Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado (2014)Materia: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEl alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.Se podra utilizar cualquier tipo de calculadora.

Propuesta A

1. Dadas las matrices: A =

−2 1 01 −3 10 1 4

y B =

(−1 −21 0

).

a) Calcula la matriz M = (2 · I +A)2, donde I es la matriz identidad de orden 3. (0.75 ptos)

b) Calcula, si es posible, la matriz X tal que X ·B = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0.75 ptos)

2. Una empresa de seguros tiene tres sucursales, una en Toledo, otra en Albacete y la tercera en Cuenca. En totalentre las tres sucursales vendieron 45 polizas de seguro del hogar en el ultimo mes. El numero de polizas vendidas enla sucursal de Cuenca es la media aritmetica de las vendidas en Toledo y Albacete. Y el numero de polizas vendidas enToledo es el doble de la cantidad que resulta al restar las vendidas en Albacete menos las vendidas en Cuenca.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el numero de polizas de seguro del hogar que se hanvendido en cada sucursal. (1.5 ptos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)

3. Se considera la funcion f(x) =

{|x− t| si x ≤ 0x2 − 2x si x > 0

a) ¿Para que valor de t la funcion f(x) es continua en x = 0? (0.5 ptos)

b) Calcula los extremos relativos de la funcion f(x) en el intervalo (0,+∞). (0.5 ptos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcion f(x) en (0,+∞). (0.5 ptos)

4. Calcula los valores de los parametros a, b y c para que la funcion f(x) = ax4 + bx2 + c pase por el pto (0 , 0), tengaun mınimo relativo en el pto de abscisa x=1 y el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en x=2sea igual a 24. (1.5 ptos)

5. En una poblacion, el 40 % de los habitantes ven habitualmente la television, el 10 % leen habitualmente y el 1 % venla television y leen habitualmente

a) Se elige un habitante al azar, ¿cual es la probabilidad de que vea la television o lea habitualmente o ambas cosas?(0.75 ptos)

b) Si elegimos un habitante al azar y ve la television habitualmente, ¿cual es la probabilidad de que lea habitualmente?(0.75 ptos)

6. Una empresa produce dispositivos electronicos con pantalla HD, la resolucion de estas pantallas sigue una distribucionnormal de media desconocida y desviacion tıpica σ =20 pıxeles. Se tomo una muestra aleatoria de 100 dispositivoselectronicos y mediante un estudio estadıstico se obtuvo el intervalo de confianza (1076.08 , 1083.92) para la resolucionmedia de las pantallas elegidas al azar.

a) Calcula el valor de la resolucion media de las pantallas de los 100 dispositivos electronicos elegidos para la muestra.(0.25 ptos)

b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo. (0.75 ptos)

c) ¿Como podrıamos aumentar o disminuir la amplitud del intervalo? Sin calcular el intervalo de confianza, ¿sepodrıa admitir que la media poblacional sea µ = 1076.08 pıxeles con un nivel de confianza del 90 %? Razona tusrespuestas. (1 pto)

A1.- Solución:

−−=

−−=⇒

=

=−−

==⇒=

−

−−=

−−=

−−

+

=+=

−

−

−

5'05'0

10

11

20

2

1

adjuntos) de Trasp.(1

201

21

)

3751

511

111

610

111

010

410

131

012

200

020

002

)2()

1

1

1

22

2

B

BB

B

BXIXBb

AIMa

A2.- Solución:

Llamemos T, A, C al nº de pólizas que vendieron en cada una de las ciudades

10T ,1ªla en Sust.20A-603A-

sRestandola

30AT

-302A-T

2ªla en y 3ªla en C Sust.

15453

segundala menos 1ªLa

022

02

45

Re

)(22

45

=⇒

=⇒=⇒

=+=⇒

=⇒=⇒

=+−=−+

=++⇒

−=

=+=++

CC

CAT

CAT

CAT

solución

CAT

CAT

CAT

ntoPlanteamie

A3.- Solución:

)a (1 de creciente y 1)a (0 de edecrecient es c)Luego

(1,-1)f(1)) (1, en Mínimo02)1(''2)(''

1x cuando 0)('22)('2)()

)(0,Para

00

0x encontinua Para

02lim)(lim

lim)(lim

0)0(

02

0)()

2

2

00

002

∞+

=⇒>=⇒===⇒−=

⇒−=

+∞

=⇒==

⇒

=−=

=−=

=−=−=

⇒

>−

≤−=

++

−−

→→

→→

fxf

xfxxfxxxfb

ttxxxf

ttxxf

tttf

xsixx

xsitxxfa

xx

xx

A4.- Solución:

1ªla en sust. 2166

restando

38

02

682443224224a2 Luego24224sea 2x en Pendiente

0201214)1('

0)1('1xpara mímo 24)('

00000)0((0,0)por pase)(

3

3

3

2424

−=⇒=⇒=⇒

=+=+

=+⇒=+⇒=+=⇒=

=+⇒=+==

⇒=+=

=⇒=++⇒=⇒++=

baaba

ba

babab)f'(

babaf

fbxaxxf

ccbafcbxaxxf

A5.- Solución:

Llamaremos T al suceso “elegido un habitante al azar resulta que ve televisión habitualmente”.

