Documentos Primaria Sesiones Unidad06 QuintoGrado Matematica Matematica-5G-U6
Prácticas matematica 9/3º
24
Índice Recursos para la planificación ............................. 2 Soluciones de las actividades del libro................. 7 Para resolver problemas Prácticas Recursos para el docente Recursos para el docente de MATEMÁTICA III – NAP 9.º; ES 3.º; CABA 2.º – Santillana Prácticas es una obra colectiva creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana, bajo la dirección de Herminia Mérega y Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo: Andrea Berman • Alicia E. López • Patricia V. Parodi • Ana Verónica Veltri Edición: Pablo J. Kaczor Jefa de edición: María Laura Latorre Gerente de gestión editorial: Mónica Pavicich M-III_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 1 12/21/09 11:49:07 AM
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ÍndiceRecursos para la planificación .............................2
Soluciones de las actividades del libro .................7
Para resolver problemas
Prácticas
Recursos para el docente
Recursos para el docente de MATEMÁTICA III – NAP 9.º; ES 3.º; CABA 2.º – Santillana Prácticases una obra colectiva creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones
Santillana, bajo la dirección de Herminia Mérega y Graciela Pérez de Lois, por el siguiente equipo:
Andrea Berman • Alicia E. López • Patricia V. Parodi • Ana Verónica Veltri
Edición: Pablo J. KaczorJefa de edición: María Laura Latorre
Gerente de gestión editorial: Mónica Pavicich
M-III_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 1 12/21/09 11:49:07 AM
© S
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na S
.A. P
rohib
ida s
u f
oto
copia
. Ley
11.7
23
2
Recursos para la planificaciónC
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AS
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1 Núm
ero
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cionale
s
Núm
eros
ra
cion
ales
ex
pres
ados
co
mo
frac
ción
. S
uma,
res
ta,
mul
tiplic
ació
n, d
ivis
ión,
pot
enci
ació
n y
radi
caci
ón c
on fr
acci
ones
. Pro
pied
ades
. Exp
resi
o-ne
s de
cim
ales
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riódi
cas
y ex
acta
s. C
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frac
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. Ex
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s eq
uiva
lent
es.
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esio
nes
deci
mal
es fi
nita
s e
infin
itas.
Ope
raci
ones
con
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resi
ones
dec
imal
es.
Rad
ica-
ción
en
raci
onal
es.
Con
cept
o y
prop
ieda
des
de l
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dica
ción
en
el c
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eros
rac
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tenc
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ropi
edad
es.
Not
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ica.
Uso
de
la c
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.
Rec
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nto,
com
pren
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y u
so d
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s nú
me-
ros
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es e
xpre
sado
s co
mo
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com
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cim
ales
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de l
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ión
plan
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Form
ulac
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y va
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volu
-cr
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ropi
edad
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e la
s op
erac
ione
s. I
dent
ifi-
caci
ón d
e op
erac
ione
s in
vers
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su
aplic
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n en
la
res
oluc
ión
de p
robl
emas
. In
vest
igac
ión
sobr
e la
va
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de
las
prop
ieda
des
de los
núm
eros
al am
-pl
iars
e el
cam
po n
umér
ico.
Expr
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n de
núm
eros
muy
gra
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s en
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ica
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fac
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r la
s op
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cion
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la
com
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sión
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so d
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cal
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cie
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ca p
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obte
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-ci
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ces,
y t
raba
jar
en n
otac
ión
cien
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a.
Inte
rpre
tar,
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stra
r, co
mun
icar
y c
ompa
rar
núm
e-ro
s ra
cion
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en
dife
rent
es c
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xtos
.C
ompr
ende
r la
apl
icac
ión
de l
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tenc
iaci
ón y
la
radi
caci
ón c
omo
oper
acio
nes
inve
rsas
por
med
io
de la
util
izac
ión
de s
us p
ropi
edad
es.
Com
pren
der
las
limita
cion
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icac
ión
inte
r-pr
etan
do s
u de
finic
ión.
Rea
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ope
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com
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noci
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el
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ión
de c
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n.U
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lcul
ador
a ci
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ica
com
o un
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rra-
mie
nta
útil
que
perm
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xplo
rar
y an
ticip
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esul
-ta
dos.
Es
timar
, in
terp
reta
r y
com
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s de
lo
s cá
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ad,
valo
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la p
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sión
en
su e
xpre
sión
y ju
stifi
car lo
s pr
oced
i-m
ient
os e
mpl
eado
s pa
ra o
bten
erlo
s.
2 Le
nguaje
alg
ebra
ico
Expr
esio
nes
alge
brai
cas.
Ele
men
tos
que
se u
tiliz
an
en e
l len
guaj
e al
gebr
aico
.C
orre
spon
denc
ia e
ntre
el
leng
uaje
alg
ebra
ico
y el
le
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je c
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uial
. Ex
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ione
s al
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aica
s co
mo
gene
raliz
acio
nes
de p
ropi
edad
es.
Ope
raci
ones
con
exp
resi
ones
alg
ebra
icas
.Pr
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dad
dist
ribut
iva.
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tor
com
ún.
Cua
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o de
un
bino
mio
y d
ifere
ncia
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cuad
ra-
dos.
Tern
as p
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ricas
. Ex
pres
ione
s al
gebr
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s pa
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ione
s se
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y
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nera
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ones
sen
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ució
n de
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acio
nes.
Det
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inac
ión
de los
ele
men
tos
de u
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ión
expr
esad
a de
man
era
colo
quia
l que
pue
den
expr
e-sa
rse
alge
brai
cam
ente
.Le
ctur
a,
iden
tific
ació
n e
inte
rpre
taci
ón
de
una
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ula
y de
la
info
rmac
ión
rele
vant
e pa
ra l
a si
-tu
ació
n qu
e de
scrib
e. R
econ
ocim
ient
o, a
nális
is
y tr
ansf
orm
ació
n de
exp
resi
ones
alg
ebra
icas
en
otra
s eq
uiva
lent
es.
Rec
onoc
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nto
y an
ális
is d
e re
gula
ridad
es e
n pr
oble
mas
num
éric
os y
geo
mé-
tric
os.
Uso
de
recu
rsos
que
per
mita
n su
gen
era-
lizac
ión.
Pla
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de
situ
acio
nes
que
posi
bilit
en
dist
inta
s fo
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de
expr
esió
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l de
un
térm
ino
com
o fo
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sim
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cada
de
desc
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un c
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nto
de s
oluc
ione
s de
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prob
lem
a.U
tiliz
ació
n y
aplic
ació
n de
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ropi
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dis
trib
utiv
a y
del f
acto
r com
ún c
omo
oper
acio
nes
inve
rsas
. Rel
a-ci
ón e
ntre
el c
uadr
ado
de u
n bi
nom
io y
la d
ifere
ncia
de
cua
drad
os c
on e
l cá
lcul
o de
áre
as d
e fig
uras
. Es
tudi
o y
aplic
ació
n de
l Teo
rem
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s y
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las
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ricas
com
o es
trat
egia
vál
ida
en la
re
solu
ción
de
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lem
as. U
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ació
n de
ecu
acio
nes
en la
reso
luci
ón d
e pr
oble
mas
o d
e cu
alqu
ier s
itua-
ción
que
pue
da s
er m
odel
izad
a al
gebr
aica
men
te.
Form
ular
y v
alid
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onje
tura
s re
laci
onad
as c
on la
s pr
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s de
las
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acio
nes
utili
zada
s co
n nú
-m
eros
rac
iona
les
utili
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ione
s al
gebr
ai-
cas.
Rep
rese
ntar
, m
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nte
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as, es
quem
as o
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mu-
las,
reg
ular
idad
es y
rel
acio
nes
obse
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as e
ntre
va
lore
s.Es
crib
ir fó
rmul
as q
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epre
sent
en e
l tér
min
o ge
ne-
ral d
e su
cesi
ones
sen
cilla
s.Pr
oduc
ir y
com
para
r di
fere
ntes
exp
resi
ones
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e-br
aica
s qu
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pres
en la
s m
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as rel
acio
nes.
Inte
rpre
tar
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rmac
ión
pres
enta
da p
or m
edio
de
fórm
ulas
, fig
uras
de
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isis
, le
ngua
je c
oloq
uial
y
expr
esio
nes
alge
brai
cas,
con
pos
ibili
dad
de p
asar
de
una
form
a de
exp
resi
ón a
otr
a.R
esol
ver
ecua
cion
es q
ue c
ompr
enda
n un
a re
stric
-ci
ón im
pues
ta s
obre
cie
rto
dom
inio
, y e
stén
aso
cia-
das
a un
con
junt
o so
luci
ón.
Rec
onoc
er l
a le
tra
com
o sí
mbo
lo v
aria
ble
en u
na
expr
esió
n al
gebr
aica
y
com
o in
cógn
ita
en
una
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ción
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tiliz
ar
ecua
cion
es
com
o un
re
curs
o si
mpl
ifica
dor
y or
dena
dor
en l
a re
solu
ción
de
un
prob
lem
a.
M-III_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 2 12/21/09 11:49:08 AM
© S
antilla
na S
.A. P
rohib
ida s
u f
oto
copia
. Ley
11.7
23
3
3 Núm
ero
s re
ale
s
Rec
onoc
imie
nto
de n
úmer
os ir
raci
onal
es. C
reac
ión
de n
úmer
os ir
raci
onal
es u
sand
o re
glas
par
a su
for-
mac
ión.
Po
tenc
iaci
ón c
on e
xpon
ente
rac
iona
l. Ex
pres
ión
de
pote
ncia
s co
mo
raíc
es.
Rep
rese
ntac
ión
de n
úme-
ros
irrac
iona
les
en la
rec
ta n
umér
ica.
Apr
oxim
acio
-ne
s de
núm
eros
raci
onal
es e
irra
cion
ales
. Cál
culo
s ex
acto
s y
apro
xim
ados
. Er
rore
s ab
solu
to y
rel
ativ
o al
apr
oxim
ar.
El c
onju
nto
de lo
s nú
mer
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eale
s.R
elac
ión
y an
ális
is c
ompa
rativ
o de
los
con
junt
os
num
éric
os.
Prop
ieda
des.
Con
junt
os d
enso
s y
dis-
cret
os.
Ope
raci
ones
con
rad
ical
es. Ex
pres
ione
s eq
uiva
len-
tes
de u
n nú
mer
o.In
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cion
es.
Rep
rese
ntac
ión
de l
as s
oluc
ione
s en
la r
ecta
num
éric
a. In
terv
alos
.El
núm
ero
e y
el n
úmer
o de
oro
.U
so d
e la
cal
cula
dora
cie
ntífi
ca.
