7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 1/17

Los Alejandrinos

Bien dice Sarton que el término "helenística'' está correctamente usado para designar esta etapa dela civilización griega antigua: "La palabra helenística está bien elegida, sugiere lo helénico y algomás, extraño a éste: lo egipcio y lo oriental.'' Ahora bien, todo empezó con un "alumno''de Aristóteles: Alejandro el Grande.

Alejandro transformó el mundo griego en pocos años. Al morir en el 323 a.C., su imperio se dividióen tres partes:

"... cayendo Egipto bajo el poder de uno de sus generales,  Ptolomeo,  quien como el propioAlejandro había estudiado con Aristóteles. Ptolomeo contrató a Estratón, quien más tarde seríadirector del Liceo, como tutor de su hijo, y fundó el Museo de Alejandría, instituto de investigacióny de enseñanza que seguía el plan del Liceo, aunque a una escala mucho mayor. El museo tenía unanómina de algo así como un centenar de profesores que recibían un salario del estado. Estabadotado de una biblioteca de cerca de medio millón de rollos y tenía también un zoo, jardines botánicos, observatorio astronómico y salas de disección. El Museo duró unos seiscientos años,aunque los primeros doscientos fueron los más importantes para la ciencia.'' [Mason,Stephen: Historia de las Ciencias 1. La Ciencia Antigua, la Ciencia en Oriente y en la EuropaMedieval, pgs. 59-60]

Para la ciencia y las matemáticas debe resaltarse el imperio ptolemaico, centrado alrededor de laciudad de Alejandría, el lugar del Museo y de la Biblioteca cuyo destino terminó en manos de laguerra y la política.

Este Museo tendría una gran relevancia, como consigna Sarton:

"El Museo hizo mucho durante el primer siglo de su existencia. Euclides,  Eratóstenes de Cirene, que fue el primero en medir el tamaño de la Tierra, con notable precisión, y  Apoloniode Perga, queescribió el primer tratado sobre secciones cónicas, hicieron investigaciones matemáticas. Otrogigante contemporáneo, Arquímedes, vivió en Siracusa, pero pudo haber visitado Alejandría y en élinfluyó ciertamente la escuela de matemáticas de aquella ciudad. Igualmente notables fueron lostrabajos en astronomía. Alejandría era un lugar ideal para el sincretismo astronómico; allí podíanmezclarse libremente las ideas griegas, egipcias y babilónicas, en primer lugar porque no existía unatradición establecida ni 'intereses creados' de ninguna clase y, luego, porque podían encontrarse allí,como de hecho lo hacían, representantes de diversas razas y credos. Aristilo y Timocaris hicieronobservaciones astronómicas y, un poco más tarde, Conón de Samos; este último utilizó y discutiólas observaciones de los babilonios sobre los eclipses. Otro natural de Samos, Aristarco, no sólollevó a cabo observaciones propias, sino que defendió teorías tan atrevidas que ha sido llamado 'elCopérnico de la Antigüedad'''. [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, p. 15.]

Una las características interesantes del imperio de los ptolomeos fue la integración de varias etniasy culturas: persas, judíos, griegos, árabes, romanos, etc., en un contexto histórico que vivió unaampliación de los límites y perspectivas intelectuales como producto de una potenciación delcomercio y los viajes, algunos de éstos en busca de conocimiento. No es extraño que losalejandrinos tuvieran un buen conocimiento geográfico, técnicas de navegación mejoradas ynovedosos mecanismos de medida del tiempo.

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 2/17

 

Debe decirse que, de muchas maneras, fueron introducidos cambios en el valor de las técnicas, lamecánica, las artes, es decir: de la actividad material de los habitantes, lo que no podían dejar deafectar la construcción científica y matemática de la época. Entonces, se observa en esta etapa de la

civilización griega un cambio en relación con el periodo clásico que desestimó el mundo terrenal yempírico privilegiando la abstracción separada de la práctica humana y concreta. Más que uncambio, incluso un renacimiento: "... el hecho capital de que el Renacimiento alejandrino fue uncompleto renacimiento.'' [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, p. 17]

Es por eso, incluso, que se sostiene la opinión de un tipo diferente de matemáticas en el periodoalejandrino en relación con la etapa clásica de la matemática griega.

Resulta extraordinariamente interesante, sin embargo, que hayan sido dos intelectuales alejandrinoslos que hayan codificado con tanta sistematización y calidad las matemáticas clásicas del mundogriego: Euclides y Apolonio. 

