Los - UNAM · de los puntos en una recta (figura 3). Precisamente a los puntos de esta rec-ta les...

lescopios son capaces de transmitir-nos, o cuando tenemos la oportuni-dad de disfrutar las imágenes de lomuy pequeño, como el tejido celularde Volvox aureus o de las primeras cé-lulas de la formación de un ser hu-mano en el útero materno, y estamosconscientes de que lo pequeño, las

66 CIENCIAS 68 OCTUBRE DICIEMBRE 2002

Una intuición que no es extraña alespíritu humano es la sensación deque formamos parte de una reali-dad que va más allá de lo que puedenobservar nuestros sentidos. Cuandotenemos la suerte de gozar las imá-genes mágicas de estrellas o galaxias,que en la actualidad los grandes te-

ÁN

GE

LTA

MA

RIZ

M.

67

CIENCIAS 68 OCTUBRE DICIEMBRE 2002

inmerso —¿por qué no?— en otrosuniversos conteniendo realidades ini-maginables. Estas sensaciones ya lasexpresaban Kant y Shakespeare enformas diversas: “La fábrica del mun-do nos produce un silencioso asom-bro por su inmensa grandeza y por lavariedad y la belleza infinitas que por

Losinfinitosel paraíso de Cantor

¡El i

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ito!

Nin

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células, está formado por partes máselementales y diminutas como los or-ganelos, que lo están por proteínas yácidos nucleicos, y éstos a su vez seconstituyen por partículas aún máspequeñas (moléculas, átomos), enton-ces se nos presenta con fuerza la vi-sión de nuestro universo inmenso, e


O recordemos también las famosasparadojas de Zenón de Elea, quien,en el siglo V a. C., planteaba, de ma-nera contundente, las dificultades quelos procesos infinitos crean entre larealidad lógica y la realidad física.Aquiles, el héroe griego, y una tortu-ga deciden medir sus habilidades einician una carrera. Aquiles le da ven-taja a la tortuga permitiéndole queinicie la carrera en una posición másadelantada. Resulta entonces que, ba-jo estas condiciones, éste jamás po-drá alcanzar a la tortuga, pues cuandollegue al lugar en donde la tortuga co-menzó la carrera, ésta estará adelantede él, y cuando alcance este segundopunto, que ya tocó la tortuga, ésta es-tará en algún lugar adelante, etcétera(figura 2). Por tanto, Zenón concluyeque el movimiento no existe.

Es también en el siglo XIX cuandoPeano define a todos los números na-turales mediante una colección finitade axiomas, que permite decidir mu-chas propiedades matemáticas pormedio de la llamada inducción ma-temática. Por fin, a finales del sigloXIX, es el matemático alemán GeorgCantor quien resuelve de manera ma-gistral el problema de lo infinitamen-te grande. Reflexionaremos primerosobre los conjuntos, los números y loque significa contar y comparar nú-meros. Recordemos que a ≤ b signifi-ca que a es menor o igual que b; a < b

significa “a es estrictamente menorque b”; a ∈ A quiere decir que el ob-jeto a es un elemento del conjuntoA; a ∉ A debe leerse “a no pertenecea A”, y a ≠ b como “a es diferente deb”; los símbolos {a,b,c,d} y {a ∈ A : a

satisface ℘} se usan para denotar alconjunto que contiene solamente losobjetos a, b, c y d, y al conjunto de ele-mentos del conjunto A que satisfacela propiedad ℘, respectivamente.

todas partes resplandecen en ella”,dice el primero en su Historia gene-

ral de la naturaleza y teoría del cielo,mientras que en Hamlet se puede leer:“Oh Dios, podría estar inmerso en unacáscara de nuez y sentirme rey delespacio infinito”.

Podríamos intentar dar una prime-ra definición de infinito diciendo quees la palabra con la cual designamosla sensación del espíritu, el cual perci-be que la realidad limitada por nues-tros sentidos no es toda la realidad.Así, el infinito sería el producto deuna experiencia sublime, ya sea es-tética, científica, mística, poética oamorosa, como lo escribió Pablo Ne-ruda: “Beso a beso recorro tu pequeñoinfinito” —definición emocional y mís-tica que depende de las sensacionesde cada uno de nosotros.

