Matematicas. Ejercicios resueltos Tema 1
56
Capitulo 1 Números complejos 1. Sea z un número complejo. Probar que ( ) z z z + = 2 1 Re , ( ) z z i z − = 2 1 Im . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z i z z z i z z i z z z Re Re 2 2 1 Im Im Re Re 2 1 Im Re Im Re 2 1 2 1 = = − + + = − + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z i i z z i z z i z i z z i z i z z i Im Im 2 2 1 Im Im Re Re 2 1 Im Re Im Re 2 1 2 1 = = + + − = − − + = − 2. Resolver la ecuación ( ) i z i + = + 2 1 . ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 3 2 3 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 i z a b b b b a a b b a i a b i b a i bi ia bi a i bi a i i z i − = = − = = + + + = ⎭ ⎬ ⎫ = + = − + = + + − + = + + + + = + + + = + 3. Escribir i i + + 1 2 en la forma bi a + . ( )( ) ( )( ) 2 1 2 3 2 3 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 i i i i i i i i i i i i i i − = − = − − + − + − = − + − + = + +
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Capitulo 1 Números complejos
1. Sea z un número complejo. Probar que ( )zzz +=21Re , ( )zz
iz −=
21Im .
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) zzzzizzzizzizzz ReRe221ImImReRe
21ImReImRe
21
21
==−++=−++=+
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) zzii
zzizzi
zizzizi
zzi
ImIm221ImImReRe
21ImReImRe
21
21
==++−=−−+=−
2. Resolver la ecuación ( ) izi +=+ 21 . ( )( )( )
( )
21
23
23
21
122
12
22
2121
2
iz
ab
bbba
abba
iabibaibiiabia
ibiaiizi
−=
=−=
=+++=⎭⎬⎫
=+=−
+=++−+=+++
+=+++=+
3. Escribir ii
++
12 en la forma bia + .
( )( )( )( ) 2
123
23
122
1112
12
2
2
iiiiiiii
iiii
ii
−=−
=−−+−+−
=−+−+
=++
4. Dado Cz ∈≠ 00 , encontrar su reflexión respecto a: 1) el origen de coordenadas
0zz −=′ 2) el eje real
zz =′
3) el eje imaginario
zz −=′ 4) la línea 0=− yx
5. Demostrar que los ceros complejos de un polinomio con coeficientes reales aparecen siempre en forma de pares conjugados.
0
0
0
0
0
01
2
2
1
1
012
21
1
012
21
1
012
21
1
012
21
1
=+++++
=+++++
=+++++
=+++++
=+++++
−
−
−−
−−
−−
−−
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxa
axaxaxaxa
n
n
n
n
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
nn
…
…
…
…
…
6. Demostrar que dado n∈ , 2 1 111
nn zz z z
z− −
+ + + + =−
… .
1
2 1
01
2 3
0
1n
n n
nn
n n
n
z z z z
z z z z z z
−−
=
−
=
= + + + +
= + + + +
∑
∑
…
…
( )1
01 1
nn n
nz z z
−
=
− = −∑
1
0
11
nnn
n
zzz
−
=
−=
−∑
7. Si 1α < , demostrar que 1z < si y solamente si 11z
zαα−
≤−
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( )
( )
11
11
1
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
11
1
zz
zz
z z
z z z z
z z z z
zz z z z z
z z z z z zz
z z
z
z
αααα
α α
α α α α
α α α α
α α αα α α
α α α α α αα
α α
α α
αα
−≤
−
−≤
−
− ≤ −
− − ≤ − −
− − ≤ − −
− − − ≤ − −
− − − ≤ − − +
− ≤ −
+ ≤ +
+≤ =
+
8. Si 0β ≠ , demostrar que ( ) ( ) 11
n nn nnnn n
α β αα β αα α
β β−− + −+ −
− ≤ − .
9. Demostrar que 1 1z z+ > − si y solamente si Re 0z > .
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( )
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
2 0
02
Re 0
z z
z z z z
z z z z
zz z z zz z zz z z z
z zz z
z
+ > −
+ + > − −
+ + > − −
+ + + > − − +
+ > − +
+ >
+>
>
Demostrar que si Im 0α > e Im 0β > , entonces 1α βα β−
<−
.
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
1
0
02
02 2
Im Im 0Im Im 0
2
Im 02
Im Im 0
i
i i
i
i
α βα β
α β α β
α β α β α β α β
α β α β α β α β
αα αβ βα ββ αα αβ βα ββαβ βα αβ βααβ βα αβ βααβ βα αβ βα
α α α αβ β
β α β αβ α β α
β βα
α β
−<
−
− < −
− − < − −
− − < − −
− − + < − − +
− − < − −
− − + + >
− − + +>
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− + >
− +>
⎛ ⎞−− >⎜ ⎟
⎝ ⎠− >
Demostrar que dados dos números complejos α y β ,
( )( )2 2 2 21 1 1αβ α β α β− − − = − −
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( )( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1
1 1
1 1
11
1
1 1
1
αβ α β
αβ αβ α β α β
αβ αβ α β α β
αβ αβ αβαβ αα αβ αβ ββαβαβ αα ββ
α β α β
α β
α β α β
− − −
− − − − −
− − − − −
− − + − + + −
+ − −
+ − −
− −
− − +
10. Calcular las raíces cúbicas de ( )i− Módulo:
1i− = 3 1i− = Fase:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1
2
3
32 2 221 1 1
3 3 2 32 1 1
2 3 22 2 3 4 72 1
2 3 2 3 6 62 4 3 8 113 1
2 3 2 3 6 6
k k k kn n
πθ π π π πθ
π π πθ
π π π π π π πθ
π π π π π π πθ
= + − = + − = + −
= + − =
+= + − = + = =
+= + − = + = =
11. Calcular los valores de ( )3
83 4i −− más próximos al eje imaginario.
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
38
3 838 8
1
2
1 1 13 4117 443 4 3 4
44 44tan tan117 117
44tan2 21171 1
8 844 44 44tan tan tan
2117 117 1171 1 cos 0 '99898 8 8 8
ta
k
iii i
ac ac
ack k
n n
ac ac ac
ac
θ
θ π πθ
πθ
θ
−− = = =− −− −
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= + − = + −
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟= + − = → =
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= ( )
( )
( )
3
4
44 44 44n tan tan117 117 1172 1 cos 0 '6746
8 4 8 4 8 4
44 44 44tan tan tan2117 117 1173 1 cos 0 '0449
8 4 8 4 8 2
44tan117 4 1
8 4
ac ac
ac ac ac
ac
π π π
π π πθ
πθ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟+ − = + → + =
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟= + − = + → + =
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= + −
( )
( )
5
6
44 44tan tan3 3117 117cos 0 '7381
8 4 8 4
44 44 44tan tan tan4117 117 1175 1 cos 0 '9989
8 4 8 4 8
44 44tan tan117 1176 1
8 4 8
ac ac
ac ac ac
ac ac
π π
π πθ π
πθ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟= + → + =
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟= + − = + → + =
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + − =
( )
( )
7
8
44tan5 5117cos 0 '67404 8 4
44 44 44tan tan tan6 3117 117 1177 1 cos 0 '0449
8 4 8 4 8 2
44 44 44tan tan tan7117 117 18 1 cos
8 4 8 4
ac
ac ac ac
ac ac ac
π π
π π πθ
π πθ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟+ → + =
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟= + − = + → + =
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + − = + →
717 0 '72818 2
π⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
117 44 125i+ = Los números más cercano al eje imaginario son:
44tan117
8 2
44tan3117
8 2
125
125
aci
aci
e
e
π
π
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
12. Si 1α = , interpretar geométricamente la transformación z zα→
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
arg arg
arg arg
arg arg
arg
j z j
j z j
j z j
j
z
z e e
z e e
z e e
ze
α
α
α
α
α
α
α
− −
− −
− −
−
13. Calcular la imagen de { }:1 2z x iy x= + ≤ ≤ mediante la transformación 2zz → .
2
2 22z zx iy x ixy y→
+ → + −
La imagen será: [ ] [ ], 2 ,−∞ × −∞ ∞ Calcular el conjunto de puntos cuya imagen mediante la misma transformación
es { }21: <<+= uivuz . 2
2 22 22
2
z z
u x yx iy x ixy y u iv
v xy
→
⎧ = −+ → + − = + → ⎨
=⎩
El dominio será: ( ) ( )2 2/1 Re Im 2z z< − <
Calcular mediante la misma transformación la imagen del semiplano superior abierto.
