Matematica Comercial.progresiones.contenido 9[2]

7/23/2019 Matematica Comercial.progresiones.contenido 9[2]

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CONTENIDO 9:CONTENIDO 9:

PROGRESIONES


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PROGRESIONES ARITMTICASPROGRESIONES ARITMTICAS

Una progresin aritmtica es una sucesin

de nmeros, tales que cada uno de ellossal!o el primero" es igual al anterior m#sun nmero $%o llamado ra&n aritmtica'

Sucesin de Nmeros Reales:

t(, t), t*, t+, t,''', tn,'''

Smbolos:t(: -rimer trmino'

tn: Trmino de lugar .n/ o ensimo trmino'

r: 0a&n aritmtica

n: Nmero de trminos

1n: 1uma de .n/ primeros trminos'


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ARITMTICASARITMTICAS

Ejemplo de sucesi! de !"me#os #e$les:

('2 El con%unto ordenado de nmeros impares *, , 3, 9, ((,

(*,''' es una sucesin de nmeros reales' 4l trmino:an6 * 7 )n2(" se le llama %mi!o 'e!e#$l'

)'2 1in em8argo, no todas las sucesiones tienen trminogeneral' -or e%emplo, en la importante sucesin de losnmeros primos:

), *, , 3, ((, (*, (3, (9, )*,'''

no a ninguna ;rmula que e, ((, (+, (3, )?,'''

O8ser!amos que cada trmino de la sucesin es igual que

el anterior m#s *' 1e dice que la sucesin anes unaro resin aritmtica ue r6 * es la di;erencia de la


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ARITMTICASARITMTICAS

Ejemplo de sucesi! de !"me#os #e$les:

+'2 1on progresiones aritmticas:

@os mltiplos de ) o nmeros pares:

), +, A, >, (?''' @a ra&n o di;erencia es r(d)6 )'

@os mltiplos de *:*, A, 9, (), (''' @a ra&n o di;erencia es r(d)6 *'

@os mltiplos de a:

a, )a, *a, +a, a''' @a ra&n o di;erencia es r(d)= a'


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TRMINO GENERAL DE PROGRESIONESTRMINO GENERAL DE PROGRESIONESARITMTICASARITMTICAS

('21i conocemos el (ertrmino'

$!( $)* +! , )- . d

E%emplo: Determinar el trmino general de la siguientesucesin:

>, *, 2), 23, 2(), ''

an 6 > 7 n2(" 2"

an 6 > 2n 7

an 6 2n 7 (*

)'2 1i conocemos el !alor que ocupa cualquier o%#o

%mi!ode la progresin'$!( $/* +! , /- . d

a+6 23 d6 2

an6 237 n 2 +" B 2"

an 6 23 2n 7)?


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INTERPOLACI0N DE PROGRESIONESINTERPOLACI0N DE PROGRESIONESARITMTICASARITMTICAS

E%emplo: Intercalar entre ) (+ tres nmeros .a, 8 c/ de

manera que:

), a, 8, c, (+ estn en progresinaritmtica'

Tenemos que a(6 ), a6 (+ n6 '4plicando la e, ((, (+'

Este pro8lema, que consiste en intercalar !arios trminosentre dos dados, se denomina i!%e#pol$ci!' @os trminos


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S1MA DE TRMINOS E21IDISTANTES DES1MA DE TRMINOS E21IDISTANTES DEPROGRESIONES ARITMTICASPROGRESIONES ARITMTICAS

E%emplo: 1ean ai a%dos trminos equidistantes de los

e


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S1MA DE 5N6 TRMINOS DES1MA DE 5N6 TRMINOS DEPROGRESIONES ARITMTICASPROGRESIONES ARITMTICAS

@a suma de los .n/ primeros trminos de una progresin

aritmtica es igual a la semisuma de los e, *, 2), 23, 2(), '''


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PROGRESIONES GEOMTRICASPROGRESIONES GEOMTRICAS

Una progresin geomtrica es una

sucesin en la que cada trmino seo8tiene multiplicando al anterior unacantidad $%a r, llamada ra&n geomtrica'

Smbolos:an: Trmino de lugar n'

an2(: Trmino de lugar .n2(/ o penltimo

trmino'

r: 0a&n geomtrica

n: Nmero de trminos


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TRMINO GENERAL PROGRESIONESTRMINO GENERAL PROGRESIONESGEOMTRICASGEOMTRICAS

