Mate Financier A - Gil Ernesto Daza

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

CONCEPTOS PRERREQUISITO DEL CURSO 15Ejercicios propuestos 16

CAPITULOIINTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO 19

1.1 Conceptos de interés 191.2 Interés simple 201.3 Interés Compuesto '" 221.4 Diagrama de flujo de caja ,. 241.5 Fecha focal o punto de análisis 251.6 Ecuación de valor .. ... ... ... ... ... ... 251.7 Sugerencias para la solución de problemas 251.8 Problemas propuestos ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 30

CAPITULOIITASAS DE INTERES ,. 33

2.1 Tasa de Interés Nominal. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 332.2 Conversión de una tasa efectiva menor a una

tasa efectiva mayor 352.3 Conversión de una tasa efectiva mayor a una

tasa efectiva menor 362.4 Tasa de Interés Anticipada ,. 362.5 Tasa de Interés Continúa 382.6 Ejercicios propuestos ... ... 39

CAPITULOIIIANUALIDADES 41

3.1 Valor futuro de una anualidad 413.2 Valor presente de una anualidad .. 443.3 Cálculo del número de cuotas 463.4 Cálculo de la tasa de interés por medio de

interpolación lineal 483.5 Ejercicios propuestos ,. 53

13

CAPITULOIVAMORTIZACION 57

4.1 Concepto de amortización , ,. 574.2 Amortización con pago de intereses en el

período de gracia 594.3 Amortización con periodo pactada de gracia y

cuota extra 604.4 Amortización con cuota extra no pactada .. 624.5 Ejercicios propuestos .. 65

CAPITULOVSERIES VARIABLES 67

5.1 Gradiente aritmético 675.2 Gradiente aritmético creciente vencido 675.3 Gradiente aritmético decreciente vencido .. 715.4 Gradiente geométrico .. 735.5 Ejercicios propuestos 78

CAPITULOVICRITERIOSPARALAEVALUACIÓNDE UN PROYECTO 836.1 Valor presente neto , 836.2 Tasa interna de retorno .. 876.3 Ejercicios propuestos ,.. ,. 91

BIBLIOGRAFÍA , ,.. ,. 95

El texto de __motivación dEmpresarial,Ing. Jairo PUniversi tariaocasiones medestacada corr

Inicialmen tecuales secientífica y

u tilizada en

La Matemáticlos estudiantese encuentrcolombiano, :texto pr ete ndcomprensiónmatemática Fy el plantepermitan reso

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El autor

ate ática Fi a c·e a

CONCEPTOS PREREQUISITO DEL CURSO

El curso de matemática financiera tiene como prerrequisitoel uso de la calculadora científica o financiera. En algunosproblemas es indispensable que el estudiante este encapacidad de despejar las incógnitas de una ecuación devalor.

El presente taller busca afianzar estos conceptos y a la vezfamiliarizar al estudiante con las ecuaciones de valor queresultan al plantear modelos matemáticos para la soluciónde problemas financieros. Se le sugiere al docente resolverejemplos similares a los del taller propuesto, para que elestudiante tenga la oportunidad de conocer el uso de sucalculadora científica o financiera.

Ejemplo 1:

Realice los siguientes cálculos:

la. ~1+0.24-1= 0.018

En la calculadora Casio Fx-82 MS se digita el 12 luego sepresiona la tecla SHIF seguidamente se presiona la tecla /\luego se abre un paréntesis, se digita 1+0.24 se cierra elparéntesis, se presiona la tecla = y finalmente se digita el- 1 Yse presiona la tecla

b. (1+0.03)12-1:

Entre un paréntesis se digita el 1+0.03 luego se presionala tecla /\ se digita el 12 se resta el 1 y se presiona latecla del =.

Gil Ernesto Daza Pérsz

Ejemplo 2:

Despeje la variable n de la siguiente ecuación:

50.000= 5.000(1+0,02f

Para despejar la n de esta ecuación empezamos por dividirpor 5000 los dos lados de la igualdad,

50.000=(102)"5.000 '

Realizamos las operaciones indicadas 10= 1,02/1.

A continuación, aplicamos logaritmo base lOa los doslados de la igualdad:

loglO= log1.02"

Aplicamos la propiedad de la Iogar itm ación logx" = n logx ,

por lo cual obtenemos:

1= nlog1.02

dividiendo por 10g1.02la igualdad, finalmente resulta

1---=n ~ n= 116,2710g1.02

EJERCICIOS PROPUESTOS:

l. Utilizando su calculadora científica realice lossiguientes ejercicios. En los resultados obtenidos utilicecuatro cifras decimales; en la parte financiera resulta

muy rresgcuando es-muy grande

••

• 50.000

• 100.000

(

• 90.000

2. Despeje :-Recuerde

propiedad

••

•

•

•

•••.•••._ •..,"'_;lor dividir

a los dos

- __ x =nlogx ,

-- res'ul.ta

realice los

:.=.aziciera resulta

Matemática Financiera

muy riesgoso realizar aproximaciones, sobre todo

cuando estos factores se multiplican por cantidades

muy grandes de dinero.

• 1~1+0.02 -1 =(1+ 0.01)10-1 =

50.000 (1- (1+ 0.03)-12)(1 + 0.03t4 =

0.03

100.000(1 + 0.Olt4 + 40.000(1- (1+ o.01)-S) =0.01

•

•

•

• 90.000(1- (1 + 0.03)IOJ =1-0.02

2. Despeje la variable de las siguientes ecuaciones.

Recuerde que para despejar una variable que se

encuentra en un exponente se debe aplicar la siguiente

propiedad de los logaritmos ~agx" = n lag x

• 100.000 = 20.000(1 + i)-12

• 8.000.000= 500000 (1+0.01)-11

• 100.000=A(1-(1+0.01)-S)0.01

• 10.000.000=400.000 (1- (1+O.Olfll)0.01

• 1000.000 = 20.000(1 + o.ou" + 50.000(1- (1+0.01f16)0.01


Capítulo 1INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

1.1Conceptos de Interés

El interés corresponde a la renta que se paga o se recibepor el uso del dinero durante un determinado tiempo, eldinero puede estar representado en un electrodoméstico,un servicio que se encuentra en mora, etcétera. Paracalcular el interés generado por una transacción o unnegocio se debe tener en cuenta elementos como:

Tasa de interés: es el porcentaje que se acuerda entre laspartes para la negociación, si se pacta un 3 % por cientomensual, significa que por cada $ 100 pesos prestados sedebe recibir $ 3 de interés en un mes, observe que elporcentaje viene acompañado de una unidad de tiempollamada periodo.

Periodo: Es el intervalo de tiempo en el que se liquida latasa de interés, el 5 % bimestral, significa que por cadabimestre debe pagar de intereses un 5 % del capital

Tiempo: Es el intervalo durante el cual tiene lugar laoperación financiera, por ejemplo se prestan $ 3.000.000al 2 % trimestral durante dos años; el tiempo en este casoson los dos años.

Es muy importante que el estudiante tenga claro que eldinero a través del tiempo va perdiendo el poder

Gil ErnEsto Daza PÉrEz

adquisitivo debido a la inflación, por tal motivofinancieramente no se pueden comparar cantidades queestén ubicadas en diferentes puntos en la línea del tiempo.También se debe tener en la cuenta que las magnitudes deltiempo en la tasa de interés y las magnitudes del tiempodeben ser equivalentes para no generar ambigüedades enlos resultados obtenidos a la hora de realizar los cálculos

toooo100000

4JOOOOC

1.2 lnter-ás Simple

En el interés simple los intereses devengado s en unperiodo, no ganan intereses en el periodo siguiente. Lacantidad de dinero que se deposita hoy o se recibe encalidad de préstamo recibe el nombre de valor presente.Después de cierto tiempo y a una tasa de interés pactada,el valor presente ha ganado unos intereses, a la suma delvalor presente y el interés, se le llama valor futuro:F = P + I para calcular el interés mul tiplicamos el valorpresente (P) por la tasa de interés y el número de periodosF = P +Pin y finalmente sacando factor común resulta:F = P(l + in) Esta ecuación nos permite calcular el valor

futuro de una transacción en la cual se aplique el conceptode interés simple.

En la figurahacia abajo y

Para resolverfuturo de eatiempos son .

Se debe tene

Ejemplo 1:

sumar por qu1.000.000 deimpacto quedel dinero.Una persona presta dinero al 10 % mensual y realiza los

siguientes préstamos:$200.000 a 6 meses, $1.000.000 a 12 meses, y $4.000.000a 18 meses.¿Cuánto dinero recibe al final de cada negocio, entrecapital e intereses?

Ejemplo 2:

Usted tienetasa de interé

20

tal motivo

ea del tiempo.irudes del

uniguierrte. Lae recibe en

raior presente.-=:.-e:-éspactada,

a :a suma del

- ~o de periodosresulta:

- realiza los

- 4.000.000

=-egocio, entre

Matemática FinanciEra

Of--f-I-I-I-hJ.-+++++::J-+-H-I-+l (Meses I/·18

ZOOOOO ~

1000000 L--...,....---~~ /

.¡JOOOOO L....,.-~-~-

Figura 1.1

En la figura 1.1 los préstamos se representan con flechashacia abajo y los pagos con flechas hacia arriba.

Para resolver este problema procedemos a calcular el :valorfuturo de cada deuda por separado, debido a que lostiempos son diferentes.

F¡ = 200.000(1 +0.1 x 6) = 320.000

F 2= 1000.000(1 + 0.lxI2) = 2.200.000

F3 = 4000.000(1 +O.lx ~8) = 11.200.000

Se debe tener en cuenta que estos valores no se puedensumar porque financieramente no es lo mismo tener $1.000.000 de pesos hoy que dentro qe un año, debido alimpacto que la inflación ejerce sobre el poder adquisitivodel dinero.

Ejemplo 2:

Usted tiene $ 4.000.000 para invertir y los presta a unatasa de interés simple del 5 % mensual durante 8 meses y,

Gil ErnEsto Daza PÉrEZ

a partir de este mes, hasta el mes 18, el monto acumulado

10 presta a una tasa del 12 % bimestral, ¿Cuánto recibirá

entre capital e intereses en el mes 18?

(Meses)18

4.000.000

F 1

Figura 1.2

Para resolver este problema aplicamos la fórmula de valor

futuro para calcular el monto a los 8 meses y al valor

obtenido le aplicamos nuevamente la fórmula de valor

futuro tomando los 10 meses durante los cuales el dinero

gana intereses (observar figura 1.2).

F; = 4.000.000(1 +0.05x8) = 5.600.000

F2 = 5.600.000(1 +0.12x5) = 8.960.000

1.3 InterÉs Compuesto

En éste tipo de interés, al final de cada periodo, se

capitalizan los intereses generados, es decir los intereses

obtenidos en un primer periodo ganan intereses en el

periodo siguiente, por esta razón se habla de intereses

sobre intereses, financieramente se conoce como

capitalización. Supongamos que invertimos $ 1.000.000 a

u na tasa decalculemos el.

Primer mes, e:

Segundo mes.

interés del me

Tercer mes,

valor futuro s

capital inicial

El proceso q:cuando los pe

deducir una :é

Primer perioc

F = P(l +i)

Segundo pe ric

interés simpu

futuro del

obtenemos F:

Tercer period

obtenemos F

obtenidos poc

F = P(! + i) 4 Y ?

Apliquemos e

F = 1.000.000(1-

mismo resul a

:::: acumuladouán o recibirá

(Meses)18

a de valory al valor

de valorel dinero

~c.. periodo, se- .os intereses

como.....=-.000.000 a

MatEmática FinanciEra

una tasa de interés del 5 % mensual durante 3 meses,calculemos el interés para cada periodo:

Primer mes, el interés ganado es 1 = LOOO.000xO,05x1 = 50.000

Segundo mes, 1= 1.050.000xO.05x1 = $52.500; observe que elinterés del mes anterior se le sumó al capital.

Tercer mes, 1= 11.02.500xO.05x1 = 55.125. Para calcular elvalor futuro sumamos los intereses de cada período y el

, capital inicial obteniendo $1.157.625.

El proceso que acabamos de realizar es muy engorrosocuando los periodos son grandes, por tal motivo vamos adeducir una fórmula que nos facilite esta operación.

Primer periodo F = P(l + i1) fórmula de interés simple,

F = P(l + i)

Segundo periodo F = P(l + i)(l+ il) se aplica la fórmula de

interés simple y se toma como valor presente el valorfuturo del primer periodo, resolviendo operaciones

obtenemos F = P(l + i)2

Tercer periodo, F = P(l + i) 2 (1+ il) efectuando operaciones

obtenemos F = P(1 + i)3 analizando los valores futuros

obtenidos podemos deducir que para el cuarto periodo

F = P(l + i)4y para n periodos F = P(l + ir.

Apliquemos esta fórmula para resolver el ejemplo anterior

F = 1.000.000(1 +0.05)3 = 1.157.625, observe que se obtiene el

mismo resultado. Por lo tanto el valor futuro de un interés

23


compuesto se calcula con la ecuación: F = P(l +i)" Y el

valor presente con la ecuación P = F(l + i)-n, la cual se

obtiene al despejar P de la ecuación de valor futuro, Si

desea calcular la tasa de interés o el número de periodosdebe despejar de alguna de las dos fórmulas. Utilice lafórmula adecuada para cada problema.

