1

MATEMÁTICA C

Ejercitación adicional

Las actividades propuestas en esta ejercitación tienen por intención ayudarlo a profundizar la comprensión

de los contenidos de cada una de las unidades de la materia. Resuélvalos luego de haber estudiado las

unidades correspondientes. Luego de resolver cada uno de ellos, puede chequear sus respuestas con las

que le damos al finalizar la ejercitación.

UNIDAD 1

Parte A

1. En una fábrica utilizan un equipo que puede dañarse si su temperatura oscila en más de 7 ºC alrededor

de 0 ºC .

a) Indique sobre una recta numérica todas las temperaturas que puede soportar el equipo sin riesgo

para su funcionamiento. Utilice una escala adecuada.

b) Exprese el conjunto que representó en el ítem a) utilizando notación de:

Módulo.

Intervalos.

c) Para cada una de las ecuaciones e inecuaciones dadas en la columna de la izquierda, encuentre su

respectivo conjunto solución entre los conjuntos dados en la columna de la derecha. Explique cómo

decidió cada una de sus respuestas

7x ≤

x 7

x = 7

d) Interprete cada una de las ecuaciones e inecuaciones dadas en el ítem c) en términos de la

temperatura del equipo.

2. La siguiente representación gráfica expresa las posibles temperaturas alcanzadas por una sustancia

durante un experimento:

) (

– 5 0 5

a) Si utilizamos la letra T para expresar a las temperaturas alcanzadas por la sustancia durante el

experimento, ¿cuál de las siguientes inecuaciones permite expresar lo observado con la

temperatura de la sustancia? Explique el por qué de su elección.

T 5 T 5 T 5 T – 5

b) Exprese las temperaturas de la sustancia utilizando notación de intervalos.

3. La ruta 2 tiene un monolito histórico ubicado en el kilómetro 240. La empresa concesionaria de la ruta

quiere colocar carteles de señalización que lo anuncien y que estén ubicados a 50 km del monolito.

a) ¿Cuántos carteles colocará? ¿En qué kilómetro de la ruta ubicará cada uno de ellos?

b) Usted acordó encontrarse con un amigo sobre esa ruta y él le avisa que está en alguna posición de

la ruta a menos de 30 kilómetros del monolito. ¿Cuáles podrían ser las posibles ubicaciones de su

amigo? Realice un esquema que le permita sombrear todas las posiciones de la ruta en las que

podría encontrarse su amigo. Exprese este conjunto utilizando intervalos.

(- );7[]7;

(– 7 ; 7)

[– 7 ; 7]

(- );7()7;

{– 7 ; 7}

2

Parte B

Dos de las tres frases escritas a continuación son FALSAS. Detecte cuáles son y reescríbalas en forma

correcta.

Entre dos números enteros cualesquiera no siempre es posible encontrar otro número

entero. Por esa razón el conjunto Z no es un conjunto denso.

Entre dos números racionales cualesquiera siempre es posible encontrar otro número

racional. Por esa razón el conjunto Q es un conjunto denso.

Entre dos números reales cualesquiera no siempre es posible encontrar otro número real.

Por esa razón el conjunto R no es un conjunto denso.

No todos los números racionales son números reales.

UNIDAD 2

Parte A

1. Para cada una de las funciones presentadas a continuación indique si la función es inyectiva,

sobreyectiva y/o biyectiva justificando su respuesta.

a) g: R R /

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

b) h: R R > 0 /

c) f: R R /

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

3

d) k: [0 ; 4] [0 ; 4]/

e) j: – 2 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 2 R / h(x) = x3

f) La función T expresa las temperaturas alcanzadas por una sustancia en cada instante t de un

experimento. El experimento se realiza durante 15 minutos y se sabe que la temperatura de la

sustancia subió durante los primeros 8 minutos para luego comenzar a descender hasta alcanzar en

t = 15 la misma temperatura que en t = 0.

g) La función M expresa las temperaturas alcanzadas por una sustancia en cada instante t de un

experimento. El experimento se realiza durante 15 minutos y se sabe que la temperatura de la

sustancia subió todo el período de observaciones hasta alcanzar una temperatura de 30 ºC.

h) La función R expresa las temperaturas alcanzadas por una sustancia en cada instante t de un

experimento. El experimento se realiza durante 15 minutos y se sabe que la temperatura inicial de la

sustancia es de 45 ºC y la misma descendió durante todo el período de observaciones.

