Magíster Iris Liseth Montenegro

Módulo 1. Antecedentes Históricos de la Geometría.

La Geometría es un área de la matemática que estudia las propiedades de las figuras geométricas en el espacio.

Procede del vocablo latín que significa “medida de la tierra”.

Euclides, matemático Alejandrino, según el comentarista Proclo lo sitúa para el año 300 a. C., recopiló toda la

geometría existente en su máxima obra llamada Los Elementos. Su más valioso aporte fue el de haber

sistematizado de forma lógica y ordenada toda la geometría conocida en esa época. Este tratado superó

completamente y de forma inmediata todos los Elementos que habían sido trabajados anteriormente por otros

geómetras y su influencia se dejó sentir as través de miles de ediciones, la primera data edición del año 1482 d. C.

Durante dos milenios, este monumental tratado fue, exceptuando la Biblia, el libro más utilizado y estudiado y ejerció

una gran influencia en el pensamiento científico lo cual determinó la enseñanza de la geometría hasta nuestros días.

Los Elementos de Euclides constan de 13 libros y contiene ideas sobre geometría, teoría de números y álgebra

elemental tratada geométricamente. Posee 465 proposiciones, acompañadas de axiomas, 5 postulados y

definiciones.

Los griegos introdujeron los problemas de construcción en los que cierta línea o figura debía ser construida utilizando

regla no graduada y un compás. Existieron tres problemas famosos de construcción que datan de la época griega y

que resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos y éstos son:

a) La duplicación del cubo.

b) La cuadratura del círculo.

c) Trisección del ángulo.

Ninguno de estas construcciones se pueden hacer con ayuda del compás y la imposibilidad de la cuadratura del

círculo no fue demostrada sino hasta el año 1882.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso

importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso

del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el

álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la

geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto

subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas

que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. Un ejemplo sencillo de geometría

proyectiva queda ilustrado en la figura 1.

Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualquier posición de una cónica, por ejemplo una circunferencia,

y dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas

líneas están en una recta. De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cónica,

como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas de las tangentes, estas líneas

se cortan en un punto único. Este teorema se denomina proyectivo, pues es

cierto para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando las proyecciones

apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyección de una circunferencia es una elipse en el

otro plano.

MODERNOS AVANCES DE LA GEOMETRÍA

La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss,

Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de

geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado

paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio,

aunque, eso sí, coherentes.

Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con

más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los

puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional.

De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un

espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada a punto del espacio tridimensional se sustituye por una

línea perpendicular, tendremos un espacio tetra dimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e

inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un

importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la

relatividad.

También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o

más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se

conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición

de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o

más dimensiones. En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y

tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más

sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como

caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices,

seis segmentos y cuatro triángulos.

Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970

el concepto se desarrolló como la geometría fractal.

Módulo 2. Conceptos definidos y no definidos de la Geometría.

La geometría euclidiana consta de 3 elementos o términos no definidos cuyos significados los podemos obtener

mediante descripciones de los objetos que observamos en nuestro entorno. Estos términos sirven como puntos de

referencia para estudiar toda la geometría conocida hasta el momento.

Términos no definidos en Geometría:

1. Punto: se puede describir como aquello que no tiene ni largo, ni ancho ni espesor.

Es decir, un punto no tiene dimensión y los designaremos con letras mayúsculas del alfabeto.

Ejemplo. A “punto A”.

2. Línea: conjunto infinito de puntos que tiene largo y no tiene ancho y sin espesor. Eso quiere

decir, que posee una sola dimensión. Se denotaran con letras minúsculas del alfabeto para designarlas.

Ejemplo. Línea k

3. Superficie: aquello que tiene largo y ancho pero no espesor. Las superficies

pueden ser planas y curvas. Los designaremos con letras del alfabeto griego: , , , , ,…

Ejemplo: superficie

Las líneas pueden ser:

A. Rectas: es el conjunto infinito de puntos que sigue una misma dirección. Los subconjuntos de la

línea recta son:

Semirrecta: porción de una recta limitada en un extremo llamado origen y por otro extremo es

ilimitada. Por lo general, se denota escribiendo la letra y una flecha indicando su dirección por

encima de esta.