La experiencia de lo infinito apa-rece definitiva e insistentemente, con-servando sus características del infini-to emocional que definimos antes,cuando nos acercamos a la geome-tría y a los números, cuando hace-mos matemáticas.

Recordemos, por ejemplo, el pro-blema de los segmentos de recta queno pueden ser comparables usandouna unidad común (figura 1); éste esel problema de los números irraciona-les. ¿Qué significa una magnitud quenecesita, para ser definida, una suce-sión infinita de aproximaciones pormedio de números conocidos? Estoya lo habían observado los pitagóricoscuando descubrieron la raíz cuadra-da de 2, es el caso también de π; unnúmero cercano a él es 3.141592653589793238462643383279502884197169(en la actualidad, con el uso de lascomputadoras, se han podido obteneraproximaciones a π cuya representa-ción decimal se expresa con hastamás de cincuenta mil dígitos).

Figura 2

A

A

A t

t

tmeta

meta

meta

Figura 1

2

2

1 4/10 1/100

Figura 4

f(a)

a A

b

a,f(a) f

1/100

Figura 3

0 1

69


ciamos un solo elemento f(a) en B(figura 4).

A partir de los ejemplos aquí plan-teados, podemos dar una primeraclasificación de los conjuntos. Algu-nos tienen la peculiaridad de quesus elementos pueden ser escritos orepresentados gráficamente de ma-nera exhaustiva. Este es el caso de{1,2,3,4,5} o es el caso del conjuntode rectas que pasan por cuatro pun-tos fijos en el plano. En cambio, sitratamos de escribir todos los núme-ros naturales uno después de otro,nos convenceremos rápidamente deque esto es imposible. Es decir, nues-tros sentidos no pueden percibir, usan-do el tiempo y el espacio en dondevivimos, a todos y cada uno de estosnúmeros.

Esta idea se aproxima a la defini-ción intuitiva y emocional de infinitoque dimos antes. Así podríamos ha-cer un segundo intento por definirinfinito de una manera más formal:“Un conjunto A es finito si podemosrepresentar gráficamente a cada unode sus elementos en un momento ylugar determinado. Si esto no es po-sible, diremos que A es infinito.”

Observemos, sin embargo, que sibien no podemos escribir a todos loselementos de N de una sola vez, sípodemos definir a todos estos ele-mentos usando una colección finitade palabras : 1 es un número natu-ral, si k es un número natural, enton-ces k+1 es un número natural.

Contar

Cuando tenemos frente a nosotrosuna colección finita de objetos (di-gamos, una bolsa de monedas) y que-remos contar cuántos objetos son, re-producimos básicamente la siguienteoperación: seleccionamos (con las

Números y conjuntos

En matemáticas se trabaja con sím-bolos, con números, con objetos geo-métricos, como los triángulos o lasrectas, o los puntos de un plano. Tam-bién, y principalmente, se trabaja conconjuntos formados por objetos ma-temáticos como: 1) el conjunto delos primeros 5 números naturales:{1,2,3,4,5}; 2) la colección de los nú-meros que dividen al número 12:{1,2,3,4,6,12}; 3) la colección de cir-cunferencias que pasan por dos pun-tos diferentes a y b en el plano; 4) elconjunto de los números naturales N= {1,2,3,...,n,n+1,...}; 5) el conjuntode los puntos en una recta (figura 3).Precisamente a los puntos de esta rec-ta les llamamos los números reales, ydenotamos a este conjunto con el sím-bolo R, y 6) el conjunto {xn : n ∈ N},que es una colección de curvas en elplano.

Si A y B son dos conjuntos, en-tonces A× B es el conjunto formadopor todos los objetos de la forma (a,b)

en donde a ∈ A y b ∈ B. Además, unasubcolección B de los elementos deun conjunto A, es también un con-junto. En este caso, decimos que Bes un subconjunto de A.

