Ejemplo 3.2. Veamos el orden de algunos infinitos:
a) El polinomio 3x + 5 es un infinito de orden 1, pues
limx
3x + 5
x= 3
b) El polinomio x3 + 5x es es un infinito de orden 3, pues
limx x3 + 5x
x3 = 1c) El polinomio
4x + 5 es un infinito de orden 1/2, pues
limx
4x + 5
x= 2
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Seccion 3: Infinitos 21
d) En general, el polinomio an xn + an1x
n1 + + a0 es un infinito deorden n, pues
limx
an xn + an1xn1 + + a0
xn
= an
3.2. Los infinitos: potencial, exponencial y logartmico
Cuando x + las funciones :
xn(n > 0) ax(a > 1), logb x(b > 1)
son infinitos pero de distinto orden.Cuando x +, la exponencial ax con (a > 1) es un infinito de ordensuperior a la potencial, xn con (n > 0), cualquiera que sea n. Lo escribiremoscon la expresion
ax xn (5)Cuando x
+
, la potencial xn con (n > 0), es un infinito de orden
superior al logaritmo de x , logb x para cualquier base (b > 1) . Lo escribimoscon la expresion
xn logb x (6)
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Seccion 3: Infinitos 22
Aviso La comparacion del crecimiento potencial exponencial puedesorprender. Si construimos una tabla para las funciones 1,001x con x4.
Comparacion de 1,001x con x4
x 1,001x
x4 1,001
x
x4
1 1.001 1 1.001
100 1,11E+00 1,00E+08 1,11E-08
5000 1,48E+02 6,25E+14 2,37E-13
30000 1,05E+13 8,10E+17 1,30E-05
47000 2,52E+20 4,87E+18 5,17E+01
100000 2,55E+43 1,00E+20 2,56E+23
vemos como 1,001x llega a superar a x4, y el cociente se hace tan grandecomo queramos.
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Seccion 3: Infinitos 23
Ejemplo 3.3. Con la comparacion de infinitos podemos hacer de forma in-mediata algunos lmites :
limx
e3x
4x2
=+
+=
e3x
x2
limx
e3x
4x2=
++ = e
3x x2
limx
x2 1ex
=++ = 0 e
x x2
limx
ex x8 = limx
x8
ex= 0 ex x8
limx
x
ln x=
++ = + x ln x
limxx15 + 2x7
2x =
+
+ = 0 2x
x15
Ejercicio 9. Usar la comparacion de infinitos para hallar los lmites:
a) limx+
ln(1 + x6)
x2b) lim
x+x5
exc) lim
x+ln x3 ex
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Seccion 3: Infinitos 24
Inicio del Test Cuando x +, comparar el orden de los infinitos:1. Indica el infinito de mayor orden:
(a) x2 (b) x3 (c) x (d) x2,56
2. Indica el infinito de mayor orden:
(a) x3 (b) x(1 + 4x) (c) ln x4
3. Indica el infinito de mayor orden:
(a) x22 (b) ln x100 (c) ex
4. Indica el infinito de mayor orden:(a) 4x (b) 2x (c) ex
5. Indica el infinito de mayor orden:
(a) x3 (b) x2,75 (c) x2,99
6. El lmite limx+x1,002
ln x es
(a) + (b) 0 (c) 1Final del Test Puntos:
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Seccion 3: Infinitos 25
Ejemplo 3.4. Aplicamos cuando sea necesario los anteriores resultados parael calculo de los siguientes lmites:
limx
ln(1 + x6)
x2
=+
+= 0 x6
ln(1 + x6)
limx
x5
ex=
+0
= +
limx
ex ln x3 = 0 = 0 ex ln(x3)
limx x
1,002
ln x = +
+ = + x1,002 ln x
limxo+
x2 ln x = 0 () = 0 x2 ln x
limx
x54
ex=
++
= 0 ex x54
Test. El lmite limx+
x200
exes
(a) + (b) 0 (c) 1
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Seccion 4: Calculo de lmites f(x)g(x) 26
4. Calculo de lmites f(x)g(x)
Si no hay problemas de indeterminacion , el calculo de dichos lmites serealiza por paso al lmite
limxa
f(x)g(x) = limxa
f(x) limxa g(x)Ejemplo 4.1.