En la ecuación n representa el número de periodos en loscuales se capitaliza los intereses, P representa el valorpresente, i la tasa de interés al tanto por uno; al aplicar lafórmula tenga en cuenta que la unidad de medida de losperiodos y la tasa estén en la misma unidad.

1.4 Diagrama de flujo de caja

Es una recta la cual se encuentra dividida en el número deperíodos que dura la negociación, sobre ella se señalan losingresos con flechas hacia arriba y los egresos con flechashacia ibajo, el diagrama de flujo también se conoce comodiagrama de tiempo-valor. Este gráfico es muy importantepara la interpretación y comprensión de los problemas

(Bimestres)

o8% Bimestral

Figura 1.3

La figura 3 representa el depósito de 25 cuotas bimestralesde $ 200.000 Y F el valor que se tendrá al cabo de los 25bimestres.

24

(1+ i)-n si se

sirve como ringresos co

la derecha se

o egresos qigual. El punel resultado

1.6 Ecuaci

La ecuacióningresos afeede períodos,

Recuerde qu$1.000.000variación deluso de la fec

1.7 Sugere

Para resolvepasos:

1. Lea el prencuentrasignificad

=P{l+iY Y el

a cual se

SI

de periodos-=..::...as.Utilice la

•• períodos en losa el valor

- : al aplicar la=edida de los

::. e' número dese señalan los

_••_ s con flechas

=~_' importante__ ?!"oblemas

(Bimestres)

bimestralesabo de los 25


1.5 Fecha focal o punto de análisis

Es un punto que se toma en el diagrama de flujo de caja,sirve como referencia al cual se deben trasladar tanto losingresos como los egresos. Para trasladar un valor hacia

la derecha se multiplica por el factor (l+ ir o por el factor

(l+ i)-n si se va a trasladar hacia la izquierda, los ingresos

o egresos que están ubicados en la fecha focal se dejanigual. El punto que se tome como fecha focal no influye enel resultado del problema.

1.6 Ecuación de valor

La ecuación de valor resulta de igualar los egresos con losingresos afectados por la tasa de interés y por el númerode períodos, el cual depende de la fecha focal que se tome.

Recuerde que financieramente no es 10 mismo tener$l!'ÜOO.OOO pesos hoy que tenerlos dentro de un año, por lavariación del poder adquisitivo, por lo cual es fundamental eluso de la fecha focal en la ecuación de valor.

°1.7 Sugerencias para la solución de problemas

Para resolver problemas se le sugieren los siguientespasos:

1. Lea el problema varias veces para comprenderlo, SI

encuentra términos desconocidos consulte susignificado.


2. Realice el gráfico o línea del tiempo, ubicando los

ingresos hacia arriba y los egresos hacia abajo, o los

depósitos hacia arriba y los retiros hacia abajo, según

sea el caso.

3. Tome una fecha focal o punto de análisis para plantear la

ecuación de valor; al aplicar una fórmula tenga en cuenta

que si va a trasladar un valor hacia la derecha lo multiplica

por el factor (1+ ir (valor futuro) y si lo va a trasladar hacia

la izquierda 10 multiplica por el factor (1+ i)-n (valor

presente), los valores ubicados en la fecha focal permanecen

igual, estos conceptos crean una gran angustia en los

estudiantes al no saber que fórmula aplicar.

4. Consulte el manual de su calculadora científica o

calculadora financiera para resolver las operaciones

indicadas en la ecuación de valor. Finalmente

compruebe si la solución obtenida concuerda con la

situación planteada en el problema. Para tener éxito en

la solución de problemas de matemática financiera es

indispensable tener los conceptos claros, despejar las

ecuaciones y hacer un mariej o adecuado de la

calculadora para resolver las operaciones indicadas.

Ejemplo 1:

Una persona abre una cuenta de ahorros hoy con $400.000, en el mes número 5 deposita $ 200.000; en el mes8 deposita $ 1.000.000 y en el mes número 10 retira $400.000. ¿Cuánto podrá retirar en el mes número 12 si norealiza más transacciones financieras? La entidadfinanciera le reconoce una tasa de interés del 0.8% mensual

26

400.

Lo •

Para resolver

siguiendo pas.

aplicando el

sugiere re

Método 1:

Primero calc

meses: F

obtenemos F

$ 200.000, el s

El valor fu

los cuales se

depositan $1.

El valor fut

nuevo saldo

valor futuro

F = $1277568.

icando los- abajo, o los

a' ajo, según

ra plantear la- - a en cuenta

- _omultiplica

permanecen'S 'a en los

científica ooperacroriesFinalmente

uerda con la

lasla

hoy con $,.J ..uvu: en el mes

~O retira $12 si noentidad

. ,., mensual


1.000.000

400.000 200.000

10 12

(Meses)o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11

400.000

Figura 1.4

Para resolver este problema se emplearán dos métodos; unosiguiendo paso a paso las transacciones financieras y otroaplicando el concepto de fecha focal, en los dos métodos sesugiere realizar la gráfica de la línea de tiempo (Verfigura 1.4).

Método 1:

Primero calculamos el valor futuro de los $ 400.000 a los 5

F = 400.000(1 +0.008)5 realizando el cálculomeses:

obtenemos F = 416.258,0562; como en este mes se depositan

$ 200.000, el saldo en la cuenta es $ 616258,0562.

El valor futuro en el mes 8 es F = 616.258,0562(1 +0.008i

F = 631166.8866; observe que han transcurrido 3 meses enlos cuales se han generado intereses. Como en el mes 8 sedepositan $1.000.000 el nuevo saldo es $1.631.166,8866.

El valor futuro en el mes lOes F = 1.631.166,8866(1 +O.008f

F=1.657.369.951; como en el mes 10 se retiran $ 400.000, el

nuevo saldo es $ 1.257.369,951; Y finalmente se calcula el

va}o.rzutu.ro en e} .mes )2.' .?=J.25?.JÓy'.95}(J-I-().!)()8)2

F = $1277568.342


Método 2:

Se toma como fecha focal el mes número 12, la fecha focalse puede tornar en cualquier punto de la línea de tiempo yprocedemos a plantear la ecuación de valor, la Xrepresenta el monto en el mes número 12.

x = 400.000(1 + 0.008)12 + 200.000(1 + 0.008) 7 + 1.000.000(1 + 0.008)4 - 400.000(1 + 0.008)2

x = $1.277.568,342

.:,.' Como la fecha focal se tomó en el mes 12 todos los valoresse trasladaron hacia la derecha por este motivo se utilizó el

factor de valor futuro (1+ ir, excepto la X que permanece

igual porque se encuentra en la fecha focal.

',.1

Resolvamos el problema tomando otra fecha focal parademostrar que su ubicación no influye en el resultado;planteemos la ecuación de valor tomando fecha facal el mes 5:

X(1 + 0.008)-7 = 400000(1 + 0.008)5 + 200000 + 1000000(1 +0.008)-3 - 400000(1 + 0.008)-5

Resolviendo operaciones y despejando obtenemos:

x = 1.208.260,052= $1.277.5683430.945749837 '

Observe que en este caso se aplicó el factor de valorpresente y el de valor futuro, para trasladar los valores queestaban ubicados en puntos diferentes a la fecha focal ylos $ 200.000que estaban en la fecha focal se dejó igual.

Ejemplo 2:

Usted tiene$1.000.000 enmensual, $ 2.

3% bimestrai5% trimestraLfinanciero patasa de inier.mensual?

Empecemos e

F¡ = 1.000.000(

tasa de interémedida del tie

F2 = 2.000.000

es bimestral, _

F; = 4.000.000(

trimestral, y e

iX

ua fecha focal

a.. de iempo y

·a:or, la X

.000(1 + 0.008)2

os valores

e permanece

~ fecal para

resultado;el mes 5:

de valor

y


Ejemplo 2:

Usted tiene las siguientes obligaciones financieras:$1.000.000 en el mes 5 a una tasa de interés del 2%mensual, $ 2.000.000 en el mes 8, a una tasa de interés del3% bimestral y $ 4.000.000 en el mes 12, a una tasa del5% trimestral. ¿Cuánto tiene que invertir hoy en un negociofinanciero para cumplir con dichas obligaciones, si latasa de interés de que ofrece la financiera es del 3%mensual? I

l·,..,\ ~,Empecemos calculando el valor de las deudas adquiridas

'", ) ,F¡ = 1.000.000(1 + 0.02)5 F; = $1.104.080,803 Observe que la

tasa de interés y los periodos están en la mismaunidad demedida del tiempo.

F2=2.000.000(1+0.03)4 F2 =$2.251.017,62 La tasa de interés

es bimestral, y en 8 meses hay 4 bimestres

F3 = 4.000.000(1 +0.05)4 F3 = $4.862.025 La tasa de interés es

trimestral, y en 12 meses hay 4 trimestres.

F2

(Trimestres)

F3

F1

x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Figura 1.5

Gil Ernesto Daza PÉrez

Después de calculadas los valores de las deudas, seplantea la ecuación de valor para determinar cuanto tieneque invertir en la opción de negocio que tiene paracubrirlas, tomamos como fecha focal cero para que lavariable quede despejada.

x = 1.104.080,803(1 + 0.03r5 + 2.251.017,62(1 +0.03r8 +4.862.025(1 +0.03r12

x = $6.139.490,407

Observe que invirtiendo $ 6.139.490.407 en el negocio quele da una rentabilidad del 3% mensual cubre lasobligaciones financieras.

1.8 Problemas Propuestos

1. Calcule el valor futuro de un préstamo de $1000.000 al3% bimestral simple durante 2 años.

2. ¿A qué tasa de interés simple mensual se debeprestar un dinero "P" para que al cabo de 2 años, elvalor presente se incremente en un 30%?

3. Durante cuánto tiempo se debe invertir una cantidad"P" para que a una tasa de interés simple de 2%mensual genere un valor futuro de 2P?

4. Usted trabaja .prestando dinero a una tasa del 10 %

mensual simple, hace los siguientes desembolsos hoypresta $ 1.000.000, dentro de 2 meses presta $500.000, dentro de 6 meses presta un millón, y dentro 8meses presta 2 millones. Si todos estos préstamos se

los paga

¿Cuánto

5. Usted tie

6.

••

• Al ca

quiere ysiguiente3 milloneun año, o"

7. Se invietrimestralretiro parpermanecinversión

8. Kalimeñocobran udisponecuenta qutiempo el ::::para pagar

e das, se

tiene

para

que la 5.

::.egocio que

c bre las

. 00.000 al

se debe

ria cantidad

de 2%

a del 10 %=~o sos hoy

_ _ presta s-:: .. dentro 8

se

Matsrnátíca FinanciEra

los pagan en el mes número 12, a partir de hoy,

¿Cuánto dinero recibe en total?

Usted tiene 10 millones para invertir y le presentan tres

proyectos. ¿Cuál es la mejor opción para invertir?

• Le reconocen una tasa de interés del 20 % anual

• Por cada millón invertido le reconocen 100.000 de

interés al cabo de tres años.

• Al cabo de 2 años le garantizan un rendimiento del40% del valor de su inversión

6. Usted tiene $ 20 millones para comprar una casa de

interés social, una inmobiliaria tiene la casa que usted

quiere y su costo es de 20 millones, además ofrece la

siguiente financiación: cuota inicial 30 %, un pago por

3 millones en el mes número 6, $ 5 millones dentro de

un año, y otro por $ 7 millones en el mes 36. Si la tasa

de interés es del 3 % mensual, ¿le conviene aceptar la

financiación?

7. Se invierten 2 millones de pesos a una tasa de 2 %

trimestral a dos años, en el mes número 24 se hace un

retiro parcial por 500 mil pesos: ¿Cuánto tiempo debe

permanecer el dinero restante, para que se duplique la

inversión inicial?

8. Kalimeño tiene una deuda por un valor 650.000 y le

cobran un interés del 3 % mensual. A su vez, Kalimeño

dispone hoy de 450.000 los cuales deposita en una

cuenta que reconoce el 4 % mensual. ¿Dentro de cuánto

tiempo el monto que tenga en la cuenta le será suficiente

para pagar la deuda existente en ese momento?

31

Z2 É~Z

9_ -s-ed ierie las siguientes obligaciones en el mes número12 debe cancelar un préstamo de un millón de pesos al12 % bimestral, en el mes número 18 debe cancelar unpréstamo por 6 millones al 10 % trimestral, y en el mesnúmero 24 debe cancelar 8 millones al 5 % trimestral. Sila tasa de interés es del 2 % mensual. ¿Cuánto tendráque depositar hoy para cumplir con sus obligaciones?

10. Usted abre una cuenta con $ 4.000.000 hoy, en elmes 14 deposita $ 4.000.000, en el mes 22 deposita $2.000.000 y en el mes 26 deposita $ 2.000.000, si en elmes 28 hace un retiro por $6.000.000. ¿Cuánto tendráacumulado en el mes 60? Le reconocen una tasa del 1%bimestral.