Cre
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n de
núm
eros
irra
cion
ales
a p
artir
de
regl
as
de f
orm
ació
n. In
cent
ivac
ión
en la
bús
qued
a de
nú-
mer
os c
on d
eter
min
adas
car
acte
rístic
as.
Com
para
ción
de
dife
rent
es a
prox
imac
ione
s de
un
mis
mo
núm
ero,
det
erm
inan
do c
uál e
s la
más
ade
-cu
ada
segú
n el
con
text
o.U
tiliz
ació
n de
rad
ical
es p
ara
la c
ompa
raci
ón d
e di
-fe
rent
es e
xpre
sion
es q
ue r
epre
sent
an u
n m
ism
o nú
mer
o. U
so d
e la
s pr
opie
dade
s de
la
radi
caci
ón
y de
la
pote
ncia
ción
par
a fu
ndam
enta
r la
equ
iva-
lenc
ia.
Ubi
caci
ón d
e nú
mer
os irr
acio
nale
s en
la
rect
a nu
-m
éric
a a
part
ir de
la c
onst
rucc
ión
de tr
iáng
ulos
y la
ap
licac
ión
del t
eore
ma
de P
itágo
ras.
Com
pren
sión
, aná
lisis
y u
so d
e pr
opie
dade
s pa
ra
la r
esol
ució
n de
inec
uaci
ones
. U
so d
e in
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cio-
nes
en l
a re
solu
ción
de
prob
lem
as.
Rep
rese
n-ta
ción
de
inte
rval
os e
n la
rec
ta n
umér
ica
com
o so
luci
ones
de
inec
uaci
ones
. Pr
esen
taci
ón y
aná
lisis
de
núm
eros
irr
acio
nale
s de
stac
ados
, su
tra
scen
denc
ia h
istó
rica
y su
rel
a-ci
ón c
on o
tras
áre
as d
el c
onoc
imie
nto.
Iden
tific
ar n
úmer
os rac
iona
les
e irr
acio
nale
s.R
econ
ocer
los
dist
into
s co
njun
tos
num
éric
os y
sus
el
emen
tos.
Le
er, es
crib
ir, c
ompa
rar
y or
dena
r nú
mer
os r
eale
s.
Esta
blec
er e
quiv
alen
cias
ent
re d
istin
tas
form
as d
e es
critu
ra d
e un
mis
mo
núm
ero.
Fun
dam
enta
r la
s eq
uiva
lenc
ias
usan
do p
ropi
edad
es d
e la
s op
erac
io-
nes
invo
lucr
adas
.In
terp
reta
r lo
s si
gnifi
cado
s y
los
usos
de
las
oper
a-ci
ones
con
núm
eros
rea
les,
apl
icán
dolo
s a
la res
o-lu
ción
de
situ
acio
nes
prob
lem
átic
as.
Dec
idir
qué
tipo
de c
álcu
lo e
s m
ás a
decu
ado
a un
a de
term
inad
a si
tuac
ión
y fu
ndam
enta
r es
a de
-ci
sión
. Ap
roxi
mar
por
red
onde
o o
por
trun
cam
ient
o nú
me-
ros
real
es.
Rec
onoc
er l
a di
fere
ncia
ent
re v
alor
es
exac
tos
y ap
roxi
mad
os.
Det
erm
inar
err
ores
abs
olut
os y
rel
ativ
os a
l ap
roxi
-m
ar n
úmer
os.
Rec
onoc
er, e
ncon
trar
y u
sar a
prox
imac
ione
s de
l nú-
mer
o e
y de
l núm
ero
de o
ro.
4 Grá
fico
s y
funci
ones
Rep
rese
ntac
ione
s gr
áfic
as.
Rel
ació
n en
tre
varia
-bl
es.
Func
ión.
Def
inic
ión.
Aná
lisis
, in
terp
reta
ción
y r
e-co
noci
mie
nto
de u
na f
unci
ón m
edia
nte
dife
rent
es
gráf
icos
.Fu
ncio
nes
defin
idas
por
fórm
ulas
. Con
stru
cció
n de
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áfic
os a
par
tir d
e ta
blas
de
valo
res.
Ord
enad
a al
orig
en y
cer
os o
raí
ces
de u
na f
un-
ción
.Fu
ncio
nes
de la
form
a y
= m
x +
b. R
epre
sent
ació
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áfic
a po
r m
edio
de
búsq
ueda
de
punt
os.
Func
ione
s de
pro
porc
iona
lidad
dire
cta
y de
pro
por-
cion
alid
ad in
vers
a. F
órm
ulas
y g
ráfic
os.
Noc
ión
de c
ontin
uida
d. C
álcu
lo y
est
imac
ión
de
imág
enes
. Dom
inio
e Im
agen
de
una
func
ión.
Inte
rval
os d
e cr
ecim
ient
o y
de d
ecre
cim
ient
o de
un
a fu
nció
n. V
alor
es m
áxim
o y
mín
imo
que
tom
a un
a fu
nció
n en
un
inte
rval
o.G
ráfic
os d
e fu
ncio
nes
cícl
icas
. Per
íodo
s.
Inte
rpre
taci
ón y
dis
eño
de g
ráfic
os q
ue r
epre
sen-
ten
situ
acio
nes
cont
extu
aliz
adas
. An
ális
is d
e si
-tu
acio
nes
func
iona
les
y no
fun
cion
ales
a p
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de
dive
rsas
rep
rese
ntac
ione
s gr
áfic
as.
Esta
blec
imie
nto
de
las
cond
icio
nes
nece
saria
s pa
ra q
ue u
na r
elac
ión
sea
func
ión.
Con
stru
cció
n de
tab
las
y re
pres
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cion
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11.7
23
4
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n:
una,
nin
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r pr
ogra
mas
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amie
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lizar
y o
bten
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neal
es.
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s en
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con
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y ot
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ias.
R
ealiz
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ione
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lican
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s pr
opie
dade
s ge
omét
ricas
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ujar
. Ex
plor
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las
pro
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ades
de
altu
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me-
dian
as y
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iatr
ices
de
un triá
ngul
o.Id
entif
icar
, re
laci
onar
y d
istin
guir
punt
os n
otab
les
de u
n tr
iáng
ulo.
Con
stru
ir, i
nter
pret
ar y
rel
acio
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figur
as i
nscr
ipta
s y
circ
unsc
ripta
s a
una
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unfe
-re
ncia
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econ
ocer
áng
ulos
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tral
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ipto
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crip
tos
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ncia
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s.
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rohib
ida s
u f
oto
copia
. Ley
11.7
23
5
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ones
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acio
nes
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2.
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-pl
azam
ient
os v
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ales
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les.
Ec
uaci
ones
cua
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icas
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des.
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trar
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inte
rpre
taci
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an p
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cion
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as.
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stitu
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áfic
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istin
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terp
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ros
que
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n en
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na f
unci
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átic
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su
rela
ción
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la rep
rese
ntac
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gráf
ica.
Gra
ficar
una
fun
ción
cua
drát
ica
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de c
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-ci
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dad
as.
Util
izar
pro
gram
as in
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átic
os (
Mi-
cros
oft
Exce
l, G
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ebra
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as.
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aspe
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de
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i-m
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rístic
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cuad
rátic
as.
8 Movi
mie
nto
s
Noc
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ovim
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el p
lano
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imet
ría a
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. Fi
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y e
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tría
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imet
ría c
entr
al. Á
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os o
rient
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y r
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rístic
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ódul
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Rep
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23
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copia
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11.7
23
7
Capítulo 1
Para empezarAl día, 1/3, y a la noche, 2/3.
1 a. -15/8 c. -13/20 e. 1/28b. -119/16 d. 9/4
2 Se completan con:a. 10/21 c. -7/60 e. 56/27b. -79/168 d. -2/3 f. 15/2
3 a. • 53/6 • 105/8 • 71/6b. Sí.c. Como el primero del ítem a.
4 a. ≠ c. = e. ≠ g. =b. ≠ d. = f. ≠ h. =•La potenciación y la radicación pueden distribuirse
respecto de la multiplicación y la división, pero no respecto de la adición y la sustracción.
5 a. Mal. Es +343/8. d. Mal. Es -729.b. Bien. e. Bien.c. Mal. Es 25/9. f. Mal. Es +24.
6 a. 1/8 b. 1/81 c. 16 d. -32
7 A cargo de los alumnos.
8 a. 5/2 c. (1/3)5 = 1/243b. (-1/9)2 = 1/81 d. (-1/4)0 = 1
9 a. Falsa. Es 1/4. c. Falsa. Es 9/4.b. Verdadera. d. Verdadera.
10 a. 4/5 b. -3/2 c. 6/5 d. 2/9
11 Se completan con:a. (-1/4)5 c. (-1/3)3
b. (-3/2)10 d. (2/5)-3
12 a. a = 2 b. a = -3 c. a = 15
13 a. -6 b. 5/4 c. 1
14 a. -74,97 b. 175,71 c. 2.379,825
15 Entre 178 y 179 años.
16 a. Doce decimales. d. Dos decimales. b. Seis decimales. e. Un decimal.c. Ocho decimales. f. Cuatro decimales.
17 a. 3.652,264 cm3 b. 1,826132 litros.
18 a. 21,414 b. 2,37
19 a. 10-3 b. 100 = 1 c. 10-20 d. 10-9
20 a. 1,03 · 109 b. 2 · 10-1 c. 10-5
21 a. 1,37109 · 109 kmb. La de Marte a Neptuno.
22 a. 5,781 · 1012 b. 8,1 · 10-11
23 Se completan con:a. 1,2 · 100 b. 5 · 10-11
24 Decimal exacto: 120,8; −1,732. Periódico puro: −7,5555…; −5,12121…; 1,034034… Periódico mixto: 1,52929…; 0,89555…; −5,12333…
25 Se equivocó Lucas, porque algunas fracciones no se pueden escribir como un decimal exacto, sino como uno periódico. Por ejemplo, 1/3.
26 a. 1,125 b. 735/100 = 147/20c. 124/9d. 802/90 = 401/45
e. -081,
f. 1.273/999g. -278/1.000 = -139/500h. -1.839/99 = -613/33
27 a. Es cierto: 09 1,
= =9/9 .b. 79 8,
= =72/9
129 13,
= =117/9
39 4,
= =36/9
Conclusiones: todo número periódico puro de período 9 puede escribirse como el número entero más próximo.
c. 25 249= ,
28 a. Porque 75% = 75/100 = 3/4.b. Porque 0 3,
= 1/3.
c. Porque 50% = 50/100 = 1/2.d. Porque 01,
= 1/9.
e. Porque 06,
= 6/9 = 2/3, y dividir por 2/3 equi-vale a multiplicar por 3/2, que es lo mismo que 1 + 1/2.
