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Revista de Investigacin de Fsica. Vol. 9 N 1 (2006) 31-35
E-mail: [email protected]
ISSN 1605-7744
LOCALIZACION DE P-BRANAS EN SUPERGRAVEDAD Y TEORIA-M
Fulgencio Villegas Silva a
a Departamento de Fsica Atmica y Nuclear, Facultad de Ciencias Fsicas, Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Ciudad Universitaria Av. Venezuela Cuadra 34. Apartado. Postal 14-0149, Lima 14, Per.
Resumen
Se analizan los resultados recientes referentes a una clase especial de soluciones tipo p-branas a la teora de
supergravedad en once y diez dimensiones. Se discute la no localizacin y localizacin de las intersecciones de
las p-branas. Se presenta el nuevo mecanismo de ennegrecimiento de branas localizadas.
Palabras claves: P-branas, Supercuerdas, Supergravedad, Dimensiones extra.
Abstract
Recent results concerning a special class of p-brane solutions in eleven-dimensional and ten-dimensional
supergravities are reviewed. Delocalised as well as localized intersections of p-branes are discussed. The new
mechanism of Blackening localized branes is presented.
Keywords: P-branes, Superstring, Supergravity, Extra dimensions.
1. Introduccin
Las soluciones tipo p-branas a la teora de la
supergravedad son relevantes para diferentes
aspectos de la teora de supercuerdas, relatividad
general y teoras de gauge supersimtricas. Las
p-branas son una manifestacin de baja energa
de la teora de cuerdas no-perturbativa [1].Es
determinante el rol especial que cumple el
estudio de las p-branas en el reciente desarrollo
de la teora de cuerdas. Las p-branas se
establecen como soluciones de la teora de
supergravedad y pueden ser investigadas por
mtodos clsicos, ellas proporcionan un camino
para obtener informacin no-perturbativa acerca
de la teora cuntica de cuerdas va clculos
clsicos. Las p-branas tambin son importantes
por la existencia de dualidades que conectan las
diferentes teoras de supercuerdas y apoyan la
conjetura de que los cinco tipos de supercuerdas
conocidas son puntos diferentes de una nica
teora llamada teora-M [2].
Podran inspeccionarse fiablemente las
dualidades en el nivel clsico y las diferentes
conexiones entre p-branas las cuales
proporcionan las herramientas necesarias para
ello. Es difcil de sobrestimar el papel de las p-
branas en la fsica del agujero negro. Uno de los
recientes logros ms importantes aqu es una
interpretacin microscpica de la entropa de los
agujeros negros [3]. Los agujeros negros son
considerados como configuraciones de branas
envueltas y teniendo en cuenta los micros
estados de las branas permite derivar la frmula
de Bekenstein-Hawking. Recientemente una
nueva aplicacin de las p-branas fue encontrada.
Ello pareca ser importante para la interpretacin
de resultados no-perturbativos en teoras gauge
supersimtricas va la teora-M [4]. De esta
manera los aspectos diferentes de la dinmica
no-perturbativa tienen una explicacin
geomtrica clara en lo que se refiere a las
configuraciones de las branas.
-
32 F. Villegas / Rev. Inv. Fs. Vol.9 N1 (2006) 31-35
2. Soluciones tipo p-branas
Considerando las p-branas en supergravedad con
once dimensiones. El sector bosnico de esta
teora consiste de una mtrica y un potencial 3-
forma. La parte correspondiente a la accin es
[5]
1 1 21 1 1( ) .
2 2 .4 ! 1 2M N P Q
S d x G R F A F F
(1)
Las p-branas son soluciones puramente
bosonicas, as el sector ferminico de la teora
no es importante en este trabajo. La
supergravedad en once dimensiones admite dos
soluciones bsicas, las cuales corresponden a la
M2-brana y a la M5-brana de la teora-M. La
solucin M2-brana tiene la siguiente forma [6]
2 1 / 3 1 2 2 2 2 2
1 2 1 8( ( ) ( ... )) ,d s H H d t d y d y d x d x
(2)
1 2 1 2
1,
ty y ty yA H
(3)
donde H es la funcin Harmnica, la cual
depende de x-coordenadas
61 , .
QH r r
r (4)
Esta solucin describe una sola membrana con
un volumen-mundo orientado a lo largo de t, y1,
y2 y localizada en el punto r=0 en el espacio
transversal. La M2-brana transporta la carga 4-
forma elctrica la cual es definida como la
integral e la dual 7-forma alrededor a una 7-
esfera que rodea la brana. La M2-brana es un
estado BPS, preserva de la supersimetra
inicial. Una importante solucin de la
supergravedad en once dimensiones es la M5-
brana [7]
2 2 / 3 1 2 2 2 2 2
1 5 1 5( ( ... ) ( ... )) ,d s H H d t d y d y d x d x
(5)
1 4 1 5 5... ... 6
, 1 .Q
F H Hr
(6)
La M5-brana transporta caga 4-forma magntica
la cual es obtenida por integracin de F
alrededor de una 4-esfera que rodea la M5-brana.