2. Realice la representación gráfica de cada una de las siguientes funciones en un sistema de ejes

coordenados cartesianos:

a) La función f: R R es positiva en (– 4 ; 8) y decrece en el intervalo (5 ; +∞).

b) La función g expresa la temperatura y de una sustancia (en ºC) en función del tiempo x (medido en

horas) transcurrido desde el comienzo de un experimento hasta su finalización 6 horas después.

De la función g se sabe que g(0) = 25 y que no es inyectiva.

c) La función h expresa la altura y (en m) de un proyectil en cada instante t (en segundos) desde que

fue disparado hasta que tocó el piso. Se observó que:

Al ser disparado (en t = 0), la altura fue de 2 m.

La altura del proyectil estuvo aumentando en el intervalo (0 ; 5) alcanzando una altura máxima

de 10 m.

Luego el proyectil comenzó a descender tocando el piso a los 8 segundos de ser disparado.

d) Sobre la función j: R R, se sabe que su C0 = {– 3 ; 5}; que (– ; 1) es un intervalo de

decrecimiento; que su valor mínimo es y = – 4; y que j (7) = 5.

e) La función k: R R alcanza un mínimo en x = 7 y su conjunto de positividad es ; 5 9 ;

f) La función l: R R verifica las siguientes condiciones:

l(3) = – 8

l es decreciente en (- ; 3).

El conjunto de negatividad de l es (0 ; 5).

Parte B

1. Determine el dominio natural de cada una de las siguientes fórmulas:

4

5+x

1=)x(f g (x) = 2x h(x) = 3+x i(x) = x3 + 5x2 – x + 1

2. Dadas las fórmulas f(x) = x + 3 y g(x) = x3,

a) Escriba las fórmulas de:

(f o g) (x)

(g o f) (x)

b) Determine la fórmula inversa de cada una de las fórmulas compuestas escritas en a).

3. Complete la línea de puntos de cada una de las siguientes frases con los signos > (mayor) o < (menor)

según corresponda:

a) Si una función f es estrictamente creciente en el intervalo [1 ; 5] entonces f(1) …………. f(5).

b) Si una función g es estrictamente decreciente en el intervalo [1 ; 5] entonces f(1) …………. f(5).

UNIDAD 3

Parte A

1. La fórmula t

y 50 . 4 permite calcular, aproximadamente, la cantidad de peces en una laguna durante

un período de 3 años a partir de un instante considerado como t = 0 (años).

Responda las siguientes consignas teniendo en cuenta la información anterior,:

a) ¿Cuántos peces tiene la laguna en el momento de inicio de las observaciones? Explique con sus

palabras todo lo que tenga en cuenta para responder.

b) ¿Cuántos peces se estima que habrá en la laguna después de 2 años? Escriba los cálculos y

procedimientos que utilice para responder.

c) ¿Cuántos años transcurrieron cuando en la laguna se detectaron 1.600 peces aproximadamente?

Escriba los procedimientos y cálculos que utilice para responder.

d) Teniendo en cuenta la información anterior, complete la siguiente frase eligiendo la opción que

considere correcta:

“En el proceso descripto por la fórmula anterior:

La cantidad inicial es de 4 peces y esa cantidad se multiplica por 50 año a año”.

La cantidad inicial es de 50 peces y esa cantidad se cuadruplica año a año”.

La cantidad inicial es de 4 peces y esa cantidad se reduce 50 veces año tras año”.

La cantidad inicial es de 50 peces y esa cantidad se reduce a la cuarta parte año a año”.

e) ¿Puede estimar, a partir de la fórmula dada, la cantidad de peces que tuvo la laguna 7 años después

del instante de inicio de las observaciones? En caso afirmativo, calcule dicha cantidad. En caso

negativo, explique por qué no puede hacerlo.

f) Si describimos a la situación anterior a través de una función, ¿qué conjuntos podemos elegir como

conjuntos de partida y de llegada de la función? Escriba la función.

g) Clasifique a la función que escribió en el ítem f).

h) Realice la representación gráfica de la función que escribió en el ítem f) en un sistema de ejes

coordenados cartesianos.