29 a. 47/18 b. 35/33 c. 83/27 d. 1/2
Soluciones
M-III_DOC_(01-24)_CERRADA.indd 7 12/21/09 11:49:13 AM
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oto
copia
. Ley
11.7
23
8
30 Tiene que dar unos 578.667 pasos.
31 a. Texturas suaves: 3/20 de terciopelo blanco y 3/10 de algodón coloreado (en total, 9/20).
Cortezas de árboles: 11/40; piedra: 1/40.b. Área total: 8.836 cm2.
Terciopelo blanco: 1.325,4 cm2; algodón colo-reado 2.650,8 cm2.
Cortezas de árboles: 2.429,9 cm2; piedra: 220,9 cm2.
c. Es cierto: 1 - (3/20 + 3/10 + 11/40 + 1/40) = 1/4
32 No entra: el texto más los márgenes suman 310 mm y la longitud de la hoja es 297 mm.
33 (50 · 12 + 5 · 16) · 3/8 + 25 + 30
34 a. 2/3 b. 7/11 c. 2
35 a. 32 + 32 + 32 = 3 · 32 = 33
b. -( ) = -( ) =5 5 2563 2
c. 3 · 23 + 23 = 4 · 23 = 22 · 23 = 25
36 a. 2 b. 1/6 c. 0 d. -6
37 a. -1/6 b. -29/36 c. 16
38 Tardará 8 meses. No todas las cuotas son iguales: los siete primeros meses paga $ 347,75 (un nove-no de su sueldo) y el último, $ 215,75.
39 a. La unidad es 2; después de la coma se repite el 34. La cifra decimal que ocupa el lugar cien es 4.
b. La unidad es 5, el lugar de los décimos lo ocupa el 2 y después se repite el 051. La cifra decimal que ocupa el lugar cien es 1.
c. La unidad es 0; después de la coma se repite el 1234. La cifra decimal que ocupa el lugar cien es 4.
40 a. La mayor es 2-3 porque como 2 es mayor que 1, cuanto más grande es el exponente, mayor es la potencia.
b. Como 0,5 = 1/2, y los exponentes son nega-tivos, al elevar se invierten las bases y queda: 23; 25 y 28. Entonces el más grande es el que corresponde a 28, o sea, es 0,5-8.
41 a. -3,6 b. 6,25 c. -2.000
42 a. 0,0000000014 m = 1,4 · 10-9 mb. Se necesitarían alrededor de 7.143.000 molécu-
las (aprox. 7,14 · 106).
43 a. 1,36 · 10-10
b. Alrededor de 1,2 · 1014 horas.
44 a. 1,379 · 1011 c. 5,25 · 1012
b. 2,583 · 10-2 d. 8,2 · 10-14
45
4,96
- 006,
= 4,9
⋅ : -1,2 × 0,3
= 0,4
= = =5,96 0,2 4,5
46 a. Sí, porque 0 3,
= 1/3. Y dividir por 1/3 es lo mismo que multiplicar por 3.
b. No, porque 04,
≠ 1/4. Como 04,
= 4/9, habría que dividir por 4 y multiplicar por 9.
47 Sí; porque 009, = 9/99 = 1/11.
48 a. Blanco: 5,415 m2; gris: 10,83 m2.b. Tiene que comprar 4 cajas de cerámica blanca y
8 de color gris.c. Las cerámicas de una caja cubren en total
1,4157 m2 de superficie. Luego, pagará en total $ 506,82.
49 a. -17/12 b. 2 c. -19/3
Capítulo 2
Para empezarx 2 + 10x = 39
1 a. 60p b. 3p + 49 c. p/2 - p/3
2 a. La mitad de la suma entre el largo de la habita-ción y 25.
b. La suma entre la tercera parte del largo de la habitación y 36.
c. El triple del cuadrado del largo de la habitación.
3 La primera, la tercera y la quinta.
4 Área de la figura: 4x2; volumen del cuerpo: (4x)3.
5 a. 32p b. 34p2 c. 10p3
d. No, porque no es lo mismo trabajar con longitu-des que hacerlo con superficies o volúmenes.
6 a. =b. ≠, ya que no se pueden sumar o restar términos
que no son semejantes.c. ≠, porque p3 = p · p · p y 3p = p + p + p.d. =e. ≠, porque 6y8 : 2y2 = 3y6.
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f. =g. ≠, porque 3a2 + 7a2 = 10a2.h. ≠, porque 9s2 - 11s2 = -2s2.
7 (p + s) · m = p · m + s · m Propiedad distributiva.
8 a. 4x2 · (x + 2)b. 3m · (5 - 4m4)
9 a. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
10 a. 4p2 + 4p + 1b. 9x2 - 24xy + 16y2
c. m8 + 4m4 + 4
11 a. (x + 4)2 b. (9p + 1)2 c. (z/2 + 7)2
12 a2 - b2 = (a + b) (a - b)
13 (a + b) (a - b) = a2 + ab - ab - b2 = a2 - b2
14 a. (x + 3) (x - 3)b. (p3 + 1) (p3 - 1)c. (x/4 + 2/5) (x/4 - 2/5)d. (t2 + z/3) (t2 - z/3)
15 a. Cociente de potencias de igual base.b. Propiedad distributiva de la raíz respecto de la
multiplicación.c. Potencia de exponente nulo.d. Potencia de otra potencia.
16 b ≥ 0 y c ≥ 0.
17 a. -28z - 98b. 100mc. 2p4 + 2pd. m3 + 12m2 + 48m + 64
18 a. 2x2 + 8x + 16b. x2 + 6x + 17c. x2 + 2x
19 a. (x + 3)3 b. 2x3 + 8x2
20 a. Según cuál sea el mayor, puede expresarse: a2 = b2 + c2 o b2 = a2 + c2 o c2 = a2 + b2.b. Sí; no; sí.
21 a2 + b2 = (2mn)2 + (m2 - n2)2 = = 4m2n2 + m4 - 2m2n2 + n4 = m4 + 2m2n2 + n4 y c2 = (m2 + n2)2 = m4 + 2m2n2 + n4
Entonces c2 = a2 + b2.
22 Se pueden dar diferentes valores, por ejemplo: • si m = 5 y n = 2, a = 20, b = 21 y c = 29;
• si m = 10 y n = 7, a = 140, b = 51 y c = 149; • si m = 9 y n = 8, a = 144, b = 17 y c = 145; • si m = 21 y n = 10, a = 420, b = 341 y c = 541; • si m = 18 y n = 9, a = 324, b = 243 y c = 405.
23 Se pueden dar diferentes valores, por ejemplo: • si p = 5 y q = 2, a = 24, b = 70 y c = 74; • si p = 10 y q = 7, a = 189, b = 340 y c = 389; • si p = 9 y q = 8, a = 208, b = 306 y c = 370.
24 a. 22 fósforos. b. 76 fósforos. c. 3n + 1
25 a. Agrega 5 cartas.b. Necesita 32 cartas.c. 3n + 2
26 a. 15; 17 → Tn = 2n - 1b. 1/36; 1/49 → Tn = 1/n2
c. 63; 80 → Tn = n2 - 1
27 a. 45 bolitas anaranjadas.b. 1.275 bolitas anaranjadas.c. Tm = m (m + 1)/2d. 1 + 2 + 3 + … + m = m (m + 1)/2
28 a. A cargo de los alumnos.b. (6 · 7 + 1)2 = 432 y (7 · 8 + 1)2 = 572.c. (x · (x + 1) + 1)2
d. x2 + (x + 1)2 + x2 · (x + 1)2 = x2 + x2 + 2x + 1 + + x4 + 2x3 + x2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
(x2 + x + 1)2 = x4 + x3 + x2 + x3 + x2 + x + x2 + + x + 1 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
29 a. Con la segunda ecuación.b. x = 77c. 77 y 79.
30 El problema no tiene solución porque al resolver la ecuación se obtiene un número par (78) y en el problema se habla de números impares.
31 a. x = 1 c. No tiene solución, porque se llega a un absurdo.
b. x = 2/5 d. x = -19
32 a. x = 3/2 o x = -1/15.b. x = -3 o x = 5/2 o x = 10.c. x = 0 o x = 16/15.d. x = 0 o x = -8.
33 a. x = -5 b. x = 1/3
34 La ecuación es 412 = x2 + 92 y el número es 40.
35 a. En el paso n, la fórmula es n2 + 4.b. n2 + 4 = 125. En el paso 11.
36 a. (n + 1)3 - 3
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b. n2 + (n + 1)2
c. 1/2 · 1/3 · 4nd. 1/5 · 1/2 · (n - 1)
37 a. El doble de un número más dos veces la suma entre ese número y 1.
b. El cuádruplo del cuadrado de la suma entre un número y 1.
c. La mitad de la raíz cuadrada de un número.d. La diferencia entre la cuarta parte del cubo de
un número y dos.
38 a. Bien.b. Mal: como los términos no son semejantes la
resta queda expresada.c. Bien.d. Mal: x5 es x · x · x · x · x, mientras que 5x es
x + x + x + x + x.e. Bien.f. Mal: x-2 es (1/x)2. El exponente negativo no im-
plica cambiar el signo de la potencia.
39 a. 13z4 f. 9/4 z0 = 9/4b. 5z4 g. 9/4 z-5
c. Queda expresada porque no son términos seme-jantes.
d. 36z8 h. 81z8
e. 36z13 i. 3z2
40 Se puede hacer de varias formas; una podría ser:a. 6p3 · (6p - 2p2 + 7)b. 3/2 z5 · (1/2 z2 - 3/5 + 7z3)
41 a. (6p2 - 1)2
b. (2z3 + 5z2) 2
c. No se puede expresar como potencia. El término central debería haber sido 14m3 para que fuese la potencia (m3 + 7)2.
42 a. t10 - 24t6 + 144t2 b. 144z6 - 24z10 + z14
c. 64a4 - 48a2b5 + 9b10
d. m12 - 4e. 16a6 - 49a2
43 a. (6s2 - 12p) (6s2 + 12p)b. (4a3 - 5b2) (4a3 + 5b2)
44 Área = (x - 3) (2x + 5)/2 = x 2 - 1/2 x - 15/2
45 a. -3xb. -x2 + 24x + 25c. -12x5 + 9x4 + 4
46 a. No. b. Sí.
47 No. Por ejemplo, 4, 5 y 6 no forman una terna pita-górica.
48 a. 45; 52 → Tn = 7n + 3.b. 5/6; 6/7 → Tn = n/(n + 1).
49 a. a = 52/15 c. x = 1b. w = 2 d. y = 11
50 a. h = -1/3 o h = -2/5.b. x = 0 o x = -3.c. g = 5 o g = -5.d. d = 6/7.e. x = 2 o x = -2.