La M2-brana y la M5-brana tambin preservan
un medio de la supersimetra. A veces se dice
que una solucin brana cuya funcin armnica
es independiente de varias coordenadas
transversales es no-localizada. Esto significa que uno no puede determinar la posicin de la
brana en algunas direcciones, Aparece la
incertidumbre en la localizacin.
3. Interseccin de branas
Las soluciones presentadas son los bloques para
las construcciones de configuraciones ms
complicadas que corresponden a intersecciones
de branas. Como un ejemplo de interseccin no
localizada se puede considerar una configuracin
(3 5 , 5 )M M de dos M5-branas intersecndose
en una 3-brana [8,9].
2 2 / 3 2 / 3 1 1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 3
1 2 2 1 2 2
1 1 2 2 1 2
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ) ,
d s H x H x H x H x d t d u d u d u
H x d y d y H x d z d z d x d x
(7)
1 2 1 21 2( ) , ( )
z z y yF H x F H x
(8)
La primera brana es localizada en la direccin t,
u, y, la segunda en la direccin t, u, z. Las
coordenadas y, z son llamadas transversas
relativas. La importancia de esta solucin es que
la funcin armnica H1(x) y H2(x) depende del
conjunto de coordenadas transversales las cuales
son ortogonales a ambas branas. Significa que
cada brana no es localizada en las direcciones
transversales relativas. Excepto esta
configuracin existe otro par de intersecciones
no localizadas que involucran M2-brana y M5-
brana, como son [9,10]
( 0 2 , 2 )M M Intersecndose en un punto,
(1 2 , 5 )M M M2-brana interseca a M5-brana a
lo largo de 1-brana.
Notar que la interseccin de branas es controlada
por la regla general de interseccin [9,10]. Esta
regla de interseccin es consistente con las
dualidades [11]. Ahora analizar las
intersecciones localizadas de M-branas. Existen
slo dos configuraciones de este tipo. Uno de
ellos describe dos M5-branas que se intersecan
-
F. Villegas / Rev. Inv. Fs. Vol.9 N1 (2006) 31-35 33
en una cuerda (1 5 , 5 )M M , la otra puede
obtenerse agregando la tercera M2 - brana
(1 5 , 5 , 2 )M M M . El elemento de la lnea y las
componentes non-triviales de la forma
diferencial para localizar la interseccin de la
M5-brana es
2 2 / 3 2 / 3 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 2
1 2
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ) ,
d s H y H x H y H x d t d u
H y d x H x d y d
(9)
1 2( ) , ( ) .
i k l i k l n n i k l i k l n my y y y y y y y x x x x x x x x
F H y F H x
(10)
Esta solucin describe la M5-brana la cual es
orientada a lo largo de las direcciones t, u, y e
interfecta a la otra M5-brana localizada en la
direccin t, u, x. Hay una diferencia importante
entre estas soluciones y aquellas ya discutidas:
Las funciones armnicas son ahora
independientes del conjunto de direcciones
transversales y solamente dependen de las
direcciones transversales relativas. Esto es, la
M5-brana se localiza ahora entre las direcciones
tangentes de la otra M5 -brana pero es no
localizada en la direccin transversa global que
los separa. Notar que esta es tambin la
diferencia en las reglas de interseccin entre
intersecciones no localizadas y localizadas de M-
branas [12,13,14].
4. Proceso de ennegrecimiento de branas
Todas las soluciones discutidas anteriormente
son BPS-saturadas. Adems de ello uno puede
considerar soluciones no-extremales que pueden
interpretarse como las deformaciones de las
extremales. El procedimiento para obtener
soluciones no extremales de las extremales se
denomina proceso de ennegrecimiento. En el caso de una brana o no localizacin de la
interseccin de branas este procedimiento
consiste en reemplazar en el espacio transversal
global D-dimensional de los elementos de lnea
as como en la parte temporal de el [15, 16]
1 2 2
1 ,( )
Dd x d x f r d r r d
(11)
2 2
( ) ,d t f r d t (12)
donde
2( ) 1 .