El nuevo carácter de las matemáticas alejandrinas se encuentra con mayor propiedaden Arquímedes, Herón, Ptolomeo, Menelao, Diofanto, o Pappus. El foco de la preocupación de losgeómetras alejandrinos estuvo en los resultados para calcular longitudes, áreas y volúmenes. Si bienes cierto que algunos de estos asuntos aparecen en los Elementos de Euclides, sólo lo hacen de unamanera muy aislada, mientras que para los alejandrinos su importancia fue central.

Otra de las diferencias en relación con la matemática clásica es el uso más amplio de losirracionales, que es probable que tenga su origen en un rescate de las tradiciones babilonias que losutilizaron como números en el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes. De hecho, esto explicaríalas características específicas en el desarrollo de la geometría de la Grecia helenística. Puede decirseque los alejandrinos revivieron la aritmética y el álgebra. La matemática clásica tuvo un énfasiscualitativo sin referencia a las medidas numéricas.

La matemática helenística dedicó también su atención a la mecánica. Otra diferencia relevante. Esdecir que, mientras las matemáticas del periodo clásico se reducían a la aritmética de númerosenteros, geometría, música y astronomía, las helenísticas incluían además mecánica, astronomía,óptica, geodesia, la aritmética aplicada (lo que los griegos llamaron logística).

Es interesante señalar una distinción en el seno de las matemáticas alejandrinas realizada por ellosmismos: aquella referida a los conceptos intelectuales y a los materiales. Aritmética y geometríacorrespondían a la primera.

Arquímedes

Arquímedes usó resultados de Euclides y Aristeo. Demostró teoremas sobre áreas y volúmenes pormedio del método de exhausción, es decir, usando figuras líneas inscritas y circunscritas para llenarel área de un volumen. Sin embargo, también utilizó el método indirecto en algún momento de susdemostraciones. Es decir, no llegó a dar el salto hacia el concepto moderno de límite. Esto lo realizaen su libro Sobre la esfera y el cilindro. Debe mencionarse que el segundo libro de esta obra incluyeresultados de álgebra geométrica.

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 3/17

Es famoso en muchos campos. Se conoce muy bien el principio que lleva su nombre y que afirmaque al sumergirse un cuerpo en el agua, el agua ejerce sobre ese cuerpo una presión vertical deabajo hacia arriba que es igual al peso del agua desplazada. Se dice que aquí empezó la hidrostática.

Arquímedes realizó importantes estudios sobre palancas.

El método de Exhausción

El método de Exhausción nace del problema de comparar las figuras curvilíneas y las rectilíneas.Como usted sabe, uno de los grandes problemas de la Antigüedad era cómo reducir el círculo, olongitudes curvas, a segmentos de recta, y otro: cómo reducir cualquier línea curva a líneas rectas ycírculos (esto se traduce como la construcción de figuras curvas usando solo regla y compás). Noobstante, el "método de Exhausción'' no fue llamado así por los griegos, sería mucho tiempodespués que Gregoire de St. Vincent (1 589 - 1 667) lo bautizaría de esa manera.

En ese escenario fueron usados dos principios generales sobre los números y sus relaciones con elinfinito, que aparecieron de diferente forma, y fueron relevantes para la utilización del método queanalizamos.

Primer principio:

  "Cualquier cantidad, por más pequeña que sea, puede hacerse tan grande como se quieramultiplicándola por un número suficientemente grande''.

Este se puede formular de la siguiente manera:

  "Dadas dos magnitudes diferentes y (con ) existe entonces:

a) un número tal que (esto se encuentra en el Libro V de los Elementos deEuclides, Def. 4);

 b) un número tal que donde es cualquier magnitud de la mismaclase (esto se llama el Axioma de Arquímedes, en el trabajo Sobre la esfera y elcilindro de Arquímedes Libro I)''.

Segundo principio:

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 4/17

"Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos denuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos repitiendo este proceso de sustracción,terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipodada de antemano''.

Lo anterior se puede poner también así:

"Dadas dos magnitudes diferentes y (con , existe un número tal que

, donde(esto se encuentra en los Elementos de Euclides, Libro X, Def. 1)''.Podemos ilustrar los principios usados por los griegos de la siguiente manera, usando un pasaje denuestro libro Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y ejercicios resueltos:

Tómese y

La primera forma del principio dice que se puede encontrar un tal que

entonces:

Se puede considerar mayor que 1000 y ya funciona.

