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Edgar Huilotl Luna

Matemáticas Administrativas

Matemáticas AdministrativasUnidad 3. Cálculo diferencial y sus aplicaciones

Actividad 1. Tasa de cambio y criterio de la primera derivada

Primera parte:

La función de demanda de un producto de su empresa es p (q )=100−q2.

Determina la tasa de cambio del precio con respecto a la cantidad demandada. ¿Qué tan rápido está cambiando el precio cuando q=5? ¿Cuál es el precio del producto cuando se demandan 5 unidades?

En primera instancia se tiene que derivar p con respecto a q donde queda de la siguiente manera.

p (q )=1002

p' (q )=−2q

Cuando q=5 la tasa de cambio es

p'(5) = -2·5 = -10

Esto deja como resultado que por cada unidad que se produce

el precio disminuye en y el precio cuando demanda 5 unidades queda

de la siguiente forma

P(5) = 100 - 5^2 = 100 - 25 = 75

Segunda parte:

Usted como fabricante de cierto producto ha determinado que el costo C de producirlo está dado por la expresión,

C (q )=0.05q2+5q+500

Donde C está en miles de pesos y q en unidades.

a) Calcula el costo de producir 12 piezas.

c (12 )=0.05q∗122+5∗12+500=0.05∗144+60+500

¿7.2+60+500=567.2b) Determina la función de costo promedio y determine su valor cuando se

fabrican 12 piezas.

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CP (q )=0.05q+5+( 500q

)

Como ya se calculó el costo promedio para 12 piezas solo se divide entre 12

CP (12 )=C (12 )12

=567.212

=47.26

c) Determina la función de costo marginal.

Cmarg (q )=C ' (q )=0.1q+5

d) Calcula la cantidad de unidades que se deben fabricar para que el costo promedio sea mínimo. Determine el valor de dicho costo promedio mínimo.CP (q) = 0.05q + 5 + (500/q)CP'(q) = 0.05 - (500/q^2) = 0-500/q^2 = -0.05500/0.05 = q^2q^2 = 10000q=100Una vez fabricadas 100 unidades, el costo promedio mínimo se determinara de la siguiente manera.

CP (100 )=0.5∗100+5+ 500100

=5+5+5=15

e) Indica si la función de costo promedio es creciente o decreciente en el rango de producción de 10 a 25 piezas.

La derivada en el costo promedio tiene raíces tanto negativas como positivas determinada con los siguientes valores  -100 y 100, en este caso al tener valor 0 es discontinua, pero entre 10 y 25 es continua y no tiene ninguna raíz, luego el signo es constante, por ultimo si se calcula en 10 queda de la siguiente forma.

C P' (10 )=0.05−500102

=0.05−500100

=0.05−5=4.95

En este caso al ser una derivada negativa el costo promedio es decreciente.

Tercera parte:

Utiliza el criterio de la primera derivada para determinar los valores máximos y mínimos de la función y=( x2−x−1 )2. Determina también los puntos de inflexión, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los de concavidad.

f(x) =(x^2-x-1)^2

Se deriva e iguala a 0

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f '(x) = 2(x^2-x-1)(2x-1) =0

Esto tiene tres raíces

de 2x-1=0 obtenemos x=1/2

de x^2-x-1 = 0 obtenemos

x=1±√1+42

=1±√52

r=1+√52

r=1−√52

Para poder definir si son mínimos, máximos o puntos de inflexión

necesitamos la derivada segunda

f ''(x) = 2(2x-1)(2x-1) + 4(x^2-x-1)

f ''(x) = 2(2x-1)^2 + 4(x^2-x-1)

Para x=1/2 tenemos

f ''(1/2) = 2·0^2 + 4(1/4-1-1) = 4(-7/4) = -7

Es negativa, luego x=1/2 es un máximo

Y el valor de la función en ese máximo es

f(1/2) = (x^2-x-1)^2 = (-7/4)^2 = 49/16

·Para r tenemos

f' '1−√52 =2 (−√5 )2+4.0=10

f' '1+√52 =2 (√5 )2+4.0=10

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Como la derivada segunda es positiva ambos son mínimos.

Y como los dos satisfacen x^2-x-1=0 entonces

f(r) = f(s) = 0^2 = 0

y los mínimos son

(r, 0) y (s,0)

Y no hay puntos críticos con derivada segunda nula, luego no hay

puntos de inflexión. Los intervalos de crecimiento o decrecimiento

dependen del signo de la derivada primera

f '(x) = 2(x^2-x-1)(2x-1)

Las raíces r, 1/2, s quedan de la siguiente forma

r = -0.618...

s = 1.618...

Luego se plantean estos 4 intervalos.  Denotare por oo al infinito.

(-oo, r) en -oo el límite es 2(-oo)^2·(-oo) = 2·oo·(-oo) = -oo  luego la

función es decreciente

(r, 1/2) calculamos en x=0 y es 2·(-1)(-1) = 2 luego la función es

creciente

(1/2, s) calculamos en x=1 y es 2(-1)(1) = -2 luego f es decreciente

(s,oo) en infinito el límite es 2(oo)^2 · oo = 2·oo·oo = oo luego f es

creciente

Por ultimo al ser cóncavo este va hacia arriba será cuando la derivada

segunda sea positiva y si es negativa será cóncava hacia abajo.

f ''(x) = 2(2x-1)^2 + 4(x^2-x-1)

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f ''(x) = 8x^2 - 8x + 2 + 4x^2 - 4x - 4

f ''(x) = 12x^2 - 12x - 2

Las raíces son

Y como f'' es una parábola con coeficiente director positivo tiene forma

de u, por lo tanto es positiva a los lados de la raíces y negativa entre

ellas, luego

x=12±√122+4∗482 4

=12±√33624

12±4 √2124

=3±√216

3±√216

u=3−√216

V=3+√216

(-oo, u) es cóncava hacia arriba

(u,  v) es cóncava hacia abajo

(v, oo) es cóncava hacia arriba.