Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado (2014)Materia: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEl alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.Se podra utilizar cualquier tipo de calculadora.
Propuesta A
1. Dadas las matrices: A =
−2 1 01 −3 10 1 4
y B =
(−1 −21 0
).
a) Calcula la matriz M = (2 · I +A)2, donde I es la matriz identidad de orden 3. (0.75 ptos)
b) Calcula, si es posible, la matriz X tal que X ·B = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0.75 ptos)
2. Una empresa de seguros tiene tres sucursales, una en Toledo, otra en Albacete y la tercera en Cuenca. En totalentre las tres sucursales vendieron 45 polizas de seguro del hogar en el ultimo mes. El numero de polizas vendidas enla sucursal de Cuenca es la media aritmetica de las vendidas en Toledo y Albacete. Y el numero de polizas vendidas enToledo es el doble de la cantidad que resulta al restar las vendidas en Albacete menos las vendidas en Cuenca.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el numero de polizas de seguro del hogar que se hanvendido en cada sucursal. (1.5 ptos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)
3. Se considera la funcion f(x) =
{|x− t| si x ≤ 0x2 − 2x si x > 0
a) ¿Para que valor de t la funcion f(x) es continua en x = 0? (0.5 ptos)
b) Calcula los extremos relativos de la funcion f(x) en el intervalo (0,+∞). (0.5 ptos)
c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcion f(x) en (0,+∞). (0.5 ptos)
4. Calcula los valores de los parametros a, b y c para que la funcion f(x) = ax4 + bx2 + c pase por el pto (0 , 0), tengaun mınimo relativo en el pto de abscisa x=1 y el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en x=2sea igual a 24. (1.5 ptos)
5. En una poblacion, el 40 % de los habitantes ven habitualmente la television, el 10 % leen habitualmente y el 1 % venla television y leen habitualmente
a) Se elige un habitante al azar, ¿cual es la probabilidad de que vea la television o lea habitualmente o ambas cosas?(0.75 ptos)
b) Si elegimos un habitante al azar y ve la television habitualmente, ¿cual es la probabilidad de que lea habitualmente?(0.75 ptos)
6. Una empresa produce dispositivos electronicos con pantalla HD, la resolucion de estas pantallas sigue una distribucionnormal de media desconocida y desviacion tıpica σ =20 pıxeles. Se tomo una muestra aleatoria de 100 dispositivoselectronicos y mediante un estudio estadıstico se obtuvo el intervalo de confianza (1076.08 , 1083.92) para la resolucionmedia de las pantallas elegidas al azar.
a) Calcula el valor de la resolucion media de las pantallas de los 100 dispositivos electronicos elegidos para la muestra.(0.25 ptos)
b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo. (0.75 ptos)
c) ¿Como podrıamos aumentar o disminuir la amplitud del intervalo? Sin calcular el intervalo de confianza, ¿sepodrıa admitir que la media poblacional sea µ = 1076.08 pıxeles con un nivel de confianza del 90 %? Razona tusrespuestas. (1 pto)
A1.- Solución:
−−=
−−=⇒
=
=−−
==⇒=
−
−−=
−−=
−−
+
=+=
−
−
−
5'05'0
10
11
20
2
1
adjuntos) de Trasp.(1
201
21
)
3751
511
111
610
111
010
410
131
012
200
020
002
)2()
1
1
1
22
2
B
BB
B
BXIXBb
AIMa
A2.- Solución:
Llamemos T, A, C al nº de pólizas que vendieron en cada una de las ciudades
10T ,1ªla en Sust.20A-603A-
sRestandola
30AT
-302A-T
2ªla en y 3ªla en C Sust.
15453
segundala menos 1ªLa
022
02
45
Re
)(22
45
=⇒
=⇒=⇒
=+=⇒
=⇒=⇒
=+−=−+
=++⇒
−=
=+=++
CC
CAT
CAT
CAT
solución
CAT
CAT
CAT
ntoPlanteamie
A3.- Solución:
)a (1 de creciente y 1)a (0 de edecrecient es c)Luego
(1,-1)f(1)) (1, en Mínimo02)1(''2)(''
1x cuando 0)('22)('2)()
)(0,Para
00
0x encontinua Para
02lim)(lim
lim)(lim
0)0(
02
0)()
2
2
00
002
∞+
=⇒>=⇒===⇒−=
⇒−=
+∞
=⇒==
⇒
=−=
=−=
=−=−=
⇒
>−
≤−=
++
−−
→→
→→
fxf
xfxxfxxxfb
ttxxxf
ttxxf
tttf
xsixx
xsitxxfa
xx
xx
A4.- Solución:
1ªla en sust. 2166
restando
38
02
682443224224a2 Luego24224sea 2x en Pendiente
0201214)1('
0)1('1xpara mímo 24)('
00000)0((0,0)por pase)(
3
3
3
2424
−=⇒=⇒=⇒
=+=+
=+⇒=+⇒=+=⇒=
=+⇒=+==
⇒=+=
=⇒=++⇒=⇒++=
baaba
ba
babab)f'(
babaf
fbxaxxf
ccbafcbxaxxf
A5.- Solución:
Llamaremos T al suceso “elegido un habitante al azar resulta que ve televisión habitualmente”.