Veamos, si entonces a

La segunda forma del principio:

Se debe encontrar un tal que

Es decir, de tal manera que

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 5/17

Este sirve; pues

Veamos ahora el segundo principio:

Sea y los mismos y de antes. Queremos encontrar un tal que

o que

Es decir:

Con obtenemos

Y entonces:

Polígonos y círculos

El Libro XI de los Elementos de Euclides incluye el método de Exhausción en los 18 teoremassobre áreas y volúmenes que posee, especialmente de figuras curvilíneas acotadas por superficies.

El método se usa, por ejemplo, para demostrar que algunas propiedades de los polígonos se dan enlos círculos. Por ejemplo, para probar si se tiene dos círculos que:

"la razón de sus áreas es la misma que la que existe entre los cuadrados de sus diámetrosrespectivos''.

El método consistía en:

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 6/17

  aproximar el área de los círculos con polígonos regulares inscritos y circunscritos,  (y como esa propiedad se cumplía para los polígonos) entonces se deducía que se cumplía

 para los círculos. Es decir, se cumplía para los polígonos que:

"La razón de las áreas de dos polígonos similares inscritos en círculos es la misma queexiste entre los cuadrados de los diámetros de los círculos''.

El infinito

La idea es que el proceso se puede hacer de manera indefinida, aumentando el número de lados delos polígonos. Entonces: las propiedades de los círculos se pueden conocer estudiando los polígonosregulares (que resultan más fáciles de "manejar'').

Es en este momento donde se ocupa el segundo principio que mencionamos arriba, para podergarantizar ese salto de los polígonos de un número finito de lados a un círculo (que sería como ellímite infinito de esos polígonos).

En resumen: el método permitía demostrar la posibilidad de aproximar áreas por polígonos,aumentando el doble de lados en cada ocasión.

Repetimos: fue Arquímedes quien más lejos llevaría el método de Exhausción.

Un ejemplo

Considere el siguiente ejemplo de cómo funciona el método de exhausción, tomado de nuestrolibro Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y ejercicios resueltos:

A) Constrúyase un cuadrado inscrito y otro circunscrito al círculo

: área del círculo

: área cuadrado inscrito

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 7/17

 : área cuadrado circunscrito

Un detalle importante es que

B) En la siguiente figura el cuadrado circunscrito se divide en 8 triángulos iguales:

.

Círculos y polígonos.

Es fácil ver que:

(cuatro triángulos hacen la mitad del cuadrado circunscrito).

Ahora obsérvese el rectángulo formado por

que también es la mitad del cuadrado grande.

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 8/17

La aproximación de las áreas.

Claramente este rectángulo es mayor que la mitad del área del círculo.

Entonces:

Ahora vamos a construir un octógono a partir del cuadrado inscrito.

Esto se hace para mejorar la aproximación al área del círculo que hacía el cuadrado.

Si llamamos con la diferencia entre el área del círculo y el área del cuadrado inscrito, vamos a

mostrar que este octógono va a tener un área que cubre más de la mitad de .

Es decir, la mejoría de la aproximación es muy precisa.

Para simplificar concentrémonos en el lado . Vea la figura siguiente.

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 9/17

Un lado.

B es el punto del círculo donde se biseca el arco ( , , se construyen de igual manera).

El área del rectángulo es claramente mayor que el área del segmento de círculo encerrado

 por

Entonces la mitad del área del rectángulo es mayor que la mitad del segmento de círculomencionado.

Ahora, note que el área del triángulo es la mitad del área del rectángulo .

Entonces:

 Note que el área del triángulo es lo que se añade al cuadrado para formar el octógono a partir

del lado .

De esta forma el área del octógono es la suma de las siguientes áreas:

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 10/17

El octógono así construido permite mejorar la aproximación en más de la mitad de la diferencia delárea del círculo y la del cuadrado inscrito.

Otros resultados

Mediante un polígono de 96 lados, Arquímedes mostró que

Por exhausción mostró el área de una elipse, el área limitada por cada cuerda en una parábola, ysobre el cono: su volumen y su superficie. Uno de los resultados más famosos en ese sentido seencuentra en la obra Sobre la esfera y el cilindro:

"Una esfera cualquiera es igual a cuatro veces el cono que tiene como base un círculo máximo de laesfera y altura igual al radio de la esfera''.