2
2 22z zx iy x ixy y→
+ → + −
La imagen será: [ ] [ ], ,−∞ ∞ × −∞ ∞
14. Determinar si es posible asignar a la siguiente función un valor en 0z que la
haga continua en ese punto: ( )3 3
0
0
z zg zz z−
=−
, 0z z≠ .
00
3 3 2200'
0
3lim 31L Hoppital z zz z
z z z zz z →→
−⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
−
1.1 Series de números complejos. Funciones elementales
1. Sea ( )0
nn
na z s z
∞
=
=∑ para z R< , donde 0R > . Entonces
a) Si ( )s x ∈ , x∀ ∈ con x R< , demostrar que todos los coeficientes
na son reales. ( ) ( )0
!
n
n
f za
n= , como la derivada de una función real es una función real, na es real.
b) Si s es una función par (es decir, si ( ) ( )s z s z= − para todo complejo z
con z R< , demostrar que 0na = para todo n impar.
Dado un número complejo z :
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 4 2 2 10 1 2 3 4 2 2 1
0
2 3 4 2 2 10 1 2 3 4 2 2 1
0
2 3 4 2 2 10 1 2 3 4 2 2 1
... ...
... ...
... ...
n n nn n n
n
n nnn n n
n
n nn n
s z a z a a z a z a z a z a z a z
s z a z a a z a z a z a z a z a z
a a z a z a z a z a z a z
∞+
+=
∞+
+=
++
= = + + + + + + + +
− = = + − + − + − + − + + − + − + =
− + − + + + − +
∑
∑
Igualando e identificando coeficientes:
2 3 4 2 2 10 1 2 3 4 2 2 1
2 3 4 2 2 10 1 2 3 4 2 2 1
... ...
... ...
n nn n
n nn n
a a z a z a z a z a z a z
a a z a z a z a z a z a z
++
++
+ + + + + + + + =
− + − + + + − +
1
3
2 1
00
0n
aa
a +
==
=
2. Demostrar que si 0na ≥ , 1, 2,...,n = y 0
nn
na R
∞
=∑ converge para un 0R > ,
entonces 0
nn
na z
∞
=∑ converge para todo complejo z con z R= .
0 0 0 0
nn n nn n n n
n n n na z a z a z a R
∞ ∞ ∞ ∞
= = = =
= = =∑ ∑ ∑ ∑ que converge 0
nn
na z
∞
=∑ converge.
Mostrar, con un ejemplo, que ello no es cierto si se suprime la primera hipótesis.
3. Demostrar que 0
n
nz
∞
=∑ no es uniformemente convergente en ( )0,1B .
4. Calcular los ceros de las funciones 1 ze+ , ( )sinh z , ( )cosh z , 1 zee− , 1 zi e+ − .
( )
1 01
1
012 1
arg( 1)
z
z
x iy x iy
x
eee e e
xez n i
yyπ
π
+
+ =
= −
= = −
=⎫= − ⎫= +⎬ ⎬== − ⎭⎭
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
sinh 0
02
0
0
cos coscos cos
( ) ( )
z z
z z
z z
x xz z
iy iy
z
e e
e ee e
e e xe e
y yy isen y y isen ye e sen y sen y y n
z n iπ
π
−
−
−
−−
−
=
−=
− =
=
= → =⎫= ⎪
⎧ = −⎬+ = − + − ⎨= ⎪⎭ = − → =⎩
=
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cosh 0
02
0
0
cos coscos cos 2
( ) ( )
2
z z
z z
z z
x x
z z
iy iy
z
e e
e ee e
e e xe e
y y y ny isen y y isen ye e
sen y sen y
z n i
π π
π π
−
−
−
−
−
−
=
+=
+ =
= −
= → =⎫= − ⎪ ⎧ = − − → = +⎬ ⎪+ = − − − − ⎨= − ⎪⎭
⎪ = − −⎩⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
1
1 1
1 0
1
1
1 11 2
2
z
z
z
z x
ee
ee
e
e e xz ni
y nπ
π
+
+ +
− =
=
=
⎫= = → = − ⎪ = − +⎬= ⎪⎭
( )
( )( )
1 01
11 2 ln 2 12 ln 2 22 4arg 1 2
4
z
z
z x
i ee i
e e i xz i n
y i n
ππππ
+ − =
= +
⎫= = + = → = ⎪⎪ ⎛ ⎞= + +⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪= + = +
⎪⎭
5. Si a y b son reales, probar que ( )12
a b+ es un argumento de ia ibe e+ . Calcular
el módulo. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 12 2 2 2 2
12
1
i a b i a b i a b i a b ia ia ib ib ia ib i a b ia ib ia ibia ib ia ib
i a b i a b i a b i a b i a b
i a b
e e e e e e e e e e e e e
e e e e ee
+ − + − + + − − − − + − − +
+ − − − + −
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6. Probar que ( )1 cos0
zz
−→ cuando 0z → .
( )' 0
11 cos 22 ( ) 02 2
iz iz
iz iz iz iz
L Hoppital z
e ez e e e esen z
z z z i
−
− −
→
+−− − − −
= = ⎯⎯⎯⎯→ = ⎯⎯⎯→
Deducir que ( )1 2nn iω π− → cuando n →∞ , donde 2
:i
nn e
π
ω = .
2
2 22
'
2
2
1 2 21
ini i
n nL hoppital
i enn e ie i
n
π
π ππ
π π
−⎛ ⎞
− ⎯⎯⎯⎯→ = =⎜ ⎟⎝ ⎠ −
7. Si x∈ y no es múltiplo de 2π , probar que
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
sin 211 cos cos 1 cos 1 ,2 sin 1 2
sin 21sin sin 1 sin 1 .2 sin 1 2
n xx n x n x
x
n xx n x n x
x
+ + + − = −
+ + − = −
…
…
8. Si 0y ≠ , demostrar que ( )cos x iy+ es real si y solo si x es múltiplo entero de
π . Escribir el conjunto de los z para los cuales ( )sin z es real, y deducir que si
tanto ( )cos z como ( )sin z son reales, entonces z es real.
( )( ) ( )
cos2 2 2 2
i x yi i x iyiz iz ix y ix y ix y ix ye e e e e e e e e ez+ − +− − − + − −+ + + +
= = = =
Esto será real siempre que ix y ix ye e e e− −+ sea real. La suma está formada por dos números complejos de ángulos opuestos x y x−
de módulos ye− y ye respectivamente. Gráficamente:
ye -
ye
x
x-
Así pues, la suma será real cuando ( ) ( ) 0y ye sen x e sen x− + − =
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
0
0
00
0 0
y y
y y
y yy y y y
e sen x e sen x
e sen x e sen x
sen x x nsen x e e
e e e e y y yπ
−
−
−− −
+ − =
− =
= → =− + =
− + = → = → = − → =⎧⎪⎨⎪⎩
( )( ) ( )
2 2 2 2
i x iy i x iyiz iz ix y ix y ix y ix ye e e e e e i e e e esen z ii i i i
+ − +− − − + − −− − − −= = = == = −
Esto será real siempre que ix y ix ye e e e− −− sea imaginario. La resta esta formada por un número complejo de módulos ye− y argumento x menos un número de módulo ye y argumento x− . Así pues, la resta será real cuando ( ) ( )cos cos 0y ye x e x− − − =
( ) ( )
( ) ( )( )
cos cos 0
0 0cos 0
cos 02
y y
y y y y
y y
e x e x
e e e e y y ye e x
x x n ππ
−
− −
−
− − =
⎧ − = → = → = − → =⎪− = ⎨
= → = +⎪⎩
Si ( )sen z es real y ( )cos z es real 0y→ = . Con lo cual, z es real.