Semirrecta m

Segmento: porción de línea recta comprendida por dos puntos. Por lo general, para denotarla

se nombran los puntos inicial y terminal del segmento.

B

A Segmento BA

Según la posición de las rectas, pueden ser:

A) Vertical: tiene orientación de norte a sur o viceversa.

n

B) Horizontal: tiene orientación de este a oeste o viceversa.

p

m

C) Oblicua: rectas cuya posición es inclinada.

s

Pares de Líneas Rectas:

A) Paralelas. Pares de rectas que al prolongarse de forma infinita jamás llegan a cortarse. Se indican

mediante el símbolo matemático “//” y se lee “es paralela a”.

a

b

a // b y se lee “ la recta a es paralela a la recta b”

B) Perpendiculares: pares de rectas que se cortan en un punto formando ángulos rectos. Se indican

mediante el símbolo matemático “” y se lee “es perpendicular a”

m

n 90

m n y se lee “la recta m es perpendicular a la recta n”.

C) Rectas que se cortan: rectas que se cortan en un punto pero no forman ángulos rectos.

v P w

Las rectas v y w se cortan en un punto. Al punto P se le llama punto de intersección.

B) Curvas: es el conjunto infinito de puntos que cambian de dirección

Línea curva x

Combinación de Líneas:

a) Líneas quebradas: es la combinación de líneas rectas.

b) Líneas mixtas. Combinación de líneas rectas y curvas.

Ángulos: porción del plano limitada por dos semirrectas que se cortan en un punto en común.

Los elementos del ángulo son:

a. Lados: son las semirrectas. Se denotan de la forma AB, PM, …

b. Vértice: punto donde se cortan las semirrectas. Se denotan con letras del alfabeto: A, B,… Y, Z.

Las unidades de medidas para medir ángulos son:

a. Grados sexagesimales: es una de las 360 partes en que se puede dividir una circunferencia. Se

denota de la forma A y se lee “A grados”. Es decir, 360

11 .

b. Radianes: es la unidad de medida que resulta de un ángulo central cuyo radio tiene igual longitud que

el arco que lo subtiende.

El símbolo matemático para denotar los ángulos es ∢. También algunos textos utilizan el símbolo .

Conversiones:

a. De grados a radianes: multiplicamos los grados por 180

.

Ejemplo. Convertir 30 a radianes.

rad6180

3030

b. De radianes a grados: multiplicamos los radianes por

180.

Ejemplo. Convertir de 5

radianes a grados sexagesimales.

36

5

180180

55

rad

Tipos de Ángulos:

1) Agudo: ángulo que mide más de 0 pero menos de 90. 2) Recto: ángulo que mide exactamente 90. 3) Obtuso: ángulo que mide más de90 pero menos de 180. 4) Llano: ángulo que mide exactamente 180.

5) Giro: ángulo que mide exactamente 360

Instrumentos de Medición En geometría es de suma importancia la medición de toda figura que nos rodea. En Geometría, al conjunto de

instrumentos que se usan para trazar rectas, figuras, medición de ángulos, entre otros, se le conoce como juego de

geometría y generalmente está compuesto por:

a. Regla: sirve para medir longitudes de segmentos y para trazar líneas. Usualmente, viene graduada con dos

unidades de medida: centímetros (cm) y pulgadas (inch).

b. Escuadra 45: recibe este nombre porque sus dos ángulos agudos miden 45 y el otro siempre es recto.

Sirve para medir ángulos de 45 y 90 y para trazar rectas paralelas y rectas perpendiculares.

c. Escuadra 30 y 60: recibe este nombre porque uno de sus ángulos agudos mide 30 y el otro 60. Sirve

para medir ángulos de 30, 60 y 90 y para trazar rectas paralelas y rectas perpendiculares.

d. Compás: permite trazar circunferencias y arcos de circunferencias. También se emplea para comparar

longitudes de segmentos.

e. Transportador: sirve para medir la amplitud de un ángulo y se mide en sentido contrario a las

manecillas del reloj.

Práctica 1 Marque con una letra equis () la casilla correspondiente.

Situación Punto Línea Superficie

Una hebra de cabello.

El área del estacionamiento del CRUBO.

Una cuerda de guitarra.

Un pueblito visto desde el satélite Luna.