Esfera y cilindro.

Y, también, se encuentra el siguiente:

"Cualquier cilindro cuya base es el círculo más grande de una esfera y cuya altura es igual al

diámetro de la esfera, es (del volumen) de la esfera, y su superficie junto con sus bases es

de la superficie de la esfera."

Arquímedes quizo que este resultado con el cilindro circunscrito en la esfera fuera colocado en sutumba. El romano Cicerón relata haber encontrado en Siracusa, años después, una tumba con estainscripción gravada. El asumió que se trataba de la tumba de Arquímedes

El Axioma de Arquímedes mencionado antes ha sido usado por más de dos mil años.

El trabajo llamado Sobre conoides y esferoides trata de algunas propiedades de figuras derevolución generadas por cónicas. Arquímedes al igual que Apolonio realizó algunos trabajos sobrelas secciones cónicas.

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 11/17

El método

En otro libro titulado Cuadratura de la Parábola ofrece dos métodos para encontrar el área de unsegmento parabólico. Sobre éste, Bell subraya el tratamiento original queArquímedes realiza:

"El desprecio sublime de Arquímedes por todo lo convencional se ve en su trabajo más curioso. En

el problema, que resolvió, de hallar el área de un segmento parabólico. La demostración es, porsupuesto, rigurosa y equivale a una integración, algo disfrazada de exhaución, en la demostraciónoficial; pero es la demostración no oficial la que ofrece mayor interés. Esto salió a relucir en 1 906cuando se encontró en Constantinopla una obra de Arquímedes en la que se describía su métodoheurístico. Para descubrir cuál era el área que se buscaba,  Arquímedes tradujo el problema degeometría en otro equivalente de mecánica. Habiendo resuelto este último, afirma que el resultadono ha sido 'excesivamente demostrado'. Luego procede a dar una demostración geométrica en laque, digámoslo de paso, realiza la primera suma de una serie infinita en la historia. La serie es

y utiliza el hecho de que tiende a cuando se aproxima al infinito.

Había ya sumado antes una serie finita,

[Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 85.]

Este trabajo al que se refiere Bell, El método, descubierto en una biblioteca en Constantinopla en1906, es uno de los más famosos de Arquímedes. En esta obra Arquímedes ilustra su procedimiento para encontrar el área del segmento parabólico y, a diferencia de los procedimientos deductivosclásicos, utiliza argumentos que son en esencia físicos.Arquímedes usó métodos mecánicos paraencontrar teoremas sobre cilindros, esferas, esferoides y paraboloides de revolución.

En su prefacio o introducción, se expresa esta aproximación; dice Arquímedes: 

"Reconociendo, como digo, tu celo y tu excelente dominio en materia de filosofía, amén de quesabes apreciar, llegado el caso, la investigación de cuestiones matemáticas, he creído oportunoconfiarte por escrito, y explicar en este mismo libro, las características propias de un método segúnel cual te será posible abordar la investigación de ciertas cuestiones matemáticas por medio de lamecánica. Algo que, por lo demás, estoy convencido, no es en absoluto menos útil en orden a lademostración de los teoremas mismos. Pues algunos de los que primero se me hicieron patentes por

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 12/17

la mecánica, recibieron luego la demostración por geometría, habida cuenta de que la investigación por ese método queda lejos de una demostración; como que es más fácil construir la demostracióndespués de haber adquirido por ese método cierto conocimiento de los problemas, que buscarla sinla menor idea al respecto. <... Por esta razón, aun el caso> de los teoremas referentes al cono y a la pirámide, cuya demostración fue Eudoxo el primero en hallar, a saber: que el cono es la tercera parte del cilindro y la pirámide es la tercera parte del prisma, con la misma base e igual altura,

conviene atribuir buena parte del mérito a Demócrito, el primero que enunció esto sin demostraciónacerca de dichas figuras. También en mi caso sucede que el descubrimiento de los teoremas queahora doy a conocer ha tenido lugar de modo semejante al de los precedentes. Y he querido publicarel método una vez perfilado para que no den en pensar algunos que hablaba por hablar al habermereferido a él anteriormente y, al mismo tiempo, porque estoy convencido de que puede representaruna contribución no poco provechosa a la investigación matemática. Pues supongo que algunos demis contemporáneos o sucesores llegarán a encontrar por el método expuesto otros teoremas que amí todavía no se me han ocurrido.

