I.5 Sumario

e < 0

e < V

i > 0

I.5 SUMARIO

1. Laconversión de energíaes necesaria para utilizar los diferentes recursos disponibles en lanaturaleza. El campo magnético permite acumular energía con una densidad mayor que ladel campo eléctrico, esto ha favorecido el desarrollo de las máquinas eléctricas basadas encampo magnético. El campo magnético acumula cantidades muy pequeñas de energía alser comparado con las densidades obtenidas en otros procesos físicos, esto hace necesariala conversión de energía para poder obtener electricidad a partir de estos procesos (VerTabla 1.1).

2. Energía, fuerzay camposon conceptos físico-matemáticos de gran utilidad en los proce-sos que involucran conversión de energía.

3. La ley de Lorenz 1.1, las leyes de Maxwell 1.2 a 1.5 y las relaciones constitutivas de lamateria 1.6 a 1.8, conforman un marco matemático que permite determinar el comporta-miento de los convertidores electromecánicos de energía.

4. El convertidor electromecánico elemental está constituido por un conductor rectilíneo mo-viéndose ortogonalmente a una velocidadv en un campo magnéticoB, en estas condicio-nes aparece en cada punto del conductor un campo eléctrico constante de valorE = v×B.Cuando este conductor se conecta a un circuito eléctrico externo, se obtiene una máquinaeléctrica que es capaz de comportarse comomotor, generadoro freno.

5. El sistema formado por las ecuaciones internas y las relaciones con el exterior del conver-tidor, determinan completamente el comportamiento eléctrico y mecánico del convertidorelectromecánico. Las ecuaciones internas definen la fuerza electromotrize, y la fuerzaeléctricaFe sobre el conductor. Las relaciones externas son la ecuación de Kirchoff parael sistema eléctrico y la segunda ley de Newton para el sistema mecánico.

6. La ecuación característica, permite obtener el punto de operación que está determinadopor aquella velocidad donde se alcanza el equilibrio entre las fuerzas actuantes.

I.6 EJEMPLOS RESUELTOS

Ejemplo 1: Conductor moviéndose en un campo uniforme

En la figura 1.13 se muestra el diagrama esquemático de un convertidor electromecánico deenergía constituido por una fuente de tensiónV = 1,0V y un conductor de masaM = 0,1kg, quese mueve ortogonalmente hacia un campo magnético uniformeB = 1,0T. La resistencia de losconductores está distribuida y depende de la longitud del camino que conecta la fuente con el

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

Figura 1.13Conductor moviéndose en un campo uniforme

conductor móvil(R= 1+ 2xΩ). Al movimiento del conductor se opone una fuerza mecánicaFm = 1,0N . En estas condiciones determine:

1. Las ecuaciones diferenciales completas que rigen el comportamiento del convertidor elec-tromecánico.

2. La trayectoria descrita por el conductor móvil, si en el instante inicialt = 0, la posiciónde este elemento esx(0) = 1,0m y parte de la condición de reposo4.

3. La trayectoria del conductor utilizando métodos analíticos de solución suponiendo queahora la resistencia es concentrada y de valor constante5 5Ω.

Solución:

1.- Es necesario determinar tanto las ecuaciones internas6, como las relaciones con el mundoexterno7. Las ecuaciones internas del convertidor son:

e=

∫ l

0E ·dl = v·B · l (1.39)

Fe =∫ l

0f ·dl = i ·B · l (1.40)

Las ecuaciones que relacionan al convertidor electromecánico con el mundo externo son:

i =V −e

R(1.41)

Fe−Fm = Ma (1.42)

4 Debido a la no-linealidad existente en el modelo matemático del convertidor utilice un programa para resolvernuméricamente este problema.

5 Las condiciones iniciales coinciden con las indicadas en el punto 2 de este problema.6 Fuerza electromotriz y fuerza eléctrica.7 Ecuación de la malla y segunda ley de Newton.