9. Sea ( ) 1: sinf z zz
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
si 0z ≠ , ( )0 0f = . Estudiar la continuidad de f en 0.
Nos aproximamos al posible punto de discontinuidad ( )0z = . Por el eje real: z a=
( )1 1 1 1
" "
0
11
' 0
1 0sin 02 2 2 2
12 2
i i i ia a a a
a
ia i
aL Hoppital a
e e e ef a a a a aa i i i i
ea ei
− −
→
→
− ⋅∞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − ⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→∞
10. Dado z , probar que 0log 1 znn
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
está definida para todo n suficientemente
grande y tiende a z cuando n →∞ . Deducir que 1nz
n⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
tiende a ze cuando
n →∞ .
Para n suficientemente grande:
( )
arg 1 arg 1 arg 1 arctan arctan1
arctan arctan 0 0n
b bz a bi a b n ni a n an n n n
n nb
n a →∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = + + = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⎯⎯⎯→ =⎜ ⎟+⎝ ⎠
2
0
0 '
2
1
log 1 1 1log 1 1 1 1L Hoppital
zz zn
z n nn z zznn n n
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ = ⎯⎯⎯⎯→ = =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠
0 0log 1 log 11
nn z znzn n
n
z e e en
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→∞
⎛ ⎞+ = = ⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎝ ⎠
11. Demostrar que tan( )z define una transformación inyectiva de
( ): Re \2 2 2
z zπ π π⎧ ⎫ ⎧ ⎫− < ≤⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭
sobre { }\ ,i i− .
12. Sea f una función continua con valores reales definida en el intervalo real
[ ],a b . Dado z∈ , se define
( ) ( ):b
zt
a
F z e f t dt−= ∫ .
Demostrar que ( ) ( )' :b
zt
a
F z te f t dt−= −∫ . F se llama la transformada de Laplace
de f . 13. Sea f una función continua con valores reales definida en el círculo { }: 1z z = .
Demostrar que existe z en ese círculo con ( ) ( )f z f z= − .
1.2 Derivación 1. Determinar los puntos de donde las funciones siguientes son derivables:
a) ( ) 2 2:f x iy x iy+ = +
2
2
2 22 2
0 0
u xv y
u vx yx y
x y x yv ux y
=
=
∂ ∂ ⎫= ≡ = ⎪∂ ∂ ⎪ = → =⎬∂ ∂ ⎪= ≡ − =⎪∂ ∂ ⎭
b) ( ) 2: 2f x iy x ixy+ = +
2
2
2 20
2 0
u xv xy
u vx xx y
yv uyx y
==
∂ ∂ ⎫= ≡ = ⎪∂ ∂ ⎪ =⎬∂ ∂ ⎪= ≡ − =⎪∂ ∂ ⎭
c) ( ) 32: 23
f x iy xy i x y⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
3
22
223
02 22 2 11 2 11 2
2
u xy
v x y
u v yy yx y y y yv u xx xx y
=
= +
∂ ∂ =⎫= ≡ = ⎪ ⎫∂ ∂ =⎪ =⎬ ⎬∂ ∂ = − ⎭⎪= ≡ − = − = −⎪∂ ∂ ⎭
d) ( ) :f x iy x iy+ = −
1 0
0 0
u xv y
u vx y
v ux y
== −
∂ ∂ ⎫= ≠ = ⎪∂ ∂ ⎪⎬∂ ∂ ⎪= ≡ − =⎪∂ ∂ ⎭
No es derivable en ningún punto
2. Probar que las únicas funciones derivables de la forma ( ) ( ) ( ):f x iy u x iv y+ = +
(donde u y v son funciones reales) son ( ) :f x iy z cλ+ = + , donde λ∈ y c∈ .
3. Si f es derivable y f es constante n ( )0;B z r , para un cierto 0z ∈ y 0r > ,
probar que f es constante en ese disco. ( )
( ) ( )
2 2
2 2
0
2 00
' 000 2
f x iy x y
u x yv
u vxxx y
f z f z ctev u yyx y
+ = +
= +=
∂ ∂ ⎫= ≡ = ⎪ =∂ ∂ ⎫⎪ = → =⎬ ⎬∂ ∂ = ⎭⎪= ≡ − = −⎪∂ ∂ ⎭
4. Sea ( ) ( ) ( )3 3
2 2
1 1:
i x i yf x iy
x y+ − −
+ =+
, si 0x iy+ ≠ , ( )0,0 0f = . Probar que f
satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero no es derivable en ( )0,0 .
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3
2 2
3 3
2 2
2 2
2 22 2 2 2 2 2
2 22 2
2 22 2 2 2
1 1:
3 2 3 2
3 2 3 23 2 3 23 2 3 2
i x i y x ix y iy x y x yf x iy ix y x y x y x y
x yux yx yvx y
u x x v y yx yx y x y xx x y y
x x y yv x x u y yx yx y x y
+ − − + − + − ++ = = = +
+ + + +
−=
+
+=
+
⎫∂ − ∂ −= ≡ = ⎪∂ ∂+ + ⎪ =⎫− = −
⎬ ⎬− = +∂ − ∂ − − ⎭⎪= ≡ − = − ⎪∂ ∂+ + ⎭
00y =
Estudiamos la continuidad: El único punto posible de discontinuidad sería el ( )0,0 . Nos acercamos por rectas z a ai= +
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 2 4 04 32 2 2 2 2
3 23 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2
44 4 02a
a ax x a a a a a a aa
aa ax y a a aa
→
−− − − − − −
= = = = = ⎯⎯⎯→ = −∞+ +
No existe continuidad.
5. Si λ∈ y ( ): 1iχ λ λ= + − , entonces 2 12
χ > . Deducir que si ( ) 3:f z z= ,
entonces no hay ningún punto en χ en el segmento [ ]1, i tal que
( ) ( ) ( ) ( )1 1 'f i f i f χ− = − . Relacionar este ejemplo con el comportamiento de las funciones reales.
Veamos los valores de χ :
Para 0λ = iχ = Para 0, 25λ = 0, 25 0,75iχ = + Para 0,5λ = 0,5 0,5iχ = + Para 0,75λ = 0,75 0,25iχ = + Para 1λ = 1χ = Para 1'25λ = 1, 25 0 '25iχ = −
6. Sea u la parte real de una función compleja derivable definida en un subconjunto abierto A de . Probar que u es armónica.
u derivable
u vx y
v ux y
∂ ∂⎧ ⎫=⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪⎨ ⎬∂ ∂⎪ ⎪= −⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭
u armónica 2 2
2 2 0u uux y∂ ∂
Δ = + =∂ ∂
2 2 2 2
2 2
u u u u v v u uux y x x y y x y y x x y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = + = + = + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7. Si ( ) ( ) ( ): , ,f x iy u x y iv x y+ = + , demostrar que las curvas
( ),u x y = constante ( ),v x y = constante Son ortogonales en todo punto donde f sea derivable con derivada distinta de 0.
f derivable
u vx y
v ux y
∂ ∂⎧ ⎫=⎪ ⎪∂ ∂⎪ ⎪⎨ ⎬∂ ∂⎪ ⎪= −⎪ ⎪∂ ∂⎩ ⎭
u y v ortogonales 0u v∇ ⋅∇ =
,
,
, , 0
u uux y
v vvx y
u u v v u v u v u u u uu vx y x y x x y y x y y x
⎛ ⎞∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ ⋅∇ = ⋅ = + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
8. Si la parte real de todos los ceros de un polinomio P es negativa, probar que la parte real de todos los ceros de 'P también es negativa.
9. Dadas dos funciones derivables f y g definidas en un conjunto abierto conexo G , tales que ( ) ( ) 0f z g z⋅ = para todo z G∈ , demostrar que alguna de las dos funciones es idénticamente nula.