Así pues, expongo en primer lugar el resultado que también fue el primero en manifestarse por víamecánica, a saber: que todo segmento de una sección de cono rectángulo es cuatro tercios deltriángulo que tiene la misma base e igual altura, y seguidamente, uno por uno, los resultados

tratados de la misma manera. Al final del libro formulo las demostraciones geométricas de losteoremas cuyos enunciados te había enviado con anterioridad.'' [Arquímedes: El Método, pp. 35-36]

En su trabajo Sobre las espirales, no solo se reduce a utilizar figuras rectilíneas sino también pequeños sectores circulares que son inscritos o circunscritos para realizar la aproximación.Siempre termina utilizando el método indirecto para completar sus demostraciones.

Si se hace un balance del trabajo matemático de Arquímedes, puede decirse que sus conclusiones encuanto a sólidos, áreas o longitudes no son especialmente decisivas, ni tampoco su método. Sinembargo, hay consenso en que se trata de problemas novedosos y originales. Su trabajo en lamecánica, en hidrostática, sí son originales completamente, en particular el hecho de ofrecer

 pruebas de naturaleza matemática en torno a asuntos juzgados casi siempre como meramente prácticos.

Para Bell:

"Su trabajo más original fue, quizás, sus matemáticas aplicadas. En este campo, hasta donde se sabehoy, fue un iniciador. Menaechmo y otros habían aplicado con éxito el método del 'agotamiento' a problemas difíciles (el mismo Arquímedes menciona a Eudoxio y atribuye a Demócrito laexposición del resultado para el volumen de una pirámide), pero ninguno había aplicado lamecánica a las matemáticas. Antes de Arquímedes no existió la mecánica científica. Es posible quehubiera reglas empíricas, pero éstas están en un universo diferente. Su descubrimiento de la ley deflotación creó prácticamente la ciencia de la hidrostática y su formulación de la teoría de la palancahizo lo propio para la estática. Tan potentes fueron sus métodos que determinó las posiciones deequilibrio y de estabilidad de un paraboloide de revolución flotante en diferentes posiciones. Fiel ala tradición griega, Arquímedes basó su mecánica en postulados. Sus determinaciones de centroidesfueron casi tan difíciles como las que hay en la actualidad en un curso de cálculo. Por ejemplo, hallóel centroide de un semicírculo, un hemisferio, un segmento de esfera, y un segmento recto de un paraboloide de revolución. No es, pues, extraño, que los musulmanes sintieran por  Arquímedes una

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 13/17

veneración casi supersticiosa. Durante dos mil años no hubo nadie que pudiera comparársele.''[Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, pp. 84-85]

Herón

Realizó sus trabajos en un período entre el 100 a.C. y el 100 d.C., siendo relevante el uso dematemáticas con todo rigor a la vez que el uso de mecanismos de aproximación y fórmulas.

Se trata de otro representante del periodo alejandrino en la civilización griega con preocupacionesen la mecánica y las aplicaciones de la geometría.

Algunos historiadores de las matemáticas afirman que en su trabajo se aprecia el estilo egipcio:aplicación de fórmulas libremente y mediante aproximaciones. En su Métrica y Geométrica, Herónofreció fórmulas y resultados para el cálculo de superficies y volúmenes de muchas figuras.

Usó resultados de Arquímedes. 

También escribió una Geodesia y una Estereometría.

Es interesante señalar su preocupación por ofrecer en estas obras resultados de naturaleza numérica.Por ejemplo, en sus estudios de geodesia trata de demostrar los procedimientos para calcular ladistancia entre dos puntos dado uno.

Algunos de los resultados eran aplicados al diseño de edificaciones.

Herón ofreció diseños para máquinas automáticas, máquinas para levantar pesos, máquinas deguerra, relojes de agua, todo en la misma dirección que encontramos en la obra de Arquímedes. En particular, inventó una turbina de vapor (rudimentaria, por supuesto), un primer aparato para latransformación de la energía térmica en mecánica.

Afirmó Herón que los rayos de luz iban de un punto a otro a través del camino más corto.

Trigonometría

Se trata de un campo totalmente creado en la etapa helenística por Hiparco, Menelao y  Ptolomeo, con el propósito de responder a las necesidades de la astronomía, la construcción de calendarios, lanavegación y la geografía.

