I

LA RECTA EN EL PLANO:

* Sistema de referencia: Sea el conjunto de los puntos del plano. Un punto arbitrario del mismo

(O) y una base de vectores i, T forman un sistema de referencia del plano, que simbolizamos

l ^ l - : i l lcomo {O, I i, j }}.O recibe el nombre de origen de coordenadas del plano, en dicho sistema

de referencia.

Si tomamos un punto A del plano, dicho punto, con O,

determina un vector bA .( + l

El vector 1 OA l puede expresarse en función de los

l - : - .¡ l {- --" } ->vec to res 1 i , j i ' tOA i=x i+y . ;

"n { T, T } ," les llama coordenadas del punto A en elA las coordenadas (

sistema de referencia

t Distancia entre dos puntos

módulo del vector ÁB- +

l------+ Ix,y) de toAi

f ( + + ) )

to.t i . j i j

-v\\ A ' ? '\ -\\

* . - ' ) ' l ' " ' '- ' c t L '

Si tomamos dos puntos A(x ' , y r ) y B(xz , yz ) ,

f + ) t - - - - - > l { - - - - - = }observamosque tAB l : lOB i - {OA } =

f ---> l + ---> + --->

+ JAB i : ( * r i * y , j ) - ( x r i +y ' j ) +

- ) - >

AB l= ( xz - x r ) i + ( y t - y r ) j

"Las coordenadas de tÁÉ l se obtienen restando ordenadamente las coordenadas del extremo

menos las coordenadas del origen A ".

: Definimos distancia entre dos puntos A y B (d(A, B)) como el

d(4, B) : ( * z - * r ) 2 + ( yz - y r )2

"Para obtener la distancia entre dos puntos se calcula la raíz cuadrada de la diferencia de sus

abscisas al cuadrado, más la diferencia de sus ordenadas al cuadrado".

* Punto medio de un segmento: Sean A y B dos puntos del planoy M (x,,, y.) el

punto medio ¿" hÉ.

Se observa que {aÉ= } =,

{{ t .

ANrf I

( * r - x ' ) i * ( y z - y ) Í : z [ (x ,n - x r )T+ 0 - - y ' )T ]( - x r * X 2

l * r - ^ ' =2x r -2x t -+ * *= t -2

| ^ - 2 v , - + y ' . = Y t + Y zf l z

- Y t = t ! ¡ - . r - , , , 2

"Las coordenadas del punto medio, M, del segmento AB se obtienen como media aritmética de

las coordenadas de los extremos del segmento".

i"i

* Ecuación de la recta:

U n p u n t o P o ( x o , y o ) ) u n v e c t o r 7 : u " T * u u i d " f i n . n u n a r e c t a , r , c o m o e l l u g a r

geométrico de los puntos del plano alineados con Ps según la dirección de I .

Llamaremos ecuación de la recta a la expresron

analítica de esta propiedad.

Así, si P(x, y)e r = Ñ tt i

- t4É l: ^?, es decir,

(x - xe)T+ 0 - vo)J: 1,1v" T+ u, i ) ( l )

que es la Ecuación vectorial de la recta.

D e ( l ) : (2) = Ecuaciones paramétricas de r ->

j

f ¡

l x - x 0 = A v x

< ol ^

l V - V n = A V .

S iv *yv ,

De (3):

quedará

son no nulos =

v y x + ( - v . ) y + ( v

Ax+Bv+C:0

(3) = Ecuación de r en forma continua.

* y o - v v x o ) : 0 , d o n d e s i v v : A i - v , : B ; v * y o - v y x o : L

= Ecuación general (o implícita) de r

d) si despejamos "y" de la ecuación general de la recta 3

La ecuación general de la recta será pues, una ecuación de primer grado en X € y , y con vector--->

v : ( -B ,A ) .

* Inclinación. Pendiente:

Llamamos inclinación , g, de la recta al ángulo que forma con el semieje positivo de abscisas.