1. Hace un par de años, un país se vio afectado por una enfermedad que se extendió muy rápidamente a

una enorme cantidad de habitantes. Las autoridades del Ministerio de Salud realizaron una campaña

destinada a frenar su evolución y, luego de monitorear la situación durante algunos días, pudieron

5

establecer una fórmula que les permitió calcular la cantidad de enfermos en función del tiempo

transcurrido a partir del momento en que pusieron en marcha la campaña. La fórmula es:

c = 1.024.000 .

t1

2

(t se mide en días).

Responda las siguientes consignas teniendo en cuenta la información anterior:

a) ¿Qué cantidad de enfermos había en el país en el momento en que se puso en marcha la

campaña?

b) De acuerdo con la formula que describe la situación:

La cantidad de enfermos se duplica día a día desde que se puso en marcha la campaña.

La cantidad de enfermos se reduce a la mitad día a día desde que se puso en marcha la

campaña.

La cantidad de enfermos se reduce día a día pero no sabemos en qué proporción lo hace.

Identifique cuál de las tres alternativas anteriores es correcta.

c) El Ministerio de Salud interrumpió la campaña cuando la cantidad de enfermos fue de 1.000. ¿Al

cabo de cuánto tiempo ocurrió esto?

Parte B

1. En la siguiente tabla se registraron algunos pares ordenados de una función:

x 1 4 1

2

8

y 0 – 8 4 – 12

a) Elija, entre las siguientes fórmulas, cuál de ellas permite describir lo observado en la tabla:

y = – 4 . 2x y = – 4 . log2 x y = 4. 2

2x y = – 8 . log4 x r

b) Utilizando la fórmula que eligió en a), determine las imágenes de x = 64 y x = 4

1.

c) Utilizando la fórmula que eligió en a), plantee y resuelva una ecuación que le permita determinar

cuál es el valor de x cuya imagen es 15.

d) ¿Cuál es el dominio natural de la fórmula elegida en a)?

e) Represente gráficamente la función cuya fórmula eligió en a) en su dominio natural.

2. En cada uno de los siguientes casos, indique el símbolo “=” o “≠” en el según corresponda:

log2 8 + log2 2 log2 (8 . 2)

log2 23 3

log2 28 – log214 log2 14

log3 94

1

4 log3 9

1

2

log (2) – 1

log2 2 1

2

6

3. Una de las cuatro fórmulas siguientes corresponde a una función cuya representación gráfica está dada

a continuación. Detecte cuál es la fórmula e indíquela con una X en el correspondiente:

y = – x3 + 5 y = 5 . x1

( )2

y = 5 . 2x y = –51

.x2

4. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 3

4 log x 10 72

b) log3 (x +1) = 4

c) 3x – 1 = 732

UNIDAD 4

Parte A

1. Para el siguiente triángulo: F

g h

H f G

Responda las siguientes consignas:

a) Identifique cuál de las siguientes igualdades permite calcular la medida del lado f.

f 2 = cos.h.g.2hg 22 f 2 = cos.h.g.2hg 22

f 2 = cos.h.g.2hg 22 f 2 = cos.h.g.2hg 22

Explique la razón por la que eligió la igualdad que considera correcta y la/s razón/es por la/s que

descartó a cada una de las otras igualdades.

b) Si le pidiéramos que calcule la medida del lado g y le diéramos como dato las medidas de los

ángulos y y del lado f, ¿qué igualdad plantearía para poder responder lo pedido? Escríbala.

c) ¿Y si le pidiéramos la medida del lado g dándole como dato las medidas de los ángulos y y del

lado h? Escriba la igualdad que utilizaría y todo lo que necesitaría hacer para poder calcular la

medida pedida con la información dada.

2. Para realizar una construcción se colocan dos soportes metálicos que miden 10 m cada uno formando

un ángulo que mide 0110 , como se indica en el siguiente esquema:

B

A C

7

¿Cuál es la distancia entre los puntos de apoyo A y C de los soportes metálicos?