El borde de la parte superior de una lata de soda.

La cara exterior de un balón de fútbol.

Una trozo de hilo.

La marca que deja el lápiz sobre la página.

Marque con un gancho la casilla correspondiente para distinguir los conceptos dados.

Descripción Punto Línea recta Línea curva Línea mixta Línea quebrada Superficie

Combinación de porciones de líneas rectas.

Posee dos dimensiones.

No tiene dimensión.

Combinación de líneas rectas y curvas.

Posee una sola dimensión.

Dadas las siguientes figuras, clasifíquelas en recta, curva, mixta, quebrada o bien superficie plana o curva.

Para cada figura del espacio, diga a qué tipo de línea corresponde.

a. Balón de béisbol. __________________________

b. Cartera. __________________________

c. Dado. __________________________

d. Escalera. __________________________

e. Borde de un tablero. __________________________

f. Taza de café. __________________________

Para cada una de las situaciones presentadas, diga si las líneas corresponden ser paralelas (//) o perpendiculares ()

a. Las líneas ferroviarias del tren. __________

b. Los bordes verticales y horizontales del tablero. __________

c. Las líneas del tendido eléctrico. __________

d. La letra T mayúscula. __________

e. Un crucifijo. __________

Clasifique los siguientes ángulos de acuerdo a su medida.

a. 60 ____________________

b. ____________________

c. 115 ____________________

d. rad3

____________________

e. rad2

3 ____________________

f. rad2

____________________

Marque con la letra equis () la casilla correspondiente.

Instrumento de

Geometría.

Permite trazar:

Segmentos de

rectas. Ángulos.

Circunferencias.

Rectas

perpendiculares.

Rectas

paralelas.

Compás

Transportador

Escuadra 30 - 60

Regla

Escuadra 45

Mida con ayuda de su regla la longitud de los siguientes segmentos en centímetros y en pulgadas.

Módulo 3. Polígonos.

Un polígono es una región del plano limitada por tres o más segmentos llamados lados o segmentos del polígono.

Los polígonos pueden ser regulares o irregulares.

Los polígonos regulares tienen lados y ángulos internos iguales o congruentes. Los que no cumplen con esta

característica reciben el nombre de polígonos irregulares.

También pueden ser convexos o convexo. Un polígono es convexo si para cualesquiera dos puntos que pertenecen

al polígono se puede trazar siempre un segmento de recta contenido en la región poligonal.

Clasificación de polígonos atendiendo al número de lados.

Número de lados Denominación Número de lados Denominación

3 Triángulos 8 Octágono

4 Cuadriláteros 9 Eneágono

5 Pentágonos 10 Decágono

6 Hexágonos 11 Endecágono

7 Heptágono 12 Dodecágono

Perímetro de un Polígono: es la suma de las medidas de sus lados.

Ejemplo:

Dado el pentágono regular de lado 3 cm, halle su perímetro.

P = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5(3) = 15 cm

Área de Polígonos Regulares: se determina multiplicando un medio por el número de lados del polígono por la

medida del lado por la apotema. La apotema es la altura del triángulo isósceles que se forma cuya base es el lado

del polígono o también se define como el segmento que une el punto medio del lado con el centro del polígono.

Otra forma de calcular el área es:

𝐴 =𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 × 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎

2

Apotema

Ejemplo. Calcule el área del hexágono regular de lado 4 cm y de apotema 3 cm.

á𝑟𝑒𝑎 =1

2(6 × 4 × 3) = 36𝑐𝑚2

Práctica. Calcule el área y el perímetro de los polígonos regulares dados a continuación.

Definición de Triángulo: Porción del plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

Se denota mediante el símbolo matemático “”. Por ejemplo, las siguientes figuras son triángulos.

V

A T S

B G K

C

R

ABC TSR VGK

Elementos del Triángulo:

1. Lados: son las rectas. En el triángulo ABC, los lados son AB, BC y AC.

2. Vértices: son los puntos donde se cortan los lados. En el triángulo ABC, los puntos son A, B y C.

3. Ángulos interiores: porción del plano formado por dos lados que se cortan. En el triángulo ABC, los

ángulos son ∢A, ∢B y ∢C. Otra forma de expresar los ángulos consiste en escribir tres letras de las cuales

el vértice se ubica en el centro. Es decir, ∢A = ∢BAC; ∢B = ∢ABC; ∢C = ∢BCA.