51 Tenía 120.000 barriles.
Capítulo 3
Para empezarn = 10; e 2,59374n = 1.000; e 2,71692n = 10.000; e 2,71815n = 1.000.000; e 2,71828
1 a. Después de la coma hay un 0 y un 1, dos 0 y un 1, tres 0 y un 1…
Después de la coma están los números impares desde 5.
b. A cargo de los alumnos.
2 a. 813 (es irracional). 27 33 =
625 12534 = 423 (es irracional).
2 (es irracional). 4 83 =
12
(es irracional). 14
4 21
= =
-
b. A cargo de los alumnos.
3
7,6444… −11,2 -999 π 14
13
1
4
12
1,11… -π
¥- - - - - - - -
¢- - - - - - -
¤ - - -
I - - - - - -
¡
4 a. Verdadera. c. Verdadera. e. Falsa.b. Falsa. d. Falsa.
5 a. c = 5 (terna pitagórica).
b. c = 5 (es irracional).c. c = 2 (es irracional).
6 Cada cateto mide 1 cm y la hipotenusa, 2 cm.
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Para representar 2, se traslada la medida de la hipotenusa sobre la recta (a partir de 0).
7 a. El otro lado tiene que medir 1 unidad.b. A cargo de los alumnos.
8 5 se puede representar a partir de un triángulo rectángulo con un cateto de 2 unidades y otro de
1; 6, a partir de un triángulo rectángulo con un
cateto de 5 unidades y el otro de 1.
9 a. A cargo de los alumnos.
b. 50 5 2= ; 12 2 3= ; 200 10 2= .
10 a. >, =, <.
b. 32 4 2= ; 27 3 3= ; 20 2 5= .
11 Se unen la primera de la izquierda con la tercera de la derecha; la segunda de la izquierda con la prime-ra de la derecha; la tercera de la izquierda con la última de la derecha; la cuarta de la izquierda con la segunda de la derecha; y la última de la izquier-da con la cuarta de la derecha.
12 a. Bien: 5 5 25 5⋅ = = .
b. Mal: 2 5 3 5 6 25 6 5 30⋅ = = ⋅ = .
c. Bien: 4 2 8 23 3 3⋅ = = .
d. Mal: 8 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 1: : := ⋅ = = .
13
NúmeroRedondeo Truncamiento
A los centésimos
A los milésimosA los
centésimosA los milésimos
1,23458 1,23 1,235 1,23 1,234
2,7 2,7 2,7 2,7 2,7
4 3,
4,33 4,333 4,33 4,333
5 2,24 2,236 2,23 2,236
1 8,
1,89 1,889 1,88 1,888
14 Hay varias soluciones, por ejemplo:a. 2,71 b. 5,8703 c. 0,79.
15 a. El mayor error sería de 0,05.b. El mayor error se aproximaría a 0,1, sin llegar a
ese valor.
16
Φ Por redondeoPor trunca-
mientoA los centésimos 1,62 1,61
A los milésimos 1,618 1,618
17 a. Por cualquiera de los dos métodos, porque de las dos formas da lo mismo.
b. A cargo de los alumnos.c. A cargo de los alumnos.
18
34/7 85/32
a. 4,86 2,66
b. ea 0,002857er 0,000588
ea = 0,00375er 0,00141
c. La segunda es menos precisa porque el error relativo es mayor.
d. 34/7 85/32
4,85 2,65
ea 0,007143er 0,001471
ea = 0,00625er 0,002353
El error absoluto cometido al truncar 34/7 a los centésimos es mayor que al hacerlo con 85/32; sin embargo, la primera aproximación es mejor porque el error relativo es menor.
19 La del buey, porque el error relativo es menor.
20 La de Río de Janeiro es más precisa.
21 a. Hay varias opciones, por ejemplo: -1,5; -1; 0; 0,8 y 1,2. Se podrían nombrar infinitos.
b. Algunos pueden ser: -1,91234567891011…;
− −3 2 2; ; y 0,01001000100001…c. No, porque -1; 0 y 1 son los únicos enteros en-
tre ambos. En consecuencia, tampoco hay cinco naturales.
22 Marcelo, porque -1.234 + 1 = -1.233, y Carla, porque los racionales y los irracionales no son con-juntos discretos y, por lo tanto, no se puede hablar del siguiente.
23 a. Rocío, por truncamiento; Claudio, por redondeo.b. Entero no, pero racional sí. Por ejemplo, 2,711;
2,715; 2,718…c. Sí, e está entre ambos. Además, hay otros
irracionales como: 2,71123456789…; 2,71010203040506… ; 2,713579111315…
d. Por ejemplo, 2,718 (redondeo o truncamiento); 2,7182 (truncamiento); 2,7183 (redondeo).
24 Se unen la primera inecuación con el tercer interva-lo, la segunda inecuación con el cuarto intervalo, la tercera inecuación con el último intervalo, la cuar-ta inecuación con el primer intervalo, y la última inecuación con el segundo intervalo.
25 a. (-1,5, +∞) b. -( 2 2, c. (-∞, 3/4]
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26 [-5, 1) y (-2, 4).
27 Es menor: -x < -4.
28 a. x > -10 → (-10, +∞)b. x ≤ 13/3 → (-∞, 13/3]
29 a. Se forman poniendo después de la coma todos los números pares mayores que 2.
b. Se forma poniendo después de la coma un 0 y un 1, dos 0 y un 2, tres 0 y un 3, etcétera.
c. Se forma poniendo después de la coma los nú-meros naturales a partir de 31.
30 a. 253/2 = 125 c. 141/2 (es irracional).b. 641/3 = 4 d. 163/7 (es irracional).
31 Carlos escribió: 20 16 4 4 22 2= + = + ; enton-ces el otro cateto mide 2 unidades. Dibujó un trián-gulo con esas medidas y trasladó la hipotenusa.
Clara, en cambio, pensó: 20 4 5 2 5= ⋅ = ; entonces representó 5 dos veces consecutivas, a partir de 0.
32 a. 10 7 b. 9 3 c. 2 24 d. 3 23
33 a. 7 10 8 10< c. − = −6 3 6 3
b. − > −6 3 12 3 d. 6 2 5 2>
34 a. 3 33
b. 6 2 3− (queda expresada).
c. −3 7
d. −8 6
35 a. 12 b. 3 c. -5/2 d. 12/7
36 a. π 3,142; 22/7 3,143. La diferencia entre ambas aproximaciones es de 1 milésimo.
b. π 3,14; 22/7 3,14. Las aproximaciones son iguales.
37 Por redondeo: local, 117; depósito, 74. Por truncamiento: local, 117; depósito, 73. La mejor aproximación es la del local (por redondeo
o truncamiento) porque el error relativo cometido es menor.
38 a. Que el botellón puede contener hasta un 5% más o un 5% menos que el valor declarado de 5 litros. O sea, el error relativo es 0,05.
b. En el botellón entran entre 4,75 y 5,25 litros.
39 a. Puede ser 3. b. Puede ser 3/2.c. No hay ningún entero entre ambos.d. Cualquiera de los anteriores, porque todos son
reales. También puede ser, por ejemplo, 1,97.
40 a. 410 ≤ p ≤ 450 b. t ≤ 0
41 a. [-8, +∞) d. [3, 3,5]b. x < -9 e. -1 < x < 0c. -6 < x ≤ -2
42 a. Por ejemplo, (-∞, 0] y [-1, +∞).
b. Por ejemplo, - - )08 08, , ,
.
43 a. Sí. b. No. c. Sí. d. Sí.
44 a. x > 2/3 → (2/3, +∞)b. x ≤ 17/5 → (-∞, 17/5]c. x ≥ 4/3 → [4/3, +∞)
Capítulo 4
Para empezar• 1.500 millones.• Entre 1800 y 1900: 500 millones. Entre 1900 y 2000: 4.500 millones.• En 1930.
1 a. A cargo de los alumnos.b. 5.300 c. No.
2 a. Es función, pues a cada valor de x le correspon-de una única imagen.
b. No es función, pues existen valores de x a los que les corresponde más de un valor de y.
3 a. Sí.b. A x = 2 le corresponden infinitas imágenes, y
a los demás valores de x no les corresponde ningún valor de y.
c. El gráfico de Analía corresponde a una función, pero el de Rocío, no.
4 a. f(1) = 1; f(-1) = -3; f(3) = 5; f(0) = -1. b. Es la recta que corta a los ejes en x = 1/2, y el
eje y en -1.c. Se tachan (5, 7) y (3, 3).
5 a. Es la recta que pasa por (0, 4) y (3, -2).
x -1 0 1 2 3 4 5
f(x) 6 4 2 0 -2 -4 -6
b. El gráfico corta el eje y en x = 0 e y = 4.c. El gráfico corta el eje x en y = 0 y x = 2.
6 a. Es cierto, alcanza con dos puntos.b.
Función f1(x) f2(x) f3(x) f4(x)
Punto de la ordenada (0, -3) (0, 2) (0, 5) (0, 0)
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13
c. Se trata de cuatro rectas: f1(x) corta los ejes en x = 3/2 e y = -3; f2(x) corta los ejes en x = -4 e y = 2; f3(x) corta los ejes en x = 5 e y = 5; f4(x) pasa por los puntos (0, 0) y (1, -1).
7 Los gráficos I y III.
8 a. Sí, porque en ambos la razón entre f(x) y x es constante; en este caso, 25.
b. En 2,5 h, 62,5 km; en 15 min, 6,25 km.c. No, pues se venden por unidad.d. Sí, porque el tiempo y la distancia son magnitu-
des continuas.
9 a. 8 horas.b. El gráfico es una hipérbola que pasa por los pun-
tos (20, 20), (40, 10) y (80, 5).
V (km/h) 20 40 50 60 80 100 120
T (h) 20 10 8 66,
5 4 33,
c. Se reduce a la mitad.d. Se triplica.
10 Solo el gráfico II.
11 a. La función que corresponde al gráfico III.b. f(-1) = 5; f(4) = 1.c. Es cierto, porque la curva no corta la recta verti-
cal x = 1.d. f(0) = -3
12 Las opciones 1.ª, 3.ª y 5.ª.
13 a. Sí. c. Entre -∞ y 4.b. El conjunto ¡. d. El conjunto (-∞, 4].
14 a. Es cierto: x = 2 no tiene imagen, pues para ese valor de x el denominador sería nulo.
b. El conjunto ¡ - {2}.c. y = 0. La imagen es el conjunto ¡ - {0}.
