Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1

Escola Secundria com 3 ciclo D. Dinis 10 Ano de Matemtica A

Funes e Grficos Generalidades. Funes polinomiais. Funo mdulo.

Tarefa n 10

1. Consideremos o polinmio ( ) 4 2A x x 5x 6x 2= + + a. Este polinmio completo? Justifique a resposta b. Usando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da diviso de A(x) pelo binmio

x + 3. c. Determine agora o quociente e o resto da diviso de A(x) pelo binmio x - 2. d. Qual o quociente e o resto da diviso de A(x) por x?

e. Calcule A( 3) e A(2) . Compare os resultados obtidos com os restos das divises anteriores. O que pode concluir?

f. Sabendo que A(1)=0 , decomponha o polinmio A(x) no produto de um binmio do 1 grau por um polinmio do 3 grau.

2. Considere o polinmio 3 2B(x) 2x 9x 3x 4= + + a. Calcule B( 0,5) . Decomponha ( )B x como o produto de um polinmio do 1 grau por outro

do 2 grau. b. Indique o polinmio P(x) tal que ( )B(x) 2x 1 P(x)= + c. Indique o polinmio Q(x) tal que ( )B(x) 1 2x Q(x)=

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Escola Secundria com 3 ciclo D. Dinis 10 Ano de Matemtica A

Funes e Grficos Generalidades. Funes polinomiais. Funo mdulo.

Tarefa n 10 Proposta de resoluo

1. Consideremos o polinmio ( ) 4 2A x x 5x 6x 2= + + a. Este polinmio no completo porque lhe falta o termo em 3x . b. Usemos a regra de Ruffini para determinar o

quociente e o resto da diviso de A(x) pelo binmio x + 3.

O quociente 3 2x 3x 4x 6 + + e o resto -16.

c. Usemos a regra de Ruffini para determinar o quociente e o resto da diviso de A(x) pelo binmio x - 2.

O quociente 3 2x 2x x 4 + e o resto - 6.

d. Usemos a regra de Ruffini para determinar o quociente e o resto da diviso de A(x) pelo binmio x.

O quociente 3x 5x 6 + e o resto 2.

e. ( ) ( ) ( )4 2A( 3) 3 5 3 6 3 2 81 45 18 2 16 = + + = + + + = ( ) ( ) ( )4 2A(2) 2 5 2 6 2 2 16 20 12 2 6= + + = + + =

Comparando estes valores com os restos das duas primeiras divises conclumos que: A(-3) o resto da diviso de A(x) por x + 3 e A (2) o resto da diviso de A(x) por x 2.

f. Se A(1)=0 porque o resto da diviso de A(x) por x 1 zero e isso significa que A(x) divisvel por x-1, faamos a diviso usando a regra de Ruffini. Ento ser:

( ) ( ) ( )3 2A x x 1 x x 4x 2= +

2. Consideremos o polinmio 3 2B(x) 2x 9x 3x 4= + +

a. ( ) ( ) ( )3 2B( 0,5) 2 0,5 9 0,5 3 0,5 4 0 = + + = . Deste resultado conclumos que B(x) divisvel por

-1 0 5 -6 +2 -3 3 -9 12 -18

-1 3 -4 6 -16

-1 0 5 -6 +2 2 -2 -4 2 -8

-1 -2 1 -4 -6

-1 0 5 -6 +2 0 0 0 0 0

-1 0 5 -6 2

-1 0 5 -6 +2 1 -1 -1 4 -2

-1 -1 4 -2 0

2 -9 3 4 -0.5 -1 5 -4

2 -10 8 0

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x+0,5. Faamos a diviso de B(x) por x+0,5. E conclumos que 2B(x) (x 0,5)(2x 10x 8)= + +

b. O polinmio P(x) tal que ( )B(x) 2x 1 P(x)= + o quociente da diviso de B(x) por 2x+1 se essa diviso der resto zero. Podemos fazer essa diviso usando o algoritmo da diviso de polinmios.

O polinmio P(x) 2x 5x 4 + Podamos ter chegado a este resultado usando a decomposio da alnea anterior.

Se no produto 2B(x) (x 0,5)(2x 10x 8)= + + , multiplicarmos o primeiro factor por 2 e dividirmos o segundo factor por 2 obtemos uma expresso equivalente., ou seja:

2B(x) (2x 1)(x 5x 4)= + + . Se 2B(x) (2x 1)(x 5x 4)= + + ento P(x) 2x 5x 4= + .

c. O polinmio Q(x) tal que ( )B(x) 1 2x Q(x)= porque 2Q(x) x 5x 4= + . Podemos obter este polinmio multiplicando o primeiro factor do produto obtido na alnea anterior por 1 e dividirmos o segundo factor tambm por 1 o segundo factor Q(x). Podamos tambm ter usado o algoritmo da diviso para dividir B(x) por 1 2x e o quociente era Q(x).

2x3 -9x2 +3x +4 2x +1

-2x3 -x2 x2 -5x +4 0 x3 -10x2 +3x +4

+10x2 +5x

0x2 +8x +4

-8x -4

0x +0