1l. Usted esta interesado en vender su PC y recibe lassiguientes propuestas:A. $400.000 de contado y 3 pagos mensuales de

$120.000 c/uB. $300.000 de contado, $150.000 a los 2 meses y

$300.000 en el mes 3.C. $ 300.000 de contado y $600.000 a 6 mesesSi la tasa de interés es del 3% mensual, ¿Cuál es lamejor oferta?

12. Una máquina llegará al final de su vida útil dentrode 5 años, para esa época, una nueva máquina que seadquiera costará $20.000.000 y se estima que lamáquina podrá ser recibida en parte de pago de lanueva por la suma de $4.000.000. ¿Qué deposito debehacer hoy en una cuenta que paga el 4% trimestralpara poder hacer la compra en el momento oportuno?

Al resolverfundamenta:interés norni

de interés

tasas vencidlas formulas

2.1 Tasa d

La tasa dereferencia yse obtiene la

Generalmen::como se denominal secapitalizablecapi talizablePara utilizefectiva. Parpor el núrner

Ejemplo 1:

Observe la faefectiva:

e: mes númerode pesos alcancelar un- en el mes

hoy, en eldeposita $

~'oIVV.OOO, si en elánto tendrá

a tasa del 1%

- recibe las

menauales de

.::.._ s 2 meses y

es la

sea que la

ie pago de la- ieposito debe

- o trimestralLó....I:;~-,.u oportuno?

Matemática Flnaricier-a

Capítulo 2TASAS DE INTERÉS

Al resolver un problema sobre matemática financiera esfundamental saber clasificar la tasa de interés en: Tasa deinterés nominal, tasa efectiva, tasa de interés vencida, tasade interés anticipada.

Las fórmulas trabajadas hasta el momento funcionan paratasas vencidas y efectivas, por tal motivo, antes de utilizarlas formulas se debe hacer dicha conversión.

2.1 Tasa de interés nominal

La tasa de interés nominal sirve· únicamente comoreferencia y dependiendo de la condición de capitalización,se obtiene la tasa efectiva .

Generalmente se expresa en forma anual e indica la formacomo se deben tomar los periodos, la tasa de interésnominal se expresa de diferentes maneras: 20 % anualcapitalizable mensual, 10 % mes vencido, 25 % nominalcapitalizable mensual, 18 % compuesto mensualmente:Para utilizar las fórmulas anteriores la tasa debe serefectiva. Para pasar una tasa nominal a efectiva se dividepor el número de períodos que hay en un año.

Ejemplo 1:

Observe la forma como se convierte una tasa nominal a unaefectiva:


A. 36 % anual capitalizable mensual, como en un año hay12 meses la conversión se hace de la siguiente manera

36% .-- = 3% mensual efectivo12

B. 24 % anual capitalizable bimestral, como en un año hay6 bimestres, la conversión se hace de la siguiente forma

24%. .-- = 4% bimestral efectivo

6c. El 48 % anual capitalizable semestral, en un año hay

dos semestres por 10 tanto la conversión se hace de la

. . 48% 24 o/ 1 f .siguiente manera -- = /0 semestra e ectivo2

D. El 20 % anual compuesto trimestralmente, como en unaño hay 4 trimestres la conversión se hace así:

20% 5)/· 1 f .-- = ~o tnmestra e ectivo.4

E. El 12 % trimestral capitalizable mensual, como en untrimestre hay 3 meses la conversión se hace de la

12%siguiente manera: -- = 4% mensual.3

Tasa de interés efeciva

La tasa de interés efectiva es la que realmente actúa sobreel capital, al hacer la conversión se debe tener en la cuentaque para convertir una tasa efectiva en otra tasa efectivaequivalente, no se hace con una simple división como en elcaso de la tasa nominal; es común pensar que el 36 %

anual es equivalente al 3 % mensual, lo cual es falso, sepuede comprobar aplicándole a $ 1.000.000 las dos tasas,tomando un tiempo de 2 años, observe lo que sucede:

34

F

El valor futur

tasa efectiva

para las dostener en cuenA corrtirru aci

pueden presunidad de TI:

por ejemplo e

2.2 Conve

una efectiv

Para conver :

donde Ím es •

Ejemplo 2:

a. Hallar un

En este c

~1+0.24-

1.8% men

b. Hallar un

al emple

e:: 1.:ll año hay- "':':e:::.-emanera

en rn año hay.guíente forma

año hay

ace de la

zr;e como en un

:: se nace así:

en un

.:::ace de la

e.are actúa sobre

la cuenta

el 36 %

falso, se

.a dos tasas,


F = 1.000.000(1 + 0.36)2 = $1849600

F = 1.000.000(1+0.03)24 = $2.032.794,106

El valor futuro es diferente, por 10 tanto para convertir una

tasa efectiva se debe plantear la ecuación de F = P(l + irpara las dos situaciones y luego despejar. Es importante

tener en cuenta el tipo de conversión que se va a realizar.

A continuación se presentan los dos casos que se nos

pueden presentar. La tasa efectiva mayor se refiere a la

unidad de medida del tiempo, mas no al valor numérico;

por ejemplo ella % mensual es menor que el 7 % anual.

2.2 Conversión de una tasa efectiva mayor a

una efectiva menor

Para convertir una tasa efectiva mayor en una tasa efectiva

menor se aplica la siguiente fórmula: im = ~1 + iM -1 en

donde im es la tasa de interés menor y iM es la tasa mayor,

"k" representa el número de capitalizaciones.

Ejemplo 2:

a. Hallar una tasa mensual equivalente al 24 % anual:En este caso al reemplazar en la fórmula obtenernos

~1+0.24-1=0.Ol8 al multiplicar por 100, resulta el

1.8% mensual.

b. Hallar una tasa mensual equivalente al 18% semestral;

al emplear la fórmula obtenemos t'1+0.18-1=0.0279,


luego, al multiplicar por 100, resulta una tasa del2.79% mensual.

2.3 Conversión de una tasa efectiva menor a una

efectiva mayor

Para convertir una tasa efectiva menor en una tasa efectiva

mayor se aplica la siguiente fórmula iM = (1+ i,Jk -1 en-,"

donde t: es la tasa de interés menor y iM es la tasa mayor,

k representa el número de capitalizaciones.

Ejemplo 3:

a. Hallar una tasa anual equivalente al 3 % bimestral:Reemplazamos los datos en la fórmula anterior

(1+0.03)6-1=0.1940 al multiplicar por 100 obtenernos

19.4% anual.

b. Hallar una tasa semestral equivalente al 2 % bimestral:Reemplazamos los datos en la fórmula anterior

(1+0.02)3-1=0.0612 al multiplicar por 100 obtenernos

6.12% semestral.

2.4 Tasa de interés anticipada

La tasa de interés anticipada se aplica cuando losintereses de un periodo se cobran o pagan el primer día enel que se hace la negociación. Es necesario convertir latasa efectiva anticipada en efectiva vencida, antes de

utilizar lasprestamos .

del primer _buscamos'

ecuación:

cance1arla

(1-i ) _ 1a (. .

1 + 1

ésta fórmu

anticipada e

vencida e

despeja de a

Ejemplo 4:

a. Hallar u

. 0.031 =---a 1+O.O~

Observe quetasa vencida.la hora de res

--a asa del

enor a una

- - -asa efectiva- .)! 1= -1.. - en

ta tasa mayor,

::-=.:.:...a anterior

obterierrios

bimestral:a anterior

obtenernos

G. C ando los

~ convertir la- _ia. antes de

Maternatica FinanciEra

utilizar las fórmulas propuestas. Supongamos que

prestamos hoy una cantidad P al ía% anticipado, por 10

tanto la entidad financiera nos entregará P- P ia; al final

del primer periodo debemos devolver la cantidad "P". Sibuscamos una tasa de interés vencida que sea equivalente

al ia % y tomamos fecha focal 0, obtenemos la siguiente

ecuación: P - Pía = P(1 + ívrl al sacar factor común P,

resulta P(l-ía) = p(1+ivrl como "P" es diferente de cero,

dividimos por "P" los dos miembros de la ecuación para l.I

cancelarla (1- iJ= (1+ iv)-l, aplicamos la propiedad de la i--l

potenciación y obtenemos:

(1- i ) - 1 al despejar Iv tenemos que:a (i+iJ

1-i a

ésta fórmula SIrve para convertir una tasa de interés

anticipada en vencida, en la que iv es la tasa de interés

vencida e la es la tasa de interés anticipada. Para

convertir una tasa de interés vencida en anticipada se

despeja de la fórmula anterior y se obtiene: . 11 =_v_a 1+ i

v

Ejemplo 4:

a. Hallar una tasa anticipada equivalente al 3% mes vencido:

i = 0.03 ,i =0.0291, i =2.91% mes anticipado.a 1+0.03 a a

Observe que la tasa de interés anticipada es menor que latasa vencida, es importante terier en cuenta este aspecto ala hora de realizar un préstamo.


b. Hallar una tasa vencida anual equivalente al 15% anual

. 0.15 O 6 6anticipado la=1_0.15' t.> .17 4, ia=17. 4% anual.

2.5 Tasa de interés continua

La tasa de interés "R"% capitalizab1e continuamente

significa que el periodo de capitalización es lo más

pequeño posible, es decir M ---7 O. La tasa de interés

continua se utiliza en casos en los cuales la inflación es

muy alta como el 70%, 80%, 100% en los cuales el poder

adquisitivo del dinero disminuye rápidamente.

Para calcular el valor futuro de un valor "P" cuando la tasa

de interés es capitalizable continuamente se aplica la

siguiente fórmula F =Pe" en donde "r" es la tasa de interés

al tanto por uno y "n" el tiempo que dura la negociación, la

tasa debe estar expresada en forma nominal.

Ejemplo 5:

a. Se depositan $ 5.000.000 al 20% anual capitalizablecontinuamente, ¿Cuánto se tendrá acumulado en 5 años,sí no se hace ningún retiro?

Para resolver este problema aplicamos la fórmula anterior:

F = 5.000.000eO.2x5 = $13.591.409,14

b. ¿Cuánto se debe depositar hoy para tener acumulado en8 años, $ 10.000.000 si la entidad financiera me

reconoce un 25 % anual capitalizable continuamente?

38

Para resolve

P=Fe-m,

2.6 Ejerc'

lo

a.

b.

c. Le re

d.

¿Cuál es

2. Conviertaa. E12

b. El 1

c.

d.

3.

meses?

4. ¿¿Cuán o

en 10 añ

reconoce

5. Se le p:-

capital. ¿

5% anual

anual.

ntin amentees lo más

ación es

a tasa

capitalizab lejr-11ÚJ:.d.O en 5 años,

Fltuluamente?


Para resolver este problema aplicamos la fórmula así:

P = Fe-m, P = 1O.OOO.OOOe-o·25x8 = $1.353.352,832

2.6 Ejercicios propuestos

1. Usted tiene $ 8000.000 para invertirlos y se lepresentan las siguientes oportunidades:a. Le reconocen una tasa del 20 % anualb. Le reconocen una tasa del 2 % mensualc. Le reconocen una tasa del 20 % anual capitalizable

continuamented. Le reconocen una tasa del 2 % mes anticipado¿Cuál es la mejor opción?

2. Convierta la tasa dada a una tasa equivalente.a. El 24 % anual efectivo a una tasa semestralb. El 12 % semestral capitalizable mensual a una tasa

semestralc. El 12 % anual capitalizable trimestral a una tasa

anuald. EllO % trimestre anticipado a una tasa mensual.

3. Se depositan $ 5000.000 al 20% anual capitalizablecontinuamente, ¿Cuánto se tendrá acumulado en 24meses?

4. ¿¿Cuánto se debe depositar hoy para tener acumuladoen 10 años, $ 10.000.000 si la entidad financiera mereconoce un 20 % anual capitalizable continuamente?

5. Se le presentan cuatro proyectos para invertir uncapital. ¿Cuál es la mejor opción?


a. Por cada $ 500.000 recibirá $1000.000 pesos en 5

años, incluye capital e intereses

b. Le ofrecen una rentabilidad del 22 % anual efectivo.

c. Su capital se incrementará en un 90 % en dos años

d. Le reconocen una tasa del 10 % trimestre anticipado

~.I

6. Usted tiene las siguientes obligaciones: En el mes

número 10 debe cancelar un préstamo de un millón de

pesos al 5 % bimestral, en el mes número 21 debe

cancelar un préstamo por 6 millones al 10 % trimestral,

y en el mes número 24 debe cancelar 8 millones al 20

% capitalizable trimestralmente. Si la tasa de interés es

del 24 % anual efectivo, ¿Cuánto tendrá que depositar

hoy para cumplir con sus obligaciones?