Un conjunto de particular impor-tancia y que seguramente llamará laatención del lector, es aquel que ca-rece de elementos, al cual llamamosel conjunto vacío y lo denotamos con∅. La consideración de este concep-to no es un acto de excentricidad, asícomo no lo es la inclusión del ceroen el sistema numérico.

Otros ejemplos de conjuntos sonlas funciones: Una función f defini-da en un conjunto A y con valoresen un conjunto B es un conjunto{(a,f(a)) : a ∈ A} contenido en A × B

de tal forma que a cada a ∈ A le aso-


manos, con la vista o con algún ins-trumento) primeramente uno de loselementos por contar y menciona-mos la palabra “uno”, luego tomamosun elemento diferente al anterior ydecimos “dos”, y así proseguimos has-ta acabar con todos los elementos dela colección. Gráficamente podemosrepresentar esta operación como semuestra en la figura 5.

Así, la acción de contar los ele-mentos de un conjunto finito A quecontiene k objetos, es básicamente lade establecer una correspondenciaexhaustiva y uno-a-uno entre los ele-mentos del conjunto A con los ele-mentos del conjunto {1,2,...,k}.

Una vez que estamos conscien-tes de lo que significa contar, pode-mos preguntarnos qué es el número3. Lo primero que se nos ocurre paracontestar esta pregunta es tratar dedar ejemplos. Tomamos tres manza-nas y decimos “tres manzanas”, to-mamos tres sillas y decimos “tres si-llas”. Decimos, “el conjunto {1,2,3}

tiene tres elementos”, o “el triángu-lo tiene tres lados”. Pero el ser tresno depende de las manzanas o de lassillas o de los lados del triángulo. ¿Có-mo resolver pues esta pregunta? Unabuena alternativa es la siguiente: elnúmero 3 es la clase de todos los con-juntos que tienen tres elementos (fi-gura 6).

Esto tiene sentido, y lo podemoshacer con cada número natural. Inclu-so, esta definición nos permite tam-bién comparar entre dos númerosdados, digamos 3 y 5. ¿Cuál es el ma-yor de ellos? Tomamos un represen-tante del primero, digamos {1,2,3},y uno del segundo: {1,2,3,4,5}. Es cla-ro que podemos establecer una rela-ción exhaustiva y uno-a-uno entre elprimero y un subconjunto del segun-do, pero es imposible hacer lo mismo

71


tos que los números naturales. El nú-mero que designa a esta clase es elnúmero infinito álef-cero, el cual seescribe comoℵ0. (álef o aleph, ℵ, esla primera letra del alfabeto hebreoy corresponde a la letra A.)

Con la idea de función biyectivapodemos entonces hablar de conjun-tos finitos y de conjuntos infinitoscon toda precisión y de números ma-yores que otros; es decir, podemosdeterminar cuándo un conjunto tienemás elementos que otro. En efecto,si podemos establecer una funciónbiyectiva entre un conjunto A y unsubconjunto de un conjunto B, y nopodemos hacer lo mismo de B en A,entonces decimos que B tiene unacantidad de elementos estrictamentemayor que la cantidad de elementosque contiene A (figura 9).

Entre los ejemplos de conjuntosque hemos presentado nos quedaclaro que varios de ellos son conjun-tos infinitos. Por ejemplo, los núme-ros naturales y los números reales;así también es infinito el conjunto delos números primos, el de los núme-ros enteros Z = {....-3,-2,-1,0,1,2,3,...},y también el conjunto de los númerosalgebraicos: un número es algebrai-co si satisface una ecuación del tipoanxn + an+1xn-1+...+a1x + a0 = 0 endonde ai es un número entero paratoda i ∈ {0,...,n}. ¿Será cierto que to-dos los conjuntos infinitos tienen lamisma cantidad de elementos? Porejemplo, ¿N tiene la misma cantidadde elementos que R? y ¿tendrá R lamisma cantidad de elementos quela colección de puntos del plano?Este tipo de preguntas se las plan-teó Cantor y logró responderlas demanera sorprendente. En primer lu-gar resulta que N tiene tantos elemen-tos como algunos de sus subconjuntospropios; este es el caso, por ejemplo,

en sentido inverso. Entonces decimosque 3 es estrictamente menor que 5.