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I.6 Ejemplos resueltos

Sustituyendo las ecuaciones internas 1.39 y 1.40 en las relaciones con el mundo externo 1.41 y1.42 se obtiene:

i =V −v·B · l

R(x)(1.43)

Fe−Fm = i ·B · l −Fm = Ma (1.44)

Reemplazando el resultado de la expresión 1.43 en la ecuación 1.44 se obtiene la ecuacióndiferencial que determina el comportamiento dinámico del conductor móvil:

Ma =V −v·B · l

R(x)·B · l −Fm =

V ·B · l −v· (B · l)2

R(x)(1.45)

2.- La resistencia de los conductores está distribuida y depende de la posiciónx, la ecuacióndiferencial que define el comportamiento dinámico del conductor móvil es:

Mx−V ·B · l − x· (B · l)2

1+2x+Fm = 0 ;

x(0) = 1,0mx(0) = 0,0 m

s(1.46)

Para resolver el problema planteado en la ecuación 1.46 es necesario utilizar un método numéri-co debido a la dependencia de la posición en los coeficientes que acompañan a las derivadas deesta variable de estado. La ecuación 1.46 se puede descomponer en un sistema de dos ecuacionesdiferenciales de primer orden:

u = 1M

(

V·B·l−u·(B·l)2

(1+2x) −Fm

)

x = u;

x(0) = 1,0mx(0) = 0,0 m

s(1.47)

El sistema de ecuaciones planteado en 1.47 puede ser integrado numéricamente. En el listado sereproduce un código fuente MATLAB8 que permite realizar esta operación. En la figura 1.14 seobserva el resultado de esta integración, donde se ha representado la posición de la pieza móvilen función del tiempo para los datos de este problema:

En el listado 2 se presenta un programa que resuelve el mismo problema en el entorno de códigoabierto y libre distribución Scilab 3.1.1, que está disponible9 para varios sistemas operativosentre los cuales se puede destacar Windows®, Linux, MacOS® y Unix®.

El código incluido en el listado 3 resuelve este ejemplo utilizando el programa Octave10, entornosimilar a Matlab, pero cuyo código es abierto y de distribución libre.

3.- Si la resistenciaR no cambia con la posiciónx, la ecuación diferencial que determina elcomportamiento dinámico del convertidor es lineal:

8 Un código parecido puede ser adaptado para resolver el problema utilizando herramientas de licencia libre ycódigo abierto como pueden ser Octave y Scilab.

9 Las diferentes versiones y distribuciones pueden ser descargadas desde el enlace http://www.scilab.org.10 http://www.octave.org.

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

Algoritmo 1 Rutina para la solución del problema utilizando el entorno MATLAB%****************************************************************************% Programa para el ál ulo de la traye toria de un ondu tor% que se mueve en un ampo magnéti o uniforme. Matlab%****************************************************************************global m l B Fm V % Traspaso de variables a la fun ión ondu tor% Defini ión de los parámetros y variables de entradam=0.1; l=1.0; B=1.0; Fm=.1; V=1;% Condi iones ini iales de las variables de estadoy0=[0 1; % u(0)= 0 m/s x(0)=1.0 mTa=0:.001:10; % Defini ión de tiempos y pasos de integra ión% Integra ión de las variables de estado por un método Runge-Kutta% on paso variable[T,X=ode23(' ondu tor',Ta,y0);% Gráfi o de las variables de estado[AX,H1,H2=plotyy(T,X(:,1),T,X(:,2)) xlabel('tiempo (s)','FontName','times')set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','velo idad u(t) (m/s)','FontName','times')set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','posi ion x(t) (m)','FontName','times')set(H2,'LineStyle',':')grid%*****************************************************************************% E ua iones diferen iales del problema 1fun tion pX= ondu tor(t,X)global m l B Fm V % Traspaso de variables a la fun ión ondu tor% Conversión de las variables de estado a defini iones nemoté ni asu=X(1); x=X(2);% Cál ulo de las derivadas de las variables de estadopu=((V*B*l-(B*l)^2*u)/(1+2*x)-Fm)/m;px=u;% Asigna ión de las variables de estado al ve tor de salida de la fun iónpX=[pu;px;%*****************************************************************************