7. Durante cuántos trimestres debe permanecer en una

cuenta de ahorros una inversión de $18.000.000

sabiendo que hoy se hace un deposito de $10 millones,

luego en el mes 5 se retiran $ 2.000.000 Y en el mes 10

$ 5.000.000. La cuenta de ahorros reconoce una tasa

de interés del 25% anuaL

8. Una moto tiene un valor de contado de $ 5000000 y se

puede financiar así: Una cuota inicial de $ 1000.000 Y

tres pagos así: $800000 dentro de 6 meses, y los otros

2 pagos iguales a 12 y 24 meses. Hallar el valor de

estos pagos si la tasa de interés que se paga por la

financiación es del 18% anuaL

(o recibida) al

periodos pue

trimestrales e-pago de arríeprogramadoun valor igual.

de vivienda de

de un crédito

La gráfica 3.:'

una anualida

y la "X:' repre

final de los pez

A

3.1 Valor f

. ón de

0000 y se:'000.000 y. los otros

alar de

Maternática FinanciEra

Capítulo 3ANUALIDADES

Una anualidad vencida es una suma constante "A",invertida(o recibida) al final de dos o más periodos consecutivos. Losperiodos pueden ser anuales, mensuales, bimestrales,trimestrales etcétera. Algunos ejemplos de anualidades es elpago de arriendo (anualidad anticipada), cuenta de ahorroprogramado (cada mes el ahorrador se compromete a depositarun valor igual, es un requisito para la adquisición del subsidiode vivienda de interés social), el pago de un salario básico, pagode un crédito con cuota fija, etcétera.

La gráfica 3.1 muestra el flujo de fondos correspondiente auna anualidad vencida de valor "A", durante "n' períodos;y la "x" representa el valor del retiro que se puede hacer alfinal de los períodos.

A~----~----~----------~----~

o ,----f------+-----+------------j------+-_ (Meses)

Figura 3.1

3.1 Valor futuro de una anualidad

El valor futuro representa el monto que obtendré al finalde depositar n cuotas fijas periódicas durante un tiempo

Gil Er-nss to Daza PÉrEz

determinado por ejemplo, se abre una cuenta de ahorroprogramado con $ 100.000 Y cada mes se deposita estevalor hasta el mes número 4. ¿Cuánto se podrá retirar enel mes número 4? El banco le reconoce una tasa del 1%mensual.

.'

Se realiza la gráfica (ver figura 3. 1) del problemarepresentando los depósitos con flechas hacia arriba y elretiro con una flecha hacia abajo, luego se plantea laecuación de valor tomando fecha focal 4, el problema seresuelve aplicando la fórmula de interés compuesto

F = p(l+ir

100.000

t t t t j023 4 (Meses)

xFigura 3.2

x = 100.000(1 +0.01)4 + 100.000(1 +0.01)3 + 100.000(1 +0.01)2 +

100.000(1 +0.01)1 + 100.000 -7 X = $510.100,501

Como se puede observar resulta muy dispendioso resolvereste tipo de problemas con la fórmula de interéscompuesto; aplicando el concepto de anualidad y elconcepto de serie geométrica se obtiene una fórmula quenos facilita el cálculo del valor futuro.

En esta fórrninterés vericid

se ha pactadplanteado así:

Al plantear a

que el

derecha en aubica en don

Ejemplo 1:

25.m:

012345=

Usted deposi$25.000, apde $60.000,

transacción

nza de ahorro-eposita este

a :asa del 1%

e problemaia arriba y ele plantea laroblema secompuesto

~"'OC~~'\..i-:osoresolvere interés

- ualidad y el-- a fórrnula que

Matsrnáttca FinanciEra

En esta fórmula A representa la anualidad, i la tasa deinterés vencida efectiva, n el número de cuotas a la cualse ha pactado el negocio. El problema anterior quedaplanteado así:

F=100.000[(1+0.0l)5 -1] ~ F=51O.100,50l0.01

Al plantear la ecuación de valor se debe tener en cuenta

que el [(1+ ir -1]i traslada una anualidad hacia lafactor

derecha en la línea del tiempo la convierte en un valor y 10ubica en donde esta la última cuota.

Ejemplo 1:

60.000

25.000

(Bimestres)I I I I I I I I I Io 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1xFigura 3.3

Usted deposita a partir de hoy 10 cuotas bimestrales de

$25.000, a partir del mes 22 deposita 12 cuotas bimestralesde $60.000, después de este depósito no realiza ningunatransacción financiera, ¿Cuánto tendrá acumulado en el


mes número 48? La tasa que le reconocen es del 27.26%anual efectivo.

Primero convertimos la tasa efectiva anual a bimestral:

VI + 0.2726 -1 = 0.0409 .

Luego, tomando como fecha foca1 el bimestre 24:

x = 25.000 [O + 0.0409)10 -1] (1 + 0.0409)15 +0.0409

60.000[0+0.0409)12 -11(1+0.0409)20.0409

X> 549.908,502 + 981.861,1032

X> $ 1.531.769,605

3.2 Valor presente de una anualidad

El valor presente de una anualidad vencida se puederepresentar por el valor de un préstamo que se hace parapagarlo con cuotas fijas o por el valor que debo invertir enun negocio para pagar unas cuotas fijas periódicas, estevalor se calcula usando la fórmula:

En esta fórmula A representa la anualidad, i la tasa deinterés vencida efectiva, n el número de cuotas.

El factor

izquierda elo ubica un

Ejemplo 2:

Se hace unpdel 39.29%mensuales .pnmera se

número 14 se

12.000.000.,O 1 ~

Para resolverconvertimos.

!{j(1 + 0,3929) -

12.000.000 = _

12.000.000 = _A = 12.000.

bt::I:e srral:

se puedeace para

e :.n ertir en••..- icas, este


[l-(1+i)-nl 'El factor i traslada una anualidad hacia la

izquierda en la línea del tiempo la convierte en un valor y

lo ubica un periodo antes de la primera cuota.

Ejemplo 2:

Se hace un préstamo por $12.000.000 a una tasa de interésdel 39.29% anual efectivo, el cual se pagará con 12 cuotasmensuales iguales. Calcular el valor de la cuota, si laprimera se cancela en el mes número 6, además en el mes

número 14 se da una cuota extra de $900.000.

12,000.000

tO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (Meses)

900.000

3.4 Figura

Para resolver el problema tomamos como fecha focal cero yconvertimos la tasa efectiva anual en mensual

1.{j(1 +0,3929) -1 = 0,028 = 2,8 % mensual

12.000 .000 ~ A [ 1- (1~,~~:8) _" 1 (1+0,028) -, + 900.000 (1+0,028)-"

12.000.000 = A (8,7746) + 611.418,9631

A = 12.000.000 - 611.418,96318,7746

A = $1.297.903,157

Gi\ ErnEsto Gaza PÉI'EZ

Ejemplo 3:

Calcule el valor de la cuota mensual que se debe cancelarpor un avance de tarjeta de crédito por $ 2.000.000 el cualse financia a 24 cuotas mensuales vencidas, sabiendo queel banco (por motivos de fin de año) da dos meses deperiodo de gracia. El banco cobra una tasa de interés del22.5 % anual para los avances.

9 10111213 1415 16 17181920212223242526 (Meses)

A

Figura 3.5

Como las cuotas son mensuales empecemos por convertir

la tasa anual a mensual:

~1+0.225-l= 0.017

Además tomamos como fecha focal el mes O para plantear

la ecuación de valor:

2000.000=A[1-C1+0.0l7)-24](1+0.017)-2 A= $ 1056870.017 '

3.3 Cálculo del número de cuotas

Para calcular el número de cuotas en un problema sobre

anualidades, se debe inicialmente plantear la ecuación de

46

valor, toman

se procede a

números re

log x" = n log r .

Ejemplo 4:

Usted va a

financiar a umensual. ¿

partir del mes

paga una cuo

Se toma corn

en efectiva:

la ecuacion

24.000.000

1 2o '---+--+-- ....•

24.000.000 =

Se realizan a

24.000.

ebe cancelar"':;_IJUV.OOO el cual

sabiendo ques meses de

e interés del

0:- convertir

_ ara plantear

:'05687

sobre

- a ecuación de

Matemática Financier-a

valor, tomando su respectiva fecha focal. A continuación

se procede a despejar "n" aplicando las propiedades de los

números reales y la propiedad de la logaritmación

log x" = nlogx.

Ejemplo 4:

Usted va a comprar implementos para su empresa por valorde $ 30.000.000, si tiene disponible el 20 % Y el resto lo va afinanciar a una tasa de interés del 24 % anual capitalizablemensual. ¿Con cuántas cuotas mensuales de $ 1.000.000, apartir del mes 4, pagará el préstamo, si además, en el mes 12,

paga una cuota extra de $ 2.000. OOO?

Se toma como fecha focal O y la tasa nominal se convierte

en efectiva: 24%/12 = 2% mensual y se procede a plantear

la ecuacion de valor:

24.000.000

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (Meses)

Figura 3.6

24.000.000 = 1000.000[1- (l + 0.02)-11 ]<1+ 0.02)-3 + 2000.000(1 + 0.02)-120.02

Se realizan las operaciones indicadas y se despeja "n":

24.000.000 = 47116116.73(1- (1.02)-n) + 1576986.351


24.000.000 -1576.986,351 = 47116.116.,73(1- (1.02)-")

22.423.013,65 = 1- (1.02rn

47116.116,73

0.475909 -1 = -(1.02)-n

- 0.524091 = -(1.02)-"

se multiplica por ( - 1 ) los dos miembros de la ecuación

0.524091 = (1.02)-n

se aplica la logaritmacióri a los dos miembros de laecuación:

logO.524091 = Iogü.Oz)" -4 -0.2805=-nlogl.02

-0.2805= - n 0.0086 -4-0.2805---=n -4 n > 33 meses-0.0086

3.4 Cálculo de la tasa de interés por medio de

interpolación lineal

La interpolación lineal es un método matemático paraaproximar el valor de un punto, conocidos otros dospuntos. En matemática financiera se emplea para calcularel valor de la tasa de interés en un proyecto en el cualaparece el concepto de anualidad, gradiente aritmético ogeométrico, cuando es imposible despejar "i" empleando

48 ,

los métodoin terpolació

Se planteafecha focal:requiere depara la tasaotro por ddeseado.ejemplo.

Ejemplo 5:

Me hacencuotas deestá cobran

ia ecuación

ros de la

- n > 33 meses

edio de

=c:..:er::::láticopara••.•.•-:,•...íos otros dos

a para calcular1ro:\o-eC:O en el cual

empleando


los métodos tradicionales. En esos casos se recurre a lainterpolación lineal.

y lI

. ·1.•.......,.. ¡

I¡¡1.;II!;¡j1ij

Figura 3.7

Se plantea la ecuación de valor del problema tomando unafecha focal; a continuación se realizan varios tanteos (serequiere de mucha paciencia) hasta obtener dos valorespara la tasa de interés, uno que se aproxime por arriba yotro por debajo del valor presente o del valor futurodeseado. Analicemos esta situación con el siguienteejemplo.

Ejemplo 5:

Me hacen un préstamo por $ 5.000.000 para pagarlo en 12cuotas de $ 500.000 mes vencido. ¿Qué tasa de interés me

está cobrando la financiera?

49

Gil Ernesto Daza Pérez

Planteamos la ecuación de valor tomando fecha focal cero:

Después de realizar varios tanteos en la ecuación, seobtienen los puntos:

P¡(0.0275,5052101.829) Y P2 (0.03,4977001.997)

,\con los cuales se procede a realizar la interpolación lineal,la cual consiste en buscar una tasa "i", de tal manera queal reemp1azarla en la ecuación y efectuar las operacionesse obtenga una igualdad, por 10 tanto el tercer punto esP(i,5000000) para hacer la interpolación lineal por medio de

ecuaciones se efectúan los siguientes pasos:

1. Calculamos la pendiente con los puntos obtenidos en eltanteo:

4.977.001,997 -5.052.101,829mI = 0.03-0.0275 - mI =-30.039.932,8

2. Hallamos la pendiente entre cualquiera de los puntosobtenidos en el tanteo con el punto P(i,5000000), como

los tres puntos están sobre la misma recta la pendienteentre ellos debe ser igual a la obtenida en el pasoanterior.

-30.039.932,8 = (5.000.000-5.052.101,829)i -0.0275

50

Después de rpor 100 obtebuena apro .buscar en eP(i,5000000) .

El sistema deevitar con e

o alguna sisiguientes p

1.

aparece C2. Si apare

usando la

tecla =

3. Preparepresioneluego eliia

4. Ingrese o

operacioneser punto esor medio de

Matsrnatíca Financiera

_~- focal cero: -30.039.932,8 = -52.101,829i-0.0275

-30.039.932,8(i -0.0275) = -52.101,829

ec ación, se i = -52.101,829 +0.0275-30.039.932,8

Después de realizar las operaciones indicadas y multiplicarpor 100 obtenemos el i = 2.92% mensual. Esta tasa es unabuena aproximación, si desea que sea mas exacta se debebuscar en el tanteo valores más cercanos al puntoP(i,5000000) .

El sistema de ecuaciones resuelto anteriormente se puedeevitar con el uso de una calculadora financiera o con eluso de una calculadora científica corno la Casio FX-82 MSo alguna similar; en ésta calculadora debe seguir lossiguientes pasos:

lo

- __ 9.9328

os puntos 2.e), corno

.a. pendientee el paso

3.