En los alejandrinos se trataba de una trigonometría esférica aunque integraba, realmente, latrigonometría plana. Sin duda, la trigonometría esférica requería el conocimiento de la geometríaesférica. Euclides, en su Phaenomena, hace poco geometría esférica, aunque basada en resultadosanteriores.

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 14/17

Se sabe que Teodosio (c. 20 a.C.) hizo una recopilación de la geometría esférica en su Sphaericae, pero no era numérica ni permitía la interpretación de la posición de las estrellas para calcular la horadurante las noches.

Sin duda, el fundador de la trigonometría fue Hiparco, quien se supone murió alrededor del 125a.C.. Sus trabajos se conocen más bien gracias a la obra de  Ptolomeo.  Sus observaciones

astronómicas y sus descubrimientos fueron muy importantes para la geografía y la evolución de lacosmología antigua.

Se afirma que el momento decisivo se alcanzó con Menelao (c. 100 d.C.). Su trabajo fundamentalfue la Sphaerica, cuyo fin fundamental fue la demostración de teoremas sobre triángulos esféricos,similares a los que Euclides probó para los triángulos en un plano. Esta obra también incluyeastronomía.

Ahora bien, la síntesis e integración de la trigonometría con la astronomía la realizó elfamoso Claudio Ptolomeo,  en su obra Syntaxis Mathematica, conocida tambiéncomoAlmagesto (nombre dado por los árabes), donde continúa y completa el trabajo de Hiparco yMenelao. Se trata de una obra de naturaleza matemática, porque la idea que subyace esta

construcción intelectual es la de ofrecer un modelo matemático que integre el movimiento de loscuerpos celestes. Es decir, se trata de fundamentar la astronomía, la interpretación de los cielos, enel conocimiento que se reconoce como verdadero.

En contra de la opinión heliocéntrica de Aristarco, Ptolomeo afirmó una visión cosmologíageocéntrica. La trigonometría de Ptolomeo perduró por más de mil años. Ya desarrollaremos esto.

Es interesante señalar, que en el mundo griego no fueron las necesidades de la medida desuperficies o longitudes, la topografía, lo que determinó el desarrollo de la trigonometría. Para esos propósitos simplemente se usó la geometría. El origen de la trigonometría se encuentra en elreclamo de la astronomía, cuyas implicaciones en la navegación y la geografía y en el cálculo deltiempo sí son relevantes.

El periodo alejandrino termina en lo que se refiere a la geometría con el trabajo de algunoscomentaristas: Teón de Alejandría, quien comentó la obra de Ptolomeo así como losElementos deEuclides y su Óptica, y, su hija, Hipatia quien comentó los trabajos de Diofanto y Apolonio. 

Álgebra y Aritmética

Es importante mencionar que en el mundo griego se hacía una distinción entre el cálculo numérico,al que se le daba el nombre de logistica, y la teoría de números, para la cual se usaba el

término arithmetica. Las matemáticas clásicas no se dedicaron a la logistica puesto que en laideología dominante ésta estaba ligada a la práctica del comercio o la agrimensura, es decir aactividades lejanas de aquellas que el espíritu debía cultivar. Entre Thales y Euclides no hayrecuento, evidentemente, de muchos resultados obtenidos en el cálculo numérico o en la medicióncon propósitos prácticos. No sería ésta la actitud que desarrollaron los matemáticos del periodoalejandrino.

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 15/17

Tal vez sea importante mencionar que la escritura de números en el periodo clásico no fue la mismade los alejandrinos; de hecho, se suele llamar este último el sistema jónico o alejandrino, el cualutiliza las letras del alfabeto.

Como resultaba muy engorrosa la escritura de las fracciones comunes en los sistemas griego oegipcio para los cálculos astronómicos, los matemáticos y astrónomos alejandrinos prefirieron el

sistema babilónico con fracciones sexagesimales. De hecho, esto tuvo consecuencias:

"El Almagesto consagró el uso de las fracciones sexagesimales, pero retardó la extensión natural delos números decimales a las fracciones decimales; o, en otras palabras, impidió que los submúltiplosdecimales se usaran de la misma manera que los múltiplos decimales. Fue el flamenco SimónStevin quien explicó por vez primera en 1585, y muy bien, la superioridad de las fraccionesdecimales, a cuyo uso exclusivo no se ha llegado aún en nuestros días.'' [Sarton, George: Cienciaantigua y civilización moderna, pp. 82-83]

Los alejandrinos, como Arquímedes,  Herón, Diofanto,  usaron las fracciones como números propiamente, mientras que los matemáticos clásicos sólo reconocían una razón de números enteros.