3. Dado el triángulo rectángulo abc dibujado a continuación: C

A B a) Utilice los datos indicados en el triángulo para determinar los valores de:

sen = cos = tg =

sen = cos = tg =

b) Calcule las medidas de los ángulos y . Muestre su respuesta y la forma de calcular cada uno

de ellos en el siguiente recuadro:

Parte B

1. El valor x = 1

3 es solución de una de las siguientes ecuaciones:

3. senx 1,5 0 3.cosx 1,5 0 3.cosx 1,5 0

Responda las siguientes consignas escribiendo en su cuaderno todo lo que vaya pensando:

a) Elija de cuál de ellas se trata. Explique cómo decidió su elección.

b) Determine otro valor de x 0 ;2 que sea solución de la ecuación elegida. Escriba los cálculos

en su cuaderno.

c) Halle otras soluciones de la ecuación que eligió considerando valores de x que no estén en el

intervalo 0 ;2 . Escriba los cálculos en su cuaderno.

2. Identifique, entre los gráficos dados abajo, cuál es el que corresponde a la función

f : [0 ; 2] R / f(x) = 3.sen x

10 cm

8 cm

6 cm

8

Para la función f, determine:

Conjunto de ceros.

Conjunto de positividad.

Máximos y mínimos.

Período y amplitud.

UNIDAD 5

Parte A

1. En un laboratorio se observó la evolución de una población de ratas durante cinco años. La siguiente

tabla muestra los datos registrados:

Tiempo transcurrido desde el inicio de las observaciones

(en años)

Cantidad de ratas

0 50

1 100

2 200

3 400

4 800

5 1600

Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la información de la tabla:

a) ¿Qué cantidad de ratas tuvo inicialmente la población?

b) La población de ratas, ¿creció en forma aritmética o geométrica? ¿Por qué?

c) ¿Cuál es la razón de crecimiento de la población de ratas?

d) Si la población siguiera creciendo del mismo modo y no se realizara ninguna acción que frenara su

evolución, ¿qué cantidad de ratas habría luego de 11 años de iniciadas las observaciones?

2. Un equipo de biólogos ha estudiado, durante una semana, la evolución de un cardumen de un tipo de

peces en peligro de extinción en una zona afectada por la erupción de un volcán submarino. El equipo

ha registrado la cantidad C de peces del cardumen, d días después de la erupción, en la siguiente

tabla:

d (en días) C

0 1200

1 600

2 300

3 150

Responda las siguientes preguntas a partir de la información anterior:

a) La sucesión que expresa la cantidad de peces contabilizados día a día, ¿es aritmética o

geométrica? ¿Por qué?

9

b) ¿Cuál es la razón de la sucesión?

c) Si el fenómeno siguiera evolucionando de la misma forma, ¿qué cantidad de peces es esperable

que tenga el cardumen 6 días después de la erupción del volcán?

3. Sobre una enfermedad que afecta a los habitantes del noroeste del país se sabe que se propaga en

forma aritmética. Un equipo sanitario enviado por el Ministerio de Salud contabilizó, a su llegada, 1037

enfermos. Seis días después la cantidad de enfermos ya ascendía a 1277.

Responda las siguientes preguntas a partir de la información anterior:

a) ¿Cuál es la razón de la sucesión formada por las cantidades diarias de enfermos?

b) Si no se realizaran acciones que frenaran el avance de la enfermedad, ¿qué cantidad de enfermos

se contabilizarían luego de dos semanas de la llegada del equipo sanitario?

c) Si la enfermedad, en lugar de propagarse en forma aritmética, lo hubiese hecho en forma

geométrica, ¿cuál sería la razón de la sucesión formada por las cantidades diarias de enfermos?

d) En ese caso, ¿qué cantidad de enfermos habría luego de dos semanas de la llegada del equipo

sanitario?

Parte B

1. Escriba los 6 primeros términos de una sucesión aritmética en la que el cuarto término sea 150 y el

sexto término sea un número mayor que 173.

2. Para la sucesión cuyo término general es n

na 3 2 1 :

Escriba los términos a4, a5 y a6.

¿Se trata de una sucesión aritmética o geométrica? ¿Por qué?

3. Responda lo pedido en el ítem 2. para la sucesión cuyo término general es

n

n. n 1b

2

.

4. Tres términos de una sucesión son 4

a 8 , 5

64a

7 ,

6

72a

7 . ¿Se trata de una sucesión aritmética o

geométrica? ¿Por qué? ¿Cuánto vale la razón de la sucesión?

5. Y si los tres términos de la sucesión fueran 4

a 8 , 5

64a

7 ,

6

512a

49 , ¿cómo respondería a las tres

preguntas planteadas en 4.?

