LOGARITMOS

LOGARITMOS EN BASE 10Tambin llamados logaritmos decimales o vulgares.Se suelen representar poniendo el logaritmo sin la base: log x = log10 x

LOGARITMOS NATURALESAl igual que = 3,14159... es un nmero importante dentro de las matemticas, existe otro nmero muy importante, el nmero e cuyo valor es 2,71828182845904523536...Los logaritmos en base e reciben el nombre de logaritmos naturales o neperianos. Se suelen representar poniendo el smbolo ln:ln x = loge x

DEFINICIN # 1El logaritmo de un nmero n en base a se define como el nmero al que hay que elevar a para obtener el nmero n.

loga n = x ax = n

Ejemplos:El logaritmo es, por tanto, la operacin inversa a la potencia, igual que la divisin es la operacin inversa de la multiplicacin.

DEFINICIN # 2Se denomina logaritmo en base a del nmero an , al exponente n de la base a. Se escribe como:log a an = n

Donde: a > 0

Ejemplos:log2 16= log2 24= 4log4 16= log4 42= 2log16 16= log16 161= 1log3 9= log3 32= 2log10 100= log10 102= 2log2 1/4= log2 4-1= log2 22(-1)= log2 2-2= -2log3 1/81= log3 81-1= log3 34(-1)= log3 3-4= -4

CAMBIO DE BASECONCLUSIN: El cambio de base permite obtener rpidamente un resultado con ayuda de la calculadora cientficalog2 5 ??Pero silog 5log 2 2.32ln 5ln 2 2.32

Logaritmo de 1log2 1= log2 20= 0log4 1= log4 40= 0log20 1= log20 200= 0CONCLUSIN: El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a cero a0=1

Logaritmo de 0log2 0= log2 ? NO EXISTElog4 0= log4 ?CONCLUSIN: El logaritmo de 0 NO EXISTE , pues a? 0 NO EXISTE

EJERCICIOS:Expresar el nmero 6 como un logaritmo de base 26=log2 ..6= log2 26 6= log2 64Expresar el nmero 2 como un logaritmo de base 122=log12 ..2= log12 122 2= log12 144

EJERCICIOS:Aplique logaritmos para llenar la tabla mostrada:

OTRAS PROPIEDADESLos logaritmos tienen la propiedad de convertir las multiplicaciones en sumas, las divisiones en restas, las potencias en multiplicaciones y la races en divisiones.

EJERCICIOS:Desarrollar la expresin: Desarrollar la expresin:

EJERCICIOS:Desarrollar la expresin:

EJERCICIOS:Agrupar en un solo logaritmo la expresin:

ECUACIONES LOGARTMICASUNICIDAD* Determinar el valor de X

ECUACIONES LOGARTMICAS* Determinar el valor de X* Determinar el valor de X

APLICACIONES DE LOS LOGARITMOSDECIBELIOS (DECIBELES)

ESCALA DE RICHTER (TERREMOTOS)

NIVELES DE PH

ESCALAS (LOGARITMICAS)

1.- DECIBELIO (dB)Es una magnitud profusamente utilizada en Telecomunicaciones.Expresa la relacin entre dos cantidades homogneas en forma logartmicaEquivale a la dcima parte del Bel, puesto que esta resulta ser demasiado grande para las magnitudes normalmente utilizadas

Preguntas y ConclusionesQue pasa cuando la potencia de salida es el doble que la de entrada? Que pasa cuando la potencia de salida es el igual que la de entrada?Que pasa cuando la potencia de salida es la mitad que la de entrada? Resultado positivo indica ganancia. Resultado negativo indica prdidas.Gp=3dBGp=0dBGp=-3dB

Ejercicios:En cierto equipo, se especifica que la ganancia de potencia es de 40dB. Esto implica que si a la entrada aplicamos 4mW, en la salida obtendremos?Mediante cables, desde un punto A se transmite 120V hasta un punto B. Si al medir el voltaje en el punto B, se obtienen 108V; determine la atenuacin por concepto del cable.

RELACIN ENTRE VOLTAJES Y CORRIENTESLa relacin en dB entre las seales en el punto 1 y punto 2 puede darse tanto como relacin de potencias, como relacin de tensiones o corrientes.

RELACIONES

COMPARACIN ENTRE MAGNITUDESSISTEMA LINEAL: La ganancia, es la proporcin entre la tensin de salida y de entrada.