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

tiempo (s)

velo

cida

d u(

t) (

m/s

)

0 2 4 6 8 101

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5po

sici

ón x

(t)

(m)

u(t)u(t)x(t)

Figura 1.14Velocidad y posición del conductor (solución numérica utilizando Matlab 7.0®)

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I.6 Ejemplos resueltos

Algoritmo 2 Rutina para la solución del problema utilizando el entorno SCILAB// E ua iones diferen iales del problema 1 programado en el entorno S ilab//// Defini ión de la fun ión ondu torfun tion pX= ondu tor(t,X)global m l B Fm V // Traspaso de variables a la fun ión ondu tor// Conversión de las variables de estado a defini iones nemoté ni asu=X(1); x=X(2);// Cál ulo de las derivadas de las variables de estadopu=((V*B*l-(B*l)^2*u)/(1+2*x)-Fm)/m;px=u;// Asigna ión de las variables de estado al ve tor de salida de la fun iónpX=[pu;px;endfun tion//********************************************************************// Programa para el ál ulo de la traye toria de un ondu tor// que se mueve en un ampo magnéti o uniforme. S ilab 3.1.1//********************************************************************global m l B Fm V // Traspaso de variables a la fun ión ondu tor// Defini ión de los parámetros y variables de entradam=0.1; l=1.0; B=1.0; Fm=.1; V=1;// Condi iones ini iales de las variables de estadoy0=[0;1; // u(0)= 0 m/s x(0)=1.0 mTa=0:.001:10; // Defini ión de tiempos y pasos de integra ión// Integra ión de las variables de estado por el método Runge-KuttaX=ode(y0,0,Ta, ondu tor);// Gráfi o de las variables de estadosubplot(121)plot2d(Ta,X(1,:)',frameflag=6)xtitle('velo idad [m/s','t [s','u(t)')xgrid(2)subplot(122)plot2d(Ta,X(2,:)',frameflag=6)xtitle('posi ion [m','t [s','x(t)')xgrid(2)//*********************************************************************

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

velocidad [m/s]

t [s]

u(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

posición [m]

t [s]

x(t)

Figura 1.15Resultados del ejemplo obtenidos en el entorno Scilab-3.0

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I.6 Ejemplos resueltos

Algoritmo 3 Rutina para la solución del problema utilizando el entorno OCTAVE# ***********************************************************************# Programa para el ál ulo de la traye toria de un ondu tor# que se mueve en un ampo magnéti o uniforme. O tave# ***********************************************************************global m l B Fm V # Traspaso de variables a la fun ión ondu tor# Defini ión de los parámetros y variables de entradam=0.1; l=1.0; B=1.0; Fm=.1; V=1;# Condi iones ini iales de las variables de estadoy0=[0;1; # u(0)= 0 m/s x(0)=1.0 mTa=linspa e(0,10,200); # Defini ión de tiempos y pasos de integra ión# Integra ión de las variables de estado por el método Runge-KuttaX=lsode(' ondu tor',y0,Ta);# Gráfi os de la velo idad y posi ióngset nokeygset term posts ript olorplot(Ta,X(:,1))grid(); xlabel('tiempo [s');ylabel('velo idad [m/s')gset output "ej_1_1a_o tave.ps"replotplot(Ta,X(:,2))xlabel('tiempo [s');ylabel('posi ion [m/s')gset output "ej_1_1b_o tave.ps"replot# ***********************************************************************fun tion pX= ondu tor(X,t)global m l B Fm V # Traspaso de variables a la fun ión ondu tor# Conversión de las variables de estado a defini iones nemoté ni asu=X(1); x=X(2);# Cál ulo de las derivadas de las variables de estadopu=((V*B*l-(B*l)^2*u)/(1+2*x)-Fm)/m;px=u;# Asigna ión de las variables de estado al ve tor de salida de la fun iónpX=[pu;px;endfun tion