De forma análoga definimos el suceso L

2'5%0,025

40

1

40%

%1

P(T)

L)P(T)T

LP(b)

%49%1%10%40))()()(()()

====∩=

=−+=∩−+=∪ LTPLPTPLTPa

A6.- Solución:

Para obtener el intervalo de confianza ( que ahora sabemos) debemos tener en cuenta que:

ασµσαα −=

+<<− 1·· 2/2/n

zxn

zxP , donde 1-α es el nivel de confianza. x la media

de la muestra, en nuestro caso nos la piden, pero observamos que es el centro del intervalo. O

sea la semisuma de los extremos 10802

92'108308'1076 =+=x ; σ la desviación típica, ahora

20; n el tamaño de la muestra, 100.

El radio del intervalo es la semidiferencia de los extremos

96,120

1092,392,3·3,92

2

92'108308'10762/2/ ===⇒==−=

σσ

ααn

zn

zr Y con ayuda

de la tabla obtenemos que el nivel de confianza es el 95%

)975,0025,01( queya 96,1025,02/05,095,01 2/ =−=⇒=⇒=⇒=− αααα z .Ver

tabla

c) Podemos ampliar o reducir la amplitud del intervalo reduciendo o aumentando el tamaño

de la muestra (al mismo nivel de confianza), pero si disminuimos el nivel de confianza también

disminuye 2/αz y por tanto la amplitud del intervalo, de forma que al 90% NO podemos admitir que

la media poblacional sea 1076.08 ya que al 95% está en el borde y al reducirse se quedaría fuera.

Resumiendo si reducimos el nivel de confianza obtenemos un intervalo más estrecho, una zona más

pequeña, pero claro, con poca confianza de que esté allí la media poblacional

Propuesta B

1. Considera el siguiente problema de programacion lineal:

Minimiza la funcion z = −2x− 3y sujeta a las siguientes restricciones:

−x+ 3y ≤ 52x+ y ≤ 4x ≥ 0y ≥ 0

a) Dibuja la region factible. (1 pto)

b) Determina los vertices de la region factible. (0.25 ptos)

c) Indica la solucion optima del problema dado y su valor. (0.25 ptos)

2. Una empresa gasta un total de 1250 euros para que sus 10 empleados realicen un curso de formacion. Establece trescuantıas segun los niveles de formacion: grado 1, grado 2 y grado 3. La empresa concede 80 euros a cada empleado querealice el de grado 1, 150 euros a cada empleado del grado 2 y 200 euros a cada empleado del grado 3. La cantidad totalque la empresa gasta en el curso de formacion de grado 1 es igual a la que invierte en el curso de formacion de grado3.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuantos empleados van a realizar el curso de formacionde grado 1, cuantos el de grado 2 y cuantos el de grado 3. (1.5 ptos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)

3. Se considera la funcion f(x) =

{|x| − t si x ≤ 2x2 − 6x+ 8 si x > 2

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 ptos)

b) Para t = 1, representa graficamente la funcion f. (1 pto)

4. En una ciudad, el registro durante cinco horas de la humedad relativa del aire, medida en %, se ajusta a la funcionf(t) = 2t3 − 15t2 + 24t+ 75, 0<t<5 ,siendo t el tiempo medido en horas.

a) ¿A que hora se registro la maxima cantidad de humedad relativa del aire y cual fue dicha cantidad? (0.75 ptos)

b) ¿A que hora se registro la mınima cantidad de humedad relativa del aire y cual fue dicha cantidad? (0.75 ptos)

5. En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar productos. El 15 % de los productos son soldados porel robot A, el 20 % por el B y el 65 % por el C. Se sabe que la probabilidad de que un producto tenga un defecto desoldadura es de 0.02 si ha sido soldado por el robot A, 0.03 por el robot B y 0.01 por el robot C.

a) Elegido un producto al azar, ¿cual es la probabilidad de que tenga un defecto de soldadura?(0.75 ptos)

b) Se escoge al azar un producto y resulta tener un defecto de soldadura, ¿cual es la probabilidad de que haya sidosoldado por el robot A? (0.75 ptos)