UNIDAD 6

Parte A

1. La población estudiantil de una escuela de fotografía se distribuye de la siguiente manera:

PRIMER AÑO

SEGUNDO AÑO

TERCER AÑO

HOMBRES 56 12 43

MUJERES 23 30 59

A fin de año se sortea entre todos los estudiantes un importante equipo de fotografía:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane el premio una mujer?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que lo gane Pichino Carone, estudiante de la escuela?

c) Si el premio lo ganó una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que la ganadora sea estudiante de

tercer año?

d) Si el premio lo ganó un/a alumno/a de primer año, ¿cuál es la probabilidad de que el ganador sea

un hombre?

10

2. Se sortea un libro entre los estudiantes de un curso de 120 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que lo

gane una mujer si el número de mujeres en el curso duplica al número de hombres?

3. En una bolsa hay 25 bolitas; algunas son de color rojo y otras de color verde. Si se extrae una de ellas

al azar, la probabilidad de que sea roja es 0,4.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea roja?

b) ¿Qué cantidad de bolitas verdes tiene la bolsa? ¿Y rojas?

4. En una bolsa hay 40 monedas de 10, 25 y 50 centavos. Se sabe que al extraer una moneda al azar de

la bolsa, la probabilidad de que sea de 10 centavos es de 13

40. Al extraer una moneda al azar,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de 10 centavos?

b) Se extrae de la bolsa una moneda de 10 centavos y no se la repone. Se vuelve a extraer una

moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de 10 centavos?

5. En un torneo de tenis juegan 50 extranjeros y 14 argentinos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane el torneo un argentino?

b) Si en la primera ronda son eliminados 25 extranjeros y 7 argentinos, la probabilidad de que gane el

torneo un argentino, ¿aumenta, disminuye o se mantiene igual? Justifique su respuesta.

6. En una caja de bombones hay 96 bombones de cuatro sabores: chocolate, dulce de leche, menta y

fruta. La probabilidad de sacar un bombón de chocolate es de 1

8; la de sacar un bombón de fruta es de

1

4 y la de sacar un bombón de dulce de leche es de

1

2.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar un bombón de menta?

b) ¿Cuántos bombones de cada gusto tiene la caja?

7. En un juego hay dos cajas: una caja roja que contiene 3 fichas negras y 2 fichas blancas; una caja

verde que contiene 2 fichas negras y 1 ficha blanca. El juego consiste en la extracción de una ficha de

cualquiera de las dos cajas. Gana el juego aquel que saca una ficha negra.

Si usted fuera uno de los participantes del juego y supiera la información anterior, ¿cuál de las cajas

elegiría para hacer la extracción? ¿Por qué?

Parte B

1. Las patentes de autos constan de 3 letras (entre 26 letras posibles) y 3 dígitos. ¿Cuántas patentes se

pueden armar si se pueden repetir tanto las letras como los dígitos?

2. La clave de acceso de una caja fuerte tiene 5 dígitos diferentes. Se sabe que el primero es 7. ¿Cuántas

claves posibles hay?

3. Un entrenador necesita definir el equipo de fútbol 5, categoría 96, que representará al club en la

próxima fecha. Debe elegir 5 chicos entre los 14 que entrenan habitualmente para esta categoría. ¿De

cuántas formas distintas puede armar el equipo si cualquiera de ellos puede jugar en cualquier

posición?

4. Una banda de música grabó 8 canciones con las que editará un nuevo disco.

a) ¿De cuántas maneras distintas puede ordenar las 8 canciones en el disco?

b) ¿Y si la canción “Por ese palpitar” debe ir primera?

11

EJERCITACIÓN ADICIONAL

RESPUESTAS

UNIDAD 1

Parte A

1. a) [ ] – 7 7

b) x 7 y [– 7 ; 7] respectivamente.

c) El conjunto solución de la inecuación x 7 es [– 7 ; 7].

El conjunto solución de la inecuación x 7 es (- ; 7) (7 ; ) .

El conjunto solución de la ecuación x 7 es {– 7 ; 7}

d) La inecuación x 7 corresponde al caso considerado en los ítems a) y b), es decir, a todas las

temperaturas que puede soportar el equipo sin poner en riesgo su funcionamiento (las que oscilan en menos de 7º C alrededor de 0ºC).