15 a. No existe imagen para x = -4 ni para ningún otro valor negativo, pues ningún número real ele-vado al cuadrado da menor que 0.
b. [0, +∞)c. [0, +∞)
16 a. Entre las 8:00 y las 11:00, y entre las 13:00 y las 20:00.
b. Entre las 12:00 y las 13:00, y entre las 20:00 y las 24:00.
c. Entre las 11:00 y las 12:00.d. A las 20:00; había 5.000 personas.e. A las 13:00; había 1.500 personas.
17 a. En 2008 aumenta el consumo entre ene-ro y febrero, entre marzo y abril, entre mayo
y agosto, y entre noviembre y diciembre. Y disminuye entre febrero y marzo, entre abril y mayo, y entre agosto y noviembre.
b. En 2009 aumenta el consumo entre ene-ro y febrero, entre abril y mayo, entre junio y agosto, y entre noviembre y diciembre. Y disminuye entre febrero y marzo, y entre agos-to y noviembre.
c. En 2008, el máximo consumo fue de 195 kWh, y en 2009, de 185 kWh, ambos en el mes de agosto. En 2008, el mínimo consumo fue de 155 kWh, en el mes de mayo; y en 2009, fue de 150 kWh, en noviembre.
d. Entre enero y febrero, y entre junio y diciembre.e. Menos de 185 kWh.
18 Una respuesta posible podría ser el tramo horizon-tal entre dos picos máximos consecutivos.
19 A cargo de los alumnos.
20 a. El mayor valor que alcanza la función es y = 6. En el gráfico lo alcanza en x = 0 y en x = 18.
b. El próximo máximo será para x = 36, ya que el período es 18.
c. Por ejemplo, x = -12 y x = -30. Se encuentran buscando valores de x ubicados a 18 unidades (o múltiplos) a la izquierda de x = 6.
21 a. [-6, 10] b. [-6, 7] c. [-6, -3]d. (-1, 1), (4, 6) y (8, 10).e. (-3, -1), (1, 4) y (6, 8).f. Alcanza su valor máximo, que es 7, en x = 10.g. Alcanza su valor mínimo, que es -6, en x = 4.h. x = -2, x = 0, x = 2, x = 5 y x = 8.i. y = 0
22 A cargo de los alumnos.
23 Hay varias maneras. Una es calcular f(-1) y f(0), para ver si da 2 y -1, respectivamente. Otra, gra-ficar la función f(x) = -2x para ver si contiene los puntos (-1, 2) y (0, -1).
24 a. f1(x) y f4(x).
b. Una respuesta posible: • para f1(x): los puntos (0, 3) y (1, 5); • para f4(x): los puntos (0, 2) y (1, -1).
c. A cargo de los alumnos.
25 a. f(1/2) = 9/8; f(-1/2) = 7/8; f(0) = 1; f(1) = 2; f(-1) = 0.
b. A cargo de los alumnos.
26 El segundo gráfico.
27 a. A cargo de los alumnos.b. El segundo gráfico es una curva continua, mien-
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tras que el primero solo contiene los puntos de esa curva cuya abscisa es entera.
28 La primera función.
29 Las funciones I y III. En cada caso, por ejemplo, el período podría señalarse entre dos picos máximos consecutivos.
30 A cargo de los alumnos.
31 a. En [0, 100], la función alcanza 13 veces su valor máximo y 7 veces su valor mínimo.
b. En [0, 1.000], la función alcanza 125 veces su valor máximo, y 63 veces, su valor mínimo.
32 a. Tiene un cero en x = -3; la ordenada al origen es y = 4,5.
b. No es creciente en ningún intervalo. Decrece en (-∞; -1) y en (-1; +∞).
c. No, porque es discontinua en x = -1.d. Dom f = (-∞, -1) (-1, +∞).
Im f = (-∞, 1,5) (1,5, +∞).
Capítulo 5
Para empezarEl de una recta que corta el eje y en 4 y pasa por el punto (1, 1).
1 a. Para Casablanca, la fila se completa empezando con 1.000 y aumentando de a 250.
Para El Parque, la fila se completa comenzando con 250 y aumentando de a 500.
b. Conviene elegir escalas de 50 en 50 para el eje x y de 250 en 250 para el eje y. Los puntos corres-pondientes a Casablanca pertenecen a una recta que corta el eje y en 1.000 y pasa por el punto (150, 1.750); los correspondientes a El Parque pertenecen a una recta que corta el eje y en 250 y también pasa por el punto mencionado.
c. Casablanca → y = 5x + 1.000 El Parque → y =10x + 250
d. La variable x representa la cantidad de invitados; la variable y, el costo fijo del alquiler del salón.
e. El Parque; Casablanca.f. 150 personas.
2
Ecuación PendienteOrdenada al origen
Raíz
y = -2x - 4 -2 -4 -2
y = -x + 3 -1 3 3
y = 2x 2 0 0
y = mx + b m b
3 -2x - 4 = 0 → x = 4 : (-2) → x = -2 -x + 3 = 0 → x = 3 2x = 0 → x = 0
mx + b = 0 → x =-b/m es la raíz, siempre que m no sea 0.
4 a. y = (4/3)x + 2b. R3 a la primera; R1 a la segunda y R2 a la tercera.
5 Se podría agregar la ordenada al origen, otro punto por el que pase la recta, o la pendiente.
6 y = 2x - 5; la recta corta el eje y en -5.
7 a. y = (1/4)x; la recta pasa por el punto (4, 1).b. No, es única. Que pasa por el origen de coorde-
nadas.
8 y = (3/2)x + 2
9 a. La primera corta el eje y en 1 y el eje x en 4; la segunda pasa por el origen de coordenadas y por (4, -1); la tercera corta el eje y en -2 y pasa por (4, -3).
b. Son paralelas, porque tienen la misma pendiente.
10 a. y = (-1/2)x + 4b. y = 2x - 1c. La primera corta el eje y en 4; la segunda lo
corta en -1.d. A cargo de los alumnos.
11 a. Puede ser cualquiera cuya pendiente sea -1,5.b. A cargo de los alumnos.c. Son paralelas.
12 a. y + x = 55b. x = y + 37c. Para la primera ecuación:
x 50 48 46 42,5 40y 5 7 9 12,5 15
Para la segunda ecuación:x 50 48 46 42,5 40y 13 11 9 5,5 3
d. La solución es x = 46; y = 9. Micaela pesa 46 kg, y Alex, 9 kg.
13 a. 2y = 55 - 37 → y = 9b. x = 9 + 37 → x = 46
14 Los números son 42 y 24.
15 a. x = 1; y = -3.b. I. Las rectas son y = -x - 1; y = 2x + 1/2.
La solución es x = -0,5 e y = -0,5. II. Las rectas son y = 2x - 2 e y = 2x + 4. Son paralelas.
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III. Ambas ecuaciones tienen como gráfico la recta y = 2x - 3.
c. En los casos I. y III. El sistema I. tiene una solu-ción; el II. no tiene solución y el III. tiene infini-tas soluciones.
16 a. Tiene infinitas soluciones, son todos los puntos de la recta y = -2x + 2.
b. Tiene una solución: x = 0 e y = 2.c. No tiene solución.
17 Porque las rectas son paralelas; el sistema no tiene solución.
18 Queda 0 = 0; significa que el sistema tiene infini-tas soluciones.
19 a. Los números de la primera fila ascienden de 1 en 1; los de la segunda descienden de 1 en 1, y los de la última descienden de 5 en 5, desde 110 hasta 55.
b. 7 billetes de $ 5 y 4 de $ 10.c. El sistema, sí; si se llama x a la cantidad de
billetes de $ 5 e y al número de billetes de $ 10, su solución es x = 12 e y = -1, pero el problema no tiene solución, ya que la cantidad de billetes no puede ser un número negativo.
d. No sería cómodo armar una tabla. Se puede
plantear este sistema: x y
x y
+ =+ =
561
5 10 3 910..
Su solución es x = 340 e y = 221.
20 La solución es x = 3 e y = 1.
21 a. I. x = 4; y = 1. II. x = 5; y = 12. III. Se elimina la variable, y queda planteada una
falsedad.b. El III. no tiene solución, ya que al igualar las ex-
presiones queda una falsedad.
22 $ 11 por el kilo de dulce de leche y $ 1,60 por el kilo de harina.
23 200 cm2
24 La primera, la tercera y la cuarta.
25 V; F; V; F; V; V.
26 Para hallar x: multiplicó la segunda ecuación por 2; sumó las ecuaciones (desapareció y) y dividió am-bos miembros por 7.
Para hallar y: multiplicó la primera ecuación por 2; multiplicó la segunda ecuación por 3; restó ambas ecuaciones (desapareció x) y dividió ambos miem-bros por 7.
27 a. x = -0,5; y = 1.b. No tiene solución.c. x = -5; y = -8.
28 ∆x = 0,5 + 4 = 4,5 ∆y = (-1) · (-4) - (-2) · (0,5) = 5 ∆ = (-1) · 1 - (-2) · 1 = 1 x = 4,5 y = 5 29 Sí, con cualquier otro método.
30 a. x = 2; y = 1.b. x = 10; y = 5.c. x = 2; y = 1.
31 a. 54º y 36º.b. 6 fueron correctas.c. Hay 4 personas y 23 alfajorcitos.
32 a. I. y = -x + 1 II. y = 3x - 2 III. y = -0,5x + 1 IV. y = (2/3)x - 2
b. I. Pendiente: -1. Ordenada al origen: 1. Raíz: 1. II. Pendiente: 3. Ordenada al origen: -2. Raíz: 2/3. III. Pendiente: -0,5. Ordenada al origen: 1. Raíz: 2. IV. Pendiente: 2/3. Ordenada al origen: -2. Raíz: 3.
c. Los gráficos II. y IV.
33 a. Corta el eje x en 3. b. Pasa por el punto (3, 5).c. Pasa por el punto (3, 2).d. y = (2/3)x - 2; y = (2/3)x + 3; y = (2/3)x.
34 a. y = 3x + 1 b. y = -x + 3
35 a. y = (-3/2)x + 4b. y = (2/3)x - 1/3c. A cargo de los alumnos.
36 a. Por ejemplo, x + y = 36.b. Por ejemplo, L - D = 7.c. Por ejemplo, p = 2h.d. Por ejemplo, m = h + 15.
37 Es la e.
38 a. Por ejemplo: y = -x + 5; y = x + 1.b. x = 2 e y = 3.
39 (2, 3)
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40 a. x = -1; y = 1. d. x = 4; y = -2.b. x = 3; y = 2. e. x = -2; y = 5.c. x = 1; y = -2.