El desarrollo de la aritmética y el álgebra como disciplinas independientes de la geometría fueescalonado en Grecia. Podría decirse que con los pitagóricos existe una identificación entrearitmética y geometría, hasta cierto punto. La aritmética, como teoría de los números enteros, eraimportante en tanto fundamento último de la realidad. Al descubrirse los irracionales, las perspectivas de la aritmética y la geometría chocan, se abre una crisis, la cual se resolviódescartando la aritmética y dándole un valor extraordinario a la geometría sintética, es decir lageometría no cuantitativa. Esto fue establecido de manera definitiva por los matemáticos griegosclásicos: sólo la geometría podía tener fundamento lógico, verdadero, y la aritmética era unterritorio considerado "peligroso'', sujeto al error, con la presencia de entidades que no podían serrepresentadas ni comprendidas en su marco teórico.

En la etapa alejandrina, si bien hay una actitud diferente hacia la naturaleza de las matemáticas, queinvolucra la mecánica y el cálculo, el proceso no es uniformetampoco:Arquímedes, Apolonio y Ptolomeo utilizaron la aritmética solamente para calcularcantidades geométricas (superficies, volúmenes, longitudes de figuras geométricas); sin embargo,Herón, Nicomaco y Diofanto sí concedieron un lugar independiente, separado de la geometría, a laaritmética y el álgebra. Por ejemplo, Herón formuló y resolvió problemas algebraicos por medio de procedimientos exclusivamente aritméticos, retomando tradiciones que refieren a los egipcios y babilonios.

De la misma manera, Nicomaco en una obra titulada Introductio Arithmetica, aunque usó sólonúmeros enteros y razones de números enteros, su aritmética era tratada totalmente de maneraindependiente a la geometría: los números ya no eran segmentos de recta -como en Euclides- sinocantidades de objetos. Nicomaco trató de reanimar la tradición pitagórica; de hecho, afirmó que laaritmética era la madre de la geometría, la música, y la astronomía. Los historiadores de lasmatemáticas consideran que Nicomaco hizo por la aritmética lo mismo que Euclides hizo por lageometría, aunque debe decirse que sus contenidos no eran originales (más bien realizó uncompendio de temas tratados esencialmente por los pitagóricos y otros autores).

Diofanto

En relación con el álgebra alejandrina, la figura clave es Diofanto. Según Bell:

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 16/17

"Diofanto fue el primer matemático griego, si realmente fue griego, que mostró un talento genuino para el álgebra. Siguiendo a los pitagóricos, Euclides había dado equivalentes geométricos para las

identidades sencillas de segundo grado, como

, y había resuelto , positiva,geométricamente. Diofanto dio soluciones esencialmente algebraicas de las ecuaciones especiales

de primer grado con dos y tres incógnitas, como , . Más importanteaún, había empezado a usar los símbolos operando con ellos. Este largo paso hacia delante es tantomás notable cuanto que su anotación algebraica, comparada con la de hoy o la del siglo XVII,cuando Descartes la perfeccionó prácticamente, era casi tan engorrosa como la logística griega. Elque hiciera lo que hizo con la técnica disponible lo sitúa sin ningún género de duda entre losgrandes algebristas.'' [Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 78.]

Su obra principal fue una Arithmetica (se supone que eran 13 libros, de los cuales sobrevivieron 6 para la historia), donde se consigna su principal contribución: el simbolismo. Diofanto usó un signo para una variable desconocida, para expresar potencias, incluso superiores a 3. Esto último es unhecho sorprendente. Debe recordarse que los matemáticos clásicos no admitieron más de tresfactores, porque no podían tener significado geométrico. Para que se tenga una idea de esta obrade Diofanto, vale la pena señalar que el primer libro trataba problemas que conducen a ecuacionesde primer grado con una o más incógnitas. Los otros cinco libros, los que sobrevivieron, estudianecuaciones de segundo grado.