limx+
2x + 1
x
x= (2)+
= +
limx+
2x + 13x
x = 23+ = 0
limx+
2x + 1
3x
2x=
2
3
= +
lim
x+5x + 1
3x 1x
= 5
3
= 0
limx+
5x + 1
8x 1
x=
5
8
= +
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Seccion 4: Calculo de lmites f(x)g(x) 27
4.1. Casos indeterminados de lmites f(x)g(x)
Teniendo en cuenta que toda potencia se puede escribir como una potencia
de base el numero e, ya que ab = eb ln a, podemos escribir
f(x)g(x) = eg(x) ln f(x)
Y de esta forma expresar el lmite
limxa
f(x)g(x) = elimxa
g(x) ln f(x)(7)
De esta forma sabremos cuando tenemos casos indeterminadosCasos Indeterminados
(0)0 e0 ln 0 e0 () e? Indeterminado
(0)+ e+ ln 0 e+ () e 0
(0) e ln 0 e () e+ +
()0 e0 ln e0 () e? Indeterminado
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Seccion 4: Calculo de lmites f(x)g(x) 28
Ejemplo 4.2. Hallar lmx0+
x1/x
Solucion:
lim
x0+
x1/x = 0+ de la ecuacion 7
= elimx0+
ln x
x = e/0+ = e = 0
Ejemplo 4.3. Hallar lmx0+
xlnx
Solucion:
limx0+
xlnx = 0 de la ecuacion 7
= elim
x0+ln x ln x
= e() = e+ = +
Ejemplo 4.4. Hallar lmx+
( 1x
)lnx
Solucion:
limx+
(1
x)lnx = 0+ = 0
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Seccion 4: Calculo de lmites f(x)g(x) 29
Inicio del Test Por la comparacion de infinitos, determinar los lmites:
1. El limx+
(x4 x3) es:
(a) 0 (b) +
(c)
2. El limx+
(x4 5x6) es:
(a) 0 (b) + (c) 3. El lim
x+(ex x30) es:
(a) 0 (b) + (c) 4. El lim
x+x4
2xes:
(a) 0 (b) + (c) 5. El lmite lim
x0+
x0,002 ln x40 es
(a) + (b) 0 (c) 1Final del Test Puntos:
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( )g(x)
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Seccion 4: Calculo de lmites f(x)g(x) 30
Inicio del Test Determinar de forma directa los lmites:
1. El limx0+
x ln x es:
(a) 0 (b)
(c)
(d) 1
2. El limx0+
sen1
xes:
(a) 0 (b) (c) No existe (d) 13. El lim
x
0+
x sen 1x
es:
(a) 1 (b) 0 (c) (d) 4. El lim
xx sen 1
xes:
(a) 1 (b) 0 (c) (d)
5. El lmite limx+ x
200
exes
(a) + (b) 0 (c) 1Final del Test
Puntos: Correctas
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S Cl l d l f( )g(x)
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Seccion 4: Calculo de lmites f(x)g(x) 31
Ejercicio 10. Indicar si las siguientes funciones son infinitos:
a) limx0
3sen2x
4xb) lim
x01 cos4x
5x2
c) limx0sen x
tan x
1 cos x d) limx1ln x
2 2x
e) limx0
ln(1 + x)
1 ex f) limx0x sen xlncos x
Ejercicio 11. Usa infinitesimos equivalentes, cuando sea posible, para hallar:
a) limx0tan x
x2 b) limx0arcsenx2
ln(1 x2)
c) limx0
x
sen(tan x)d) lim
x0cos x
x
e) limx
0
1 cos xx2
f) limx
0
sen x tan x
x sen x
Ejercicio 12. Usa infinitesimos equivalentes, cuando sea posible, para hallar:
a) limx+
x3/2 sen1
xb) lim
x1(x 1) sen(x 1)
1 cos(x 1)
c) limx
+
x sen(x2 + x)3x
sen x
d) limx
0
x2 sen2 3x
x sen3 2x
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S i 4 Cl l d l i f( )g(x) 32
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Seccion 4: Calculo de lmites f(x)g(x) 32
Ejercicio 13. Usa el orden de infinitos, cuando sea posible, para hallar:
a) limx+
x2 + 2x b) limx
x2 + 2x
c) limx
+
4x
2x d) lim
x
4x
2x
e) limx+
ln x5 x2 f) limx+
ex ln x
Ejercicio 14. Resolver por la tecnica del numero e cuando sea necesario:
a) limx+
(1 +1
x)x b) lim
x+(
1 + 2x
2x)x
c) limx+
( 1 + 2xx
)x d) limx+
( 1 + 2x5x
)x
e) limx+
(1 + x
2 + x)5x f) lim
x+(
1 x2 x )
x
Ejercicio 15. Hallar:
a) limx+3x + 23x 1
x
b) limx0+
(x)senx
Ejercicio 16. Hallar limx0+
(cos x)1/x
Ejercicio 17. Hallar limx
0+1
xtg x
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Seccion 5: Regla de LHopital 33
5. Regla de LHopital
En este apartado se explica un metodo para el calculo de lmites con ayudade la derivada. Por ello es conveniente que lo realices cuando hayas estudiadoel captulo de derivadas
Teorema 5.1. (Regla de LHopital)Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en el intervalo (a, b) y tal que
g(x) no se anula en (a, b).