Georg Cantor y el infinito

Son estas ideas básicas, planteadasen la sección anterior, las que inspi-raron a Cantor a finales del siglo XIX

a resolver el problema de lo infinita-mente grande. Su magistral inven-ción fue el concepto fundamental defunción biyectiva, es decir, la ideade una relación exhaustiva y uno-a-uno. Con más exactitud: Una función f

definida sobre un conjunto A y convalores en un conjunto B es biyectivasi (1) f relaciona cada dos elementosdiferentes de A con dos valores dife-rentes de B, y (2) cada elemento enB está relacionado con uno de A (fi-gura 7). Si es posible establecer unarelación biyectiva entre los conjun-tos A y B, entonces decimos que A yB son equivalentes o tienen la mis-ma cantidad de elementos.

Es así, con la idea de función bi-yectiva, como podemos definir de ma-nera más precisa lo que significa queun conjunto sea finito o infinito: A esfinito si es vacío o si existe un núme-ro natural k y una función biyectivaentre los elementos de A y los pri-meros k números naturales (figura8). Y un conjunto es infinito si noexiste una función con estas caracte-rísticas.

Estas ideas nos conducen a gene-ralizar el concepto de número: un nú-mero es la clase de todos los conjun-tos que son equivalentes (es decir,que tienen la misma cantidad de ele-mentos). Así, como dijimos antes, a laclase de todos los conjuntos con treselementos le llamamos número 3. Deesta manera podemos también con-siderar la clase de los conjuntos quetienen la misma cantidad de elemen-

Figura 5

1

2

3

4

Figura 6

3

Figura 7

A

B

Figura 9

A

B

Figura 8

A

Figura 11

Figura 12

1) podemos establecer una biyec-ción entre los elementos de B y loselementos de un subconjunto de A,pero, 2) no podemos establecer unabiyección entre los elementos de Ay los elementos de un subconjuntode B (este es el llamado teorema deCantor-Bernstein).

Es necesaria la segunda condi-ción 2) en la definición anterior, yaque, por ejemplo, N tiene tantos ele-mentos como el conjunto de raciona-les positivos {p/q : p,q ∈ N}. Estonos podría hacer pensar que la co-lección de números racionales, esdecir, el conjunto de todos los cocien-tes (o quebrados) formados por nú-meros enteros, es un conjunto conuna cantidad de elementos estricta-mente mayor que los que posee N,pero esto no es cierto, hay tantos na-turales como racionales.

Algunos otros ejemplos: se puedeprobar que la colección de puntos enun círculo es tan grande como la co-lección de puntos en todo el plano.Es más, hay tantos puntos en el pe-queño guión – como puntos hay entodo nuestro universo de tres (¿o cua-tro?) dimensiones. Se derrumba de-finitivamente el principio euclideanoque afirmaba “el todo es estrictamen-te mayor que cada una de sus partes”.Es claro que esto ya no es siemprecierto, por lo menos, como estamosviendo aquí, hay partes que tienentantos elementos como el todo. El afo-rismo euclideano debe cambiarse porel siguiente: “el todo es mayor o igualque cada una de sus partes”. Esta rea-lidad matemática la expresa Kant di-ciendo: “No nos acercamos más a lainfinitud de la obra de la creación di-vina encerrando el radio de su reve-lación en una esfera que tenga porradio la Vía Láctea, que tratando decircunscribirla a una bola de una pul-


del conjunto de los números pares.También el conjunto de los númerosenteros Z tiene la misma cantidad deelementos que N (figura 10). Y aúnmás asombroso es que hay tantosnúmeros algebraicos como naturales.

Ahora podemos imaginar que losnúmeros impares son tantos comolos elementos en N.

¿Cómo demostraríamos que la co-lección de números primos es tangrande como N?