Verifique si hay datos guardados en la memoria usandolas teclas RCL y HYP seguidamente, si en la pantallaaparece c=o no hay datos guardados.Si aparecen datos guardados proceda a borrarlos,usando las teclas SHIFT MODE seguidamente y marqueel número 3 en el teclado, seguidamente presione latecla =

Prepare la calculadora para hacer la interpolación,presione la tecla MODE una vez y elija la opción 3,luego elija la opción 1 para entrar a la función lineal.

4. Ingrese los datos obtenidos en el tanteo de la siguiente

manera: Para el punto P¡(0.0275,5052101.829) digita

Figura 3.8

correspondevalor toma

Gil Ernesto Daza Pér ez

0.0275, luego presiona la tecla de la coma que apareceen el teclado de la calculadora, ahora digite5.052.101,829 y presiona la tecla M+. En la pantalla dela calculadora aparece n = 1 indicándole que haguardado un dato; de igual manera proceda con el

punto P2 (0.03,4977001.997)

5. Para terminar ingrese la información del puntoP(i,5000000), digite el valor 5000000 luego presione

seguidamente las teclas SHIFT y 2, le aparecen unasopciones en la pantalla. Desplácese hacia la derechacon el cursar hasta llegar a la cuarta pantalla en dondeaparece el símbolo x, elija la opción 1, en la pantalla leaparece 5000000 x, presione la tecla =. Aparecerá latasa de interés estimada al tanto por uno.

20.000.

Después de

se obtiene

P2(0.0195

calculadora

3.5 Ejerc'

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17O L-+--+-~-+--+--+_.-----.---r_.-----r--.---r_.-----r--r"--' (Bi mestres)

no re

,\

Ejemplo 6:

Una e-mpresa necesita comprar computadores, los cualestienen un costo de $25.000.000. La empresa tiene disponibleel 20 % Y el resto lo va a financiar a 12 cuotas bimestrales de$ 2.000.000 a partir del mes número 12. Además se pactauna cuota extra de $ 1.000.000 en el mes número 20. Calculela tasa de interés a la cual se hizo el préstamo.

1.

2.20.000.000

3.Para resolver este problema primero calculamos el valor afinanciar que equivale al 80 % de $ 25.000.000 el cual

cuotas

52

puntopresione


ue aparecedigite

::Janalla de

corresponde a $ 20.000.000 Y planteamos la ecuación devalor tomado fecha focal cero:

20.000.000 = 2.000.000 ( 1- (1; i)-"J (1+ ir' +1.000.000(1 +ir"

arecerá la

Después de realizar varios tanteos en la ecuación de valor

se obtiene los puntos P¡(0.02,19977173.04)Y el punto

P2 (0.0195,20087329.38); éstos datos se ingresan a la

calculadora como en el ejemplo anterior y se obtiene latasa de interés 0.0198 al tanto por uno, al multiplicarlapor 100 obtenemos 1.98 % bimestral.


'os cualesdisponible

iestrales de

se pactaIji ..••. JPTTI 20. Calcule

1. Se hace un préstamo por $10.000.000 a una tasa deinterés del 39.29% anual efectivo, el cual se pagará con12 cuotas bimestrales. Calcular el valor de la cuota, sila primera se cancela en el mes número 4. Además enel mes número 14 se da una cuota extra de $900.000.

17(Bimestres)

2. Usted deposita a partir de hoy 10 cuotas bimestralesde $25.000 y,. a partir del mes 20, deposita 12 cuotasbimestrales de $ 60.000. Si después de este depósitono realiza ninguna transacción financiera. ¿Cuántotendrá acumulado en el mes número 42? La tasaque le reconocen es del 27.26 % anual efectivo.

3. Se hace un préstamo de $ 10.000.000 para pagarlo concuotas mensuales vencidas de $ 400.000, con un

53

periodo de gracia de 4 meses. Calcule el número decuotas a pagar, si la tasa de interés es del 28 % anual.

8. Si uncuentamens¿Si desmeses,hacer, ~el úl .

cantida

9. ¿A q émensu


4. Se depositan $ 4.000.000 en una entidad financieraque reconoce una tasa de interés del 7 % anual.¿Cuántos retiros mensuales de $ 200.000 podránhacerse empezando en el mes 6? ¿Cuál es el saldo quequeda en la cuenta?

.'

5. Usted quiere comprar un televisor LCD por $ 3.000.000en el cual le hacen un 10 % de descuento si se paga decontado. También lo puede adquirir financiado a 12cuotas mensuales de $ 250.000 pagando la primeracuota dentro de 3 meses. Si el costo de oportunidad esdel 20 % anual, ¿Cuál es la mejor opción? 10.

,\

6. Un trabajador independiente, desea ahorrar $200.000mensuales en los próximos 2 años, para después poderhacer retiros mensuales durante 3 años. Si consignasu dinero en una corporación que le ofrece el 1%

mensual: ¿De cuánto es el valor de cada retiro?

7. Un televisor se vende en las siguientes condiciones endos tiendas:

• En la tienda A cuesta $1'200.000 de contado y se puedepagar mediante 12 mensualidades vencidas e igualescon intereses de 3.18% mensual;

• En la tienda B cuesta $1 '235.000 de contado y se puedepagar mediante 12 mensualidades vencidas e igualescon intereses de 2.75% mensual. Si desea adquirir elaparato utilizando el crédito. ¿En qué tienda convieneadquirirlo?

54

00.000 9.

aga de.o a 12

z ad es10.

ero dean al.

ancieraanual.

podrándo que

signa1%


8. Si un trabajador ahorra $100.000 mensuales en unacuenta de ahorros que paga 28% anual capitalizablemensualmente. ¿En qué tiempo reunirá $1 'OOO.OOO?¿Si desea juntar esa cantidad en un periodo exacto demeses, cuántos depósitos completos de $100.000 debehacer, y de qué cantidad (mayor de $100.000) debe serel último depósito para que al realizarlo haya reunido lacantidad precisa de $1 'OOO.OOO?

¿A qué tasa de interés debo invertir 10 cuotasmensuales de $ 200.000 a partir de hoy, y una cuota de$ 2.000.000 en el mes 5, para obtener $ 4.500.000 enel mes 12?

13I ~!)1.--.<u...

<r:;Cf'Usted hace un préstamo por $ 19.000.000 para Z;;

comprar un carro modelo 2009, el cual se va a pagar Q-mediante 36 cuotas mensuales de $ 550.000 Y se _acuerda pagar una cuota extra de $1000.000 en el mesnúmero 18. Además la financiera le da 4 meses deperiodo de gracia para que pueda disfrutar de lacompra. ¿A qué tasa de interés se hizo la financiación?

Maternátlca FinanciEra

Capítulo 4AMORTIZACiÓN

4.1 Concepto

En la matemática financiera, la expresrcn amortizar seutiliza para denominar un proceso financiero mediante elcual se paga, gradualmente, una deuda por medio depagos periódicos, que pueden ser iguales o variables.Al resolver un problema sobre amortización se debeplantear la ecuación de valor, y despejar "A"para calcularel valor de la cuota, posteriormente se elabora la tabla deamortización. Al elaborar la tabla de amortización se debetener en la cuenta:

• El valor del interés de cada periodo se calculamultiplicando la tasa de interés por el saldo anterior.

• El abono al capital se calcula restando del valor de lacuota, los intereses

• El saldo actual, se calcula restando del valor del saldoanterior, el abono a capital.

Ejemplo 1:

Una persona hace un préstamo por $ 5.000.000 paracomprar una moto, el cual va a pagar con 12 cuotasmensuales vencidas. La tasa de interés que le cobra lafinanciera es del 1.5 % mensual. Calcule el valor de la cuotay elabore la tabla de amortización. Para resolver esteproblema planteamos la ecuación de valor tomando fecha

57

Figura 4.1

4.2

A = $458.399,9644Se hace umediantedurante elinterés pac


focal cero y se despeja la ecuación aplicando laspropiedades de los números reales.

un año; e

En este tipde gracia yvalor del i

5000000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (Meses)

5.000.000 = A(l- (1+0.015r12 J -75.000.000 = 1O,90750521A

0.015Ejemplo 2:

ni Saldo I Interés I Cuota I Abono Capital

O 5000000 O O O

1 4616600,04 75000 458399,964 383399,9644

2 4227449,07 69249,0005 458399,964 389150,9639

3 3832460,84 63411,7361 458399,964 394988,2283

4 3431547,79 57486,9127 458399,964 400913,0517

5 3024621,04 51473,2169 458399,964 406926,7475

6 2611590,4 45369,3157 458399,964 413030,6487

7 2192364,29 39173,8559 458399,964 419226,1085

8 1766849,79 32885,4643 458399,964 425514,5001

9 1334952,57 26502,7468 458399,964 431897,2176

10 896576,893 20024,2885 458399,964 438375,6759

11 451625,582 13448,6534 458399,964 444951,311

12 0,00171029 6774,38374 458399,964 451625,5807

10.000.000

o

Se planteacero, obseanualidadmultiplicar e

Figura 4.2

58

lIliuoando las

_ eses)

k3~~9-99644

Maternática Flnancier a

4.2 Amortización con pago de intereses durante

el período de gracia

En este tipo de préstamos la financiera otorga un periodode gracia y el acreedor decide pagar cuotas equivalentes alvalor del interés por cada periodo, para evitar que losintereses se capitalicen y generen mas intereses. Este tipode crédito lo maneja el Icetex; a cada estudiante le dacomo periodo de gracia el tiempo que dure la carrera masun año; el estudiante cada mes paga los intereses paraevitar que la deuda se agrande demasiado.

Ejemplo 2:

Se hace un préstamo por $10.000.000, el cual se cancelamediante 8 cuotas fijas; la primera se da en el mes 4 ydurante el periodo de gracia se pagan intereses; la tasa de

interés pactada es del 3 % mensual.

10.000_000

o~--r---.---.---~--~--~--~--~--~--~--~(Meses)

A

Figura 4.3

Se plantea la ecuación de valor tomado como fecha focalcero, observe que la cuota de intereses genera unaanualidad por un valor de $ 300.000 que se obtiene almultiplicar el valor del préstamo por la tasa de interés.


10.000.000 = A(l-(l +0.03)-8)(1 +0.03)-3 +300.000(1-(1 +0.03)-3)0.03 0.03

10.000.000 = A(6.424012758) + 848.583,4064

10.000.000 - 848.583,4064 = A6,424012758

A= $ 1.424.564

,,.

n I Saldo I Interés I Cuota I Abono Capital

O 10000000

1 10000000 300000 300000 O

2 10000000 300000 300000 O

3 10000000 300000 300000 O

4 8875436 300000 1424564 1124564

5 7717135,08 266263,08 1424564 1158300,92

6 6524085,13 2315l4,052 1424564 1193049,95

7 5295243,69 195722,554 1424564 1228841,45

8 4029537 158857,311 1424564 1265706,69

9 2725859,11 120886,11 1424564 1303677,89

10 1383070,88 81775,7732 1424564 1342788,23

11 -0,99351944 41492,1264 1424564 1383071,87

, \t

Figura 4.4

4.3 Amortización con período de gracia y cuota

extra pactada:

En este tipo de créditos algunas entidades financieras lepermiten al usuario acordar pagos extras lo cual le permitea la persona o empresa tener un mejor flujo de caja debido

60

a que elmuestra e

Ejemplo 3:

Usted hace

en el mesmes númer.tabla de adel18%a

cero y se ea

10.000.000

2

10.000.000 =

--=,ono Capital

y cuota

le


a que el valor de la cuota disminuye un poco, como semuestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3:

Usted hace un préstamo por $ 10.000.000 el cual se

amortiza mediante 12 cuotas mensuales; la primera se.pagaen el mes 5 y se da una cuota extra por $ 1000.000 en elmes número 10. Calcule el valor de la cuota y elabore latabla de amortización. El préstamo se obtuvo a una tasadel 18 % anual.

Se plantea la ecuación de valor tomando como fecha focalcero y se calcula el valor de la cuota.

I I I I I I I I I (Meses)~~~--~8--~9--1*0--1~1--1~2~1~3~14~J15~16'

io 3 4

1.000.000

Figura 4.5

10.000.000 = A(l-Cl +0.0138rI2)(1 +0.0138)-4 + 1000.000(1 +0.0138)-10

0.0138

10.000.000 = A(1O.4032) + 871.920,9869

10.000.000 - 871.920,9869 = A10.4032

A = $ 8.77.429,92

61


n Saldo I Interés I Cuota Abono CapitalO 100000001 10138000 138000 O -1380002 10277904,4 139904,4 O -139904,43 10419739,5 141835,081 O -141835,0814 10563531,9 143792,405 O -143792,4055 9831878,71 145776,74 877429,92 731653,186 9090128,71 135679,926 877429,92 741749,9947 8338142,57 125443,776 877429,92 751986,1448 7575779,02 115066,367 877429,92 762363,5539 6802894,85 104545,75 877429,92 772884,1710 5019344,87 93879,9489 1877429,92 1783549,9711 4211181,91 69266,9593 877429,92 808162,96112 3391866,3 58114,3104 877429,92 819315,6113 2561244,14 46807,755 877429,92 830622,16514 1719159,39 35345,1691 877429,92 842084,75115 865453,868 23724,3996 877429,92 853705,5216 -32,788601 11943,2634 877429,92 865486,657

Figura 4.6

4.4 Amortización con cuota extra no pactada

En algunos sistemas de créditos las entidades financieraspermiten realizar pagos extras, los cuales pueden influiracortando el tiempo de duración del crédito o en el valorde las cuotas. La mejor opción es acortar tiempo parapagar menos intereses porque en este caso la cuota extrase abona a capital. )

La segunda opción es hacer una refinanciación de ladeuda, la cual es viable para la persona que se encuentraen dificultades para cumplir con el valor actual de lascuotas, el interés disminuye un poco y el número de

62

cuotas espactadasmomentoejemplos.