B

c a

A b C

Los lados del triángulo se pueden escribir de la forma:

AB = c; BC = a; AC = b

Propiedad: La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180. Por ejemplo, si en un triángulo dos de sus ángulos internos miden 67 y 43, ¿cuánto mide el tercer ángulo interno

V?

Solución: Mide ∢V = 190 – (67 + 43) = 70.

Propiedad: La suma de dos lados del triángulo debe ser mayor o igual al

otro lado. Esta propiedad se le denomina desigualdad triangular. Ejemplos.

Para cada uno de los lados dados a continuación, diga si de forma o no triángulo.

a. AB = 12, BC = 3; AC = 7 Respuesta: No

b. AB = 2, BC = 3; AC = 4 Respuesta: Sí

c. AB = 12, BC = 13; AC = 11 Respuesta: Sí

d. AB = 7, BC = 7; AC = 7 Respuesta: Sí

Clasificación de Triángulos. Los triángulos se clasifican según sus lados y según sus ángulos.

I. Según la medida de sus lados se clasifican en:

Equiláteros: todos sus lados miden iguales. En un triángulo equilátero todos sus ángulos

interiores son iguales y miden 60.

Isósceles: tiene dos lados iguales y uno diferente. Existe una propiedad en los

triángulos isósceles y es que los ángulos que se oponen a los lados iguales también son iguales.

Escaleno: tiene sus tres lados diferentes.

II. Según la medida de sus ángulos interiores se clasifican en:

Rectángulo: tiene un ángulo recto y los otros dos son agudos. Los lados adyacentes al

ángulo recto se les nombran catetos y el lado que se opone al ángulo recto se le nombra

hipotenusa o también radio vector. En todo triángulo rectángulo se cumple el famosísimo

Teorema de Pitágoras de Samos que se enuncia así:

“El área del triángulo construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas construidas

sobre los catetos”. Simbólicamente esto se expresa así: Sea el triángulo rectángulo ABC de

catetos AB y AC y de hipotenusa BC. Denotemos por AB = c; BC = a; AC = b. El teorema de

Pitágoras dice que: c2 = a2 + b2.

Si nos hace falta uno de los catetos, la fórmula anterior se expresa de la forma:

a. Falta la hipotenusa: c2 = a2 + b2.

b. Falta el cateto a: a2 = c2 - b2.

c. Falta el cateto b: b2 = c2 - a2.

Ejemplo. Determine el lado faltante en cada triángulo rectángulo. Sean a y b los catetos y c la

hipotenusa.

1. a = 12, c = 15. Halle b. Solución: b = 9

2. c = 18, b = 13, halle a. Solución: a = 12,44

3. a = 15, b = 8, halle c. Solución: b = 17

Acutángulo: triángulo que tiene sus tres ángulos agudos.

Obtusángulo: triángulo que tiene un ángulo obtuso y los otros dos son agudos.

Rectas Notables en el Triángulo.

1) Mediana: porción de recta trazada desde el vértice del triángulo al punto medio del lado opuesto. El

punto de intercepción de las tres medianas se denomina baricentro o centro de gravedad.

2) Altura: porción de recta perpendicular trazada desde el vértice de un triángulo al lado

opuesto o a su prolongación (es el caso de triángulos obtusángulos en la cual la altura se traza fuera del

triángulo). El punto de intercepción de las tres alturas se denomina ortocentro.

3) Mediatriz: porción de recta perpendicular trazada en el punto medio del lado de un

triángulo. El punto de intercepción de las tres mediatrices se denomina circuncentro y se nombra así porque

es el centro de una circunferencia que circunscribe a un triángulo.

a2

c2

b

a c

b

B

C A

4) Bisectriz. Porción de recta que divide al ángulo interno de un triángulo en dos partes iguales.

El punto de intercepción de las 3 bisectrices se denomina incentro y es el centro de una circunferencia que

está inscrita en el triángulo.

Perímetro: es la suma de los lados de una figura geométrica.

En un triángulo el perímetro, denotado por P, se calcula sumando la longitud de sus lados.