6. En un aeropuerto, el tiempo de espera de un viajero frente a la cinta transportadora hasta que sale su maleta sigueuna distribucion normal de media desconocida y desviacion tıpica σ=3 minutos. Se tomo una muestra aleatoria de 50viajeros, y se observo que el tiempo medio de espera era de 17 minutos.

a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera de la maleta en ese aeropuertocon un nivel de confianza del 95 %. (1 pto)

b) ¿Se puede admitir que la media poblacional sea µ = 16 con un nivel de confianza del 95 %? ¿Como podrıamosdisminuir la amplitud del intervalo de confianza sin variar el nivel de confianza? Razona tus respuestas. (1 pto)

B1.- Solución:

⇒

==

==

⇒

=+−=

=

=⇒

=−=

==

⇒+−=+⇒

+−=+=

⇒

≥≥

≤+≤+−

vérticeslos Son

)0,2(

)0,0(

)35,0(

)2,1(

0

0

0

2

0

42

35

0

0

53

2

11265

42

53

0

0

42

53

y

x

y

x

y

xy

y

x

x

yx

y

xxx

xy

xy

y

x

yx

yx

8- y vale(1,2) enalcanza seóptima soluciónla Luego

0)0,2(;0)0,0(;550)35,0(;862)2,1( ==−=−=−=−−= zzzz

La región factible está formada por el polígono rojo (interior y bordes)

B2.- Solución:

Llamemos “x” al número de empleados que cursan el grado 1, “y” al número de empleados

que cursan el grado 2 y “z” al número de empleados que cursan el grado 3

===

⇒

=+−=−−

=+=+

⇒

=+=+

⇒

=+

=+⇒

=++

=++⇒

==++

=++

2

3

5

1501521

1251516

por402ªla y 10por 1ªla Dividiendo

5057

1251516

2000200280

1250150160

10200

280

1250150160

10200

80

12508015080

Re

20080

10

125020015080

z

y

x

yx

yxyx

yx

yx

yx

yx

yx

xyx

xyx

solución

zx

zyx

zyx

ntoPlanteamie

B3.- Solución:

parábola de unorecta y de trozosdos de trata Se

286

201

01

)(286

21)(

1Para t

202

2x encontinua Para

086lim)(lim

2lim)(lim

22)2(

286

2)()

22

2

22

222

>+−≤≤−

<−−=⇒

>+−

≤−=

=

=⇒=−=

⇒

=+−=

−=−=

−=−=

⇒

>+−

≤−=

++

−−

→→

→→

xsixx

xsix

xsix

xfxsixx

xsixxf

ttxxxf

ttxxf

ttf

xsixx

xsitxxfa

xx

xx

A la izquierda la gráfica cuando t=1, a la derecha cuando t=2

B4.- Solución:

Usaremos las derivadas primera y segunda. Donde se anule la primera y sea positiva la

segunda habrá mínimo y donde se anule la primera y sea negativa la segunda habrá máximo.

=⇒<−==⇒>−=

⇒−=

==

⇒=+−⇒=+−

=⇒+−=

%)86,1())1(,1(03012)1(''

%)59,4())4(,4(03048)4(''3012)(''

1

4045024306

0)('

24306)(' 222

horafMáaximof

horasfMínimofttf

t

ttttt

tf

tttf

B5.- Solución:

Llamaremos A al suceso “elegido un producto al azar resulta que ha sido soldado por el robot

A”. De forma análoga definimos los sucesos B y C. D será el suceso “elegido un producto al azar

tiene un defecto de soldadura”

Sabemos que

0,190,0155

15'0.02'0

P(D)

D)P(A)D

AP(b)

0,015565'0.01'020'0.03'015'0.02'0)()()()()()(

)()()())()()(()()

==∩=

=++=++=

=∩+∩+∩=∩∪∩∪∩=

CDPCPB

DPBPADPAP

CDPBDPADPCDBDADPDPa

B6.- Solución:

Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:

ασµσαα −=

+<<− 1·· 2/2/n

zxn

zxP , donde 1-α es el nivel de confianza (0,95 en

nuestro caso). x la media de la muestra, en nuestro caso 17; σ la desviación típica, ahora 3; n

el tamaño de la muestra, 50.

)975,0025,01( que ya96,1025,02/05,095,01 2/ =−=⇒=⇒=⇒=− αααα z .Ver

tabla

a) Luego el intervalo pedido es:

)17'83,16'19(50

396'117,

50

396'117·,· 2/2/ =

+−=

+−n

zxn

zxσσ

αα

b) En este caso NO se puede admitir que la media poblacional sea 16 con un nivel de confianza

del 95%. Si queremos obtener un intervalo de anchura menor manteniendo el nivel de

confianza podemos aumentar el tamaño de la muestra; esto hace disminuir el radio del

intervalo porque hace aumentar el denominador de la fracción que aparece en él.