La ganancia total entre varias etapas, es el producto entre ellas:

CIRCUITOS AMPLIFICADORES DE VOLTAJE

COMPARACIN ENTRE MAGNITUDESSISTEMA LOGARTMICO: La ganancia, se expresa:

La ganancia total entre varias etapas, es la suma entre ellas:

CIRCUITOS AMPLIFICADORES DE VOLTAJE

Ejercicio:Dos bloques amplificadores se encuentran conectados en cascada. Calcular:* La ganancia total magnitud lineal y logartmica (dB)* Calcular el voltaje Vo

Ejercicios:Las caractersticas de cierto cable indican que atena la seal de voltaje a razn de 4dB/km. Entonces, si en un punto B se han medido 108V y la distancia entre la seal original y el punto B es de 650m. Cuntos voltios tiene la seal original?

Ejercicio (deber):Tres bloques amplificadores estn conectados en cascada. Calcular:* GT y V2* Calcular el voltaje Vi y el voltaje en el punto x

Ejercicio (deber):Para el siguiente circuito, considere que:Atenuacin total en el cable: 5dBPrdidas en el elemento Z: 4dBGanancia del amplificador G:40dBTensin en el punto A:0.048mV

** Calcular la tensin en el punto C

3.- TERREMOTOS (ESCALA RICHTER)La fuerza de un terremoto medida por la escala Richter est dada por la expresin:R = log E/Iodonde E es la intensidad de las vibraciones del terremoto medido y Io es la intensidad de la unidad de un terremoto estndar.La escala Richter es una medida comparativa.

Magnitud / Efectos

Ejercicio:El 14 de mayo de 1995, el Servicio de Informacin Nacional de Terremotos de los Estados Unidos inform un terremoto en el sur de California que midi 3.0 en la escala Richter, pero pocas personas se dieron cuenta de esto.Anteriormente, ese mismo ao, el 17 de enero, un terremoto en Kobe, Japn, dej 2000 muertos y billones de dlares en daos. ste midi 7.2 en la escala Richter.Cun ms severo fue el terremoto de Kobe, que el del sur de California?

Respuesta y conclusinEl terremoto de Kobe tuvo una intensidad de 15,849 veces mayor que el terremoto de California.Debido a que la escala Richter es una escala logartmica, las diferencias pequeas en los valores Richter (7.2 a 3.0, por ejemplo) se traducen en diferencias enormes en la intensidad de los terremotos.

Ejercicio (deber):El terremoto de San Francisco en el ao 1989, registr una magnitud de 6.9 en la escala Richter. El nmero de vctimas fatales fue de 62. En el ao 1906, en esta misma ciudad, ocurri un terremoto que midi 8.3 en la escala Richter. La cantidad de vctimas fatales fue de 503. Cun ms poderoso (intenso) fue el terremoto del ao 1906, que el del ao 1989?

Ejercicio (deber):Suponga que un terremoto en la ciudad de Los ngeles es la mitad de poderoso que el terremoto del ao 2005 en Indonesia, el cul midi 8.7 en la escala Richter.

Cul hubiera sido la medida del terremoto de Los ngeles en la escala Richter?

4.- ESCALAS LOGARTMICASSon utilizadas mayoritariamente para mostrar grficamente fenmenos exponenciales, logartmicos y potenciales; debido a que en una escala aritmtica, no es posible ubicar valores demasiado grandes.Las escalas logartmicas tpicamente son en base 10, pero es posible hacerlas de cualquier base.

Elaboracin de escalas logartmicasDesignar el espacio (cm) en la hoja donde se va a dibujar la escala logartmica.Establecer la base del logaritmo, y realizar clculos bsicos segn el nmero de escalas. Por ejemplo:Base 10: log 1..log 10..log 100..log 1000Base 4: log 1..log 4.log 16log 64Trazar proporcionalmente la escala con respecto al espacio destinado en la hoja.

Elaboracin de escalas logartmicasBASE 10BASE 4

TIPOS DE PAPELSi utilizamos un eje de coordenadas en escala logartmica y en el otro eje una escala aritmtica se dice que estamos en presencia de un papel semilogartmico (logartmico simple semi-log).Si en ambos ejes utilizamos escalas logartmicas, se trata de un papel logartmico (logartmico doble log-log)