MAESTRÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN
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MAESTRÍA EN SISTEMAS DE INFORMACIÓN
Profesor: Oiner Gómez Baryolo, PhDCorreo: [email protected]
MENCIÓN EN INTELIGENCIA DE NEGOCIO
Módulo: Algoritmo y teoría
TEMA I: Algoritmos y problemas
Fundamentos Matemáticos
ANÁLISIS DE LAS DERIVADAS
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Hemos dado como interpretación geométrica de la derivada, lapendiente de la recta tangente a una curva en un punto.Históricamente, una aplicación muy importante de la derivadaimplica el movimiento de un objeto viajando en línea recta. Estonos da una manera conveniente de interpretar la derivada comouna razón de cambio.
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS DERIVADAS
Determinación de la velocidad promedio y la velocidad
a) Encontrar la velocidad promedio en el intervalo [10, 10.1].b) Encontrar la velocidad cuando t=10.
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS DERIVADAS
Determinación de la velocidad promedio y la velocidad
a)
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APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS DERIVADAS
Determinación de la velocidad promedio y la velocidad
b) La velocidad v en el tiempo t está dada por
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APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS DERIVADAS
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APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS DERIVADAS
Determinación de una razón de cambio
la razón de cambio es
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APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS DERIVADAS
Razón de cambio del precio con respecto a la cantidad
la razón de cambio de p con respecto a q es dp / dq
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Razón de cambio de volumen
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Razón de cambio de la matrícula
ANÁLISIS MARGINAL
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
El Cálculo Diferencial es el estudio de los cambios que ocurren en una
expresión matemática, cuando ocurren variaciones en otras cantidades
(variables independientes) de las cuales depende la cantidad original
(variable dependiente). Así por ejemplo:
- El cambio en el costo total de operación de una empresa, resulta de
cada unidad adicional producida.
- El cambio de la demanda de cierto producto que resulta de un
incremento de una unidad en el precio.
- El cambio del producto nacional bruto de un país por cada año que
pasa
La derivada tiene varias aplicaciones en la economía y la administración
en lo referente a las “tasas marginales“.
COSTO MARGINAL
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Se define como costo marginal a la variación del costo total, ante el
aumento de una unidad producida, es decir el costo de producir una
unidad adicional.
El costo marginal es un concepto importante en la microeconomía, ya
que se utiliza para determinar la cantidad de producción de una empresa
y los precios de los productos.
Es claro que el costo marginal no es otra cosa que la derivada de lafunción del costo con respecto a la cantidad producida.
dx
dCNALCOSTOMARGI =
El costo marginal mide la tasa con la que el costo se incrementa con
respecto al incremento de la cantidad producida.
COSTO PROMEDIO MARGINAL
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( )x
xCDIOCOSTOPROME =
( )xCdx
dLDIOMARGINACOSTOPROME =
Costo promedio o coste unitario, es el costo de producción por unidad
de producto. Se determina dividiendo el total de costos fijos y costosvariables para el número total de unidades producidas.
Mientras que el costo promedio marginal es igual a laderivada del costo promedio
INGRESO MARGINAL
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Ingreso es el cambio que se realiza en el ingreso total por cada unidad adicional que es venda.
Sabemos que PXINGRESO *=
X= Número de unidades Vendidas
P= Precio unitario
Por lo tanto Idx
dMARGINALINGRESO =.
El ingreso marginal representan las entradas adicionalesde una empresa por artículo adicional vendido cuando
ocurre un incremento muy pequeño en el número de
artículos vendidos. Esto es, la tasa con que crece el
ingreso con respecto al volumen de ventas.
UTILIDAD MARGINAL
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La Utilidad, desde el punto de vista contextual, se puede
decir que es la aptitud de un bien o servicio para satisfacer lanecesidad humana.
Desde el punto de vista económico( ) ( )xx CIUTILIDAD −=
Utilidad marginal, brinda el consumo de un bien adicional; en
términos matemáticos se puede decir que la Utilidad
Marginal, es la derivada parcial de la función de la Utilidad
con respecto a la cantidad consumida de un bien.
Udx
dMARGINALUTILIDAD =−
La utilidad marginal, representa la utilidad adicional porartículo, si la producción tiene un pequeño incremento.
APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS DERIVADAS
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FORMULAS
x = número de unidadesp = precio/demandaI(x) =ingresoU(x) = costoSiempre que se indique marginal será unaderivada
dx
xdCinalmCosto
)(arg =− P se puede encontrar como:
• Precio unitario• Ecuación de la demandaX se puede encontrar como:• Número de unidades• Volumen de producción• Tasa de producción• Nivel de producciónMaximizar la Utilidad• Segunda derivada• F’’(x) <0 (Max)• F’’(x) >0 (Min)• F’’(x)=0 (Inf)
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Aplicaciones de la razón de cambio
La función de costo total de un fabricante, c=f(q), nos da el costo total c de
producir y comerciar q unidades de un producto. La razón de cambio de c con
respecto a q se llama costo marginal. Así,
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Aplicaciones de la razón de cambio
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Costo marginal
Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es:
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Costo marginal
Calcule el costo promedio marginal para la función de costo:
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Ingreso Marginal
El ingreso marginal indica la rapidez a la que el ingreso cambia con respecto a las
unidades vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender
una unidad adicional de producción.