1.3 Integración
1. Calcular las integrales de las funciones ( )1z z − y ( )Re z a lo largo de los segmentos: a) [ ]0 1 i→ + [ ]( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
1 1 1
0 0 0
11 3 22 2 22
0 0
3 2
1
0
: 0,1
'( ) 1
( ) ' ( 1) 1 (1 )( (1 ) 1) 1
1 11 1 1 1 1 13 2 3 2
1 1 23 2 3 3
( ) ' Re( ) 1
t t itt i
f z dz f t t dt t it t it i dt t i t i i dt
t ti t i tdt i i i i
i i i
f z dz f t t dt t it i dt
γ
γ
γ
γ
γ
γ γ
γ γ
→
= +
= +
= = + + − + = + + − + =
⎡ ⎛ ⎞= + + − = + + − = + + − =⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
+ += − = −
= = + + =
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ( ) ( ) ( )11 1 2
0 0 0
11 1 12 2
1 12 2
tt i dt i i
i
⎡+ = + = + =⎢
⎣
= +
∫ ∫
b) [ ]0 1→
[ ]( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
11 1 1 3 22
0 0 0 0
11 1 1 2
0 0 0 0
: 0,1
'( ) 1
1 1 1( ) ' ( 1)3 2 3 2 6
1( ) ' Re( )2 2
t tt
t tf z dz f t t dt t t dt t t dt
tf z dz f t t dt t dt tdt
γ
γ
γ
γ
γ
γ γ
γ γ
→
=
=
⎡= = − = − = − = − = −⎢
⎣
⎡= = = = =⎢
⎣
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
c) [ ]1 1 i→ +
[ ]( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
1 1 1 12
0 0 0 0
12 3
0
1 1 11
00 0 0
: 0,1
1'( )
( ) ' 1 (1 1) 1 ( )
12 3 2 3
( ) ' Re(1 )
t itt i
f z dz f t t dt it it idt it t dt t it dt
t t ii
f z dz f t t dt it idt idt i t i
γ
γ
γ
γ
γ
γ γ
γ γ
→
= +
=
= = + + − = + − = − − =
⎡ ⎛ ⎞− + = − +⎢ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣
⎡= = + = = =⎣
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
2. Sea ( )f x iy xy+ = . Probar que la integral de f a lo largo del semicírculo
itt e→ , 0 t π≤ ≤ es 23
i
[ ]( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
0 0 0
2
0 0 0
2 3
0
: 0,
'( )
( ) ' Re Im cos
1 12 2 4 4
1 114 4
it
it
it it it it
it it it itit it it it it it it it it it it
it it it it
t e
t ie
f z dz f t t dt e e ie dt i t sen t e dt
e e e ei e dt e e e e e dt e e e e dti
e e e dt e e
π π π
γ
π π π
π
γ π
γ
γ
γ γ
− −− − − − +
− −
→
=
=
= = = =
+ −= = + − = + − =
= + − = = +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3
0 0
3 33 3
0 0
14
1 1 1 1 1 1 3 3 14 4 3 4 3 3 12
1 8 2 21 3 3 112 12 3 3
it it it it it it it it
it it i iit it i i
e e dt e e e e dt
e e e ee e dt e ei i i i i i
ii i i
π π
ππ π ππ π
+ − −
− −− −
− − = + − − =
⎡ ⎛ ⎞= − = + = + − − = + − − =⎢ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣
= − − − − = − = − =
∫ ∫
∫
3. Calcular la integral de la función 1z a lo largo del perímetro del cuadrado
de lado 2 centrado en el origen y recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj.
Al no quitar singularidades, podemos trabajar con una circunferencia de radio 1 en vez de con el cuadrado.
( )0,1
1 12 Re ,0 2C
dz i s iz z
π π⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
4. Sea f ( )0
: nn
n
f z a z∞
=
=∑ en z R< , donde 0R > . Sea 0 r R< < y n∈ .
Probar que existe z en ( )0,C r con
[ ]1
0
1 nn
z
f a rn −
→
≥∫
5. Calcular ( )0,1
1
C
dzz∫ directamente, cuando se recorre la circunferencia en
sentido positivo.
( )0,1
1 12 Re ,0 2C
dz i s iz z
π π⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
6. Si φ es una trayectoria cerrada, probar que zdz
φ∫ es puramente imaginario.
7. Si f es una función par, demostrar que ( )0,
0C r
f =∫ para todo 0r > .
8. Demostrar, usando integración, que la serie
( ) ( ) 10
1log 1 1
nn
n
zzn
∞−
=
+ = −∑
Es también valida para z con 1z = y 1z ≠ − . Deducir que
( ) ( )1
1
1 1sin2
n
nnt t
n
+∞
=
−=∑
para tπ π− < < .
9. Calcular ( )( ),2 1
z
nC i
ez −∫ , donde n es un entero positivo.
1.4 Fórmula de Cauchy y aplicaciones. 1. Sea ( ) :f x iy x y+ = + , z x iy= + ∈ . Definir ( )
[ ]0
:z
F z f→
= ∫ . Determinar
los puntos en los que F es diferenciable.
[ ]( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( )
1 1 1
0 0 0
11 2
0 0
2 2 2 2
: 0,1
'( )
( ) ' Re Im Re Im
Re ImRe Im Re Im
2 2
2 2 2 2
t ztt z
f z dz f t t dt zt zt zdt z t z z dt
z z ztz z z tdt z z z
x yi x y x xyi xy y i x xy y xy i
γ
γ
γγ
γ γ
→
=
=
= = + = + =
⎡ +⎢= + = + = =⎢⎣
+ + + + + + += = = +
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Calculamos la diferenciabilidad de la función:
2
22
22 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2 0
2 2 2 2
x xyu
y xyv
u x y v y x x y y xx y y xx y
x x x x x x xv y u x y x y xx y
+=
+=
∂ + ∂ + ⎫ + + ⎫= ≡ = =⎪ ⎪ + = +∂ ∂ ⎫⎪ ⎪ − = − + → = − → =⎬ ⎬ ⎬∂ ∂ = − ⎭⎪ ⎪= ≡ − = − = −⎪⎪∂ ∂ ⎭⎭
La función solo es diferenciable en 0z = .
2. Sea φ una trayectoria suave por tramos, cerrada y contenida en . Sea f
una función derivable con valores complejos definida en un conjunto abierto que contiene a la imagen *φ de la trayectoria. Si ( ){ }*:f z z φ∈ no corta a
{ }: 0x x∈ ≤ , demostrar que ' 0ffφ
=∫ .
3. Calcular ( )( )( )0,1
1
C
dzz a z b− −∫ , donde
a) , 1a b <
( )( )( ) ( )( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
1
111
11
1 11
A z b B z aA Bz a z b z a z b z a z b
A z b B z a
z b A b b B b a B b a Bb a
z a A a b B a a A a b Aa b
a b b az a z b z a z b
− + −= + =
− − − − − −
= − + −
= → = − + − = − → =−
= → = − + − = − → =−
− −= +− − − −
( )( )( ) ( ) ( )( )
( )( )
0,1 0,1 0,1 0,1
1 1 1 11 1 12 2
1 12 2 0
C C C C
a b b a a b b adz dz dz i iz a z b z a z b z a z b a b b a
b a a bi ia b b a a b b a
π π
π π
− − − −= + = + = + =− − − − − − − −
⎛ ⎞− + −⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫
b) 1, 1a b< >
( )( )( ) ( ) ( )( )0,1 0,1 0,1 0,1
1 1 1 11 1 12 0 2
C C C C
a b b a a b b adz dz dz i iz a z b z a z b z a z b a b a b
π π− − − −= + = + = + =− − − − − − − −∫ ∫ ∫ ∫
c) , 1a b >
( )( )( ) ( ) ( )( )0,1 0,1 0,1 0,1
1 1 1 11 0 0 0
C C C C
a b b a a b b adz dz dzz a z b z a z b z a z b
− − − −= + = + = + =− − − − − −∫ ∫ ∫ ∫
4. Calcular ( )0,2 1
z
C
e dzz −∫ y
( )0,2 2
z
C
e dzi zπ −∫
( )
( )( )
0
00,
2C z r
f zif z
z zπ=
−∫
( )
1
0,2
2 21
z
C
e dz ie iez
π π= =−∫
( ) ( ) ( )
22
0,2 0,2 0,2
2 22 2 2
2
zi
iz z
C C C
ee e edz dz dz i ieii z z i z
ππ
π πππ π= − = − = − = −
− − −∫ ∫ ∫
5. Calcular las series de Taylor para las funciones ( )sin z y ( )cos z
desarrolladas en 4π
( ) ( )00 0 4
nn
n nn n
f z a z z a z π∞ ∞
= =
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
De donde: ( ) ( )0n
n
f za
n=
Así pues, para ( )sin z :
0
1
2
3
2sin4 2
2cos4 2
2sin4 4
2cos4 12
a
a
a
a
π
π
π
π
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Y para ( )cos z :
0
1
2
3
2cos4 2
2sin4 2
2cos4 4
2sin4 12
a
a
a
a
π
π
π
π
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
6. Probar que la serie de Taylor de 2
11 z z+ +
en 0 es 0
nn
na z
∞
=∑ , donde
0 1 1a a= = , 2 0a = , y 3n na a+ = − , 0n > .