Ejemplo. Sea MPS, en la cual MP = 4 c,; PS = 5 cm; MS = 8 cm. Luego, P = 4 cm + 5 cm + 9 cm = 18 cm

Área: cantidad de superficie de un figura. Se mide en unidades cuadradas.

El área de un triángulo se puede determinar de dos maneras.

a. Conociendo la longitud de sus base (b) y su altura (h). 2

hbA

Ejemplo. Calcule el área de los siguientes triángulos.

Caso 1. Caso 2. Caso 3.

6’

4’’ 3 cm

6’’ 10 cm 12’

Solución:

Caso 1.

2lg122

''4''6

2pu

hbA

Caso 2.

2152

103

2cm

hbA

Caso 3.

.

b. Cuando se conocen las medidas de sus tres lados. En este caso emplearemos la famosa fórmula de Herón

de la forma:

1. Se calcula el perímetro.

2. Se divide el perímetro entre dos. A esto se le llama semi perímetro y se denota por la letra s.

3. Se resta el semi perímetro de la longitud de cada lado del triángulo y se realiza el producto entre estas

restas con el semi perímetro.

4. Se calcula la raíz cuadrada de ese producto.

Fórmula de Herón: ))()(( csbsassA

Por ejemplo, sea el triángulo MPS, en la cual MP = 5 cm,; PS = 6 cm; MS = 7 cm.

Paso 1. Calculemos el perímetro. cmcmcmcmP 18765

Paso 2. Calculemos el semi perímetro, cmcmP

s 92

18

2

Paso 3. Efectuamos las restas del semi perímetro con cada lado del triángulo:

cmcmcmMSs

cmcmcmPSs

cmcmcmMPs

279

369

459

Paso 4: Efectuamos el producto de las diferencias halladas en el paso 3 con el semi perímetro.

2162349 cmcmcmcmMSsPSsMPss

Paso 5: Calculamos el área del producto anterior y así determinamos el área del triángulo.

69,146666216))()(( 2 csbsassA

Clasificación de los Cuadriláteros:

Práctica 1I

Diga si la proposición es cierta o falsa.

1. En un triángulo equilátero sus ángulos internos miden 60, 30 y 90. _____

2. Un triángulo rectángulo tiene dos hipotenusas y un cateto. _____

3. Los triángulos acutángulos tienen sus tres ángulos agudos. _____

4. Los vértices de un triángulo son puntos donde se cortan dos lados. _____

5. En un triángulo las medidas de sus ángulos internos pueden ser ∢A = 40, ∢B = 70, ∢C = 60. _____

6. Los triángulos isósceles tiene dos lados iguales y uno diferente. _____

Escriba en la línea la letra que corresponde a la respuesta correcta de la columna A.

Columna A Columna B

1. Punto de intercepción de las 3 mediatrices. ___ altura

2. Línea perpendicular que se traza desde el punto medio de un lado. ___ ortocentro

3. Punto de intercepción de las tres medianas. ___ mediana

4. Punto de intercepción de las 3 bisectrices. ___ baricentro

5. Línea que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto. ___ incentro

6. Línea perpendicular que va al lado opuesto o su prolongación. ___ circuncentro

7. Punto de intercepción de las 3 alturas. ___ bisectriz

8. Línea que divide al ´ángulo interno en dos partes iguales. ___ mediatriz

Mida con ayuda de su regla la longitud de cada lado de los siguientes triángulos y diga clasifíquelos.

Mida con ayuda de su transportador la medida de cada ángulo interno y clasifique el triángulo.

Con ayuda del juego de geometría, trace la recta notable del triángulo que se le indica.

a) 3 medianas: use lápiz de color rojo.

b) 3 mediatrices: use lápiz de color azul.

c) 3 alturas: use lápiz de color verde.

d) 3 bisectrices: use lápiz de color anaranjado.

Para cada uno de los siguientes triángulos, determine su área.

7 cm 5 cm h = 8 pies

14 cm 22 cm 13 pies

Para cada uno de los siguientes triángulos, determine el área.

