Objetivo 8.

Calcular: dx

xx

Senxx

222, Sea

22)(

2

zz

zzf .

ii

z

12

22

2

42

1*2

2*1*422 2.

dx

xx

Senxx

222=Im2**i*Res(f(z)*eiz).

Res(f(z)*eiz) = i

ei

ii

ei

iziz

eziziiiiz

iz 2

*)1(

)1()1(

*)1(

)1(*)1(

**))1(( 1)1(

1lim

=

i

SeneCosieiSenCose

i

iSenCosei

i

eeii

2

)1()1()1()1(

2

))1()1((**)1(

2

**)1(

1111

1

= 2**i*i

SeneCosieiSenCose

2

)1()1()1()1( 111 =

= ))1()1(())1()1(( 11 CosSenieSenCose .

Im ( ))1()1(())1()1(( 11 CosSenieSenCose )= ))1()1((1 CosSene .

Por lo tanto:

dx

xx

Senxx

222=Im2**i*Res(f(z)*eiz) = ))1()1((1 CosSene .

Objetivo 9.

Hallar la transformada inversa de: 22

3

1

3)(

s

ssf .

22223

22

3

1

3

11

3

ss

s

s

s, por lo tanto:

22

1

22

31

22

31

1

3

11

3

sL

s

sL

s

sL .

1*

1*

122

1

22

31

s

s

s

ssL

s

sL hallamos la transformada inversa:

1*

1 221

s

s

s

sL por el teorema de convulucion, y luego aplicamos la propiedad

de multiplicar por s a f(s).

)()(

121

tFtCoss

sL

;

)()(12

1tGtCos

s

sL

. Por lo tanto:

1*

1 221

s

s

s

sL =

tt

o

t duutCosuCosduutGuFGF0

)( )()()()( =

tt

dutuCosdutCosduutuCosutuCos00

21 )2(

2

1)(

2

1)()( =

)(2

1)(

2

1)()(

4

1)(

2

1)2(

4

1)(

2

100 tSentCosttSentSentCosttuSenutCostt

luego:

)()()(

2

1)(

2

1)(

2

1

1*

1*

22

1tCostSenttCostSentCost

dt

d

s

s

s

ssL

.

La transformada inversa de

22

1

1

3

sL , tambien la hallaremos por el teorema de

convulucion.

22

1

1

3

sL = 3

1

1*

1

122

1

ssL .

)()(

1

12

1tFtSen

sL

;

)()(1

12

1tGtSen

sL

. Por lo tanto:

22

1

1

1

sL =

tt

o

t duutSenuSenduutGuFGF0

)( )()()()( =

tt

dutuCosdutCosduutuCosutuCos00

21 )2(

2

1)(

2

1)()( =

)(2

1)(

2

1)()(

4

1)(

2

1)2(

4

1)(

2

100 tSentCosttSentSentCosttuSenutCostt

.

Por lo tanto:

22

1

1

3

sL = )(

2

3)(

2

3tSentCost .

Y finalmente:

CostttSentSenttCos

s

sL

2

3)(

2

3)(

2

1)(

1

322

31

.

Objetivo 10.

Resolver el siguiente sistema:

teYY

YYYY

2

1

2

21

1 Con las condiciones iniciales:

0)0(;1)0(;1)0(;0)0( 22

11 YYYY .

Le aplicamos transformada a cada una de las ecuaciones.

teLYLYL

YLYLYLYL

2

1

2

21

1

Aplicamos la propiedad de la transformada de la derivada.

1111 )0( YLsYYLsYL .

1)0( 2222 YLsYYLsYL .

1)0()0( 1211121 YLsYYsYLsYL

sYLsYYsYLsYL ))0()0( 2222222 .

Se sustituye en el sistema:

1

11

1

2

2

1

2

2211

ssYLsYLs

YLYLsYLYLs

1

11

1)1()1(

2

2

1

2

21

ssYLsYLs

YLsYLs

)1(

111

1

2221

21

sss

sYLYL

sYLYL

Sumando ambas ecuaciones obtenemos 1YL .

1YL =

1

11

)1(

1

2

122 ss

s

ss.

Multiplicando la primera ecuacin del sistema por (-1) y sumando ambas ecuaciones

obtenemos: 2YL .

2YL =

1

11

)1(

1

2

122 ss

s

ss.

Para hallar la solucion, hallamos la transformada inversa de cada transformada.

1

11

)1(

1

2

1 12

1

2

1

1s

Ls

sL

ssLY .

ts

Ls

Ls

sL

1

1112

11

2

1 .

te

sL

1

11 .

)1(

12

1

ssL , para calcular esta transformada, descomponemos en fracciones

parciales. )1(

)1()1(

1)1(

12

2

22

ss

CsssBsA

s

C

s

B

s

A

ss, de donde:

2)1()1(1 CsssBsA = (B+C) s2 +(A-B)s - A . de donde:

B + C = 0 , A - B = 0 y A = -1, entonces B = -1, y C = 1. por lo tanto:

)1(

12

1

ssL = tet

sL

sL

sL

1

1

111 112

1 .

222

11)1(

2

11

teeteetY

tttt .

Y2 es similar a Y1, solo difiere en un signo.

1

11

)1(

1

2

1 12

1

2

1

2s

Ls

sL

ssLY .

Y2 = tttt eeteetY 2

111

2

12 .