('2 Si co!ocemos el )e#%mi!o7

$!( $). #!,)

Ejemplo: Determinar el trmino general de laig!iente progrei"n: 3, #, 12, 24, 48, ..

an= 3$ 2n-1

an = 3$ 2n$ 2-1

an = (3%2)$ 2n

)'222Si co!ocemos el 8$lo# 9ue ocup$

cu$l9uie# o%#o %mi!o de l$ p#o'#esi!7$!( $/. #!,/

Ejemplo: a4= 24, &=4 ' r=2.

an= a4$ rn-4

a = 24$ 2n-4= (24%1#)$ 2n =


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Usando la e, '''

1e tiene lo siguiente:

a(: *

an: +>

r: )

n:

CONSEC1TIOS DE PROGRESIONESCONSEC1TIOS DE PROGRESIONES

GEOMTRICASGEOMTRICAS


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E%emplo: al!lar la !ma de lo trminode la progrei"n geomtria dereienteilimitada:

PROGRESIONES GEOMTRICASPROGRESIONES GEOMTRICAS

DECRECIENTESDECRECIENTES


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E%emplo: Intercalar entre * 9A cuatro nmeros a, *, d

de manera que: *, a, *, , d, (+ estn en progresin geomtrica'

Tenemos que a(6 *, aA6 9A n6 A'

4plicando la e,9A'

Este pro8lema, que consiste en intercalar !arios trminosentre dos dados, se denomina interpolacin' @os trminos

que emos allado se llaman medios geomtricos oproporcionales'

INTERPOLACI0N DE TRMINOS DEINTERPOLACI0N DE TRMINOS DEPROGRESIONES GEOMTRICASPROGRESIONES GEOMTRICAS


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E%emplo: 1ean ai a% dos trminos equidistantes de los

e


15/25

En general, en una progresin geomtrica limitada se!eri$ca:

a*B an-26 a)B an-16 ''' 6 a(B an

El producto de los trminos equidistantes de los e


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En general, en una progresin geomtrica limitada se!eri$ca:

a*B an-26 a)B an-16 ''' 6 a(B an

El producto de los trminos equidistantes de los e


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INTERS SIMPLE ; COMP1ESTOINTERS SIMPLE ; COMP1ESTO

Una aplicacin clara de las progresiones

geomtricas es el inters compuesto' Famos a!erlo con un e%emplo recordandopre!iamente el inters simple'

Cuando una persona deposita un capital en un

8anco durante un cierto tiempo, el 8anco pagaintereses' Dependiendo de que se retiren o nolos intereses peridicamente, el inters sellama simple o compuesto'

E%emplo:

GEn cu#nto se con!ierte un capital de('A??'??? soles, Gal (? H en dos aos a

inters simpleJ GK a inters compuestoJ


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El inters simple est# representado en

general:C: El capital,

r:El tanto por ciento anual

t: El tiempo en aos, meses, das'

Entonces:

4os:

eses:

Das:

INTERS SIMPLEINTERS SIMPLE


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El inters compuesto est# representado en

general:C: El capital,

r:El tanto por ciento anual

t: El tiempo en aos'

Entonces:

4os:

INTERS COMP1ESTOINTERS COMP1ESTO


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INTERS SIMPLE ; COMP1ESTOINTERS SIMPLE ; COMP1ESTO

E%emplo:

GEn cu#nto se con!ierte un capital de ('A??'??? soles, Gal (? H en

dos aos a inters simpleJ GK a inters compuestoJ

INTERS SIMPLE:

Como el inters que produce ( sol en ( ao es de (?L(?? soles' 6?,( soles',

el inters total es: ('A??'??? B ?,( 6 (A?'??? soles' En Total:('3A?'??? soles'

4l $nal del primer ao retiramos los intereses el capital siguesiendo el mismo: ('A??'??? soles'

En el segundo ao, el capital !uel!e a producir otras (A?'??? soles'

En los dos aos el inters producido es:(A?'??? 7 (A?'??? 6 *)?'??? soles'

-or tanto, el capital se con!ierte en los dos aos en:

('A??'??? 7 *)?'??? 6 ('9)?'??? soles'

1e puede o8tener directamente el inters en los dos aos:

i6 ('A??'??? B ?,( B ) 6 *)?'??? soles'