También es posible darnos cuen-ta de que hay tantos números natura-les como racionales positivos (figura11), es decir, tantos números raciona-les (elementos en Q = {p/q: p,q ∈ Z,

q ≠ 0}) como naturales. Así, en elcostal con etiqueta ℵ0 se encuentranZ, {2n : n ∈ N} y Q (figura 12).

Asimismo, usando la idea de fun-ción biyectiva, podemos demostrarque la cantidad de puntos en un seg-mento de recta [a,b] es la misma quela de puntos en un segmento [c,d] paracualesquiera a,b,c,d ∈ R que cumplena < b y c < d; y que la cantidad depuntos en el segmento de recta com-prendido entre dos puntos a, b con a< b, (a,b) = {x ∈ R : a < x < b}, es lamisma que la de puntos en toda la rec-ta real (figura 13).

Comparar conjuntos

Una de las preguntas que formula-mos antes y que resulta importantees ¿todos los conjuntos infinitos tie-nen la misma cantidad de elemen-tos? En particular, ¿coincide la canti-dad que hay de números reales conla de números naturales?

Una vez más, ¿qué significa queun conjunto A tenga más elementosque un conjunto B? Bueno, como yadijimos antes, A tiene estrictamentemás elementos que el conjunto B si:

Figura 10

1 2 3 4 … n … 2n 2n+1 …

0 -1 1 -2 … … -n n …

2 4 6 8 … 2n … 4n 4n+2 …

Figura 13

a

N

QκN

2N

N2

Z

Números primos

Números algebraicos

Nκ

p b

0

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� ��

��

��

��

ℵ0

tenemos así una contradicción. Estosignifica que forzosamente R debetener más elementos que N. Al nú-mero de elementos en R lo denota-mos por c y recibe el nombre de “Elcontinuo”.

Así pues descubrimos otra de lasverdades asombrosas sobre el infini-to: existe más de un infinito.

El conjunto potencia

Dado un conjunto A podemos hablardel conjunto potencia P(A) que es elconjunto de todos los subconjuntosde A. Así, si A = {1,2,3}, entoncesP(A) = {∅ ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

Obsérvese que en este ejemplo lacantidad de elementos que tiene Aes menor estrictamente que la canti-dad de elementos que tiene P(A).

La proposición que sigue generali-za esta observación y tiene implica-ciones importantes: resultado 1. Paracualquier conjunto A, P(A) tiene es-trictamente más elementos que A.

Demostración: supongamos queexiste una función biyectiva h que re-laciona los elementos de A con aque-llos de P(A). Tomamos ahora el con-junto T formado por los elementos xde A que tienen la peculiaridad deno ser elementos de h(x). T es un sub-conjunto de A y por lo tanto debeexistir un elemento a en A tal queh(a) ∈ T. Ahora bien, es claro que elelemento a o pertenece a T o no per-tenece a T. Si pasa lo primero, es de-cir, si a ∈ T, entonces, por definiciónde los elementos en T, a ∉ T; y si a∉ T, entonces a ∈ T. Las dos conclu-siones juntas constituyen una contra-dicción, por lo cual debemos concluirque no existe ninguna biyección en-tre los elementos de A y los de P(A).Como además la relación a → {a} es

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gada de diámetro”, mientras que paraBorges, “el diámetro del Aleph seríade dos o tres centímetros, pero el es-pacio cósmico estaba ahí, sin dismi-nución de tamaño”.

El continuo

Llegamos ahora a un punto en dondees ineludible la pregunta ¿el conjuntode puntos en la recta, es decir, el con-junto de números reales tiene tantoselementos como N?

Veamos, si R tuviera tantos ele-mentos como N, entonces podríamosescribirlos en una lista, en particularlos números reales entre el 0 y el 1 ensu forma decimal (x1=0.a1

1a21a3

1...,x2=0.a1

2a22a3

2..., x3=0.a13a2

3a33..., ...,

xk=0.a1ka2

ka3k...,...), en donde cada

aij es un número entre el 0 y el 9.