( )( )( ) ( ) ( )( )
( )
0
2
1 1 1 2, 0, 0,0
2
0, 1
11 1 1 11
2 2 2 1
1 31 1 4 1 3 21
2 2 1 32
1 12 1 3 1 3
2 2
n n n nC z r C r C r
nC r n
f z z za dz dz dzi i z i z z zz z
i
z z zi
a dzi i iz z z
π π π
π
+ + +
+
− += = =− +−
⎧ +⎪± − ± − ⎪− + → = = = ⎨−⎪
⎪⎩
=⎛ ⎞⎛ ⎞+ −
− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫
11
1 1
1
1
11 3 1 31 3 1 3
2 22 2
1 3 1 3 1 3 1 32 2 2 2
1 3 1 32 2
1 3 1 3 1 312 2 2
nn
n n
n
n
A B Cz i ii i z zz z z
i i i iA z z Bz z Cz z
i iz z z
i i iA z z Bz z
++
+ +
+
+
= + + =⎛ ⎞⎛ ⎞ + −+ − − −− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − +− − + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎛ ⎞⎛ ⎞+ −
− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ − −= − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝
1
1 1 1
1
1 1
1 32
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 31 32 2 2 2 2 2
1
3 32
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 31 32 2 2 2 2
n
n n n
n
n n
iCz z
i i i i i iz B B i B
Bi
i i i i i iz C C i C
+
+ + +
+
+ +
⎞ ⎛ ⎞++ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − + −= → = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − + += → = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )( )
1
1
32
1
3 32
1 3 1 31 3 1 3 1 3 3 30 12 2 4 4
1
n
nCi
i ii i i iz A A A A
A
+
+
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= −⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − +⎜ ⎟= → = − − = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠=
( )
( )
( )
0, 1
1 1
10,
1 1
10,
1 12 1 3 1 3
2 2
1 1
3 3 3 32 21 1
2 1 3 1 32 2
1 1
3 3 3 32 21 1
2 1 3 1 32 2
nC r n
n n
nC r
n n
nC C r
a dzi i iz z z
i i
dzi z i iz z
i i
dz dz dzi z i iz z
π
π
π
+
+ +
+
+ +
+
= =⎛ ⎞⎛ ⎞+ −
− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟= + + =+ −⎜ ⎟− −⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + +
+ −− −
∫
∫
∫( )( )
( )( )( )
0, 0,
1 110, 0, 0,
1 1 1
1 1 1 1 1 12 1 3 1 33 3 3 3
2 22 2
1 1 1 1 10 2 22 3 3 3 3 3 3
2 2 2
C r r
n nnC r C r C r
n n n
dz dz dzi z i ii iz z
i ii i i i
π
π ππ
+ ++
+ + +
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
= + − =⎜ ⎟+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
= + − = −⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫ ∫
13 32
ni
+ =⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
7. Calcular ( )( )1,2 1
z
nC
e dzz −∫ , donde n es un entero positivo.
( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
0 , 1, ,2 ,20
0
,2
1 1 1 22 2 21 1 1
! !2
!1
z z z
n nn n n nC z r C r C i C i
n
n
z
nC i
f z e e ea iai i iz z z z z
f z ean n
e ienz
ππ π π
π
= = = → =− − − −
= =
=−
∫ ∫ ∫ ∫
∫
8. Calcular el orden del cero de cada una de las siguientes funciones en 1:
a) 1 1ze − −
1
1
1 01
1 01
z
z
eezz
−
−
− =
=− ==
Orden 1
b) ( )sinz z
( ) ( )0
sin 0sin 0
zz z
z z nπ=⎧
= ⎨ = → =⎩
No se hace 0 en 1
c) 5 4 23 8 9 3z z z z− + − +
( )( )( ) ( )( ) ( )
5 4 2
4 3 2
2 3 2
3 2
3 8 9 3 0
1 z 2 2 6 3 0
1 3 3 0
1 3 0
z z z z
z z z z
z z z z
z z
− + − + =
− − − + − =
− − − + =
− − =
Orden 3
9. Sean f y g dos funciones derivables definidas en un conjunto D abierto y conexo en . Suponer que ( ) ( ) 0f z g z⋅ = , z D∀ ∈ . Probar que alguna de las dos funciones es idénticamente nula en D.
1.5 Desarrollo de Taylor y Laurent, ceros, puntos singulares, residuos
1. Escribir la serie de Laurent de la función ( ) ( )2
1:1
f zz z
=+
en ( )' 0;1B y en
( )\ 0;1C B .
( ) ( ) ( )222 2
0
1 1 1 1 1 111 1
n
n
zz z z zz z z
∞
=
= = = −++ − −
∑
( ) 3 3 220
2 2
1 1 1 1 1 1 11 11 1 1
n
nz z z zz zz z
∞
=
⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟⎛ ⎞+ ⎝ ⎠+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
2. Si f es una función par (impar) que no tiene una singularidad esencial en 0,
probar que ( ),0ord f es par (impar).
3. Dar una lista y clasificar las singularidades de las siguientes funciones:
a) 2 2
1 11z z
++
Polo de orden 2 en 0 Polos de orden 1 en i , i−
b) ( )sinz
z
Singularidad evitable en 0z = Polos de orden 1 en z nπ=
c) 1zze
+
1 1
0 0
11 1
! !
n
nz z z zz z
n n
ze e e e en z n
∞ ∞+
= =
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑
Singularidad esencial
d) 2
11ze −
Polo de orden 2 en 0
4. Si f tiene una singularidad esencial en 0z , demostrar que 2f también la tiene. Si f tiene una singularidad esencial en 0z y es no nula en un entorno
de 0z , probar que 1f
tiene una singularidad esencial en 0z .
5. Si f es derivable en excepto en un conjunto de puntos aislados S (sus singularidades aisladas), probar que S K∩ es finito, si K es un subconjunto compacto de . Deducir que S es un conjunto compacto o infinito numerable.