41 Sí; las rectas son paralelas.
42 Fueron 6 mayores y 14 chicos.
43 Desodorante: $ 3; jabón: $ 2.
44 Luis tiene 39 años y su hijo, 13.
45 La abuela, 60 años, y Sofía, 10.
46 Tiene 120 monedas de $ 0,50 y 80 de $ 0,25.
47 El coche, 5 m; el micro, 9 m.
48 El tío tiene 27 años y el sobrino, 11.
Capítulo 6
Para empezar• Por circunferencias concéntricas.• Sí, es una circunferencia.• No hay ningún óvalo, porque los tres supuestos
que se aprecian son, en realidad, circunferencias.
1 a. Radio: ob. Diámetro: ac. Cuerda: ad.b. Otros radios: ao y oc; otra cuerda: ac. Hay una
única cuerda que pasa por el centro de la circun-ferencia, y esa es el diámetro.
2 R → secante. W → secante. V → exterior. U → tangente.
3 a. Secante. b. Tangente . c. Exterior.
4 a. Las azules son tangentes exteriores entre sí, y secantes con respecto a las celestes.
b. Es exterior respecto de la lila, y tangente interior respecto de la celeste de la derecha.
c. Es concéntrica.
5 a. No pueden ser tangentes interiores, ni exterio-res.
b. Son circunferencias secantes.c. Si son tangentes interiores, la distancia entre
sus centros es la misma que la diferencia entre el radio mayor y el menor.
Si son tangentes exteriores, la distancia entre sus centros es la suma de sus radios.
6 Se pueden ubicar infinitos puntos, que forman la mediatriz del segmento MP.
7 a. A cargo de los alumnos.b. A cargo de los alumnos.c. No, solo en el triángulo acutángulo.d. Sí, ocurre en todos los triángulos.
8 a. A cargo de los alumnos.b. Trazó las mediatrices del triángulo para hallar su
circuncentro, que coincide con el centro de la circunferencia incompleta.
c. Es correcto: la intersección de las mediatrices de dos cuerdas cualesquiera de la circunferen-cia determina el mismo circuncentro que el trián-gulo del ítem anterior.
9 Las casas están ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero de 7 km de lado, y el quiosco se encuentra en el circuncentro.
10 El perrito iba por la bisectriz del ángulo formado por los dos caminos.
11 a. El incentro solo puede ser interior al triángulo.b. Los lados son tangentes a la circunferencia.
12 a. A cargo de los alumnos.b. Queda contenido en un plano horizontal.c. Queda contenido en un plano vertical.d. Si el punto no es el baricentro, el triángulo que-
dará contenido en un plano vertical.
13 a. A cargo de los alumnos.b. El baricentro siempre es interior al triángulo, por
ser la intersección de las medianas.
14 En el triángulo acutángulo es interior, en el obtu-sángulo es exterior y en el rectángulo está en el vértice del ángulo recto.
15 a. En el triángulo abc, los triángulos agq y qgc tie-nen igual área (llamémosla I) por tener la misma altura (respecto de ac) y por ser iguales las ba-ses aq y qc (ya que q es el punto medio). De igual manera se puede demostrar que las áreas de pga y bgp son iguales entre sí (llamémoslas II), y que las áreas de bgr y rgc también son iguales (llamémoslas III). Falta demostrar que I = II = III. Para eso observemos que los triángulos abr y acr tienen igual área (pues tienen la misma altura con respecto a bc y r es su punto medio). Por lo tanto: área abr = área acr → II + II + III = I + I + III → II + II = I + I → 2 · II = 2 · I → II = I. De forma similar se demuestra que II = III, y, entonces, I = III. Finalmente: I = II = III. Esto sucede en cualquier triángulo, ya que es una consecuencia de la definición de punto me-dio.
b. Como las áreas de agp, pgb, bgr son igua-les, el área de agb es el doble que la de bgr.
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Por compartir la misma altura h con respecto a ar, necesariamente la base ag debe ser el doble que gr. Por lo tanto, ag es 2/3 de la mediana ar.
16 Coinciden los cuatro en el mismo punto.
17 El radio mide, aproximadamente, 6,93 cm.
18 a. $ 1.242.000 b. En el incentro.
19 a. Se trata de los ángulos aoc, mop y rot.
b. aoc = °112 , mnp = °40 , rst = °30 .
20.
Ángulo inscripto Ángulo central
32º 64º
52º 30’ 105º
48º 23’ 96º 46’
107º 12’ 214º 24’
21 a. α2 20 = ° b. α2 40 = °
22 a. No varía.b. El nuevo ángulo abc y el anterior son suplemen-
tarios.c. 90°
23 x = °20 , a= °40 , b= °90 y c= °50 .
24 α = °24
25 Se trata de los ángulos doe, boc y hog, respectiva-mente. Cada ángulo central mide el doble que su semiinscripto.
26 Se traza la mediatriz del segmento ab, que determi-na sendos diámetros en cada circunferencia. Luego se traza la mediatriz de cada diámetro para deter-minar el centro de cada circunferencia.
27 Se traza la mediatriz del segmento pq. Se elige un punto o de la mediatriz como centro de la circunfe-rencia, y se la traza con radio op. Se repite el pro-cedimiento con otros puntos de la mediatriz.
28 Los ángulos anaranjados suman 180°, ya que la suma de sus ángulos centrales correspondientes representa un giro.
29 Se obtiene un cuadrado, porque sus diagonales son perpendiculares e iguales.
30 a. Se puede trazar la mediatriz de ab, que determi-na el punto medio o de ese segmento. Se traza la circunferencia de centro b y radio bo, que in-terseca en dos puntos a la recta que contiene a
ab: uno es o y otro es el punto m buscado. De esta forma, m será el punto medio de uno de los lados del triángulo a construir.
b. Hay que trazar la perpendicular a am que pasa por m, para que este sea el punto medio del lado pq del triángulo a construir. Se traza la circunfe-rencia de centro c y radio ca que al intersecar a la perpendicular a am determina el segmento pq. De esta forma, el triángulo apq tiene a c por circuncentro, y am es una de sus medianas, por lo que b será su baricentro.
31 a. I. Son tangentes exteriores. II. Son exteriores.
b. Es tangente.
32 a. Debería ser igual a 3 cm. b. Debería ser mayor que 3 cm.
33 a. A cargo de los alumnos.b. Sí.c. Que la distancia entre sus centros sea menor
que la suma de sus radios, y mayor que la dife-rencia entre el radio mayor y el menor.
d. Tangentes exteriores: que la distancia entre sus centros sea igual a la suma de sus radios.
Tangentes interiores: que la distancia entre sus centros sea igual a la diferencia entre el radio mayor y el menor.
34 Equilátero o isósceles (no equilátero) donde esa mediatriz corresponda al lado desigual.
35 5 cm
36 a. Sí, en ambos casos.b. No es una altura, pero sí, una mediana.
37 El incentro.
38 a. Ángulos rectos.b. Semiinscriptos.c. A cargo de los alumnos.
39 a. A cargo de los alumnos.b. 300° y 160°, respectivamente.c. A cargo de los alumnos.
40 abc = °56 , acb = °76 .
41 a. Ambos miden lo mismo, 73º 30’, por ser los án-gulos inscriptos correspondientes al ángulo cen-tral toc .
b. 106º 30’
42 Suman 180°, porque la suma de sus ángulos cen-trales es 360°.
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43 Hay que hacer que ab sea el diámetro de una cir-cunferencia, y p será cualquier punto de esa circun-ferencia, distinto de a y b.
44 38º 34’ 17,14”
Capítulo 7
Para empezar• 1,2 s desde que fue arrojada.• Porque en un caso está subiendo y en el otro está
bajando.• 1 m• 0,6 s
1 La tabla se completa de arriba hacia abajo con: 4; 1; 0,25; 0; 0,25; 1; 4.
El dibujo, a cargo de los alumnos.
2
x y = -x2
0 01 -12 -4
-1 -1-2 -43 -9
-3 -9
3
f(x) = x2 f(x) = -x2
¡ ¡
[0, +∞) (-∞, 0](0, +∞) (-∞, 0)(-∞, 0) (0, +∞)
— 00 —
arriba abajo
4 a. A cargo de los alumnos.b. A cargo de los alumnos.c. Cuando se le suma el número k, se desplaza
k unidades hacia arriba; cuando se le resta el número k, se desplaza k unidades hacia abajo.
d. Im f1 = [3, +∞); Im f2 = [-2, +∞). En general, para f(x) = x2 + k, Im f = [k, +∞).
5 La fórmula a. corresponde a la parábola verde; la b., a la azul; la c., a la fucsia, y la d., a la roja.
6 a. A cargo de los alumnos.b. A cargo de los alumnos.c. Cuando se le suma un número h, se desplaza h
unidades hacia la izquierda; cuando se le resta
un número h, se desplaza h unidades hacia la derecha.
d. En todas el mínimo es 0; la abscisa correspondien-te está desplazada con respecto al 0 tantas unida-des como se le hayan sumado o restado a x.
7 a. El gráfico es como el de f(x) = x2, pero desplaza-do una unidad hacia la izquierda.
b. Es simétrico al anterior con respecto al eje x.c. Es igual al del ítem b., pero desplazado 2 unida-
des hacia arriba.
8 Braulio, porque para que las ramas vayan hacia abajo, x2 debe estar multiplicado por un número negativo.
Claudio, porque si a > 0, se desplaza hacia arriba, pero si a < 0, se desplaza hacia abajo.
9 a. A cargo de los alumnos.b. x = 1c. (1, -4)d. (4, 5)e. Por ejemplo, (-1, 0) y (3, 0); (0, -3) y (2, -3).
10 a. El eje de simetría es x = -1.b. (0, 8); (-3, 5) y (2, 0).c. Es (-5, -7), ya que la distancia desde el eje de
simetría hasta la abscisa del punto debe ser la misma y ambos deben tener igual ordenada.
11 a.
GráficoEje de
simetríaVértice
b x = 2 (2, 0)a x = -2 (-2, -1)d x = 2 (2, -3)c x = -3 (-3, 2)
b. Si el vértice es el punto (xv, yv), la fórmula es: y = (x - xv)
2 + yv.
12 a. Por ejemplo, y = x2 - 4.b. Sí, por ejemplo, y = 2x2 - 4 (puede ser cualquie-
ra de la forma y = ax2 - 4, con a > 0).c. El valor del número que multiplica a x2.
13 a. y = -(x - 2)2 + 3b. Sería y = (x - 2)2 + 3.
