NUMEROS COMPLEJOS:

' Si planteamos la ecuación x2 : 1, sabemos que tiene dos soluciones reales de valores I y - I .

Sin embargo, no existe ningún número real que cumpla x2 : - 4 .

Para dar respuesta a este problema, se introducen los números complejos, a partir de los números

reales ya conocidos.

Def in ic ión : S i l lamamosCalcon jun tode losnúmeroscomple jos ,d i remosque C = {z /z=a*b i } con

a,be f r e i2 : -1 ( i : J l ) ; "a " rec ibee lnombredepar te rea ly "b"e ldepar tC j lq4g lnA lAde z .

Si z ,z 'eC y z : . ' -1?=?,lb=b '

Los números complejos se representan en un plano (llamado plano complejo), de forma que cada

número complejo z= a* b i queda representado por el punto de dicho plano de coordenadas (a, b)

que recibe el nombre de afúo del complejo.

El eje de abscisas (lugar de los puntos del plano con b:0)

recibe el nombre de eje real.

El eje de ordenadas (lugar de los puntos del plano con a : 0)

recibe el nombre de eje imaginario.

El eje real es el lugar de los puntos que representan los números reales puros.

El eje imaginario es el lugar de los puntos que representan los números imaginarios puros.

A fa forma de expresar un complejo en la forma z: a * b i se Ie llama forma binómica del

número complejo.

Operaciones con números complejos: Dados z= a* b i y z' : a' * b' i :

* S u m a : z I z ' : ( a + a ' ) + ( b + b ' ) i

Propiedades :

* Conmutativa: z * z' : z' * z

* Asoc ia t i va : (z+ z ' ) * z " = z+ (z ' * z " ) : z * z ' * z "

t N e u t r o : 0 e C = z * 0 - z ( 0 : 0 + 0 i )

* O p u e s t o d e z > - z = - a - b i > z * ( - z ) : 0

z . z ' : ( a . a ' - b ' b ' ) + ( a ' b ' + a ' ' b ) i

Propiedades :

* Conmutat iva: z ' z ' : z ' ' z

* A s o c i a t i v a : ( z ' z ' ) ' z " = z ' ( z ' ' z " ) : z ' z ' ' z "

* U n i d a d : l e C + z ' 1 : z ( 1 : l + 0 i )

* l n v e r s o d e z : V z + 0 , t ' = " a

; - " b - i

a ' + b " a ' + b 'c u m P l e z ' z ' t : I

7* C o c i e n t e : a : z ' z 'Z ,

* Producto:

2 . a t & i

* Potencia: z" : (a + b i) " : a partir del binomio de Newton:

/ - \ / . \ / . \ / \( x+y ) " : f l ] a "+ [ ! ]a "

' u * [ l l u " ' b2+ . . . * f _n . ]u 'b '

' * f -n , lu bn r+

\ u / \ r / \ ¿ ) \ n - z ) \ n - r ly s a b i e n d o q u e : i r : i 5 : i e : " ' : i

i 2 : i 6 : i r0 _ . . . : _ I

l . : l : l :

. 4 , R . t )i ' = i " : i , . : . . . : I

Forma polar del número complejo: Dado un complejo z= a* b i , que define en el plano complejo un

punto P (a , b) (afijo del no complejo), si unimos el origen de coordenadas con P, obtenemos un

vector que define, a partir de su extremo, el número complejo.

E,l vector, a su vez, quedará determinado por su módulo m y su argumento cr = ángulo que

forma con el semieje real positivo.

Conocidos m y o, conocemos el vector y por tanto, el número complejo que éste representa.

El número complejo z: a -t b i puede por lo tanto representarse simbólicamente como z: nt ¡, ,

con módulo m>0 varsumento cr.

Así, dos complejos Z: fro y z' : m'or, en forma polar,

fm :m 'serán iguales cuando: mo : m'o,(;

]o = o,*2 nk, keZ

"Para que dos complejos en forma polar sean iguales, deberán tener módulos iguales y argumentos

bien iguales, bienrdiferentes entre sí en un número entero de veces 2 n " .

Relaciones entre la forma binómica (a + b i) y la forma polar ( mo ) de un número complejo z :

De la figura (1):

Estas relaciones dan lugar a la llamada forma trigonométrica del número complejo :

z = m ( c o s c r + i s e n o )

Operaciones con complejos dados en forma polar: z : f r o y z : m ' . ,

* Producto: zz' : (m ln ')o*o, ya que:

z z ' : m o ' m ' o , : ( m c o s o * i m s e n c r ) ( m ' c o s o ' * i m ' S e n o ' ) :

: (m m' cos ü, cos c{,' - m m' sen ü sen cr' ) + i (m m' sen cr cos c{,' * m m' cos cr sen c¿' ) :

: m m' [(cosct, coso'- senü sencr ' ) * i (sencr coscx, '* cosa seno' ) ] :

: m m' [cos (o +cr ' ) + i sen (ü +ct ' ) ] : (m f f i ' ) . .*o,

z - a + b i

3

"Para multiplicar complejos en forma polar se multiplican los módulos y se suman los argumentos

de los factores"

El complejo unidad será pues

, lb l r n v e r s o o e z . z . s e r a

l s , ! a Q u e

, ( lz ' -

l -\ m

' l o = f f i o .

p u e s z ' z - t : f f i . . '

* Cociente:

m 0

)) _, ,

ya qr

t l )l - I - - r s '\ m /- . '

f I ) l ' )mo ' l - l : L I\ m / _ " \ m / ( } _ ( l ,

se dividen los módulos y se

z ( m \

t: [rr"-,,,Z fr", , I

l : , : f f i o ' ( m o ' )

Z f l n '

"Para dividir dos complejos en forma

(numerador menos denominador)"

, " : ( * nJno

polar restan los arsumentos

* Potencia: ya que:

z " : ( r r r o ) n : m o . * " : l : : t : m o : ( m . m . . . . . m ) o * c r . + . . . + c ¡ , : ( r " I "n

"Para elevar un complejo en forma polar a un exponente n se eleva el módulo al exponente y se

multiplica su argumento por n "

* Raíz n-sima: { ; : d*" : tu e ( rp)" : mo <+ ( . ' ) , .u : - * e

<+ J rn =m <+ J'=*=r,I n F=ü+2k n . keZ

IP= ; + : : k , keZ

Aunque aparentemente hay infinitas soluciones (una para cada valor de k), en realidad éstas se

repiten, dando lugar a ! soluciones distintas, que se obtendrán dando a k n valores

consecut ivos , (pore jemplo , K = 0 , 7 ,2 , . . . , n - l ) .

Complejo conjugado de un número complejo z : a * b i : m o :

Llamamos complejo conjugado de z a

; = u + ü : a - b i : m - c ' e s d e c i r , a l c o m p l e j o

de la misma parte real y parte imaginaria opuesta a la

d e z .

P r o p i e d a d f u n d a m e n t a l , , ' i : 1 a + b i ) ' ( a * b i ¡ =

: a ' + b 2 e ! l

"El producto de dos complejos conjugados es siempre

no real que coincide con el cuadrado de su módulo".