La inecuación x 7 corresponde a todas las temperaturas con las que el equipo podría dañarse

porque oscilan en más de 7 ºC alrededor de 0 ºC.

La ecuación x 7 corresponde a las temperaturas mínima y máxima que soporta el equipo sin

dañarse.

2. a) T 5

b) (– ; 5) (5 ; )

3. a) Dos carteles: uno en el kilómetro 190 y, otro, en el 290.

b) Después del kilómetro 210 y antes del kilómetro 270. El intervalo es (210 ; 270).

Parte B

Son falsas la tercera y la cuarta. Sus expresiones correctas son:

Entre dos números reales cualesquiera siempre es posible encontrar otro número real. Por esa razón el conjunto R es un conjunto denso (la tercera).

Todos los números racionales son números reales (la cuarta).

UNIDAD 2

Parte A

1. a) No es inyectiva porque hay elementos distintos del dominio (por ejemplo 0 y 4 ) que tienen la misma imagen.

No es sobreyectiva porque el conjunto imagen, que es R≥–4 no coincide con el conjunto de llegada que es R.

No es biyectiva porque para serlo tiene que ser inyectiva y sobreyectiva.

b) Es inyectiva porque para elementos distintos del dominio hay siempre imágenes distintas. Es sobreyectiva porque el conjunto imagen, que es R>0, coincide con el conjunto de llegada. Es biyectiva porque es inyectiva y sobreyectiva.

c) Es inyectiva porque para elementos distintos del dominio hay siempre imágenes distintas. Es sobreyectiva porque el conjunto imagen, que es R, coincide con el conjunto de llegada. Es biyectiva porque es inyectiva y sobreyectiva.

d) No es inyectiva porque hay elementos distintos del dominio (por ejemplo 3 y 3,5) que tienen la misma imagen.

No es sobreyectiva porque el conjunto imagen, que es [1 ; 4] no coincide con el conjunto de llegada. No es biyectiva porque para serlo tiene que ser inyectiva y sobreyectiva.

e) Es inyectiva porque para elementos distintos del dominio hay siempre imágenes distintas. No es sobreyectiva porque el conjunto imagen, que es {– 8 ; – 1 ; 0 ; 1 ; 8}, no coincide con el conjunto de llegada. No es biyectiva porque para serlo tiene que ser inyectiva y sobreyectiva.

f) No es inyectiva porque hay instantes distintos (por ejemplo 0 y 15) que tienen la misma temperatura. No se puede analizar la sobreyectividad ya que no está especificado cuál es el conjunto de llegada. Por la misma razón no se puede analizar la biyectividad.

12

g) Es inyectiva porque para cada instante en que se desarrolló el experimento hubo temperaturas distintas. No se puede analizar la sobreyectividad ya que no está especificado cuál es el conjunto de llegada. Por la misma razón no se puede analizar la biyectividad.

h) Es inyectiva porque para cada instante en que se desarrolló el experimento hubo temperaturas distintas. No se puede analizar la sobreyectividad ya que no está especificado cuál es el conjunto de llegada. Por la misma razón no se puede analizar la biyectividad.

2. Los gráficos pedidos en este ejercicio no son únicos. Puede haber muchas funciones que cumplan lo pedido en cada caso. Por esa razón la representación que damos es sólo un ejemplo de una función que cumple con las condiciones indicadas.

a)

x

y

b)

x

y

c)

x

y

d)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

x

y

13

e)

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

f)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

x

y

Parte B

1. Primera fórmula: Dn f = R – { –5 }

Segunda fórmula: Dn f = [2 ; + ∞)

Tercera fórmula: Dn f = [–3 ; + ∞)

Cuarta fórmula: R

2. a) (f o g) (x) = f [g (x)] = f [ x3 ] = x3 + 3

(g o f ) (x) = g [f (x)] = g [ x + 3] = ( x + 3)3

b) (f o g)– 1 (x) = 3 x 3

(g o f )– 1 (x) = 3 x 3

3. a) Si una función f es estrictamente creciente en el intervalo [1 ; 5] entonces f(1) < f(5).

b) Si una función g es estrictamente decreciente en el intervalo [1 ; 5] entonces f(1) > f(5).