Ahora tomemos en cuenta el núme-ro x= 0.b1b2b3... en el cual, para cadai, bi es un número entre el 1 y el 8diferente de ai

i. Resulta entoncesque el número x es un número realmayor que 0 y menor que 1 y no apa-rece en la lista que habíamos dado, yaque difiere de xi en su i-ésimo deci-mal para cada i. Por ejemplo, de ma-nera más concreta, supongamos quela lista de los números reales entreel 0 y el 1 es la siguiente: x1=0.207445.. . , x2=0.378950.. . ,x 3=0.901178.. . , x 4=0.983098.. . ,x5=0.872659.. . , x6=0.272457.. .

Ahora tomamos x=0.123468...De esta forma x no es x1 pues el pri-mer número en la representacióndecimal de x es 1 y el correspondien-te de x1 es 2; no es x2 pues el segundonúmero de la representación decimalde x es 2, mientras que el de x2 es 7,etcétera. Pero habíamos dicho queen la lista x1,x2,x3,... estaban repre-sentados todos los números realesmayores que 0 y menores que 1. Ob-

elementos ya tomados a1, a2,...,ak. Deesta forma se puede construir un sub-conjunto de A que tiene tantos ele-mentos como N. Esto significa que lacantidad de elementos de A es ma-yor o igual que la cantidad de ele-mentos de N.

Aritmética de números infinitos

Cuando sumamos al número 3 al nú-mero 5, básicamente realizamos lasiguiente operación: consideramosun representante del número 3, di-gamos {1,2,3} y tomamos uno del 5que no tenga elementos comunescon {1,2,3}: {4,5,6,7,8}; reunimos loselementos de ambos conjuntos y ob-tenemos el conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8}que representa al número 8. Así de-cimos que 3 más 5 es igual a 8.

Esta es la idea natural de suma yla podemos aplicar a nuestros núme-ros, sean finitos o infinitos. La sumade dos números, finitos o infinitos, my n es igual a la cantidad de elemen-tos que posee un conjunto M que re-presenta a m, es decir, que tiene mobjetos, más los elementos de un con-junto N que contiene n elementos,cuidando que M y N no tengan ele-mentos comunes (figura 14).

Ahora podemos definir producto,pues éste no es otra cosa que la repe-tición de la operación suma. Multi-plicar los números m y n, m⋅n, es su-mar n veces el número m. Es decir,para obtener m⋅n debemos tomar nconjuntos ajenos por pares, cada unode ellos con m elementos, y forma-mos el conjunto unión que contienea todos los elementos de los conjun-tos elegidos. La cantidad de objetosque contiene el nuevo conjunto esigual a m⋅n. Expresado de otra for-ma, m⋅n coincide con la cantidad deelementos de un conjunto de la for-


una biyección de A en una subcolec-ción de P(A), entonces se cumple queA tiene estrictamente menos elemen-tos que P(A).

En particular tenemos que: resul-tado 2. Existe una infinidad de nú-meros infinitos diferentes.

Demostración: en efecto, dadocualquier número infinito α y dado unrepresentante de α, A (es decir, la can-tidad de objetos que tiene A es α), elnúmero infinito que representa lacantidad de elementos de P(A) es uninfinito diferente de α y es mayor es-trictamente que α.

Podemos nombrar algunos de es-tos números infinitos: ℵ0 < ℵ1 < ℵ2

<,..., < ℵk <,... en donde ℵ1 (álef-uno) es el infinito más pequeño ma-yor que ℵ0; ℵ2 es el infinito más pe-queño mayor que ℵ1; ℵ3 es el infinitomás pequeño mayor que ℵ2, y así su-cesivamente.

También es posible demostrarque: resultado 3. El conjunto de nú-meros reales R tiene la misma canti-dad de elementos que P(N).

Por cierto, si la cantidad de ele-mentos de un conjunto infinito A esm, entonces el número de elementosde P(A) es igual a 2m. Por el resultado3 se cumple que c = 2ℵ0.