El asunto más relevante del álgebra de Diofanto es precisamente la solución de ecuacionesindeterminadas. Debe mencionarse, sin embargo, que en la solución de las ecuaciones él sólo aceptóraíces racionales positivas. Esto es interesante, mientras que para Herón no había problemas con el

uso de irracionales, debe recordarse su énfasis en el cálculo y la medición, y mientras que elmismo Arquímedes se preocupaba por dar aproximaciones a los números irracionales, Diofanto, con una aproximación algebraica, rechaza irracionales, negativos y números complejos. Noobstante, reconoce a las fracciones como números, un elemento diferente en relación con lasmatemáticas clásicas. Ahora bien, en cada uno de los 189 problemas tratados ensu Arithmetica, Diofanto usa un método diferente: no hay intento de encontrar un método generalde solución. Sin duda, se encuentra en Diofanto la influencia de los resultados babilonios; sinembargo, su simbolismo y la solución de ecuaciones indeterminadas superan de lejos aquellosresultados.

Es interesante señalar que el álgebra griega no usó letras para representar números, como loscoeficientes en una ecuación.

Debe decirse que ni siquiera en los mejores momentos de la creación del álgebra en la civilizacióngriega se buscó ofrecer una estructura lógica, deductiva, que permitiera construir y fundamentar lateoría de los números y el álgebra. La fortaleza deductiva y teórica que encontramos en lageometría, en los trabajos de Euclides, Apolonio y tambiénArquímedes, no está presente ni en laaritmética ni en el álgebra griegas. Probablemente, lo que es opinión de varios autores, esto fue elresultado de dos factores: expresión, por un lado, de las tradiciones babilonias y egipcias (énfasis en procedimientos específicos), así como, por otro lado, sin duda, por el lugar que ocupó la geometría

7/18/2019 Matematica en El Mundo Alejandrino

http://slidepdf.com/reader/full/matematica-en-el-mundo-alejandrino 17/17

sintética y no cuantitativa en la matemáticas griegas. En todo caso, la realidad es que lafundamentación de la teoría de los números y del álgebra sería un problema capital de lasmatemáticas que no se resolvería sino hasta hace relativamente muy poco tiempo.

Pappus

Otro de los matemáticos de esta época que debe mencionarse es  Pappus, quien un siglo despuésde Ptolomeo haría una recopilación de las matemáticas antiguas que es considerada por loshistoriadores de la ciencia como muy relevante: Colección Matemática (Synagoge). Sarton reseñaeste trabajo así:

"El conjunto de la Colección es un tesoro y, hasta cierto punto, la culminación de las matemáticasgriegas. Poco se añadió a ella en la época bizantina, y el mundo occidental, habiendo perdido elconocimiento del griego, y el interés por las matemáticas superiores, no pudo aprovechar la riquezaque Pappus había acumulado. Las ideas recogidas o inventadas por él no sirvieron de estímulo a losmatemáticos occidentales hasta mucho más tarde, pero cuando al fin lo hicieron, dieron origen a lasmatemáticas modernas: geometría analítica, geometría proyectiva, método centrobárico. Estenacimiento o renacimiento, surgido de las cenizas de Pappus, se llevó a cabo en un lapso de cuatroaños (1637-40). De este modo, la geometría moderna quedó inmediatamente conectada con laantigua, como si nada hubiera acontecido entre tanto.'' [Sarton, George: Ciencia antigua ycivilización moderna, pp. 98-99]

Y su opinión es radical: "Pappus fue el más importante de los matemáticos del último periodo de laciencia antigua y nadie lo emuló en la época bizantina. Fue el postrer gigante matemático de laAntigüedad.'' [Sarton, George: Ciencia antigua y civilización moderna, p. 99]

Sobre su vida: Pappus nació alrededor del año 290 en Alejandría, Egipto. Fue el último grangeómetra griego que al parecer vivió siempre en Alejandría. Dedicó muchos de sus trabajos aPandrosion, Megethion y Hermodorus, éste último al parecer fue su hijo.

En los escritos de Proclus se menciona a Pappus como el que encabezaba la Escuela de Alejandría.Su trabajo más importante fue un estudio de geometría que se publicó en una colección de ocholibros alrededor del año 340. Todo este conjunto de libros no mostró originalidad, pero en cambio,significó una honda comprensión y dominación de casi todos los temas y técnicas matemáticas;además es un trabajo de gran importancia para el estudio de la geometría griega. Aparte de estelibro, son muchos los comentarios que hizo acerca de otros autores, uno de ellos es de Euclides ysus Elementos. Entre sus trabajos reconocidos existe uno de música y otro de hidrostáticos. Murióalrededor del año 350.