Ejemplo 4·

Una perscomprar umensualesfinancierade $1.000.el abono pde la cuo a

que hacePrimero

5.000.

Tenga en ey el númer

: :::0 Capital


cuotas es igual a la diferencia entre el número de cuotaspactadas menos el número de cuotas canceladas hasta elmomento que da la cuota extra. Analice los siguientesejemplos.

Ejemplo 4:

Una persona hace un préstamo por $ 5.000.000 paracomprar una motocicleta, el cual va a pagar con 12 cuotasmensuales vencidas. La tasa de interés que le cobra lafinanciera es del 1.5 % mensual. Se paga una cuota extrade $1.000.000 no pactada en el mes 6 y se solicita aplicarel abono para disminuir el valor de la cuota. Calcule el valorde la cuota y elabore la tabla de amortización.

Para resolver este problema planteamos la ecuación devalor tomando fecha focal cero y en el mes 6 se realiza larefinanciación del saldo pendiente al número de cuotasque hacen falta con respecto a lo pactado inicialmente.Primero calculamos la cuota hasta el mes número 6 y

posteriormente la cuota del mes 7 al mes 11.

5.000.000 = A(1-(l+0.015r12 J ~ 5.000.000 = 1O,90750521A

0.015

A = $458.399,9644

Tenga en cuenta que el saldo en el mes 6 es $ 1.661.590,4Yel número de cuotas pendientes es 6.

~.611.590 04 = A[I-(1 +0.015)-6]~ ' 0.015

63

Gil Ernesto Daza Pér-ez

1.611.590,04 = A -7 A = $282.879,01565,697187165

n I Saldo I Interés I Cuota Abono CapitalO 5000000 O O O1 4616600,036 75000 458399,9644 383399,9644

2 4227449,072 69249,0005 458399,9644 389150,96393 3832460,843 63411,7361 458399,9644 394988,22834 3431547,792 57486,9127 458399,9644 400913,0517

5 3024621,044 51473,2169 458399,9644 406926,74756 1611590,396 45369,3157 1458399,964 1413030,6487 1352885,236 24173,8559 282879,0156 258705,1597

8 1090299,499 20293,2785 282879,0156 262585,7371

9 823774,976 16354,4925 282879,0156 266524,523110 553252,585 12356,6246 282879,0156 270522,39111 278672,3582 8298,78878 282879,0156 274580,226812 -26,57204957 4180,08537 282879,0156 278698,9302

Figura 4.7

Ejemplo 5

Una persona hace un préstamo por $ 5000.000 paracomprar una moto, el cual va a pagar con 12 cuotasmensuales vencidas. La tasa de interés que le cobra lafinanciera es del 1.5 % mensual.. Se paga una cuota extrade $1000000 no pactada en el mes 6 y se solicita aplicar elabono para disminuir el número de cuotas.

Para resolver el problema se aplica la cuota extra y secalcula el número de cuotas de $ 458.399,964 que sedeben cancelar para cubrir el saldo pendiente.

64

Como el -

en cero, e.pendien eresultado

n I 5O

1

23

4

5

67

8

910

4.5 Eje

l. Usted


1.611.590,4= 458.399.964(1- (1+ 0.015)-n)0.015

-7 n = 3.6433Cuotas mensuales

Como el número de cuotas no es un número entero sehace un ajuste en el último pago para que el saldo quedeen cero, el valor de la última cuota se calcula con el saldopendiente más los intereses del mes 10 cual da comoresultado $ 293.614,311. Observe la figura 4.8

n I Saldo I Interés I Cuota I Abono CapitalO 50000001 4616600,04 75000 458399,964 383399,964

2 4227449,07 69249,0005 458399,964 389150,963

3 3832460,84 63411,7361 458399,964 394988,2284 3431547,79 57486,9127 458399,964 400913,0515 3024621,05 51473,2169 458399,964 406926,747

6 1611590,4 45369,3157 1458399,96 1413030,657 1177364,29 24173,856 458399,964 434226,1088 736624,79 17660,4643 458399,964 440739,5

9 289274,198 11049,3719 458399,964 447350,59210 0,99996986 4339,11297 293614,311 289275,198

Figura 4.8


1. Usted hace un préstamo por $ 8.000.000 el cual seamortiza mediante 12 cuotas bimestrales; la primera sepaga en el mes 6 y se da una cuota extra por $1000.000 en el mes número 10. Calcule el valor de la

65


cuota y elabore la tabla de amortización. El préstamo seobtuvo a una tasa del 18 % anual.

2. Una persona hace un préstamo por $ 4000.000 paracomprar una TV LCD, el cual va a pagar con 8 cuotasmensuales vencidas. La tasa de interés que le cobra lafinanciera es del 1.5 % mensual. Paga una cuota extrade $800000 no pactada en el mes 3 y solicita aplicar elabono para disminuir el valor de la cuota. Calcule elvalor de la cuota y elabore la tabla de amortización.

3. Una persona hace un préstamo por $ 4000.000 paracomprar una TV LCD, el cual va a pagar con 8 cuotasmensuales vencidas. La tasa de interés que le cobra lafinanciera es del 1.5 % mensual. Paga una cuota extrade $800000 no pactada en el mes 3 y solicita aplicar elabono para disminuir el número de cuotas. Calcule elvalor de la cuota y elabore la tabla de amortización

4. Se hace un préstamo por $ 6.000.000, el cual secancela mediante 8 cuotas fijas; la primera se da en elmes 4 y durante el periodo de gracia se pagan intereses;la tasa de interés pactada es del 3 % mensual. Seacuerda pagar una cuota extra de $ 1000000 en el mesnumero 6.

5. Se hace un préstamo por $ 6.000.000, el cual secancela mediante 8 cuotas fijas; la primera se da en elmes 4; la tasa de interés pactada es del 3 % mensual.Se acuerda pagar una cuota extra de $ 1000000 en elmes número 6.

66

En el sistemcuales las edecir las cuotro. Enconceptos

5.1

El gradie -periódicos ¿

constante.máquinascantidad einmueble

Este conce

íta aplicar elza. Calcule el

0.000 parar on 8 cuotas

íta aplicar elas. Calcule el

ei cual se

e cual se

El gradiente aritmético es una sene de flujos de dineroperiódicos los cuales aumentan o disminuyen en un valorconstante, por ejemplo los gastos de mantenimiento de lasmáquinas de una empresa pueden aumentar en unacantidad constante, el valor de un arriendo de uninmueble puede aumentar cada año el mismo valor. Si elflujo aumenta en una cantidad constante el gradiente 1>aritmético es creciente y si disminuye es decreciente, el 12

:Jgradiente aritmético es anticipado si se produce al inicio I---del periodo o vencido si se da al final del periodo.


Capítulo 5SERIES VARIABLES

el sistema financiero existen muchos negocios en lose ales las cuotas no se comportan como una anualidad; esdecir las cuotas son periódicas pero varían de un periodo aotro. En este capitulo analizamos y aplicamos losconceptos de gradiente aritmético y gradiente geométrico.

5.1 Gradiente aritmético

5.2 Gradiente aritmético creciente vencido

En este caso el flujo de dinero es una serie de "n" cuotas,que inicia con una cantidad ubicada al final del periodo,ésta cantidad se aumenta en una cantidad constante "G"Este concepto se muestra en la siguiente gráfica:

67

" + (H.1) G


pagos en

cuota.

A ¡.3G Ejemplo 1:A +2G

o__ --~--~--~~--~--------------------------__.

At-G

F

Se comprala cual tiede la máquidel DTFl

años. Calcu

2 3 4 N

Figura 5.1

Para calcular el valor futuro se divide la gráfica anterior en

dos, una que va a estar formada por un rectángulo de

altura "A" la cual genera una anualidad y la otra por

una región en la cual se muestra una serie que empieza

con el gradiente "G", y aumenta en la misma cantidad

cada periodo, en este caso aplicamos la siguiente fórmula:o 1

10.000.000

En la que "n" representa el número de cuotas tanto en el

gradiente aritmético como en la anualidad. Esta fórmula se

aplica cuando la primera cuota es diferente al gradiente

aritmético.

En caso que la primera cuota coincida con el valor del

gradiente aritmético, la fórmula se reduce a: gradiente ~

operaciones

Al plantear una ecuación de valor se debe tener en cuenta

que la fórmula de gradiente aritmético convierte la serie de

1 La DTF esfinanciero. Seinterés de capta

68

MatEmática Financier-a

- .- • úpagos en un valor y lo ubica en donde está la últimacuota.

Ejemplo 1:

Se compra una máquina en $ 10.000.000 para una empresala cual tiene una vida útil de 10 años, se estima que el valorde la máquina aumenta en $ 1.000.000 cada año más la tasadel DTFl que se estima en el 5 % anual para los siguientes 10

años. Calcule el valor de la máquina en 10 años

. ~0.000 .-----..------~,..

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. •.

10.00

(Años)

xFigura 5.2

F=1O.000.000(Cl+0.05)11 -lJ+ 1.000.000(0+0.05)11 -l-11J0.05 0.05 0.05

F = 142.067.871,6 + 64.135.743,24 F = $206.203,6148

Para calcular el valor presente de un gradiente aritméticose procede a multiplicar la fórmula del valor futuro del

gradiente por el factor (l + i)-n, después de realizar las

operaciones indicadas se obtiene:

1 La DTF es una tasa o porcentaje muy utilizada, principalmente en el sistemafinanciero. Se calcula como el promedio ponderado de las diferentes tasas deinterés de captación utilizadas por las entidades financieras.

69

o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12(Meses)


5.3 GrdUl.

Hallar el valor de las cuotas con las cuales se deseafinanciar un crédito por $ 5.000.000 mediante 12 cuotasmensuales vencidas las cuales aumentan en $20.000 cadames. La tasa de interés es del 1.5 % mensual.

gradiente

o

Ejemplo 2:

5.000.000

T

Figura 5.3

5.000.000 = A[l- (1+0.015rI2] + 20.000 [1- (1+ 0.015r12

0.015 0.015 0.01512 ]

(1+ 0.015)12

5.000.000 = 10.9075A + 1.161.141,533

5.000.000 -1.161.141,533 = A10.9075

la fórmula.

Ejemplo 3:Después de resolver las operaciones indicadasencontramos que la primer cuota es de $351.946,685 lasegunda de $371.946,685 Y así sucesivamente paraobtener el valor de la siguiente cuota le sumamos $20.000

70

se desea

. 00 cada

eses)

::: iícadas


5.3 Gradiente aritmético decreciente vencido

En el gradiente aritmético decreciente vencido se inicia conuna cuota "A" la cual empieza a disminuir en una cantidadconstante "G" al final de cada periodo. Al observar la gráfica5.4 el valor a calcular corresponde a la resta del valorfuturo de la anualidad menos el valor del valor futuro delgradiente aritmético, con lo cual la ecuación queda:

Al

A2

"

'-o 2 3 N

Figura 5.4

Esta ecuación hereda las características de la fórmula delgradiente aritmético creciente la única diferencia es que enél decreciente el signo de "G" es negativo como lo muestrala fórmula.

Ejemplo 3:

Se inicia un proyecto en el cual el primer mes genera unautilidad de $ de 1.000.000) en el segundo mes una utilidad

71


de $ 900.000, en el tercer mes $ 800.000 Y continúa asíhasta el mes 8; si estas utilidades se invierten en unaentidad financiera que paga el 2 % mensual, ¿Cuánto setendrá acumulado en el mes 8?

F = 1.000.000((1 +0.02)8 -lJ _ 100.000 ((1 +0.02)8 -1 -8J0.02 0.02 0.02

gradiente

decrecien:e

1000000 jr--------

1 2 3 4 5 6 7 8

••••••

(Meses)

Ejemploo

Figura 5.5

El modelo matemático de este problema se ajusta a un

gradiente aritmético vencido decreciente, debido a que las

utilidades van disminuyendo en $ 100.000 cada mes, se

espera que el comportamiento en los meses siguientes sea

igual; suponiendo que sea así, procedemos a aplicar la

fórmula de valor futuro:

del 3.5

F = 8.582.969,05 - 2.914.845,25 F = $5.668.123,8

Tenga en la cuenta que la ecu acion anterior se compone

de una anualidad formada por el valor de la primera cuota

y la segunda parte es una serie de pagos en la cual la

primera cuota corresponde al valor del gradiente.