Aquí hay que señalar que el núme-ro infinito más pequeño es ℵ0, comosugiere la notación. Es decir, si A esun conjunto infinito, entonces A con-tiene un subconjunto con tantos ele-mentos como N. En efecto, tomemosa1 ∈ A, como A es infinito existe a2 ∈

A el cual es diferente de a1. De nue-vo, como A es infinito, entonces A noes igual a {a1,a2}, por lo que podemostomar a3 ∈ A el cual no pertenece alconjunto {a1,a2}. Así, si ya tomamosa1,...,ak elementos diferentes en A,es posible tomar ak+1, también ele-mento en A que es diferente a los

Figura 15

Figura 14

M

B

A

A x B

N M ∪ N

Figura 16

+

123

n

=

2N + 1 2N N

135

2n+1

246

2n

......

......

......

afirmación, es decir, c=ℵ1, se le lla-ma ”hipótesis del continuo”.

Ya en 1900 uno de los matemáti-cos de mayor prestigio de la época,David Hilbert, había planteado variasideas fundamentales con respecto alas matemáticas y al trabajo de Can-tor, algunas de las cuales fueron pre-sentadas por Hilbert en el congresointernacional de matemáticas en Pa-rís en ese año: 1) manifestó su admi-ración por el trabajo realizado porCantor y lo apoyó públicamente con-tra sus detractores: “nunca nadie nosexpulsará del paraíso que Cantor creópara nosotros”; 2) proclamó la cerca-nía del fin de la construcción del edifi-cio matemático, y no vaciló en afirmarsu convicción de que todo problemamatemático llegaría a resolverse; 3)enumeró veinte problemas matemá-ticos que a su juicio eran los proble-mas más importantes para ser resuel-tos en los años subsiguientes; entre losque mencionó el del continuo: ¿exis-te un número infinito m que satisfa-ga la relación ℵ0 < m < c?

Gödel y Cohen

Treinta años después, Kurt Gödel res-pondió de manera genial a las pre-guntas de Hilbert. En primer lugar,no es posible soñar con la estructuracompleta del edificio matemático, yno es posible obtener una demos-tración de la veracidad o falsedad decualquier problema matemático. De-mostró que en cualquier teoría axio-mática que incluye la aritmética delos números enteros, existe siempreun enunciado tal que ni él ni su ne-gación pueden ser demostrados den-tro de la teoría misma; es necesarioconsiderar una teoría más amplia pa-ra encontrar su demostración o la de-mostración de su negación.

75


ma A × B en donde A posee n ele-mentos y B contiene m elementos(figura 15).

Así, de manera natural, hemos de-finido una aritmética entre los nú-meros finitos e infinitos. Sin embar-go, cuando operamos con númerosinfinitos debemos tener cuidado, yaque lo inesperado vuelve a aparecer.Algunos de los resultados sorpren-dentes de esta aritmética de los nú-meros infinitos son las igualdadessiguientes que no tienen nada quever con la naturaleza de la aritméti-ca de los números finitos. Se cum-ple que si m es un número infinito,entonces m ⋅m=m+m=m; más ge-neralmente: m ⋅m=n+m=máximo{m,n}, para cualquier número fini-to o infinito n.

Esto significa, en particular, quesi a un conjunto infinito le aumenta-mos hasta tantos elementos como losque posee, no aumentamos en nadala magnitud de su tamaño. Por ejem-plo, considérese el conjunto de núme-ros pares y adiciónese el conjunto denúmeros impares. Estamos sumando

ℵ0 más ℵ0. Obtenemos como resul-tado a todos los números naturales,es decir, volvemos a obtener, comoresultado de esta operación, el nú-mero ℵ0 (figura 16).

David Hilbert y el problema del continuo

Tenemos entonces que ℵ0 es el nú-mero que designa a la cantidad queexiste de números naturales, y c de-signa la cantidad de puntos que hayen una recta. Además, como hemosdicho, ℵ0 < c.

Resulta entonces el siguiente pro-blema que planteó Cantor y que nopudo resolver. ¿Existe un númeroinfinito m que satisfaga la relación

ℵ0 < m < c? A la negación de tal

Resultado 4 (K. Gödel): si T es unsistema axiomático consistente queincluye la aritmética de los númerosenteros, entonces hay una fórmulacerrada A en T la cual es indecidibleen T.