6. Encontrar el orden de los ceros de cada una de las funciones siguientes:
a) 1 1ze − −
1
1
1 01
1 01
z
z
eezz
−
−
− =
=− ==
Cero de orden 1 en 1
b) ( )sinz z
( ) ( )0
sin 0sin 0
zz z
z z nπ=⎧
= ⎨ = → =⎩
Cero de orden 2 en 0 Cero de orden 1 en el resto de nπ
c) 5 4 23 8 9 3z z z z− + − +
( )( )( ) ( )( ) ( )
5 4 2
4 3 2
2 3 2
3 2
3 8 9 3 0
1 z 2 2 6 3 0
1 3 3 0
1 3 0
z z z z
z z z z
z z z z
z z
− + − + =
− − − + − =
− − − + =
− − =
Cero de orden 3 en 1 Cero de orden 1 en 3+ y 3−
7. Calcular las series de Taylor de las funciones cos y sin en el punto 4iπ
a) Usando las formulas de adición para ambas funciones b) Derivando para encontrar los coeficientes
( ) ( )00 0 4
nn
n nn n
f z a z z a ziπ∞ ∞
= =
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
De donde:
( ) ( )0n
n
f za
n=
Así pues, para ( )sin z :
0
1
2
3
sin4
cos4
sin4
2
cos4
6
ai
ai
ia
ia
π
π
π
π
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠=
Y para ( )cos z :
0
1
2
3
cos4
sin4
cos4
2
sin4
6
ai
ai
ia
ia
π
π
π
π
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=
8. Calcular la serie de Taylor para la función 2
11 z z− +
en 0, así como su radio
de convergencia
( ) ( )00 0
n nn n
n n
f z a z z a z∞ ∞
= =
= − =∑ ∑
De donde: ( ) ( )0
!
n
n
f za
n=
Así pues:
( )( ) ( )
( )( )( )( )
( )( )
0
01 22
0 0
2 2 2 30 0 0 0 0 0 0 0 0
2 4 4 42 2 20 0 0 0 0 0
11 2 1
1
2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 3 3 20
1 1 1
aza
z z
z z z z z z z z za
z z z z z z
=−
= =− +
− − − + − + − + − − + − + − + −= = = =
− + − + − +
9. Calcular el residuo de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a) ( ) 2
1:1
f zz
=+
, 0z i=
( ) '2 2
1 1 11 1 2 2 2L Hoppital z i
z i iz iz z z i→
−− = ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ = −
+ +
b) ( ) ( )1:
sinf z
z= , 0z nπ= , n entero
c) ( ) sin1 cos
zf zz
=−
, 0 0z =
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )' 0
sin sin sin z cos1 cos 2
1 cos 1 cos sin sinL Hoppital z
z z z z z zz zz z z z →
+= ⎯⎯⎯⎯→ = + ⎯⎯⎯→
− −
d) ( )( )
2
22 2: zf z
z a=
+, 0a ≠ , 0z ia=
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 22 2
z z zz ia z iaz ia z iaz a
= =− +− ++
0z ia= polo de orden 2
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
2 2 2 222 4 3 42
2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 42 2 2 2
4 3 4 4 4 4
4 2 4 4 42 4
2 22 2
2 2 122
z ia
z ia
z z iaz az z iaz z iaz aa z iaz z a a z z a az a z a
ia ia ia a a a aa a aia ia a a
− →
→
− +− − += − = = = ⎯⎯⎯→
+ + + ++ +
− + − +⎯⎯⎯→ = =
− ++ +
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( )
24 2 2 4 4 2 2 42
1 2 22 4 2 2 4 22 2 2 2 2
2 2 4 4 2 2 2
'6 4 2 4 2 2 3 3 2 4 5 3 2 2 3 4
212
2 2 42 2 3 4 5L Hoppital z ia
z z a z z z a aza z ia z ia z iaz z z a a zz a z a z
z a a z ia ia iz a izaz z a a z z a iz a z a iz za iz a z a iz
−
→
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − = − = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + +⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− − − += = ⎯⎯⎯⎯→
+ + − + − − + −( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 3
2 3 4 4 4 4 4 43 2
4 4 42 3 4 5 2 3 4 52 3 4 5
4 14
z ia
i ia a a aia ia ia ia iaia a i ia a ia a i ia
ia ia
→
⎯⎯⎯→
− −⎯⎯⎯→ = = =
+ − − + − −− + −
−= =−
e) ( ) ( )2
1:sin
f zz z
= , 0 0z =
0 0z = es un polo de tercer orden
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
33 ' 02
22 ' '2 3
' 0
1 1 1 1sin sin cos cos 0
sin 1 cos1 1 1 1sin sin sin sin cos
sin sincos cos sin 2cos sin
L Hoppital z
L Hoppital L Hoppital
L Hoppital z
za zz z z z
z z za z
z z z z z z z z z z
z zz z z z z z z
− →
−
→
= = ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ =
⎛ ⎞ − −= − = − = ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠
⎯⎯⎯⎯→ = ⎯ →+ − −
( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 ' '2 3 2 2 2
' '2
' 2
0
sin 1 cos1 1 1 1sin sin sin 2 sin cos
sin2sin 4 cos sin
cos2cos 4cos 4 sin 2 sin
L Hoppital L Hoppital
L Hoppital L Hoppital
L Hoppital
z z za z
z z z z z z z z z z z z
zz z z z z
zz z z z z z z
−
⎯⎯
⎛ ⎞ − −= − = − = ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠
⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→+ −
⎯⎯⎯⎯→+ − − − ( )
( )( ) ( ) ( ) 02
cos
cos 16cos 6 sin cos 6z
z
zz z z z z →
=
= ⎯⎯⎯→− −
10. Probar que ( )
20,2
2 sin1
az
C
e dz i az
π=+∫
( )( )21
az aze ez z i z i
=+ − +
tiene dos polos de orden 1 en z i= y z i= −
( )
( )
( )
( )
2 2 20,2
2 2
2 2
20,2
2 , ,1 1 1
,1 1 2
,1 1 2 2
21 2 2
az az az
C
az az az ai
z i
az az az ai ai
z i
az ai ai
C
e e edz i Res i Res iz z z
e e e eRes i z iz z z i i
e e e e eRes i z iz z z i i i
e e edz iz i i
π
π
→
− −
→−
−
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞= − = ⎯⎯⎯→⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
⎛ ⎞− = + = ⎯⎯⎯→ = −⎜ ⎟+ + − −⎝ ⎠
= −+
∫
∫ ( )2 2 sin2
ai aie ei i ai
π π−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
11. Si ( )0, 0ord f z k= > y ( )0, 1ord g z k= + , probar que
( )( ) ( )
( ) ( )0
0 10
, 1k
k
f zfRes z kg g z+
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠.
12. Calcular los residuos de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a) 3
izez z+
, 0z i= , 0 1z = .
( ) ( )( )3 2 1
iz iz ize e ez z z z i z iz z
= =+ + −+
polos de orden 1 en 0 0z = , 0z i= , 0z i= −
( ) ( ) ( ) ( )1
3 3
1,2 2
iz iz iz ii
z i
e e e e eRes i z iz z z z z z i i i i i i e
−
→
⎛ ⎞= − = ⎯⎯⎯→ = = −⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠
3 ,1 0izeRes
z z⎛ ⎞
=⎜ ⎟+⎝ ⎠
b) ( )
11 cos z−
, 0 0z = .
( )1
1 cos z− tiene 1 polo de orden 1 en 0 0z =
( ) ( ) '
1 1,01 cos 1 cos L HoppitalRes z
z z⎛ ⎞
= ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
c) ( ) ( )2
11 1z z− +
, 0 1z = .
( ) ( )21
1 1z z− + tiene 1 polo de orden 2 en 0 1z = y 1 polo de orden 1 en 0 1z = − .
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )
22 2 1
22
12 2 22 2
2 2 2 2 3 2 22
2 2 2 2 2
2
1 1 111 21 1
2 1 11 1 1,1 1 121 1 1 1 2 1 1
2 2 1 1 2 2 2 12 1 12 1 1 2 1 2 1
2
za zzz z
z z zRes a z z
zz z z z z z z
z z z z z z z z z zz z zz z z z z z z z z z z
z z
− →
−
= − = ⎯⎯⎯→+− +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = − − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− − + + − − + − − +− − += = = =
− + + − − + − −
−=
3 2 2 3 2 2
' 14 3 3 2 4 2 3
2 2 1 3 1 3 6 1 4 12 2 2 2 2 2 8 4 4L Hoppital z
z z z z z z z z zz z z z z z z z →
+ − − + − − + + − − + += ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ =
+ − − − −
d) ( )
1sinz z−
, 0 0z = .