Df r
r
(13)
1 .AQ
(14)
Como un ejemplo presentamos la interseccin de
una M5-brana no extremal obtenida de esta
manera
2 2 / 3 2 / 3 1 1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 3
1 2 2 1 2 2 1 2 2
1 1 2 2 1 2 2
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ,
d s H x H x H x H x f r d t d u d u d u
H x d y d y H x d z d z f r d r r d
(15)
Notar que en lmite 0 se consigue la
configuracin extremal discutida. Otro lmite
0Q da un anlogo multidimensional de la
solucin de Schwarzschild. Desafortunadamente
este procedimiento no trabaja propiamente para
las intersecciones localizadas de branas. Esta
aplicacin no extremiza solamente una brana,
sino ambas. Se necesita otra aproximacin que
sea una generalizacin de este mtodo. Fue
propuesto [14] que el nuevo procedimiento de
ennegrecimiento sea basado en deformaciones que en el lmite del vaco no den la solucin de
Schwarzschild pero den soluciones ms
complicadas. Este procedimiento se aplic a la
interseccin localizada de M5-branas
presentando la configuracin siguiente
2 2 / 3 2 / 3 1 1 2 2 1 1 / 3 1 2 2
3
1 1 / 3 1 2 2 2 / 3 2
3
( ( ) ( )
( ) ) ,
x y x y x y y x x x x
x x y y y x
d s H H H H f f d t d u H f f d r r d
H f f d r r d f d
(16)
2 2 2 21 , 1 , 1 , 1 .
y yx x
x y x y
x y x y
QQH H f f
r r r r
(17)
El lmite , 0x y
se retorna a la
configuracin extrema al anterior, el lmite
, 0x y
Q Q lleva a la nueva solucin en el vaco
de la supergravitacin en once-dimensiones que
difiere de la solucin de Schwarzschild.
-
34 F. Villegas / Rev. Inv. Fs. Vol.9 N1 (2006) 31-35
5. Supergravedad IIA
Ahora se discute brevemente el tipo de
supergravedad IIA. La accin de la
supergravedad tipo IIA en diez dimensiones se
obtiene por reduccin dimensional en un crculo
de supergravedad en once-dimensiones.
1 0 2 2
3
3
2 ' 22 2
2 4
1 1 1( ( ) )
2 2 2 .3 !
1 1) ( ) ( ) ,
2 .2 ! 2 .4 !
S d x G R e F
e F e F C h e r n S im o n s fe r m io n e s
(18)
'
4 3 1 3.F d A A F (19)
La parte bosnica de la accin contiene los
campos que vienen de los sectores NS-NS y R-
R de la supercuerda. El dilatn, la mtrica GMN y
la 2-forma A2 son campos NS-NS, la 1-forma A1
y 3-forma A3 son campos R-R. Los objetos
multidimensionales que conducen cagas R-R son
llamados D-branas. Tambin se tiene NS-branas
las cuales conducen cargas NS. De acuerdo con
el campo contenido tenemos las siguientes
branas
NS-Brana: NS1 (cuerda fundamental),
NS% (5-brana solitnica)
D-branas : D0, D2, D4, D6.
As como en el caso de M-branas se construye
las configuraciones de interseccin de estas
branas as tambin se puede considerar las
deformaciones no extremales de ellas. Se
presenta como ejemplo la configuracin
localizada de dos NS5-branas no extremales
intersecndose en una cuerda [14]
2 3 / 4 3 / 4 1 1 3 / 4 2 2 1 1 / 4 1 2 2
3
1 1 / 4 1 2 2
3
( ( ) ( )
( )) ,
x y x y x x y y x x x x
x x y y y
d s H H H H f f f d t d u H f f d r r d
H f f d r r d
(20)
1 / 2 1 / 2 1 / 2
x y xe H H f
(21)
2 2 2 21 , 1 , 1 , 1 .
y yx x
x y x y
x y x y
QQH H f f
r r r r
(22)
6. Conclusiones
En la conclusin, se ha discutido algunos
problemas y preguntas abiertas acerca de las
soluciones tipo p-branas en varias
supergravedades. Se localiz la interseccin de
tres branas extremales (M5, M5 y M2 por
ejemplo). Sin embargo en el caso de branas no-
extremales se mostr un par de intersecciones
localizadas. Es interesante notar que es posible
agregar una tercer brana non-extremal que se
localiza en las direcciones transversales relativas.
Uno de los problemas no resuelto es el de
determinar soluciones a la supergravedad que
representen branas que terminen en otras branas
[4]. La importancia de tales soluciones es
determinada por la posibilidad de interpretar
algunos resultados en teoras gauge
supersimtricas va p-branas. Podra ser que
estudiando estas configuraciones nos llevarn a
entender ms profundamente el fenmeno no-
perturbativo en la teora de campos
supersimtrica as como en la no-supersimtrica
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