UNIDAD 3

Parte A

1. a) 0y 50.4 50 peces.

b) 2y 50.4 800 peces.

c) Resuelvo la ecuación t1.600 50.4 t1.600 : 50 4 log4 32 = t t = 2,5 años.

d) La opción que completa la frase de manera correcta es:

La cantidad inicial es de 50 peces y esa cantidad se cuadruplica año a año”.

e) No, la fórmula es válida durante un período de 3 años a partir del año 0.

f) Conjunto de partida= 0 ; 3 . El conjunto de llegada puede ser cualquiera que contenga al conjunto

[50 ; 3.200]. Por ejemplo, el conjunto R. La fórmula ya está dada en el ejercicio.

g) La función es inyectiva. La función es sobreyectiva si y sólo si se elige como conjunto de llegada al

conjunto imagen de la función que es el intervalo 50 ; 3.200 .

h)

14

x

y

2. a) 10240002

1.1024000

0

b) La cantidad de enfermos se reduce a la mitad día a día desde que se puso en marcha la campaña.

c) Se interrumpió la campaña al cabo de 10 días ya que:

t

t

1

2

11024000. 1000

2

1 1000

2 1024000

1000t log 10

1024000

Parte B

1. a) y = – 4 . log2 x

b)2

y 4.log 64 4.6 24 ; 2

1y 4 . log 4.( 2) 8

4

c) Planteamos la ecuación – 4 . log2 x = 15. Su resolución es:

2

2

2

3,75

4log x 15

15log x

4

log x 3,75

x 2

x 0,074

d) 0R

e)

15

x

y

2. Los símbolos correctos son = ; = ; ≠ ; ≠ ; = ; =.

3. La fórmula correcta es y = 5 . x1

( )2

4. a) 3

4 log x 10 72

3

3

3

15,5

4log x 72 10

62log x

4

log x 15,5

x 3 24853036

b)

3

4

4

log (x 1) 4

x 1 3

x 3 1

x 80

c)

x

x

x

3

3 1 732

3 732 1

3 733

x log 733 6

UNIDAD 4

Parte A

1. a) ˆcos.h.g.2hgf 222

b) g f

ˆ ˆsensen

c)

g h

ˆ ˆsen ˆsen 180º

2. La distancia entre A y C es 2 210 10 2.10.10.cos110º 16,38 metros

3. a) 8,010

8ˆsen 6,0

10

6ˆcos 33,1

6

8ˆtg

6,010

6ˆsen 8,010

8ˆcos 75,08

6ˆtg

16

b) es el arco cuyo seno es 0,8 = 53º 7 48 (en la calculadora teclear la siguiente secuencia:

SHIFT SIN 0,8 SHIFT º ).

es el arco cuyo seno es 0,6 = 36º 52 12 (en la calculadora teclear la siguiente secuencia:

SHIFT SIN 0,8 SHIFT º ).

También podría calcular o utilizando el valor del coseno o de la tangente de cada uno de

ellos.

Parte B

1. a) x = 1

3 es solución de la ecuación 3.cosx 1,5 0 . Para determinarlo reemplazamos a x por

3

1 (o su equivalente en grados: 60°) en cada una de las ecuaciones, hacemos las cuentas y

verificamos si se cumple la igualdad.

b) 3

5 (o su equivalente en grados: 300º). Para obtener este valor ubíquese en la circunferencia

trigonométrica. Marque el punto de la misma correspondiente a un arco de 3

1 y vea cuál es el

punto simétrico del mismo respecto del eje x, ya que este nuevo punto determina un arco que

tiene el mismo coseno que 3

1. Podrá observar que es un punto del cuarto cuadrante. La

medida del arco x de circunferencia se obtiene haciendo 3

12 (o su equivalente en grados:

360º – 60º).

c) Por ejemplo 3

7 (420º). Si en la circunferencia trigonométrica damos una vuelta completa,

volvemos al mismo punto. Por lo tanto, la medida del arco x que recorramos representará una

nueva solución de la ecuación. Para obtener esta medida calculamos 23

1 (porque 2 es

la longitud de una vuelta completa) (60º + 360º).