( ) ( ) ( ) ( )'
1 1 1,0sin sin sin 1 cosL Hoppital
zRes zz z z z z z z
⎛ ⎞= = ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠
13. Suponer que f es derivable en { }1\ ,..., nz z , y tiene como serie de Laurent
nna z
+∞
−∞∑ en { }:z z R> , donde { }: : 1, 2,...,jR máx z j n= = . Probar que
( )11
,n
jj
a Res f z−=
= ∑ .
1.6. Algunas aplicaciones de las funciones complejas
1.6.1. Algunos corolarios teóricos
1. Demostrar el Teorema Fundamental del Algebra, es decir, el hecho de que todo polinomio complejo p no constante tiene al menos una raíz compleja.
2. Demostrar, como consecuencia del resultado anterior, que todo polinomio
complejo se puede factorizar (de forma única), es decir, ( ) ( ) ( ) ( )1 2
0 1 2 ... kn n nkp z a z z z z z z= − − − ,
donde, por supuesto, 1 ... kn n+ + es el grado del polinomio, y 1,..., kz z son las raíces del mismo.
1.6.2. Funciones armónicas
1. Sea :f D → una función definida en un conjunto abierto D ⊂ .
Suponer que f es derivable en D y sean u y v las partes real e imaginaria, respectivamente, de la función f . Probar que tanto u como v son funciones armónicas, es decir, que satisfacen la ecuación de Laplace:
2 2
2 2 0g gx y
∂ ∂+ =
∂ ∂
en cada punto de D . Las funciones u y v se llaman armónicas conjugadas.
f derivable
u vx y
v ux y
∂ ∂ ⎫= ⎪∂ ∂ ⎪⎬∂ ∂ ⎪= −⎪∂ ∂ ⎭
2 2 2 2
2 2: 0u u u u v v v vux y x x y y x y y y x y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ = + = + − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2 2
2 2: 0v v v v u u u uvx y x x y y x y y x x y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = − + = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠Dada una función :u D → armónica, desarrollar un método para calcular su armónica conjugada, supuesto que D sea un conjunto abierto y conexo.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
v uv dy k x dy k xy xv uv dx k y dx k yx y
u uv dx k y dy k xy x
∂ ∂= + = +
∂ ∂∂ ∂
= + = − +∂ ∂∂ ∂
= − + = +∂ ∂
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2. Elegir la constante a de modo que la función ( ) 3 2, :u x y x axy= + sea armónica. Entonces, calcular su armónica conjugada.
( ) ( )2 2
2 22 2 3 2 6 2 0 3u u u u x ay axy x ax a
x y x x y y x y⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ = + = + + = + = → = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
( ) ( )
( )( ) ( )
3 2
2 2
2 2
2 2 2 3
2 3 2 2 3
2
, : 3
3 3
6
3 3
6
3 3 33 3 3
6 3
u x y x xyu x yxu xyyu vx yx yu vxyy x
vv dy x y dy yx y k xy v yx y k x yx k y yx y
vv dx xydx yx k yx
= −
∂= −
∂∂
= −∂
∂ ∂ ⎫= − = ⎪∂ ∂ ⎪⎬∂ ∂ ⎪= − = −⎪∂ ∂ ⎭
∂ ⎫= = − = − + ⎪∂ ⎪ = − + = + = −⎬∂ ⎪= = = + ⎪∂ ⎭
∫ ∫
∫ ∫
3. Sea :u D → una función armónica definida en una región D ⊂ . Probar que u satisface las siguientes propiedades:
a) Dado cualquier punto ( )0 0,x y D∈ , se tiene que ( )0 0,u x y es el valor
medio de u en cualquier circunferencia centrada en ( )0 0,x y , de radio positivo y contenida en D .
b) Dado cualquier punto ( )0 0,x y D∈ , se tiene que ( )0 0,u x y es el valor
medio de u en cualquier disco centrado en ( )0 0,x y , de radio positivo y contenido en D .
c) Si u no es constante en D , y si G es un dominio acotado tal que G G Dδ∪ ⊂ , donde Gδ denota la frontera de G , entonces u no posee máximo ni mínimo en G , luego los extremos se alcanzan en Gδ .
d) Con las condiciones anteriores, si u es constante en Gδ entonces u es constante en G .
e) Si h es armónica en D y ( ) ( ), ,h x y u x y= , para todo ( ),x y Gδ∈ , entonces h u= en G .
1.6.3. Aplicaciones geométricas. Transformaciones conformes
1. Estudiar la transformación de Möbius.
( ) i zw f zi z−
= =+
.
Rectas horizontales:
120 1 0 31 1 0, 2 0, 4 1 2 0, 4 0, 21 1 0, 2 0, 4 1 2 0, 4 0, 2
2 31 1 2 1 2 21 1 2 1 2 2
z i wz w z i wz w i z i w i z i w i
z w i z i w i z i w i
z i w z i wz i w i z i w i
z i w i z i w i
⎫= = − ⎪= = = =⎫ ⎫⎪⎪ ⎪= = = + = − + = + = − +⎬ ⎬ ⎬
⎪ ⎪ ⎪= − = − = − + = − − = − + = − −⎭ ⎭ ⎪⎭
= − = ∞ = − = −⎫ ⎫⎪ ⎪= − = − + = − = − +⎬ ⎬⎪ ⎪= − − = − − = − − = − −⎭ ⎭
Rectas verticales:
0 1 1 2 0,6 0,80 1 0, 2 0, 4 2 0,5 0,51 1 2 0, 4 0, 2 2 2 0,5385 0,307723
1 2 0,6 0,81 0, 2 0, 4 2
1 2 0, 4 0, 2
z w z w i z w iz i w z i w i z i w i
z i w i z i w iz i w
z w i z w iz i w i z i w
z i w i
⎫⎪= = = = = = − +⎫ ⎫⎪ ⎪ ⎪= = = + = − + = + = − +⎬ ⎬ ⎬⎪ ⎪ ⎪= + = − + = + = − +⎭ ⎭⎪= = −⎭
= − = − = − = − −⎫⎪= − + = − − = − +⎬⎪= − + = − − ⎭
0,5 0,52 2 0,5385 0,3077
iz i w i
⎫⎪= − − ⎬⎪= − + = − − ⎭
Circunferencias en el eje x:
1 0 1 10 1 0, 2 0, 4 2 0,5 0,5
1 1 2 2 1
0 1 11 0, 2 0, 4 2 0,5 0,51 1 2 2 1
z w i z w z w iz i w z i w i z i w i
z i w z i w i z i w i
z w z w iz i w i z i w iz i w i z i w i
= = = = = =⎫ ⎫ ⎫⎪ ⎪ ⎪= = = + = − + = + = − +⎬ ⎬ ⎬⎪ ⎪ ⎪= − = ∞ = − = − + = − = − +⎭ ⎭ ⎭
= = = − = −⎫ ⎫⎪ ⎪= − + = − − = − + = − −⎬ ⎬⎪ ⎪= − − = − − = − − = − −⎭ ⎭
Circunferencias en el eje y:
1 0 1 00 1 0, 2 0, 4 1 2 0, 4 0, 2
1 0, 2 0, 4 1 2 0, 4 0, 2
0 1 11 1 2 1 2 21 1 2 1 2 2
z w i z w z i wz i w z i w i z i w i
z i w z i w i z i w i
z w z w iz i w i z i w i
z i w i z i w i
= = = = = =⎫ ⎫ ⎫⎪ ⎪ ⎪= = = + = − + = + = − +⎬ ⎬ ⎬⎪ ⎪ ⎪= − = ∞ = − + = − − = − + = − −⎭ ⎭ ⎭
= = = − = −⎫ ⎫⎪ ⎪= − = − + = − = − +⎬ ⎬⎪ ⎪= − − = − − = − − = − −⎭ ⎭
2. Demostrar que las dos familias de curvas ( ){ },u x y constante= y
( ){ },v x y constante= , donde u y v son las partes real e imaginaria de una función :f D → derivable, donde D es un subconjunto abierto de , son ortogonales.