9 cm

12 cm 8 cm 13 cm 14 cm 5 cm

10 cm 15 cm 7 cm

Para cada uno de los lados dados a continuación, diga si de forma o no triángulo.

a. AB = 22, BC = 23; AC = 17 Respuesta: __________

b. AB = 6, BC = 6; AC = 7 Respuesta: __________

c. AB = 40, BC = 43; AC = 21 Respuesta: __________

d. AB = 16, BC = 5; AC = 6 Respuesta: __________

Determine la medida del ángulo que hace falta en el triángulo PRS.

1. ∢R = 27; ∢P = 65; ∢ S = __________

2. ∢R = 34; ∢P = 59; ∢ S = __________

3. ∢R = 12; ∢P = 105; ∢ S = __________

4. ∢R = 47; ∢P = 25; ∢ S = __________

5. ∢R = 117; ∢P = 15; ∢ S = __________

Suponga que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo, de catetos a y b y de hipotenusa c. Determine el lado que

hace falta. Exprese el resultado hasta la centésima.

1. a = 4 c = 11

2. c = 16 b = 9

3. c = 12 b = 5

4. a = 4 b = 3

5. a = 44 b = 30

Módulo 4. Círculo y Circunferencia.

Círculo y Circunferencia. La Circunferencia se define como el conjunto de puntos del plano que se encuentran a una distancia r de un punto

fijo llamado centro C.

C

El círculo es el conjunto de puntos interiores de la circunferencia e incluye a la circunferencia.

Elementos de la circunferencia y del círculo:

1) Centro: punto interior del círculo.

2) Radio: distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia.

3) Arco: porción de la circunferencia.

4) Cuerda: porción de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

5) Diámetro: cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y la divide en dos partes iguales.

Relación entre el radio y el diámetro:

1. Si el diámetro vale D, el radio será la mitad del diámetro. Ejemplo. Si el diámetro de una circunferencia

mide 12 metros, su radio, r = 6 metros.

2. Si el radio vale r, el diámetro D será el doble del radio. Ejemplo. Si el radio de una circunferencia mide

5 km, el diámetro, D = 2,5 km

6) Recta secante: recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

7) Recta tangente: recta que corta a la circunferencia en un solo punto.

Recta secante

radio

centro

cuerda diámetro arco

recta tangente

Perímetro de una circunferencia: la longitud de una circunferencia se puede determinar mediante la fórmula,

rP 2 , en la cual el número es constante e irracional y vale aproximadamente, = 3,141592…

r

Ejemplo: Calcule la longitud de una circunferencia cuyo radio es de 45 metros.

r = 45 m

mmrP 26,284514,322

Área de una circunferencia: Se determina multiplicando el valor de por el cuadrado del radio. Es decir, 2rA

Ejemplo. Calcule el área de una circunferencia cuyo radio mide, r = 14,6 cm.

Solución.

r = 14,6 cm

2

2

2

2

3224,669

16,21314,3

6,1414,3

cmA

cmA

cmA

rA

Práctica III Con ayuda del JUEGO DE GEOMETRÍA trace las siguientes circunferencias.

a. Radio = r = 6 cm.

b. Diámetro = D = 8 cm.

c. Radio = 2 pulgadas.

d. Diámetro = D = 7 cm

Complete los espacios con la respuesta correcta.

Recta que corta a la circunferencia en un solo punto. _________________________________

Pedazo de la circunferencia. _________________________________

Porción de recta que corta a la circunferencia en dos partes iguales. _________________________________

Distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia. _________________________________

Punto interior del círculo que equidista del radio. _________________________________

Recta que intercepta a la circunferencia en dos puntos. _________________________________

Para cada caso, calcule el perímetro y el área de las siguientes circunferencias.

1. D = 14 cm

2. r = 9 m

3. r = 28 km

4. D = 49,8 yardas

5. r = 12,34 cm

Identifique cada uno de los elementos del círculo y de la circunferencia.

k Radio: __________

A Diámetro: __________

T Cuerda: __________

G Recta secante: __________

P Recta tangente: __________

H F Arco: __________

Centro: __________

m B Mida con ayuda de su transportador los siguientes ángulos.

Realice las siguientes conversiones.

a. De radianes a grados.

rad8

rad12

6

rad15

b. De grados a radianes.

225

45

270

15

Calculo de áreas y de perímetros. Sean ABCD cuadrados.

10 cm 5 cm A

B C

D