Para calcular el valor presente de una serie gradiente

aritmética decreciente se aplica la fórmula:

72

a así

Es una sene de pagos periódicos en la cual cada pago se

incrementa o disminuye en un porcentaje constante. El

gradiente geométrico puede ser creciente si aumenta y

decreciente si el valor de la cuota disminuye. Analicemos

la siguiente situación: Una persona decide ahorrar $400.000 con el pago de sus cesantías cada año en una

cuenta de ahorros que le reconoce el 7% anual; se estima

que cada año el aumento será de un 5 %, la persona

decide aumentar en el mismo porcentaje la cantidad a


e unaP = A [1- (1+ ifn]_ G [1- (1+ ifn - n ]

i i i (1+ irOLAotLU-l,UO Se

observe que la fórmula de gradiente aritmético creciente es

muy similar a la de gradiente aritmético decreciente, en el

decreciente el gradiente se resta mientras que en él

creciente se suma.

Ejemplo 4:

-a a un

Calcular el valor de un préstamo el cual se paga mediante12 cuotas mensuales de $ 335.078 a una tasa de interésdel 3.5 % mensual. Las cuotas disminuyen en $ 15.000

cada mes.e las

=es, se

P = 335078[1- (1+0.035fI2]_ 15.000 [1- (1+0.035fI2

0.035 0.035 0.03512 ]

(1+ 0.035)12rites sea....:.:car la

P = $ 2.500.000

5.4 Gradiente geométrico

:npone

ra cuota.a e al la

r ad ie rrte

73


ahorrar cada año. Si no hace ningún retiro ¿cuánto tendráacumulado en 4 años?

Apliquemos el concepto de interés compuesto para resolvereste problema y tomemos como fecha focal 4.

x = 400000(1+0.07)4 +420000(1+0.07)3 +441000(1+0.07)2 +463050(1+0.07)1 +486202.5

x = $2.525.403,364

Para resolver el problema anterior existe una fórmula devalor futuro de un gradiente creciente vencido

SI

Esta fórmula traslada hacia la derecha una serie de cuotasvariables, incrementadas en un porcentaje constante, lasconvierten en un valor y 10 ubica en donde esta la últimacuota. En este caso k representa el valor del porcentaje enel cual aumentan las cuotas periódicamente, n el númerode cuotas variables, i la tasa de interés efectiva vencida,la letra "A"representa el valor de la primera cuota y "F" elvalor futuro del gradiente. Apliquemos la fórmula alejemplo anterior.

F = 400.000 [(1+0.07)5 -(1+0.05)5], F=$2.525.403,3640.07 -0.05

Cuando la tasa de interés es igual al qradierite geométricola fórmula anterior no se puede aplicar por que se

indetermiria, para este caso se aplica la fórmula

F = nA (1+ ir-¡. Observe el siguiente ejemplo.

74

Ejemplo

será de

empiezatendrá acu,•••

Esta fórmvariables.convierter;cuota.gradiente

Ejemplo 6:

800.000

- terid rá

- 6202.5

~..: a de

- "F" el

tétrico


Ejemplo 5:

Una persona decide ahorrar $ 500.000 con el pago de suscesantías cada año en una cuenta de ahorros que lereconoce el 7% anual; se estima que cada año el aumentoserá de un 7 %, la persona decide aumentar en el mismoporcentaje la cantidad a ahorrar cada año. El ahorroempieza a partir de hoy, si no hace ningún retiro ¿cuántotendrá acumulado en 10 años?

F = 11(500.000)(1 + 0.07)lH F = $10.819.332,47

Si el gradiente es decreciente se aplica la fórmula:

Esta fórmula traslada hacia la derecha una serie de cuotasvariables, disminuidas en un porcentaje constante, lasconvierten en un valor y lo ubica en donde está la últimacuota. El siguiente ejemplo muestra una aplicación degradiente geométrico creciente y decreciente.

Ejemplo 6:

Se abre una cuenta de ahorro en la cual se invierten hoy $800.000 y cada año el valor anterior se disminuye en un 5% durante 10 años. En el año número 11 se depositan 3millones y éste valor aumenta en un 4 % cada año, hasta elaño número 18. Si la tasa de interés es del 8 % anual,¿Cuánto se podrá retirar en 24 años si no se hacen másdepósitos ni retiros?

75


A [ (l+k)n] . .p = -.- 1- --o Si 1 i= ki=k 1+1

x gradienteun porce •.

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18(Años)

19 20 21 22 23 24

Ejemplo 7:

800000

3000.000

Figura 5. 6

¿Cuántotrimestralcada retircuota se

Para resolver este problema tomamos como fecha focal 24

800.000 [( )11 ( )l1J 1 3.000.000 [( )' ( )'] 6F~ 1+0.08 - 1-0.05 (l+0.08)'+ 1+0.08 - 1+0.04 (1+0.08)0.08+ 0.05 0.08- 0.04

F = 31.863.379,64 + 57.408.490,42 = $ 89.271.870,06

Para calcular el valor presente de un gradiente geométricocreciente vencido aplicamos la fórmula:

Cuando la tasa de interés es igual al gradiente geométrico

se aplica la fórmula P = nAl+iEstas fórmulas trasladan hacia la izquierda una serie decuotas variables, incrementadas en un porcentajeconstante, las convierten en un valor y lo ubica unperiodo anterior al de la primera cuota. Cuando el

Matsrnáttca FinanciEra

gradiente es decreciente es decir, las cuotas disminuyen enun porcentaje constante se aplica la fórmula:

p - A [1 (1- k) n ]

i+k l+z

Ejemplo 7:

¿Cuánto debo depositar hoy para poder retirar 8 cuotastrimestrales, sabiendo que la primera es de $ 40.000 Ycada retiro se aumenta en un 7 % del anterior. La primeracuota se retira en el mes 12 y se hace un retiro extra por $700.000 en el mes número 21? La tasa de interés es del24 % anual efectivo.

700000

(Tri mestres)01234567891011

Figura 5.7

étrico Para resolver este problema aplicamos la fórmula de valorpresente de un gradiente geométrico creciente y se tomacomo fecha focal O.

p= 40.000 [1-( 1+0.07 )8]C1+0.055f3+700.000C1+0.055f70.055-0.07 1+0.055

de

P = 27l.535,7096 + 481.205,766 = $ 752.741,4756

77

Gil Ernesto Daza Pér-sz

Ejemplo 8:

¿Cuánto debo depositar hoy para poder retirar 6 cuotastrimestrales, sabiendo que la primera es de $ 40.000 Ycada retiro disminuye en un 5 % del anterior. La primeracuota se retira en el mes 6 y se hace un retiro extra por $1.000.000 en el mes número lB? La tasa de interés es del20 % anual efectivo.

Convertimos la tasa del 20 % anual, en trimestral para que

coincida con los periodos de los retiros {fl+0.20 -1 = 0.0466 Yplanteamos la ecuación de valor tomando fecha focal cero.

x= 40.000 [1-( 1-0.05 )6l(1+0.0466rl+1000.000(1+0.0466)~0.0466 + 0.05 1+ 0.0466

x = 174.352,994+760.879,0345= $935.232,0285


1. Una obligación consta de 20 cuotas mensuales mes vencidodonde la primera tiene un valor de $150.000 y de aquí enadelante cada pago se aumenta en $50.000 respecto delmes anterior. Se conviene en sustituir el compromiso porun pago único dentro de dos años. Si el interés es del 2%mensual. Hallar el valor de éste pago único.

2. Hallar el valor de las cuotas de un préstamo de $2millones a un tiempo de dos años, con cuotasmensuales que aumentan cada mes en $50.000 y conuna tasa de interés del 12% nominal capitalizablemensualmente.

78

3.

4.

5.

6.

7.

l . .l!~

5. Una obligación consta de 50 cuotas mensuales mes ,;;vencido en el que la primera tiene un valor de")'-$150.000 y de aquí en adelante cada pago disminuye en I.~.

$50.000 respecto del mes anterior, además se ha !.:~,..~convenido pagar una cuota extra de $ l.000.000. Se r:conviene en sustituir el compromiso por un pago único : -dentro de dos años. Si el interés es del 3 % mensual.Hallar el valor de éste pago único.


3. Hallar el valor de contado de un electrodoméstico quese adquiere financiado así: Cuota inicial de $400.000 yel resto a 24 cuotas mensuales, la primera cuota es de$50.000 y se paga dentro de 3 meses; de allí enadelante cada cuota es igual a la del mesinmediatamente anterior aumentada en $25.000. Tasade interés de la financiación es de 2.5% mensual.

y

4. ¿En qué cantidad uniforme se debe aumentar cada pagotrimestral para que iniciando con $400.000, dentro detres trimestres se pueda cancelar, con 8 de estos pagos,una deuda que hoy tiene un valor de $ 5.000.000, si secobra un interés del 5% trimestral?

rU_..,......fV)-{i

6. Hallar el valor de las cuotas de un préstamo de $2 --millones a un tiempo de dos años con cuotasbimestrales que disminuyen cada bimestre en $50.000.La tasa de interés es del 12% nominal capitalizablebimestralmente.

S2

. con

7. Hallar el valor de contado de una moto que seadquiere financiado así: Cuota inicial de $400.000 y elresto a 24 cuotas mensuales, la primera cuota es de$100000 y se paga dentro de 3 meses; de allí en

79

adelante cada cuota es igual a

inmediatamente anterior aumentada

la del mes

en $25000. La

deposírcubrir .

hace

21?

aumenta

Gil Ernesto Daza Pér-ez

tasa de interés de la financiación es de 1 % mensual.

12. Se8. ¿En qué cantidad uniforme se debe aumentar cada

pago bimestral para que iniciando con $400.000, dentro

de dos bimestres se pueda cancelar, con 8 de estos

pagos, una deuda que hoy tiene un valor de $ 5000000,

si se cobra un interés del 5% trimestral?

9. Un empleado decide ahorrar la quinta parte de su

salario mensual, en una cuenta de ahorros que paga un

interés del 33% nominal trimestral. El empleado tiene

en la actualidad un salario de $ 500000 mensuales y le

será aumentado en el 22% cada año. Hallar la cantidad

que tendrá ahorrada al cabo de doce años.

13.

10. Financiar una deuda de $ 8 millones de hoy, en

treinta y seis cuotas mensuales sabiendo que la

primera se debe cancelar dentro de seis meses y de allí

en adelante las cuotas aumentarán en el 3% cada mes

hasta la vigésima cuota y las cuotas disminuirán cada

periodo en un 2 %. La tasa de interés sobre saldo será

del 3% mensual durante los seis primeros meses y del

4% mensual de allí en adelante.

14. Se

11. En una empresa los costos de mantenimiento son de

$ 15.000.000 el primer año y se estima que se

incrementarán con la inflación la cual se prevé que

aumentará en un 6 % en los próximos años, además

tiene un costo adicional de mantenimiento de $2.000.000 dentro de 2 años. Si el costo de oportunidad

del empresario es del 20 % anual ¿Cuánto tiene que

15. En

$2000.

disrni

númer

80

:::esLa

. en

MatEmática FinanciEra

depositar hoy en la opciori de negocio que tiene paracubrir los gastos de mantenimiento?

12. Se abre una cuenta de ahorros en la cual seinvierten hoy $ 1.000.000 de -eesos y cada año el valor

anterior se aumenta en un 5 % durante 10 años. En elaño número 11 se depositan 3 millones y éste valoraumenta en un 4 % cada año, hasta el año número 18.Si la tasa de interés es del 8 % anual. ¿Qué capital sepodrá retirar en 24 años, SI no se hacen másdepósitos, ni retiros?

13. ¿Cuánto debo depositar hoy para poder retirar 8

cuotas trimestrales, sabiendo que la primera es de40.000 pesos, y cada retiro se aumenta en un 7 % delanterior. La primera cuota se retira en el mes 12 y sehace un retiro extra por 700.000 en el mes número21? La tasa de interés es del 24 % anual efectivo

14. Se deposita cierta cantidad de dinero la cualpermite retirar 8 cuotas bimestrales, sabiendo que laprimera es de 40.000 pesos, y cada retiro se aumentaen un 7 % del anterior, además primera cuota se retiraen el mes 12 y se hace un retiro extra por 700.000 enet mes número 20. Hallar el valor de la cantidaddepositada, si la tasa de interés es del 24 % anualefectivo.

15. En un proyecto inicialmente se invierten hoy$2000.000 de pesos y cada año el valor anterior sedisminuye en un 4 % durante 10 años. En el añonúmero 11 se depositan 3 millones y este valoraumenta en un 4 % cada año, hasta el año número 18.

81


Si la tasa de interés es del 16 % anual. ¿Qué capital se

habrá invertido en el proyecto en 20 años?

• Si VP .

criterios

costo

curso

El criter;utilidad

llevar tod

• Sini

•pérdidainvers .Ó::.

- api al se


Capítulo 6CRITERIOS PARA LA EVALUACiÓN

DE UN PROYECTO

Al evaluar un proyecto financiero se pueden aplicarcriterios como valor presente neto, tasa interna de retorno,costo anual uniforme equivalente, entre otros. En estecurso se aplicarán los criterios valor presente neto y tasainterna de retorno.

• Si VP(N) = Oentonces el proyecto no genera ni pérdidas

ni ganancias, se debe tener en cuenta que este tipo deproyectos para un empresario no genera utilidad pero surealización puede ser de un gran impacto social.