14
Gráf.Ord. al origen
RaícesEje de
simetríaCoord. vértice
a. -4 -2 y 2 x = 0 (0, -4)b. -5 — x = -2 (-2, -1)c. 1 -2 y 2 x = 0 (0, 1)d. -3 -3 y 1 x = -1 (-1, -4)e. 1 — x = 0 (0, 1)f. -1 — x = 0 (0, -1)
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FunciónIntersección con el eje
x yf1 3 y -3 -9 f2 1 y 3 3f3 No hay. 1f4 0 y -6 0
16 a. Igualó la fórmula a 0; la escribió como producto; si un producto es igual a 0, al menos uno de los factores es 0, entonces igualó cada factor a 0 y así obtuvo una de las soluciones con el primer factor (x = 0); en el otro factor, restó 8 a ambos miembros de la igualdad; dividió ambos miembros por 2 y obtuvo el valor de x que anula ese factor.
b. Tiene dos raíces: 0 y -4.c. Se debe obtener 0.
17 Para f1: 0 y 2. Para f3: 5. Para f2: 0 y -1,5. Para f4: 6 y -0,5.
18 En 3 lugares, no, ya que a lo sumo lo corta en 2 lugares. Que no lo corte nunca sí puede ser. Una función cuadrática puede tener 2 raíces reales, una o ninguna.
19 a. Sí, está bien.b. Sí, porque ese valor de x es la abscisa del vérti-
ce, ya que este pertenece al eje de simetría.
20 a. f1 → Eje sim.: x = 1; v = (1, -1). f2 → Eje sim.: x = -3/4; v = (-3/4, -9/4). f3 → Eje sim.: x = 5; v = (5, 0). f4 → Eje sim.: x = 11/4; v = (11/4, -169/16).
b. En f3, porque como hay un solo valor que anula la función, ese valor es la abscisa del vértice, y la ordenada del vértice, obviamente, es 0.
c. A cargo de los alumnos.
21 Se buscan dos puntos de la parábola con la misma ordenada. Si se conocen los valores numéricos de sus abscisas, se calcula su semisuma para deter-minar la fórmula del eje de simetría. Si no se co-nocen esos valores numéricos, se puede trazar la mediatriz del segmento determinado por esos dos puntos; esa mediatriz será el eje de simetría. La intersección entre el eje de simetría y la parábo-la determina el vértice.
22 a.9 -1,5 16 0
3 y -3 -1 y 3 No tiene. 0 y 4x = 0 x = 1 x = 0 x = 2(0, 9) (1, -2) (0, 16) (2, 12)Abajo Arriba Arriba Abajo
¡ ¡ ¡ ¡
(-∞, 9] [-2, +∞) [16, +∞) (-∞, 12]
(-∞, 0) (1, +∞) (0, +∞) (-∞, 2)
(0, ∞) (-∞, 1) (-∞, 0) (2, ∞)
b. A cargo de los alumnos.
23 a. A cargo de los alumnos.b. A cargo de los alumnos.c. Cuanto menor es el valor absoluto de a, más
ancha es; cuanto mayor es, más rápido crece.d. La raíz es 0, y la ordenada al origen, también.
24 a. Al cabo de 7 años.b. 190c. A partir de 1987.d. Al cabo de 20 años, en 2000.
25 a. Tiene dos soluciones, x = 30 y x = -30, pero solo sirve x = 30, porque la medida del lado no puede ser un número negativo.
b. 60 m de largo y 30 m de ancho.
26 a. 3,2 m b. 1,6 s
27 Todos, excepto (-7, 29).
28 a. x = -1 b. (-2, -35)
29 a. x = -3b. (-6, -7) y (-5, -12), por simetría.
30 Función Está desplazada
a. 2 unidades hacia la derechab. 4 unidades hacia arriba
c.2 unidades hacia la derecha y
4 hacia arribad. 3 unidades hacia la izquierda
e.3 unidades hacia la izquierda y
una hacia abajo
31 a., b. y c.
FunciónEje de
simetríaVértice Dom Im
a. x = 2 (2, 0)¡ [0, +∞)
b. x = 0 (0, 4)¡ [4, +∞)
c. x = 2 (2, 4)¡ [4, +∞)
d. x = -3 (-3, 0) ¡ [0, +∞)e. x = -3 (-3, -1) ¡ [-1, +∞)
32
Función Raíces
a. 2b. No tiene.c. No tiene.d. -3e. -2 y -4
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33 a. y b.
FunciónOrdenada al origen
Punto de intersección con el eje y
Simétrico
a. 4 (0, 4) (4, 4)b. 4 (0, 4) (0, 4)c. 8 (0, 8) (4, 8)d. 9 (0, 9) (-6, 9)e. 8 (0, 8) (-6, 8)
34 El vértice.
35 a. Raíces: 0 y 4. Ordenada al origen: 0.b. x = 2c. (2, -12)d. A cargo de los alumnos.
36
RaícesOrd. al origen
Eje de simetría
Vértice
a. 0 y -3 0 -1,5 (-1,5, -4,5)b. 0 y 3 0 1,5 (1,5, -4,5)c. 0 y 3 0 1,5 (1,5, 4,5)d. 0 y -3 0 -1,5 (-1,5, 4,5)
Las representaciones y las comparaciones quedan a cargo de los alumnos.
37 Sí, porque 0 es raíz.
38 a. Sí, porque no están desplazadas respecto de la parábola y = x2.
b. Sí, es correcto; la ordenada al origen es c.
39 a. (2, 8) d. (6, 0)b. En (0, 6). e. (-2, 0)c. (4, 6) f. A cargo de los alumnos.
40 Es simétrica a la anterior respecto del eje x.
41 a. Puede ser cualquiera de la forma y = a(x2 - 4), con a < 0.
b. A cargo de los alumnos.
Capítulo 8
Para empezar• Una traslación.• Se encontró con un espejo y observó su imagen (si-
metría axial).• No pudo avanzar y giró 90° en sentido horario (rota-
ción) y caminó en línea recta hasta C (traslación).• Se encontró con un espejo que redujo su imagen
casi a la mitad de su altura.• La primera imagen tiene la misma forma y el tamaño
que la real; la segunda, no (no es un movimiento).
• Después de haber girado -90° en C (rotación) cami-nó en línea recta hasta D (traslación).
1 Las figuras 2 (rotación) y 3 (simetría axial). Las figu-ras 4 y 5 no se obtuvieron con un movimiento por-que no conservan el tamaño de la figura original.
2 a. y b. “Baja temperatura”, “Campo magnético in-tenso”, “Materias tóxicas”, “Peligro en general”, “Radiaciones no ionizantes” y “Materias nocivas o irritantes”: tienen un eje. “Materias radiactivas” y “Riesgo biológico” tienen 3 ejes.
3 A cargo de los alumnos.
4 A cargo de los alumnos.
5 Se traza la mediatriz de cualquier segmento cuyos extremos sean un punto de B y su simétrico en B’.
6 a. Mariposa: un eje; cancha: dos ejes.b. Hojas de plantas, cuerpo humano, frente de edi-
ficios, muebles, objetos de arte, etcétera.
7 a. Triángulo. b. Cuadrado. c. Pentágono.
8 A cargo de los alumnos.
9 A cargo de los alumnos.
10 a. A cargo de los alumnos.b. Una simetría con centro en el punto de intersec-
ción de los ejes.
11 A cargo de los alumnos.
12 Basta con hallar la intersección de los segmentos aa’ y bb’.
13 A cargo de los alumnos.
14 a. A cargo de los alumnos.b. a = (1, 1), b = (2, 4), c = (3, 3), d = (4, 3), e = (4, 2), f = (5, 1), a’ = (1, -1), b’ = (4, -2), c’ = (3, -3), d’ = (3, -4), e’ = (2, -4), f’ = (1, -5). Se invierten las coordenadas y cambia el signo
de la ordenada.
15 a. A cargo de los alumnos.b. Los dos giros consecutivos de 90° y 60° de centro
o equivalen a un giro de 150° del mismo centro.c. No, también es un único giro de 150°, pero res-
pecto de otro centro de rotación.
16 a. No son suficientes. Falta indicar la dirección y el sentido de la traslación.
b. A cargo de los alumnos.
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c. Por ejemplo, que sea horizontal y hacia la iz-quierda.
17 A cargo de los alumnos.
18 Se puede trazar el vector con origen en cualquier vértice de F y con extremo en el vértice correspon-diente de F’.
19 a. ab
= (-5, 2) y ab
= 29 .
b. ab
= (-5, -5) y ab
= 50 .
20 a. Por ejemplo, v
= (9, 0), w
= (0, 9) y
z
= (5, 56 ). Hay infinitos.b. Ninguno, porque el módulo (o distancia) es un
número no negativo.
21 a. a = (1, 6), b = (5, 1), ab
= (4, -5) y ab
= 41.
b. a = (1, 2), b = (6, 5), ab
= (5, 3) y ab
= 34 .
22 a. V b. F c. F d. V
23 A cargo de los alumnos.
24 aa′
= (-3, 10)
25 b = (-1, 9)
26 a. A cargo de los alumnos.b. Es posible. Las componentes del vector de la
traslación son (1, -5).
c. v
= (3, -3), w
= (-2, -2) y v w
+ = (1, -5). Se trata del mismo vector.
27 A cargo de los alumnos.
28 a. A cargo de los alumnos.b. Con una traslación de vector 2 cb
.
29 a. A cargo de los alumnos.b. Con una traslación de vector 2 om
.
30 A cargo de los alumnos.
31 a. y b. A cargo de los alumnos.c. a’ = (3, 5), b’ = (8, 4) y c’ = (6, 2). a’’ = (6, 2), b’’ = (11, 1) y c’’ = (9, -1).
32 a. y b. A cargo de los alumnos. c. F’
33 Todas tienen simetría axial vertical, excepto “E” que tiene una horizontal. Las vocales “0” e “I” (sin pun-to) tienen ambas simetrías.
34 a. y b. A cargo de los alumnos.c. a’ = (2, 1), b’ = (4, -5) y c’ = (-3, -6).
35 a’ = (-1, 3), m = (0, 3), d = (-3, 0), p’ = (2, 1), s’ = (2, 1), b = (5, 0), s’ = (0, 5) y t = (-3, 1).
36 a. A cargo de los alumnos.b. a’ = (-1, -1), b’ = (1, -1), c’ = (1, 1) y d’ = (-1, 1).c. a” = (1, 1), b” = (3, 1), c” = (3, 3) y d” = (1, 3).
37 a. 212
× 360° = 60° b. 412
× 360° = 120°
c. 812
× 360° = 240°
38 a’ = (0, 1), a’ = (0, -1), p = (5, 0), m’ = (-1, -2) y 90°.
39 Sí, es cierto.
40 a. y b. A cargo de los alumnos.
c. Se trata del vector 2 ab
.
41 a. De igual dirección y sentido.
b. Por ejemplo, si v y w
fuesen perpendiculares entre sí.