Si limxc
f(x) = 0
y limxc g(x) = 0
y limxc
f(x)
g(x)= L
= limxc f(x)g(x)
= L
Si no existe limxc
f(x)
g(x)no podemos afirmar nada sobre lim
xcf(x)
g(x)
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Seccion 5: Regla de LHopital 34
Ejemplo 5.1. Hallar limx0
3sen2x
4xcon la regla de LHopital
Solucion: Como
limx0
3sen2x
4x=
0
0
(LH)= lim
x0
6 cos 2x
4=
6
4
Ejemplo 5.2. Hallar limx0
1 cos2xx2
con la regla de LHopital
Solucion: Como
limx0
1
cos2x
x2 =
0
0(LH)
= limx0
2 sen 2x
2x=
0
0(LH)
= limx0
4 cos 2x
2= 2
Ejemplo 5.3. Hallar limx0
xx + sen x
con la regla de LHopital
Solucion: Como
limx0
x
x + sen x=
0
0
(LH)= lim
x01
1 + cos x=
1
2
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Seccion 5: Regla de LHopital 35
Caso Cuando lim
xaf(x) = y lim
xag(x) = , en los lmites de la forma:
lmxaf(x)
g(x) = tambien podemos aplicar la regla de LHopital.
Ejemplo 5.4. Hallar limx+
x3
excon la regla de LHopital
Solucion: Como
limx+
x3
ex=
(LH)= lim
x3x2
ex=
(LH)= lim
x+6x
ex=
(LH)= limx+
6ex
= 6 = 0
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Seccion 5: Regla de LHopital 36
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Seccion 5: Regla de LHopital 36
Caso 0 Si lim
xaf(x) = 0 y lim
xag(x) = , podemos aplicar la regla de LHopital,
pasando a uno de los casos anteriores, dividiendo por el inverso de uno de losfactores de la siguiente forma
limxa
f(x)g(x) = 0 = limxa
f(x)1
g(x)
=0
0
Ejemplo 5.5. Hallar limx
+0
x2 ln x con la regla de LHopitalSolucion: Como
limx+0
x2 ln x = 0
= limx+0
ln x
x2=
(LH)
= limx+01/x
2x3= lim
x+01
2x2 = 0
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Seccion 5: Regla de LHopital 37
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Seccion 5: Regla de L Hopital 37
Caso Si lim
xaf(x) = y lim
xag(x) = , podemos aplicar la regla de LHopital,
pasando a uno de los casos anteriores de la siguiente forma
limxa
f(x) g(x) = = limxa
1g(x)
1f(x)
1
f(x)g(x)
=0
0
Ejemplo 5.6. Hallar limx
0+
1
x
1
sen xcon la regla de LHopital
Solucion: Como
limx0+
1
x 1
sen x=
= limx0+
sen x xx sen x =
0
0(LH)
= limx0+cos x
1
sen x + x cos x =0
0(LH)
= limx0+
sen x2cos x x sen x = 0
MATEMATICAS
Seccion 5: Regla de LHopital 38
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2 Bachillerato
A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
CIENCIASCIENCIAS
MaTEX
L
mites
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Seccion 5: Regla de L Hopital 38
Ejemplo 5.7. Hallar limx0
1
x 1
ln(1 + x)con la regla de LHopital
Solucion: Como
limx0
1
x 1
ln(1 + x) = = lim
x0ln(1 + x) xx ln(1 + x) =
0
0
(LH)= lim
x0
11+x
1ln(1 + x) + x1+x
= limx0
x(1 + x) ln(1 + x) + x = 00
(LH)= lim
x01
ln(1 + x) + 1 + 1= 1
2
Ejercicio 18.a) lim
x1x2 1x 1 b) limx0
(x 1)21 cos x
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Seccion 5: Regla de LHopital 39
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A
s = B + m v
r = A + l u
B
d
CIENCIASCIENCIAS
MaTEX
L
mites
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Seccion 5: Regla de L Hopital 39
Ejercicio 19. Hallar los siguientes lmites con la regla de LHopital.
(a) limx0
sen x
5 x. (b) lim
x11 cos(x 1)
(ln x)2
(c) limx0ln(1 + x)
sen x
x sen x (d) limx01 + sen x
ex
(arctan x)2
(e) limx0
1
tan x 1
x(f) lim
x0x sen x
tan x sen x
(g) limx0
ex x 1x2
(h) limx0
x2 sen 1xsen x
(i) limx
cos
1
x
x(j) lim
x0(cos 2x)
1x
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Soluciones a los Ejercicios 40
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A
s = B + m v
r = A + l u
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Soluciones a los Ejercicios 40
Soluciones a los Ejercicios
Prueba del Teorema 2.1. Cuando x 0, x y sen x son equivalentes.Observese la figura de radio 1
0
x
C
B
A
T CB < AB < ATsen x < x < tan x
Dividiendo por sen x
1