El segundo resultado de Gödelse refiere al problema del continuo.Demostró que si los axiomas bási-cos de la teoría de conjuntos llama-dos de Zermelo-Fraenkel (axiomastales como: existe un conjunto, el ob-jeto que carece de elementos, es decir,el vacío es un conjunto, la unión dedos conjuntos es un conjunto, existeun conjunto infinito, etcétera) sonconsistentes, entonces la hipótesisdel continuo (ℵ1=c) es un enuncia-do consistente con los axiomas deZermelo-Fraenkel. Es decir, si la teo-ría construida a partir de los axiomasde Zermelo-Fraenkel no contiene nin-guna contradicción, entonces la teoríaque se obtiene a partir de los axio-mas de Zermelo-Fraenkel más la pro-posición c=ℵ1, no contendrá ningu-na contradicción.

Años más tarde, en 1954, Paul J.Cohen demostró que la negación dela hipótesis del continuo es tambiénconsistente con los axiomas de la teo-ría de conjuntos, suponiendo la con-sistencia de éstos.

A partir de entonces ha quedadoclaro que la realidad matemática sebifurca en universos con realidadesdiferentes cada uno de ellos: el uni-verso del c=ℵ1, por un lado, y el uni-verso del c>ℵ1 en contraposición.

Números infinitos gigantes y pequeños

Los números infinitos forman unaparte importante de la materia pri-ma que algunos matemáticos mane-jan y estudian cotidianamente. Confrecuencia se encuentran con núme-


ros infinitos gigantescos, los cualesson de diferentes tipos y reciben nom-bres tales como “infinitos fuerte-mente inaccesibles”, “infinitos medi-bles”, etcétera, y son tan grandes quese puede demostrar que no hay for-ma de probar su existencia.

Por ejemplo, un infinito fuerte-mente inaccesible α tiene las siguien-tes características: 1) para obtener αsumando infinitos menores que él,debemos, forzosamente, utilizar α su-mandos, y 2) para cualquier infinitoβ < α se cumple que 2β < α...

Están también los infinitos quepodemos llamar pequeños, que sonlos números que se encuentran en-tre ℵ0 y c.

Para ilustrar este tipo de infinitosnecesitamos introducir algunas defi-niciones.

Al conjunto P de todas las funcio-nes definidas en N y con valores enN le asignamos un orden ≤ como si-gue: para f,g ∈ P, f ≤ g si f(n) ≤ g(n)

para todo n ∈ N. Un subconjunto B esno acotado si no existe ningún h ∈P

tal que g ≤ h para cualquier g ∈ B; ydecimos que B es dominante si paracada f ∈ P existe g ∈ B tal que f ≤ g.

Definimos ahora b como el infini-to que representa la cantidad quetiene uno de los subconjuntos máspequeños de P que no son acotados,y d es el infinito que representa lacantidad de elementos que tiene unode los conjuntos dominantes más pe-queño en P.

Se puede demostrar que ℵ1 ≤ b ≤

d ≤ c.Es decir, b y d son infinitos peque-

ños. Además, es consistente con los

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Ángel Tamariz Mascarúa

Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México.

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axiomas de Zermelo Fraenkel que b< d, y es también consistente que b =d. Es decir, lo real acerca de b y d de-pende del universo matemático so-bre el que estemos observando.

Termino esta breve descripción delo infinitamente grande, reproducien-do unas palabras de principios delsiglo XX del filósofo ingles BertrandRussell, quien al referirse a los lo-gros de las matemáticas del siglo XIX,y en especial a los de Cantor, al resol-ver el problema de lo infinitamentegrande, escribe “casi toda la filosofíaanda hoy transtornada por el hechode que todas las viejas y respetablescontradicciones en las nociones del in-finito han sido eliminadas para siem-pre”. Nos preguntamos qué tan váli-da sigue siendo hoy en día esta frase;en particular: ¿cuál es la posición dela filosofía de principios del siglo XXI

con respecto al infinito y con respec-to a los grandes logros de las mate-máticas del siglo XX?

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