A la tangente trigonométrica de la inclinación le llamaremos pendiente (m) de la recta y será

conocida siempre que conozcamos alguno de los siguientes datos:

a) la inclinación -+ m : tg g

b) el vector director de la recta, ? -) tg q : vv

: mv x

c) la ecuación general de la recta, A x + B y + C:0AB

ACx - - : mx+b =.BB

= F +;Tbl = Ecuación explícita de r

lapendiente seráel coef ic ientede x, m, yel término independiente, b, el valorde la

"y" del punto de la recta con x : 0, al que llamaremos ordenada en el origen, de la recta.

+ l,v"

+ l"vnI"=*olv=voX - X o - Y - Y o

V ,

e ) s i c o n o c e m o s d o s p u n t o s P r ( x r , y r ) y P z ( x z , y z ) d e r : c a l c u l a m o s {r,tr}:: ( x 2 - x 1 ) I +(yu -y r )

* Ecuación de la recta a partir de un punto y la pendiente:

-2

-./t =

fY

P( ¡ i ' : '

(Ecuación punto-pendiente)

Sea una recta r de la que conocemos

un punto Po (x o , y o) y la pendiente m.

Un P(x , y) pertenecerá a esa recta si

la pendiente que define con Pq es,

precisamente, m :

= Ecuaciónpunto-pendiente.* V n : m f X - X

S i m :0

P ( x , y ) e r = -

- - X 0

- ) v y = 0 - +

Ecuación :

RECTA HOzuZONTAL

S i q : 9 0 o - + v , : 0 - )

_) RECTA VERTICAL.

no existe la pendiente de r

Ecuación :

. 3) Si m : I ó I decimos que la recta tiene la dirección de las bisectrices del primer y

tercer o del segundo y cuarto cuadrantes, respectivamente, (BPC ó BSC)

Sus ecuaciones serán:

BPC: y -0 : l ( x -0 ) = F :x l ó

x -y :0

BSC = y- 0: - I (x- 0) = lJ: l * - l

x *y :0

V v Y r - Y ,m - ' =:--:------:--:-

v x X z - X t

* Casos particulares:

* Ángulo entre dos rectas:

Sean dos rectas : rr = Ar

f z = A z

, B r 8 2l T l r : - - : \ '' A 1 A 2

x *B r y+C1 : 0 ( ?= -B rñA ' -ñ

x* Bz y+ C2:0 (ü: - Brñ nr-ñ de pendientesrespect ivas

- Llamamos ángulo de las dos rectas al ángulo agudoq

Z que forman. Se puede obtener a partir del coseno del

ángulo, e, que forman i t ü '

f,

+¿" 'll

I

c o s Q :

tg cr, - tg cr,

I + tg cr,2 ' tg cr,r

A,A , + B ,B ,

t g q :f f i z - f f i r

I + m r ' m ,

v r v z

v t v z

P o r o t r a p a r t e , e : 0 2 - 0 t - + t g q :

* S i 1 1 I 1 2 = c o s g : 0 e A rA : : -B rB r

"Dos rectas perpendiculares tienen sus pendientes, una inversa de la otra y cambiada de signo"

A, B, t---Tl- 4 - - : - = | I t l l t : - - |

Bt A2 | * r l

"Dos rectas paralelas tienen pendientes iguales"

* Distancia de un punto a una recta: "Es la longitud del segmento perpendiculartrazado del punto

a la recta".

Sea la rec ta r = Ax+By+C:0

de vector director ,' : -g i+ ni.

. J ^ - >S e o b s e r v a q u e n : A i + B j e s

perpendicul ar a r f? nt: ol.

* S i r l l l 1 2 + t g q = 0 = t * , : * ;

A(xo. yo)

La distancia de

cualquiera de r

r = A x + B y + C : 0

?-t-e, e.)

P a la recfa r será la proyección de ÁÉ sobre

(por lotanto A xo -| B yo + C : 0):

n siendo A un punto

d(P, r):A(x r - xe )+B(y r - yo ) t_

t-

d l+ t ) ef+ej

d (P . r )

l Ax ¡ +By ' +C l: t - l

l - |

I L ) ^ ) || \ / A - + r J - |

JA'z.#

"Para obtener la distancia se un punto a una recta, se sustituyen en la ecuación general de la recta

las coordenadas genéricas x, y por las coordenadas particulares del punto P(xr , yr) y el resultado,

