Universidad Peruana de Ciencias AplicadasUniversidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Matemática Básica Matemática Básica (C.C.)(C.C.)

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Sesión 13.1Sesión 13.1Ciclo 2007.1Ciclo 2007.1

MEDIDAS DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALTENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALTENDENCIA CENTRAL

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN• Los salarios de las superestrellas de los

deportes profesionales reciben mucha atención de los medios de comunicación. Cada año que pasa un contrato millonario se está convirtiendo en un hecho común y corriente para este grupo de élite. Aun así, son pocos los años que una de las asociaciones deportivas no negocien con los dueños de equipos nuevas condiciones salariales y beneficios marginales para todos los jugadores de un deporte en particular.

• Según los dueños de equipos de básquet, el salario promedio de un jugador es de$ 275 000. Los representantes de los jugadores alegan que el salario promedio está cerca de $310 000. Ambos grupos cuentan con los mismos datos. ¿Cómo pueden llegar a conclusiones tan dispares? ¿Quién dice la verdad?

• Una manera de representar características de un conjunto de datos en estadística es a través de tres medidas numéricas: media, mediana y moda. Cada una de ellas representa un tipo de promedio, el cual indica la tendencia central del conjunto de datos. En esta parte del curso veremos como calcularlos y que información nos brindan.

MODAMODA• La moda es el dato que más se repite (el de más

alta frecuencia). Por ejemplo: ¿cuántas veces se repite la letra “e” en la palabra “representatividad”? se repite 3 veces y te fijarás que es la que más se repite, por lo tanto se dice que la letra “e” es la moda de este conjunto de letras.

• Podremos determinar la moda en muestras de variables tanto cualitativas como cuantativas (datos agrupados o no).

• La moda es muy fácil de calcularla y útil, pro tiene sus limitaciones, a veces no encontraremos moda (cuando todos o más de dos tienen la misma frecuencia) o muestras bimodales (con dos modas). Por lo tanto veremos otras opciones.

• La moda se define como el valor o clase que tiene la mayor frecuencia, en un conjunto de observaciones.

• Cuando los datos obtenidos solamente pueden clasificarse en categorías, se emplea la moda para describirlo. Sin embargo el empleo de la moda no está limitado al tipo de datos cualitativos o descriptivos.

• La moda resulta sumamente útil para expresar la tendencia central de observaciones correspondientes a características cualitativas tales como color, estado civil, ocupación, lugar de nacimiento, etc.

Para datos no agrupados

Para datos agrupados

• Para calcular la moda de n datos tabulados por intervalos, primero se determina el intervalo que contiene a la moda, esto es, el intervalo que tiene la mayor frecuencia (intervalo modal). Luego se utiliza la fórmula:

• donde:• Li es el límite inferior del intervalo modal.• d1= fi - fi-1

• d2= fi - fi+1

• A= amplitud del intervalo modal

Add

dLM

21

1io

Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 40 empresas. 

 

IntervaloMarca de

clasemi

Frecuencias Frecuencias acumuladas

fi hi Fi Hi

4, 1010, 1616, 2222, 2828, 3434, 4040, 46

7131925313743

136

121152

0,0250,0750,1500,3000,2750,1250,050

14

1022333840

0.0250.1000.2500.5500.8250.9501.000

  40 1,000   

Título: “Inversión anual de empresas”

Unidades: miles de dólares.

 • El intervalo donde se encuentra la

mayor frecuencia es el cuarto intervalo• Entonces: Li = 22• d1= fi - fi-1 = 12 – 6 = 6 • d2= fi - fi+1 = 12 – 11= 1• A = 6 • de donde: Mo= 22 + = 27,85

• Esto significa la mayoría de las empresas invierten 27 850 dólares

MEDIAMEDIA

• La media es el promedio aritmético de los valores de la variable. Obviamente, al ser promedio, tiene sentido en variables de tipo cuantitativo

Para datos no agrupados

• –En ocasiones puede conducirnos a interpretaciones incorrectas. Simbólicamente la media en el caso de una muestra se representa por , y en el caso de población por .