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 2 4 6 8 10

velo

cida

d [m

/s]

tiempo [s]

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 2 4 6 8 10

po

sic

ión

[m

/s]

tiempo [s]

Figura 1.16Resultados del ejemplo utilizando el entorno Octave 2.1.50

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I.6 Ejemplos resueltos

Mx+(B · l)2

Rx− V ·B · l

R+Fm = 0

x(0) = 1,0mx(0) = 0,0 m

s(1.48)

Sustituyendo los valores de los parámetrosM y l , así como de las fuentesV, B y Fm en laexpresión 1.48, se obtiene:

x+2x = 1 ;

x(0) = 1,0mx(0) = 0,0 m

s(1.49)

La expresión 1.49 se puede resolver más fácilmente si se sustituye la definición de la velocidadu:

u+2u = 1 ; u(0) = 0,0ms

(1.50)

Aplicando la transformada de Laplace, se obtiene el siguiente resultado:

sU(s)+2U(s) =1s

(1.51)

U(s) =1

s(s+2)=

12

(

1s− 1

s+2

)

(1.52)

Antitransformando la expresión 1.52 se obtiene la velocidad u(t):

u(t) =12

(

1−e−2t) ms

(1.53)

La posición se obtiene integrando la solución 1.53:

x(t) = x(0)+∫ t

0u(τ)dτ = 1+

12

(

t +12

e−2t − 12

)

(1.54)

En la figura se puede observar esta solución obtenida numéricamente con el programa anterior.

Ejemplo 2: Rueda de Faraday

En la figura 1.18 se muestra el diagrama esquemático de un convertidor electromecánico deenergía constituido por una rueda metálica cuyos radios conductores unen el eje con la periferia.En cada momento uno de los conductores del dispositivo se encuentra en presencia de un campomagnético uniformeB = 1T. Entre los extremos del conductoractivose aplica una fuente detensiónV = 1V. La resistencia equivalente entre el eje y el punto de contacto periférico es de0,1Ω. La longitud de cada uno de los radios es de 1,0 m. La máquina mueve un ventilador cuyopar mecánico es proporcional al cuadrado de la velocidad angularTm = kω2

m. Si el convertidor

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Capítulo I Conversión de energía eléctrica

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

tiempo (s)

velo

cida

d u(

t) (

m/s

)

0 2 4 6 8 100

5

10

posi

ción

x(t

) (m

)

u(t)

x(t)

Figura 1.17Velocidad y posición del conductor en función del tiempo (solución analítica)

gira a la velocidad sincrónica del sistema, se obtiene un par mecánico de 0,1Nm. Se puede con-siderar que el número de radios de la rueda es prácticamente infinito, de tal forma que siempreexiste un radio bajo el campo magnético uniforme. La masa de la rueda se puede considerardistribuida y tiene por valor 0,2kg. Con estos parámetros determine:

1. Las ecuaciones diferenciales completas que rigen el comportamiento del convertidor elec-tromecánico.

2. El punto de operación(ωm, i) cuando se acopla el ventilador al eje de la rueda.

3. Determine la velocidad angular y la corriente en función del tiempo, si el dispositivo partedel reposo en el instante inicial, en vacío y cargado con el ventilador.

Solución:

1.- Al igual que en el ejemplo anterior, en este caso también es necesario determinar las ecuacio-nes internas y las relaciones con el mundo externo. Como el movimiento de los conductores escircular, el análisis dinámico se realiza sobre el balance de par sobre el eje mecánico del dispo-sitivo. Para comprender el problema es necesario analizar en detalle el diagrama del conductoractivo en un instante determinado. En la figura 1.19 se han representado esquemáticamente lasconsideraciones fundamentales.

En la figura 1.19 se puede observar que a la distanciar del eje de giro, el módulo de la velocidadde giro esu = ωmr, y el vector sale del plano del papel. Con esa velocidad y el campo B seobtiene en ese mismo punto el campo eléctricoE. La circulación de la corrientei(t) por todo el

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