en valor absoluto, se divide por el módulo del vecto, ? , normal a r , A 2 + 8 2

EJERCICIOS

Números complejos

1.- Escribir en forma polar'. z1: 3 , zz: - 4

2.- Escribir en forma binómica: 21: 2 ¡ ,3

3 . - S i 2 1 = 7 * 2 i , 2 2 : 3 - i : ¿ z t + 2 2 ,

. [1 i , r^=- 1 + JJ i , z5=- J i -

zt : 6 s t ,T

i , 4 : 1 -

2 2 : 4 5 n ,

6

z 1 - 2 2 2 ,

r= .v J l

2 1 1Z l ' 2 2 , j r Z l

z2

5.- Hallar las raíces : '4 -27

6 . - H a l l a r x , y s i = = y + z i1 + 2 i

7.- Hallar las coordenadas del afijo del complejo resultante de girar z:2 + 3 i un ángulo a :

a ) a :90o , b ) o :720o , c ) o :60o: 1 ) a favorde l re lo j 2 )encont rade l re lo j .

, , 3 2 ?

La recta en el plano

1.- Hallar: a) Ecuación de los lados.

b) Ecuación de las alturas y el ortocentro.

c) Ecuación de las medianas y el baricentro.

d) Ecuación de las mediatrices y el circuncentro.

e) Longitud de los lados. )t:'

| Área del triángulo.

2.- Si A(3,2), halla la ecuación de: a) recta horizontal por A

l l - ' -

b) recta vertical por A

c ) I I B P C p o r A d ) l l 5 x + 2 y - 1 3 = 0 p o r A e ) J _ 5 x + 2 y - 1 3 : 0 p o r A

3.- Halla la ecuación de la recta que pasa por P(4, 5) y que forma con los ejes un triángulo de

area 40 u2.

4.- ABCD es un paralelogramo donde A(- l, - 3) , 8(6, 0) , C(8" 2) : ¿D ? ¿Area?

5.- A(- 1, 3) y C(3, - 3) son los vértices de la base de un triángulo isósceles. Halla la posición

del tercervért ice si se sabe que estáen r : x+2y - 15 = 0.

6 . - a ) Ecuac iónde la rec taquepasapor P(2 , -3 ) y fo rma 45o con r = 3 x -4y+7:0 .

b) Ecuación de la recta que pasa por P y forma con r un ángulo ü,, con tg a : 2.

7.- La bisectriz de dos rectas como lugar geométrico. Aplícalo a :

f r = x + 2 y - 7 : 0 y r = 2 x + y - 1 7 = 0 .

8.- Halla las coordenadas del tercer vértice de un triángulo rectángulo isósceles, con vértice recto

en A(0, 0) y el otro vértice en B(3,4).

-z +zJ i i

2

9 . - E c u a c i ó n d e l a r e c t a p a r a l e l a a r = 2 x - y + 5 : 0 c u y a d i s t a n c i a a P ( l , l ) s e a 2 .

1 0 . - E c u a c i ó n d e l a r e c t a s p a r a l e l a s a r = 3 x - 4 y + 5 : 0 q u e d i s t a n d e e s t a r e c f a 2 u n i d a d e s .

1 1.- Ecuación de la rectas que pasan por A(2. 0) y distan J1 ¿"t origen.

12.- A(0,0) y B(2, l) son vértices consecutivos de un cuadrado. Halla la posición de los otros

dos vértices. (Dos soluciones)

1 3.- A(0, 0) y B( l, 3) son vértices opuestos de un cuadrado ¿Posición de los otros dos vértices?.

1 4 . - r , : 3 x + 4 y - 1 2 : 0 y r z = 5 x + 6 y - 3 0 : 0 f o m a n c o n l o s e j e s u n c u a d r i l á t e r o .

Halla su perímetro y su área.

15 . - A(0 ,0) , B(3 , 1 ) y C(1 ,k ) fo rmanunt r iángu lo deárea 3u2 ¿k?. (Dosso luc iones)

16. - A(3 ,5) y B(7 , 1 ) sonvér t i cesconsecut ivosdeunrec tángu lo ABCD. Cestáen lab isec t r i z

del 2o y 4o cuadrantes. ¿Posición de C y D? ¿Area?

17. - Ha l lae l s imét r i code P(3 ,2) respec tode la rec ta 2x+y -3 :0 .