6.1 Valor presente neto

El criterio de valor presente consiste en analizar lautilidad de un proyecto el día de hoy, para lograrlo se debellevar todos los ingresos a cero, todos los egresos a cero yrestarlo es decir: VP(N) = VP(I) - VP(E) para aplicar este

criterio se debe tener en cuenta:

• Si VP(N) >- O el proyecto puede ser viable dependiendo

de las expectativas que tenga el empresario o la personaque desea hacer la inversión.

• Si VP(N) -< O el proyecto no es viable porque genera

pérdida para la persona o empresa que realiza lainversión.


VPN(E) =Ejemplo 1:

En un proyecto se realizan las siguientes operaciones:inversión Inicial $10.000.000, otras Inversiones:$4.000.000 a los dos años, $ 3.000.000 dentro de cuatroaños, costos operacionales $200.000 mensuales. Ingresosbimestrales de $4.000.000, valor del mercado $7.000.000,

vida útil del proyecto 6 años. La tasa de interés es del 20%anual y el inversionista espera obtener de utilidad el 20%del valor de los egresos llevados al día de hoy.

Para resolver este problema se debe tener en cuenta quelas inversiones son mensuales y los ingresos sonbimestrales por lo cual es necesario realizar dos líneas detiempo para facilitar su análisis. Se aplica la ecuación devalor presente de una anualidad y el valor de un interéscompuesto, porque es más sencillo tomar fecha focal cero.Calculamos el valor presente de los egresos:

VPN(I) =

qué?

i =lV1 + 0,2 -1 = 0,0153

VP(E) = 10.000.000 + 4.000.000(1 + 0.0153)-24 + 3.000.000(1 + 0.0153)-48 + 200.000(1- (1+ 0.0153)-72)0.0153

o 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 24 48 72

1 + +I (Meses)

200.000

4.000.000 3.000.000

10000000

Figura 6.1

Se convierte la tasa de interés anual a mensual, ¿por qué?

Matsrnátíca Financiera

VPN(E) = 10.000.000 + 2.778.399 + 1.447.407 + 8.691.203

ones: VPN (E) = $ 22.917.009

ones:atro Calculamos el valor presente de los ingresos:esos

4.000.000

I I I I 1 I 1 1 1 I 1 1 1 1 Io 1 2 3 4 5 6 7 s 9 ... 20 25

Figura 6.2

7.000.000

--I--IL...-L..-l---.L..-..L..-..l...-..I--..1..-....I.-....I.-...J.....--L---L--L-......L..1 --1...1---'--3..1.1-1 (B im e stre s )

.000,

20%

e 20%

:::-a queson

eas deión de

terés

Se convierte la tasa de interés anual a bimestral, ¿porqué?

cero.

i =?j1 + 0,2 -1 = 0,0308

VPN(I) = 7.000.000(1 + 0.0308)-36 + 4.000.000(1- (1+ 0.0308)-36 J. 0.0308

VPN (1)= 86.295.819 + 2.348.655 = 88.644.474

VPN(I)-VPN(E) = 88.644.474 - 22.917.009 = $ 65.727.465

s qué?

El inversionista pretende ganarse el 20 % del valorpresente de los egresos lo cual equivale a $ 4.583.401, 8

comparándolo con el valor presente neto de los egresosque es $ 22.917.009, se obtiene unas ganancias quesupera las expectativas del inversionista.

Ejemplo 2:

Analice la viabilidad del proyecto utilizando el criterio devalor presente neto, el costo de oportunidad es del 20 %

anual.

85


• Inversión inicial $3'000.000• Otras inversiones: $ 1'000.000 dentro de un año,

3'000.000 dentro de 24 meses.

• Costos trimestrales de operaciones $ 100.000 a partirdel tercer mes

• Ingresos trimestrales de $ 1 '000.000 a partir del tercermes

• Valor del mercado $ 4'000.000• Vida útil del proyecto 3 años

vpn(ePara resolver este problema tomamos fecha focal 0,trasladamos los ingresos y los egresos a cero, luego losrestamos para hallar el valor presente neto, que

J

representa la utilidad.

Valor presente de los ingresos:El

4000000

1000000(Trimestres)

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Figura 6.3

vpn(i) = 1.000.000[1- (1+0.0466r12

] + 4.000.000(1 +0.0466r12

0.0466

vpn(i) = 9.035.688,73 +2.315.747,62 = $ 11.351.436.35

Valor presente de los egresos:

86

O,

ego losque


6.2 Tasa Interna de Retorno (TIR)

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12(Trimestres)

3.000.000

Figura 6.4

[1-(1 +0.0466rI2] _

vpn(e) =3.000.000+ 100.000 + 1.000.000(1 +0.0466)-4 +3.000.000(1 +0.0466) 8

0.0466

vpn(e) = 3.000.000 +903.568.8731 +833.445,255 +2.083.892,979

vpn(e)= $ 6.820.907,107

vpn = vpn(i) -vpn(e) =11.351.436,35 -6.820.907,107 =$4.530.629,243

El proyectoexpectativasganancias .

puede ser viable,del inversionista

dependiendocon respecto

dea

laslas

....::::eres)

La tasa interna de retorno es aquella que equilibra el valorpresente de los ingresos de un proyecto con el valorpresente de los egresos, es decir VP(1) - VP(E) = O.

Para aplicar el criterio de la tasa interna de retorno seplantea la ecuación de valor tomando como fecha focal cero,tanto para los ingresos como para los egresos y se igualan acero según lo que se plantea en la definición de la TIR. Secalcula la tasa interna de retorno aplicando el concepto de

Gil Ernes to Daza PÉrEz

interpolación lineal y se compara con la tasa de interés del

costo de oportunidad 11 lo ". El costo de oportunidad se

entiende como aquel costo en que se incurre al tomar unadecisión y no otra. Es aquel valor o utilidad que se sacrificapor elegir una alternativa A y despreciar una alternativa B.Tomar un camino significa que se renuncia al beneficio queofrece el camino descartado.

En toda decisión que se tome hay una renunciaciónimplícita a la utilidad o beneficios que se hubieran podidoobtener si se hubiera tomado cualquier otra decisión. Paracada situación siempre hay más de un forma de abordarla,y cada forma ofrece una utilidad mayor o menor que lasotras, por consiguiente, siempre que se tome una u otradecisión, se habrá renunciado a las oportunidades yposibilidades que ofrecían las otras, que bien pueden sermejores o peores (Costo de oportunidad mayor o menor).Después de calculada la TIR se aplican los siguientescriterios para determinar si el proyecto es viable o no.

• Si TIR = lo entonces el proyecto no genera ni perdidas ni

ganancias, se debe tener en cuenta que este tipo deproyectos para un empresario no genera utilidad perosu realización puede ser de un gran impacto social.

• Si TIR >- lo el proyecto puede ser viable dependiendo de

las expectativas que tenga el empresario o la personaque desea hacer la inversión.

• Si TIR -< lo el proyecto no es viable por que genera

perdida para la persona o empresa que realiza la. . -rnver srori.

88

Ejemplo

$4'000.

años.

Determi

internadel 10

o 1

I12.000.

de

Como los ingresos son bimestrales todo el flujo de caja delproyecto lo tomamos bimestral.


del~llDi·dad se

Ejemplo 3:

Un proyecto de inversión tiene la siquiente información:Inversión inicial $12.000.000. Otras inversiones:$4}000.000 dentro de un año; $ 3}000.000 dentro de 4años. Ingresos bimestrales: $ 2}000.000} valor delmercado: $ 6}000.000} vida útil del proyecto 4 años.Determine si el proyecto es viable aplicando el criterio} tasainterna de retorno} compárela con el costo de oportunidaddel 10 % bimestral.

6.000.000

2.000.000 INGRESOS BIMESTRALES tI tr--rt--r-t -'f---'-t -'tr---rt--r-t -'f,....--r-t-,tr---Tf--r-t -'f,........-t-fr-"rf--r-t -'f....--T"f-tr--lt,....--r--t f (Bimest •.•s)

o 1 2 3 4 5 i 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 r1 -- --

12.000.000

Figura 6.5

Se plantea la ecuación de valor para los ingresos tomandocomo fecha focal cero.

VPN (1) = 2'000.000 [ 1- (1; i)-24 ] +6'000.000(1 +ir24

personaSe plantea la ecuación de valor para los egresos tomandocomo fecha focal cero:

VPN(E) = 12'000.000 +4'000.000(1 + i)-6 +3'000.000(1 +0-24

realiza la

Se aplica el concepto de tasa interna de retorno:

89

4000.000

•

• Inversión inicial $ 5.000.000

• Costos de operaciones mensuales $ 200000

• Ingresos mensuales de $ 600.000 a partir del mes 3

•


VP(1) - VP(E) = O

Se realiza el tanteo en la ecuación de valor, buscandovalores que se aproximen a cero tanto por la derecha comopor la izquierda.

Este prob ese planteaobtener dlineal la

Despuésse logra o

•2.000.000( 1- (1; 0-

24) +6.000.000(1 + i)-24 -12.000.000 -4.000.000(1 + ir"- 3.000.000(1 + ir" = o •

Para la tasa de interés del 13.95 % bimestral se obtuvo unvalor de 16. 195,71079 el se aproxima a cero por la derechay para una tasa de interés del 13.99 % bimestral se obtuvoun valor de -15.042,87718 el cual se aproxima a cero porla izquierda.

Por ultimo se realiza la interpolación lineal y se obtiene latasa del 13.97 % bimestral, la cual es mayor que la tasadel costo de oportunidad, por 10 tanto el proyecto es viable.

Ejemplo 4:

Analice la viabilidad del proyecto utilizando el criterio detasa interna de retorno.

r-r-.+-t--t-++-t-t--++-t-t--+-+-t-t--++-t-t--++-I-+-++-I-+-++-t--t-++-I (Meses)O 1234 5676 9101112131415161718192021 2223242526272829303132333435 Sb+- ..•. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII! 1111111111.,

200.0005000.000

1.Figura 6.6

•

•

90

'<:000.000•


• Valor del mercado $ 4'000.000

• Vida útil del proyecto 3 años

• Costo de oportunidad del 3 % mensual

Este problema se resuelve tomando como fecha focal cero,se plantea la ecuación de valor y se hace el tanteo, paraobtener dos valores, que permita hacer la interpolaciónlineal la cual se realiza utilizando la función de lacalculadora

e o de

II'~:< e:1

1

2.; •:) \

1:) ='~ ~l·, ,',/

2.;¿ .e c: .~,<r: -,c:/- <.

rEstos datos se ingresan a la calculadora para realizar la UJ '"' !"..•

(1 [:.1 "interpolación lineal y se obtiene el valor i = 6.31 % mensual,' ~"""\.-~:¡-<' 1"

como la TIR es mayor que la tasa del costo de oportunidad I~ f,':·:

el proyecto puede ser viable. j~ t '..-.¡<

Después de mucha paciencia con el uso de la calculadorase logra obtener por tanteo los puntos:

i = 0.07 -7 -520585.9696i = 0.06 -7 239322.3415


1. Analice la viabilidad del proyecto utilizando el criteriode tasa interna de retorno.• Inversión inicial $4.000.000

• Costos de operaciones bimestrales de $ 200000• Ingresos bimestrales de $600.000 a partir del mes 4

91

• Valor del mercado $3'000.000• Vida útil del proyecto 3 años• Costo de oportunidad del 10% anual


2. Analice la viabilidad del proyecto utilizando el criterio devalor presente neto. El inversionista pretende ganarse el20 % del total de los egresos llevado al día de hoy.• Inversión inicial $ 5.000.000• Costos de operaciones mensuales $ 200000• Ingresos mensuales de $ 600.000 a partir del mes 3• Valor del mercado $ 3'000.000• Vida útil del proyecto 3 años• La tasa de interés es del 3 % mensual

tiene

••

5.

3. Analice la viabilidad del proyecto utilizando el criteriode tasa interna de retorno.• Inversión inicial $ 4.000.000• Costos de operaciones mensuales $ 200000• Ingresos mensuales de $ 600.000 a partir del mes 3

los cuales aumentan en un 4 % cada mes.• Valor del mercado $ 2'000.000• Vida útil del proyecto 3 años• Costo de oportunidad del 3 % mensual.

4. Analice la viabilidad del proyecto utilizando el criterio devalor presente neto. El inversionista pretende ganarse el15 % del total de los egresos llevado al día de hoy.

• Inversión inicial $ 4.000.000• Costos de operaciones mensuales $ 200000 los

cuales aumentan en un 4 % cada mes.• Ingresos mensuales de $ 400.000 a partir del mes 3• Valor del mercado $ 3'000.000

_iterio de

el


• Vida útil del proyecto 3 años

• La tasa de interés es del 3 % mensual

5. Se inicia un proyecto con $ 5.000.000, el proyecto

tiene unos costos de operaciones de $ 400.000

mensuales; ingresos de $ 2.000.000 mensuales y se

estima que el valor del mercado es de $ 6.000.000

dentro de 4 años. Determine si el proyecto es viable

tomando como referencia una tasa de interés del 10 %

anual y aplicando el criterio del valor presente neto.

de

el

J''-''':JvuO los

Mate Financier A - Gil Ernesto Daza

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