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INTERS SIMPLE ; COMP1ESTOINTERS SIMPLE ; COMP1ESTOE%emplo:

GEn cu#nto se con!ierte un capital de ('A??'??? soles, Gal (? H endos aos a inters simpleJ GK a inters compuestoJ

INTERS COMP1ESTO:

En el primer ao la ganancia del capital es la misma estandodepositado a inters simple o a inters compuesto: (A?'??? soles'4l $nal del primer ao las (A?'??? soles' ganadas no se retiran, por

lo que el capital, al empe&ar el segundo ao, es de ('3A?'??? soles'En el segundo ao el inters que ('3A?'??? soles' producen es:

('3A?'??? B ?,( 6 (3A'??? soles'

En los dos aos el inters producido es:(A?'??? 7 (3A'??? 6 **A'??? soles'

-or tanto, el capital de ('A??'??? soles' se con!ierte en los dosaos en:

('A??'??? 7 **A'??? 6 ('9*A'??? soles'

1e puede o8tener directamente el capital $nal al ca8o de los dosaos:

6 ('A??'??? B ( 7 ?,(")6 ('9*A'??? soles'


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EJERCICIOSEJERCICIOS(' @a suma de tres nmeros en progresin aritmtica es ** su

producto ()>3' Malla estos nmeros'

)' Tres nmeros en progresin aritmtica tienen por producto (AA+?= el

m#s pequeo !ale )?' Malla los otros dos'*' El producto de cinco nmeros en progresin aritmtica es ()*)? su

suma +?' Malla estos nmeros sa8iendo que son enteros'

+' Calcula tres nmeros sa8iendo que est#n en progresin aritmtica,que su suma es (> que la suma del primero del segundo es igualal tercero disminuido en dos unidades'

' @a suma de los once primeros trminos de una progresin aritmticaes (3A la di;erencia de loa e' Malla los trminos'>' Malla los seis primeros trminos de una progresin aritmtica

sa8iendo que los tres primeros suman 2 * los tres ltimos )+'

9' En una progresin aritmtica el undcimo trmino e


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EJERCICIOSEJERCICIOS(' Malla el producto de los oco primeros trminos de la progresin *, A,

(), )+,'''

)' Malla la suma de los die& primeros trminos de la progresin

geomtrica *, A, (), )+,'''*' @a suma de los oco primeros trminos de una progresin

geomtrica es (3 !eces la suma de los cuatro primeros' Malla el !alorde la ra&n'

+' Malla la suma de los trminos de la progresin ilimitada: >, +, ), (,'''

' Malla tres nmeros en progresin geomtrica sa8iendo que su suma

es )A su producto )(A'A' Calcula el producto de los once primeros trminos de una progresin

geomtrica sa8iendo que el trmino central !ale )'

3' Determina cuatro nmeros en progresin geomtrica de manera quelos dos primeros sumen ?, los dos ltimos ?,()'

>' @a suma de los siete primeros trminos de una progresin

geomtrica de ra&n * es 3A(' Malla el primero el sptimotrminos'

9' Malla tres nmeros en progresin geomtrica cuo producto es*)>?9, sa8iendo que el maor e


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EJERCICIOSEJERCICIOS1. Calcular el inters simple comercial de $.!"".""" entre el #1 de Enero el

#1 de %unio del mismo a&o' a una tasa del 1'() mensual. R*#.!"".

#. +allar el monto de $1"."".""" al 1'1) mensual despus de , a&os

meses. R*1-."/."".. 0urante cunto tiempo de2e in3ertirse un capital de $/.!".""" para 4ue se

con3ierta en $11.-"".""" si la tasa de inters es del 1#'!) anual simple5R* '11 a&os.

,. El # de %unio del 1((! una persona compr una casa por un 3alor de$,#.!"".""" el # de No3iem2re del #"" la 3endi en $!.""".""".

Cual es la tasa de inters mensual simple 6enerada por la in3ersin5R*"',-1) mensual.

!. 0etermine el capital in3ertido durante ," d7as' si se o2tu3o una 6anancia de$!""' al #) 2imestral.8capitali9acin 4uincenal.

-. ;En cunto tiempo' al ) mensual 8capitali9acin 2imestral se de2ein3ertir un capital de $!""" para o2tener un monto de $!/""5

. ;Cul es la tasa anual a la 4ue


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