2. El tercero.

2;;0C0

;0C

Máximo: 3 en 2

1 (ó 0,5 ) Mínimo: –3 en

2

3 (ó 1,5 )

Período: 2 Amplitud: 3

UNIDAD 5

Parte A

1.

a) 50.

b) Geométrica, porque se duplicó año a año.

c) 2

d) 50 . 211 = 1.024.000.

2.

a) Es geométrica, porque cada término es la mitad del anterior.

b) ½

c) 1200 .

6

1

2

= 18,75. Es esperable que queden 18 peces.

3. a) 1277 – 1037 = 240 240 : 6 = 40

b) 1037 + 14 . 40 = 1.597 enfermos.

c) 1277 : 1037 = 1,23 aproximadamente 6 1,23 = 1,03 aproximadamente

d) 1037 . 1,0314 = 1.568 aproximadamente

17

Parte B

1. No hay una respuesta única. Si elegimos, por ejemplo, que el sexto término sea 180, la razón sería 15 y los 6 términos serían: 105 – 120 – 135 – 150 – 165 – 180.

2. a4 = 3 . 24 + 1 = 49 , a5 = 3 . 25 + 1 = 97 , a6 = 3 . 26 + 1 = 193

No es aritmética porque al restar cada término con el anterior nos da diferente : 97 – 49 = 48 y

193 – 97 = 96.

Tampoco es geométrica porque al dividir cada término por el anterior nos da diferente : 97/49 = 1,9795 y 193/97 = 1,9897.

3. b4 = 4.(4 1)

2

= 10 , b5 =

5.(5 1)

2

= 15 , b6 =

6.(6 1)

2

= 21

Razonando de manera similar al ítem anterior deducimos que no es aritmética ni geométrica .

4. Es aritmética porque la diferencia entre cada término y el anterior es siempre la misma: 8

7. Este

número es la razón de la sucesión.

5. Sería geométrica porque en este caso la constante resulta de dividir cada término con el anterior. La

razón también es 8

7.

UNIDAD 6

Parte A

1. a)

b)

c)

d)

2. ( 80 mujeres y 40 hombres).

3. a) 1 – 0,4 = 0,6.

b) 0,6 . 25 = 15 verdes

0,4 . 25 = 10 rojas.

4. a) 1 – 13

40 =

27

40

b) 12

39 (ya que quedarían solo 12 monedas de 10 centavos y 39 monedas en total).

5. a) 14

64

b) Se mantiene igual, ya que la probabilidad es 7

32 que es equivalente a

14

64.

6. a) 1 – 1 1 1

8 4 2 =

1

8

b) 1

2 . 96 = 48 de dulce de leche;

1

4 . 96 = 24 de fruta;

1

8 . 96 = 12 de chocolate y 12 de menta.

7. La caja verde. Porque en ella la probabilidad de extraer una ficha negra es 2

3 y en la caja roja dicha

probabilidad es 3

5, que es menor.

Parte B

18

1. Para cada letra hay 26 posibilidades y, para cada dígito, 10. Entonces queda: 26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 = 17.576.000 patentes posibles.

2. El primer dígito ya está prefijado. Para el segundo quedan 9 dígitos ya que no se puede repetir el mismo, para el tercero quedan 8, para el cuarto quedan 7 y para el último 6. Entonces hay 9 . 8 . 7 . 6 = 3.024 claves posibles.

3. Pensando como en el ítem anterior para el primer puesto hay 14 chicos y para cada puesto restante uno menos ya que obviamente los chicos deben ser diferentes. Entonces serían: 14 . 13 . 12 . 11 . 10 = 240.240. Pero acá habría equipos repetidos ya que todas las permutaciones de cada grupo de cinco chicos que tengamos son el mismo equipo. Entonces tenemos que dividir esa cantidad por las permutaciones de 5, es decir por 5! que es 120. Es decir 240.240 : 120 = 2.002 formas distintas de armar el equipo. Como son combinaciones se puede hacer con la calculadora tecleando la siguiente secuencia:

14 nCr 5 =

4. a) Como venimos haciendo: 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320 formas distintas de ordenar las canciones en el disco. Como son permutaciones, calculamos 8! Esto se puede hacer con la calculadora tecleando la siguiente secuencia :

8 SHITF x–1 =

b) En este caso el primer lugar ya estaría ocupado por la canción “Por este palpitar”. Entonces nos quedan: 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5.040 formas distintas de ordenar las canciones en el disco. Es decir, 7!