42 a. p’’ = (1, 8) b. a = (1, -5)
43 A cargo de los alumnos.
Capítulo 9
Para empezar• 67,5 m• Se dice que lo utilizó para calcular la altura de la
Gran Pirámide de Keops. Algunas fuentes señalan que comparó la longitud de la sombra de la pirámide con la de sí mismo, y otras, que utilizó la de un bas-tón. Como fuere, debió comparar la proporción entre la altura de la pirámide y la longitud de su sombra, con la correspondiente del otro objeto.
1 A 12 m.
2 100,1 m y 44,8 m, respectivamente.
3 En el 2.º caso, pues nt no es paralela a mo ni a pv.
4 x = 5,625 cm
5 a. Noelia comparó las longitudes de segmentos consecutivos, mientras que Julián comparó con las longitudes totales.
b. 3,2 cm
6 a. 3,45 cm b. 42,5 cm y 55 cm.
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7 ab = 8 cm; ob = 15,52 cm.
8 Puede trazar una semirrecta con origen o en uno de los extremos del listón, formando un ángulo con él. Hace una marca m en la semirrecta, y traslada con-secutivamente 6 veces la longitud om en la semi-rrecta, de manera que esta ahora contiene un seg-mento dividido en 7 partes iguales. Une la última marca (la más alejada de o) con el otro extremo del listón. Luego traza paralelas a esta última línea, que pasen por las diferentes marcas de la semirrecta. De esta forma, el listón queda dividido en 7 partes iguales.
9 A cargo de los alumnos.
10 a. Hay tres grupos: uno con tres triángulos rectán-gulos escalenos; otro con dos triángulos rectán-gulos isósceles; otro con tres triángulos isósce-les (no rectángulos).
b. Por ejemplo, en los dos triángulos rectángulos isósceles la razón entre los lados del triángulo grande y los correspondientes del chico es 1,5.
c. Sí, porque son semejantes.
11 A cargo de los alumnos.
12 a. El abc. b. 1 cm c. Son iguales.
13 a. 66, cm
b. El teorema de Thales. Los triángulos son seme-jantes.
14 a. ab = bc por ser abc
isósceles; abd dbc = por ser bd
bisectriz; los triángulos amarillo y verde comparten el lado bd. Por criterio L.A.L., esos triángulos son semejantes.
b. cab bde = ; abc dbe = = 90º por ser db ⊥ ae. Por criterio A.A., los triángulos amarillo y verde son semejantes.
15 Sí, porque tienen igual forma.
16 Tienen razón Sofi y Male. En ambos casos, por el criterio A.A.: todos los triángulos equiláteros tienen tres ángulos interiores de 60º, y todos los triángulos rectángulos isósceles tienen dos ángulos de 45º.
17 a. ma/sa = 2,5 b. 2,5 c. 2,52 = 6,25
18 A cargo de los alumnos.
19 No, en general. Sí, en particular: cuando la razón de homotecia es 1 o -1.
20 La razón de homotecia es 2. El centro de homotecia está ubicado a la izquierda de F, a la misma distan-cia del centro de F que este del centro de F’.
21 a. Una posibilidad es que midan 3, 4 y 5 cm.b. Otra posibilidad es que midan 27, 36 y 45 cm.
22 a. 32,5 b. 37,5
23 a. 1,06 m b. 22,5 cm, aproximadamente.
24 Ancho: 7,25 m; largo: 10 m; área: 72,5 m2.
25 a. 2,1 cm y 1,05 cm, respectivamente. b. 1 : 56
26 34 km
27 1 : 1.200.000
28 a. I. 8,54 cm, aprox. II. 7,94 cm, aprox.b. I. sen α 0,94; cos α 0,35; tg α = 26,
.
II. sen α 0,66; cos α = 0,75; tg α 0,88.c. sen β = cos α 0,35
cos β = sen α 0,94 tg β = 1/tg α = 0,375
29 a. sen 27º 43’ 0,4651 sen 27’ 43” 0,0081 cos 27º 43’ 0,8853 cos 65º 23” 0,4225 tg 27º 43’ 0,5254 tg 45º = 1
b. 43º 11’ 46,67” 60º 30’ 46º 48’ 13,33” 15º 19’ 52,69” 34º 23’ 30” 58º 30’ 23,84”
30 33º 49,53”
31 54º
32 ab 30,54 cm; bc 17,10 cm; a = 29º 15’.
33 49º 11’ 21,59”
34 a. cos2 1α
ααα αsen
cossen tg
= =
b. cossencos
sen sen sen senααα
α α α α⋅ ⋅ - = - =2 2 2 0
35 sen α = 0,8; tg α = 13,
.
36 a. A 2,35 m, aprox. del suelo. b. 70º 7’ 23,25”
37 323,9 m
38 a. 29° b. 46,5 m, aproximadamente.
39 28,96 m, aproximadamente.
40 968,6 m, aproximadamente.
41 a. 1,5 cm b. 1,25 cm
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42 oa’ = 2,875 cm; ab = 2,24 cm; bc = 3,6 cm.
43 A cargo de los alumnos.
44 a. A cargo de los alumnos.b. 2,5 cm y 7,5 cm, respectivamente.
45 Karina, que utiliza el criterio L.L.L., y Marco, que usa el criterio A.A.
46 a. 68 cm b. 1,7 c. 1,7d. Porque cada lado del rectángulo grande es 1,7
veces su correspondiente en el rectángulo chico.
e. No, la razón entre sus áreas es (1,7)2 = 2,89.
47 a. Hay tres, considerando que 80 cm puede estar en proporción con el lado de 13 cm, o con el de 15 cm, o con el de 20 cm.
b. 52 cm y 60 cm.
48 Ancho: 72 m; largo: 110m.
49 ac = 195,43 cm; bc = 117,25 cm.
50 qr = 27 cm
qpr = 36º 52’ 11,63”
qrp = 53º 7’ 48,37”
51 19,84 m, aproximadamente.
52 cos α 0,37; tg α 2,51.
53 45°
54 A cargo de los alumnos.
Capítulo 10
Para empezar• Es más probable que vaya ganando Caro, porque
hay más sumas pares (16) que impares (12).• No es un juego justo, ya que Caro tiene más posibili-
dades a su favor. Una manera de lograr que el juego fuese justo podría ser que Edu también se anotara un punto cuando saliesen algunos resultados no im-pares (por ejemplo, 3-3; 4-4; 5-5 y 6-6).
1 Se completa, respectivamente, con: 9, gráfico de ba-rras, 12, histograma, discreta y continua.
2 a.
Suero (ml) f facum fr
[800, 1.000) 3 12 3/32
[1.000, 1.200) 8 20 8/32
[1.200, 1.400] 12 32 12/32
b. A 20 pacientes.
3 a.
Dinero ($) f fr
[10, 20) 7 7/20
[20, 30) 9 9/20
[30, 40) 3 3/20
[40, 50] 1 1/20
b. 45% c. 9/20 = 45/100 → 45%
4 a. Me = 11 años; x = 20 años.b. La mediana, pues la mayoría de las edades está
próxima a ese valor.
5 A = 400 B = 470 C = 600
6 a.
Media Mediana Moda
Lunes 162 164 164
Martes 166 164 164
b. La media, ya que se reemplazó un dato por otro bastante mayor.
7 a. Marca de clase: 12, 16, 20, 24. Frecuencia: 2, 16, 10, 2. Media: 17,6 g.
b. Se ubican en el último intervalo, porque si se hu-bieran ubicado en cualquier otro, la media daría menor que 19 g.
8 a. Marca de clase: 4, 6, 8, 10. La frecuencia que falta es 8.
b. El promedio no cambia, porque al triplicar las fre-cuencias también se triplica la cantidad total de datos.
9 x = 50 ; σ 17,89; CV 0,36.
10 x = 131, ; σ 0,84.
11 a. 24 alumnos en 2.º A, y 28, en 2.º B.b. x A = 7 y σA 091, . xB = 7 y σB 185, .c. CVA 0,13 y CVB 0,26: O sea que hay mayor
dispersión en 2.º B.
12 a. A cargo de los alumnos.b. 12 c. 3 · 2 · 2 d. m · p · n
13 a. 3 · 3 · 3 = 33 = 27b. 1 · 1 · 3 + 1 · 3 · 3 = 12c. 4 · 4 · 4 = 43 = 64
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Jefa de arte: Claudia Fano
Diagramación: Sergio Israelson
Corrección: Paula Smulevich
Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, foto-copia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electróni-co, informático, magnético, electroóptico, etcé-tera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.
© 2010, EDICIONES SANTILLANA S.A.
Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.
ISBN: 978-950-46-2194-2Queda hecho el depósito que dispone la ley 11.723.
Impreso en Argentina. Printed in ArgentinaPrimera edición: enero de 2010.Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2010 en Grafisur S.H., Cortejarena 2943, Buenos Aires, República Argentina.
Matemática III : recursos para el docente / Andrea Berman ... [et.al.]. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2010. 24 p. ; 26x19 cm. - (Santillana Prácticas)
ISBN 978-950-46-2194-2
1. Matemática . 2. Enseñanza Secundaria . 3. Libros de Texto. I. Berman, Andrea CDD 510.712
14 a. 10 b. 10 c. 35
15 En la bolsa que tiene 6 caramelos, porque la proba-bilidad es mayor (3/6 = 50%).
16 Nico tiene mayor probabilidad de ganar: 5/22 contra 2/11.
17 a. 5/12 b. 4/11
18 a. < c. = e. < g. =b. > d. = f. <
19 a. 32/100 = 32%b. La probabilidad de cada opción.
c. 31/99 = 3131, %
20
Verdes Marrones Celestes Total
Varones 100 250 50 400
Mujeres 180 320 100 600
Total 280 570 150 1.000
a. 57% b. 10% c. 62,5% d. 87,5%
21 La opción es la c.
22 La respuesta no es única. Algunos ejemplos son: {10; 12; 12; 12; 13; 14; 15; 16} {10; 12; 12; 12; 13; 13; 16; 16}
23 a. 4,4 km b. 5 km o más. c. 9,68 km
24 a. Se completa con 6 y 12, respectivamente.b. x = 12875, cmc. A cargo de los alumnos.
25 a. x = 6 ; Me = 6; Mo = 6.b. x = 6 ; Mo = 6.c. x = 10
26 Alberto (CV 0,18) más que Ana (CV 0,13). 27 a. 5! = 120 b. 3! = 6
28 a. 263 · 103 = 17.576.000b. 263 · 104 = 175.760.000
29 a. 30 partidos b. 20 puntos.
30
Negro Blanco Totales
Fruta 56 44 100
D. de leche 94 36 130
Totales 150 80 230
a. 56/230 b. 36/80
31 a. 60/200.000 b. 1.000 c. 10.000
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