De forma análoga definimos el suceso L
2'5%0,025
40
1
40%
%1
P(T)
L)P(T)T
LP(b)
%49%1%10%40))()()(()()
====∩=
=−+=∩−+=∪ LTPLPTPLTPa
A6.- Solución:
Para obtener el intervalo de confianza ( que ahora sabemos) debemos tener en cuenta que:
ασµσαα −=
+<<− 1·· 2/2/n
zxn
zxP , donde 1-α es el nivel de confianza. x la media
de la muestra, en nuestro caso nos la piden, pero observamos que es el centro del intervalo. O
sea la semisuma de los extremos 10802
92'108308'1076 =+=x ; σ la desviación típica, ahora
20; n el tamaño de la muestra, 100.
El radio del intervalo es la semidiferencia de los extremos
96,120
1092,392,3·3,92
2
92'108308'10762/2/ ===⇒==−=
σσ
ααn
zn
zr Y con ayuda
de la tabla obtenemos que el nivel de confianza es el 95%
)975,0025,01( queya 96,1025,02/05,095,01 2/ =−=⇒=⇒=⇒=− αααα z .Ver
tabla
c) Podemos ampliar o reducir la amplitud del intervalo reduciendo o aumentando el tamaño
de la muestra (al mismo nivel de confianza), pero si disminuimos el nivel de confianza también
disminuye 2/αz y por tanto la amplitud del intervalo, de forma que al 90% NO podemos admitir que
la media poblacional sea 1076.08 ya que al 95% está en el borde y al reducirse se quedaría fuera.
Resumiendo si reducimos el nivel de confianza obtenemos un intervalo más estrecho, una zona más
pequeña, pero claro, con poca confianza de que esté allí la media poblacional
Propuesta B
1. Considera el siguiente problema de programacion lineal:
Minimiza la funcion z = −2x− 3y sujeta a las siguientes restricciones:
−x+ 3y ≤ 52x+ y ≤ 4x ≥ 0y ≥ 0
a) Dibuja la region factible. (1 pto)
b) Determina los vertices de la region factible. (0.25 ptos)
c) Indica la solucion optima del problema dado y su valor. (0.25 ptos)
2. Una empresa gasta un total de 1250 euros para que sus 10 empleados realicen un curso de formacion. Establece trescuantıas segun los niveles de formacion: grado 1, grado 2 y grado 3. La empresa concede 80 euros a cada empleado querealice el de grado 1, 150 euros a cada empleado del grado 2 y 200 euros a cada empleado del grado 3. La cantidad totalque la empresa gasta en el curso de formacion de grado 1 es igual a la que invierte en el curso de formacion de grado3.
a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuantos empleados van a realizar el curso de formacionde grado 1, cuantos el de grado 2 y cuantos el de grado 3. (1.5 ptos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 ptos)
3. Se considera la funcion f(x) =
{|x| − t si x ≤ 2x2 − 6x+ 8 si x > 2
a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 ptos)
b) Para t = 1, representa graficamente la funcion f. (1 pto)
4. En una ciudad, el registro durante cinco horas de la humedad relativa del aire, medida en %, se ajusta a la funcionf(t) = 2t3 − 15t2 + 24t+ 75, 0<t<5 ,siendo t el tiempo medido en horas.
a) ¿A que hora se registro la maxima cantidad de humedad relativa del aire y cual fue dicha cantidad? (0.75 ptos)
b) ¿A que hora se registro la mınima cantidad de humedad relativa del aire y cual fue dicha cantidad? (0.75 ptos)
5. En una empresa hay tres robots A, B y C dedicados a soldar productos. El 15 % de los productos son soldados porel robot A, el 20 % por el B y el 65 % por el C. Se sabe que la probabilidad de que un producto tenga un defecto desoldadura es de 0.02 si ha sido soldado por el robot A, 0.03 por el robot B y 0.01 por el robot C.
a) Elegido un producto al azar, ¿cual es la probabilidad de que tenga un defecto de soldadura?(0.75 ptos)
b) Se escoge al azar un producto y resulta tener un defecto de soldadura, ¿cual es la probabilidad de que haya sidosoldado por el robot A? (0.75 ptos)
6. En un aeropuerto, el tiempo de espera de un viajero frente a la cinta transportadora hasta que sale su maleta sigueuna distribucion normal de media desconocida y desviacion tıpica σ=3 minutos. Se tomo una muestra aleatoria de 50viajeros, y se observo que el tiempo medio de espera era de 17 minutos.
a) Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera de la maleta en ese aeropuertocon un nivel de confianza del 95 %. (1 pto)
b) ¿Se puede admitir que la media poblacional sea µ = 16 con un nivel de confianza del 95 %? ¿Como podrıamosdisminuir la amplitud del intervalo de confianza sin variar el nivel de confianza? Razona tus respuestas. (1 pto)
B1.- Solución:
⇒
==
==
⇒
=+−=
=
=⇒
=−=
==
⇒+−=+⇒
+−=+=
⇒
≥≥
≤+≤+−
vérticeslos Son
)0,2(
)0,0(
)35,0(
)2,1(
0
0
0
2
0
42
35
0
0
53
2
11265
42
53
0
0
42
53
y
x
y
x
y
xy
y
x
x
yx
y
xxx
xy
xy
y
x
yx
yx
8- y vale(1,2) enalcanza seóptima soluciónla Luego
0)0,2(;0)0,0(;550)35,0(;862)2,1( ==−=−=−=−−= zzzz
La región factible está formada por el polígono rojo (interior y bordes)
B2.- Solución:
Llamemos “x” al número de empleados que cursan el grado 1, “y” al número de empleados
que cursan el grado 2 y “z” al número de empleados que cursan el grado 3
===
⇒
=+−=−−
=+=+
⇒
=+=+
⇒
=+
=+⇒
=++
=++⇒
==++
=++
2
3
5
1501521
1251516
por402ªla y 10por 1ªla Dividiendo
5057
1251516
2000200280
1250150160
10200
280
1250150160
10200
80
12508015080
Re
20080
10
125020015080
z
y
x
yx
yxyx
yx
yx
yx
yx
yx
xyx
xyx
solución
zx
zyx
zyx
ntoPlanteamie
B3.- Solución:
parábola de unorecta y de trozosdos de trata Se
286
201
01
)(286
21)(
1Para t
202
2x encontinua Para
086lim)(lim
2lim)(lim
22)2(
286
2)()
22
2
22
222
>+−≤≤−
<−−=⇒
>+−
≤−=
=
=⇒=−=
⇒
=+−=
−=−=
−=−=
⇒
>+−
≤−=
++
−−
→→
→→
xsixx
xsix
xsix
xfxsixx
xsixxf
ttxxxf
ttxxf
ttf
xsixx
xsitxxfa
xx
xx
A la izquierda la gráfica cuando t=1, a la derecha cuando t=2
B4.- Solución:
Usaremos las derivadas primera y segunda. Donde se anule la primera y sea positiva la
segunda habrá mínimo y donde se anule la primera y sea negativa la segunda habrá máximo.
=⇒<−==⇒>−=
⇒−=
==
⇒=+−⇒=+−
=⇒+−=
%)86,1())1(,1(03012)1(''
%)59,4())4(,4(03048)4(''3012)(''
1
4045024306
0)('
24306)(' 222
horafMáaximof
horasfMínimofttf
t
ttttt
tf
tttf
B5.- Solución:
Llamaremos A al suceso “elegido un producto al azar resulta que ha sido soldado por el robot
A”. De forma análoga definimos los sucesos B y C. D será el suceso “elegido un producto al azar
tiene un defecto de soldadura”
Sabemos que
0,190,0155
15'0.02'0
P(D)
D)P(A)D
AP(b)
0,015565'0.01'020'0.03'015'0.02'0)()()()()()(
)()()())()()(()()
==∩=
=++=++=
=∩+∩+∩=∩∪∩∪∩=
CDPCPB
DPBPADPAP
CDPBDPADPCDBDADPDPa
B6.- Solución:
Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:
ασµσαα −=
+<<− 1·· 2/2/n
zxn
zxP , donde 1-α es el nivel de confianza (0,95 en
nuestro caso). x la media de la muestra, en nuestro caso 17; σ la desviación típica, ahora 3; n
el tamaño de la muestra, 50.
)975,0025,01( que ya96,1025,02/05,095,01 2/ =−=⇒=⇒=⇒=− αααα z .Ver
tabla
a) Luego el intervalo pedido es:
)17'83,16'19(50
396'117,
50
396'117·,· 2/2/ =
+−=
+−n
zxn
zxσσ
αα
b) En este caso NO se puede admitir que la media poblacional sea 16 con un nivel de confianza
del 95%. Si queremos obtener un intervalo de anchura menor manteniendo el nivel de
confianza podemos aumentar el tamaño de la muestra; esto hace disminuir el radio del
intervalo porque hace aumentar el denominador de la fracción que aparece en él.