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Ingreso Marginal
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Ingreso Marginal
Si la ecuación de la demanda del producto de un fabricante es:
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Ingreso Marginal
Si la función de ingreso está dada por:
Determine el ingreso marginal cuando x = 300 si la ecuación dedemanda es: x =1000 - 100p
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La ecuación de demanda de cierto artículo es
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La función de ingreso está dada por
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Una de las aplicaciones más importantes de la teoría de máximos
y mínimos es en las operaciones de empresas comerciales. Esto
ocurre por una razón simple, una empresa selecciona su estrategia
y nivel de operación en tal forma que maximice su utilidad. Así
pues, si la administración de la empresa sabe cómo depende la
utilidad de alguna variable que puede ajustarse, entonces elegirán
el valor de tal variable de modo que produzca la máxima utilidad
posible.
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APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS DERIVADAS
Consideremos el caso en que la variable a ajustar es el nivel deproducción x (el número de unidades del producto de la empresaelaboradas por semana o por mes). Si cada unidad se vende a unprecio p, el ingreso es R(x) = px. El costo de producir x artículosdepende de x y se denota por C(x), la función de costo. Se sigueque la utilidad es una función de x dada por
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xp 001.05 −=
xC += 2000
.2500002.0
5
0002.05
002.05
001.05
)001.05(
2
undx
x
xI
xxI
xxI
==
=−
−=
−=
−=
•Para cierto artículo la ecuación de la demanda es ¿Determinar elvolumen de producción para maximizar el Ingreso? Si el costo de producir los artículosque se venden es ¿Calcularlas unidades para que la utilidad seamáxima y el valor de dicha utilidad?
I= xp
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APLICACIONES PRÁCTICAS DE LAS DERIVADASPara determinar si este volumen de producción maximiza el ingreso determino la
segunda derivada, (si es mayor que cero tengo máximo, menor que cero mínimos y
si es igual a cero existe un punto de inflexión)
002.0
002.05
−=
−=
I
xISignifica que el volumen de producción maximiza el ingreso.
Para resolver la segunda pregunta: la tasa de producción o número de unidades que
debe producir la empresa para obtener la utilidad máxima, se realiza:
.2000002.0
4
04002.0
4002.0
20004001.0
2000001.05
)2000(001.05
2
2
2
undx
x
xU
xxU
xxxU
xxxU
CIU
==
=−−
−−=
−−−=
−−−=
+−−=
−=
imizaU
xU
max002.0
4002.0
−=
−−=
El valor de la Utilidad máxima:
𝑈2000 = 5000 2000 − 0,001(2000)2- 2000 – 2000𝑈2000 = $2000
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( )244
232 xx
xxC +−+=
xI
xpI
5=
=
La función del costo de una fábrica es en dólares, donde el nivel
de producción está dado en miles de artículos semanales. Si cada artículo producido
se puede vender $5 cada uno. Determinar:
a) El Ingreso.
b) Volumen de producción para obtener una Utilidad máxima y el valor de la
Utilidad.
Resolviendo la pregunta a):
Resolviendo la pregunta b):
( )
( )
( )
( )( )
semunidx
x
xx
xx
xx
xx
xxU
xxxxU
CIU
x
x
x
/8
08
048
0324
0432
082
4
824
24425
2
2
2
2
32
=
=−
=+−
=−−
=−+
=−+
−+=
−+−−=
−=
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( )
( )42
1
824
2
xU
xxU
x
x
−=
−+=
( ) 5.14
8
2
18 −=−=U
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) 7.24$
3.21161040
24
8
4
88285
max
max
32
max
=
−+−=
−+−−=
U
U
U
Remplazando el valor de las unidades en la segunda derivada:
Es un valor negativo, determina que las 8 unidades producen la utilidad
máxima.
El valor de la Utilidad máxima:
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Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los
artículos que produce a un precio de $6 cada uno. El costo de
producir x artículos a la semana (en dólares) es:
¿Qué valor de x debemos seleccionar con objeto de maximizar
las utilidades?
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Solución
El ingreso producido por la venta de x artículos a $6 cada
uno es R(x) = 6x dólares. Por consiguiente, la utilidad por
semana es
A fin de encontrar el valor máximo de P, buscamos los puntos
críticos en la forma usual y luego investigamos su naturaleza.
Derivando obtenemos
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Solución
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El costo de producir x artículos por semana es
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Ejercicio: Una compañía obtiene una utilidad de $5 por cadaartículo de su producto que vende. Si gasta A dólares porsemana en publicidad, el número de artículos que vende porsemana está dado por:
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EJERCICIOS
Las funciones de costo y de demanda de una empresa son C(x) = 5xy p = 25 - 2x, respectivamente.
a) Encuentre el nivel de producción que maximizará las utilidades de
la empresa.
¿Cuál es la máxima utilidad?
b) Si se impone un impuesto de t por cada unidad y la empresa lo
carga en su costo, encuentre el nivel de producción que maximiza las
utilidades de la empresa.
¿Cuál es la máxima utilidad?
c) Determine el impuesto por unidad t que debe imponerse para
obtener un máximo impuesto sobre la renta.
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EJERCICIOS
6003.0 =+ xp
xC 2.12 +=, y la función del costo
determine:
•El nivel de producción que producirá la máxima utilidad.
•¿Cuál es la utilidad máxima?
•Una empresa determino que la fabricación y venta de los bienes que
produce está determinada por la ecuación de la demanda
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EJERCICIOS
La ecuación de la demanda para un monopolista es y lafunción del costo promedio: donde x es el número deunidades y , se expresa en dólares por unidad.Determinar:a) El volumen de producción para maximizar la utilidad.b) El precio de las unidades en que ocurre la utilidad máxima.c) Calcular la Utilidad máxima.d) Si como medida reguladora el gobierno impone un impuesto de $22 por
unidad ¿Cuál es el nuevo precio para maximizar la utilidad?
xp 2400 −=
xxC
40042.0 ++=
p C
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