• Se calcula sumando todos los datos y dividiendo dicha suma por el número de datos.

x

n

x.......xxmedia n21

Sea x1, x2, .... ,xn los valores que toma una variable cuantitativa X, entonces la media aritmética se determina mediante:

• Ejemplo: Si las notas en el curso de introducción a la computación de 10 alumnos son : 14, 18, 12, 16, 14, 15, 16, 18, 10, 12

• Respuesta: La nota promedio es 14,5

10

12101816151416121814x

5,14x

• La media aritmética de los valores x1, x2, x3, .........., xk ponderada por los pesosw1, w2, w3, ........ wk es el número.

Media aritmética Media aritmética ponderadaponderada

k21

kk2211

w..........ww

xw.........xwxwx

Ejemplo: Si un alumno el semestre pasado obtuvo 11 en Física 2 y su peso es cinco, 13 en el curso Lengua de peso cuatro y 16 en cálculo 2 de peso 3, ¿ cuál fue su promedio ?

92,12x345

)3(16)4(13)5(11x

Media aritmética para datos tabulados de variables

discretas

• Si los n valores de una variable estadística discreta X se clasifican en k valores distintos x1, x2, x3, .........., xk con frecuencias absolutas respectivas f1, f2, f3, ......, fk, entonces su media aritmética es el número:

k21

kk2211

f..........ff

xf.........xfxfx

• Ejemplo: En un estudio de edades de estudiantes de Derecho se obtuvo la siguiente tabla de distribución:

• Edades Frecuencia• 16 5• 17 10• 18 6• 19 4• 20 2• Total 26

• Determina la edad promedio.

Solución

246105

)20(2)19(4)18(6)17(10)16(5_

x

= 18,23 años_x

Media aritmética para datos tabulados de variables

continuas

• Si los n valores de una variable estadística continua X se clasifican en k intervalos con marcas de clases m1, m2, m3, .........., mk con frecuencias absolutas respectivas f1, f2, f3, ......, fk, entonces su media aritmética es el número:

k21

kk2211

f..........ff

mf.........mfmfx

Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 44 empresas. 

 

IntervaloMarca de

clasemi

Frecuencias Frecuencias acumuladas

fi hi Fi Hi

4, 1010, 1616, 2222, 2828, 3434, 4040, 46

7131925313743

136

121152

0,0250,0750,1500,3000,2750,1250,050

14

1022333840

0.0250.1000.2500.5500.8250.9501.000

  40 1,000   

Título: “Inversión anual de empresas”

Unidades: miles de dólares.

Solución

• La media aritmética es:

251112631

)2(43)5(37)11(31)12(25)6(19)3(13)1(7x

8,26x40

1072x

La inversión promedio es de 26 800 dólares

MEDIANAMEDIANA

• La mediana de un conjunto de observaciones se define como el valor que queda en la parte central de un grupo de observaciones arreglados en orden de magnitud.

Para datos no agrupados

• La mediana de un conjunto de datos es el valor que se encuentra al medio de la distribución ordenada (en forma ascendente o descendente). Cuando se tiene mediana uno sabe que es la misma cantidad de datos que se encuentra por encima de dicha mediana que por debajo.

Para datos agrupados

• Para calcular la mediana para datos agrupados considerando las frecuencias absolutas, en primer lugar se encuentra el intervalo donde se encuentra la mediana, este se encontrará en el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada contiene a la mitad de la muestra.

• Luego se utiliza la fórmula:

Af

F2n

LMi

1i

ie

 

Li =Es el límite inferior del intervalo de la mediana

n = Número de datos observadosFi-1= Frecuencia acumulada absoluta del intervalo

inmediatamente anterior al intervalo de la medianafi = Frecuencia absoluta del intervalo de la mediana

A = Amplitud del intervalo de la mediana

Ejemplo: La siguiente tabla muestra la inversión anual de 44 empresas. 

 

IntervaloMarca de

clasemi

Frecuencias Frecuencias acumuladas

fi hi Fi Hi

4, 1010, 1616, 2222, 2828, 3434, 4040, 46

7131925313743

136

121152

0,0250,0750,1500,3000,2750,1250,050

14

1022333840

0.0250.1000.2500.5500.8250.9501.000

  40 1,000   

Título: “Inversión anual de empresas”

Unidades: miles de dólares.

• El intervalo donde se encuentra n/2 es el número cuatro, luego:

• Li= 22; n = 40; Fi-1 =10; fi =12; A= 6

• Por tanto

27Me

612

102

40

22Me

El 50% de las empresas invierten menos de 27 000 dólares