3. Sea :f D → una función derivable definida en un subconjunto abierto de
. Supongamos que ( )0' 0f z ≠ , donde 0z es un cierto punto de D . Probar que entonces existe un entorno de V de 0z y un entorno de W de
( )0 0: f zω = tales que ( )f V W= y que f restringido a V es inyectiva.
Probar que existe un factor de escala K de modo que las figuras geométricas en V se transforman en figuras geométricas en W con una distorsión K , y que la transformación f preserva los ángulos.
4. Determinar las imágenes de la circunferencia ( )1;1C y de la recta 1y = bajo
las siguientes transformaciones:
a) ( ) 2f z z= 0 0 1 2
1 2 2 1 2 21 2 2 1 2 2
z w z wz i w i z i w iz i w i z i w i
= = = == + = + = + = += − = − = − = −
b) ( ) 3 1f z z i= + −
0 1 3 1 31 4 1 41 2 1 2
z w i z w iz i w i z i w iz i w i z i w i
= = − + = == + = = + == − = = − =
c) ( ) 2f z iz= 0 0 1 2
1 2 2 1 2 21 2 2 1 2 2
z w z w iz i w i z i w iz i w i z i w i
= = = == + = − = + = −= − = + = − = +
d) ( ) 1f z
z=
12 1 121 1 11 1
1 2 211 1 11
21 2
z w z wi iz i w z i w
iii z i wz i w
i
= = = =− −
= + = = = + =+
++= − == − = =
−
e) ( ) z if zz i+
=−
110 0 11 1 2 1 1 2
1 1 2 1 21 11 2 5 5
iz w iz w iz i w i z i w i
i iz i w z i wi
+= = == = −
= + = + = + = ++ +
= − = = = − =−
f) ( ) 2f z z=
0 0 1 11 2 1 21 2 1 2
z w z wz i w i z i w iz i w i z i w i
= = = == + = = + == − = − = − = −
5. Probar que toda transformación de Möbius conserva la razón doble de cuatro puntos cualesquiera. Como aplicación, determinar una transformación de Möbius que convierta la circunferencia unidad en el eje OX .
Dada la transformación de Möbius az bwcz d
+=
+
Y dados:
11 1
1
22 2
2
33 3
3
44 4
4
az bz wcz daz bz wcz daz bz wcz daz bz wcz d
+⎧ =⎪ +⎪+⎪
=⎪ +⎪⎨ +⎪ =⎪ +⎪
+⎪ =⎪ +⎩
Veamos si se cumple 3 4 3 41 2 1 2
1 4 3 2 1 4 3 2
z z w wz z w wz z z z w w w w
− −− −=
− − − −
( )( ) ( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )
3 41 2
3 4 3 4 3 41 2 1 2 1 2
1 4 3 21 4 3 2 1 4 3 2
1 4 3 2
1 2 2 1 3 4
1 2
1 4 4 1
1 4
az b az baz b az bz z w w cz d cz dz z w w cz d cz d
az b az b az b az bz z z z w w w wcz d cz d cz d cz d
az b cz d az b cz d az b cz dcz d cz d
az b cz d az b cz dcz d cz d
+ ++ + −−− − + +− − + +
= = =+ + + +− − − − − −+ + + +
+ + − + + + ++ +
=+ + − + +
+ +
( )( )( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
4 3
3 4
3 2 2 3
3 2
1 2 2 1 1 2 1 2 3 4 4 3 3 4 3 4
1 3
1 4 4 1 1 4 1 4 3 2 2
1
az b cz dcz d cz d
az b cz d az b cz dcz d cz d
acz z bcz adz bd acz z bcz adz bd acz z bcz adz bd acz z bcz adz bdcz d cz d
acz z bcz adz bd acz z bcz adz bd acz z bcz adzcz d
− + ++ +
+ + − + ++ +
+ + + − + + + + + + − + + ++ +
=+ + + − + + + + +
+( ) ( )
( )
( )
3 3 2 3 2
3
4 3 3 42 1 1 2
4 1 1 4 2 3 3 2
2 4 1 4 1 4 2 4 2 3 1 3 1 3 2 3
4 1 1 4
bd acz z bcz adz bdcz d
bcz adz bcz adzbcz adz bcz adzbcz adz bcz adz bcz adz bcz adzbcz bcz adz bcz bcz bcz adz bcz bcz adz adz adz bcz adz adz adz
bcz adz bcz adz b
=+ − + + +
+
+ − −+ − −= =
+ − − + − −
+ − − + + − −=
+ − − ( )
( )( )( ) ( )
2 3 3 2
2 3 1 3 1 3 2 3 2 4 1 4 1 4 2 4
4 1 1 4 2 3 3 2
2 22 4 1 4 2 3 1 3 1 4 2 4 2 3 1 3 1 3 2 3 2 4 1 4
cz adz bcz adzbcz bcz adz bcz bcz bcz adz bcz bcz adz adz adz bcz adz adz adz
bcz adz bcz adz bcz adz bcz adz
b c z z z z z z z z abcd z z z z z z z z z z z z z z z zbc
−+ − −
+ − − + + − −− =
+ − − + − −
− − + + − + − − + − +=
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( ) ( )
4 1 1 4 2 3 3 2
2 21 3 2 3 1 4 2 4
4 1 1 4 2 3 3 2
2 2 2 22 4 1 4 2 3 1 3
4 1 1 4 2 3 3 2
22 4 1 4 2 3 1 3
2
z adz bcz adz bcz adz bcz adz
a d z z z z z z z zbcz adz bcz adz bcz adz bcz adz
b c a d abcd z z z z z z z zbcz adz bcz adz bcz adz bcz adz
ad bc z z z z z z z z
++ − − + − −
− − ++ =
+ − − + − −
+ − − − += =
+ − − + − −
− − − +=( ) ( )
( )( )( )( )
3 4 1 22 4 1 4 2 3 1 32
2 4 3 4 1 2 1 3 1 4 3 22 4 3 4 1 2 1 3
3 41 2
1 4 3 2
z z z zz z z z z z z zz z z z z z z z z z z zad bc z z z z z z z z
z zz zz z z z
− −− − += = =
− − + − −− − − +
−−=
− −
Buscamos una transformación de Möbius que convierta la circunferencia unidad en el eje OX :
2 2
3 3
4 4
3 4 3 41 2 1 2
1 4 3 2 1 4 3 2
1 11 1
0
11 1 11 1 1 1
11 1 12 2
11
11 1
1 11 1 11
z wz wz i w
z z w wz z w wz z z z w w w wz i wz i wz i wz i w
z zi iw wz i
z zi i wz i
z iw z zi i zi ziz i z i
= − → = −= → == − → =
− −− −=
− − − −+ + +
=+ + ++ + +
=+
+ + ++ =
++ + +⎛ ⎞− = −⎜ ⎟+⎝ ⎠
+= − = =
+ + + + +−+ +
6. En cada una de las transformaciones siguientes, comprobar que la
transformación es inyectiva en la región dada, calcular su imagen y las curvas de nivel u constante= , v constante= , si ( ) ( ),f z w u v= = :
a) 2i
w z reθ
= = , π θ π− < <
Inyectiva La imagen será el conjunto abierto compuesto por todos los números de
parte Real positiva y el cero.
2 cos sin2 2
cos2
sin2
iw z re r i
r k
r k
θ θ θ
θ
θ
⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟⎝ ⎠
=
=
b) z iwz i−
=+
, 1z <
( )
( )1
1
z iwz i
z i w z izw iw z izw z iw iz w wi i
wi izw
−=
++ = −
+ = −− = −
− = −
−=
−
Inyectiva La imagen será el plano complejo menos el punto ( )1,0
( )( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
22
2 2 2 2 2
2 2 2 2 22 2 2 2 2
1 11 1 1 1 11 1 1 1
1 1 1 1 1 2 1 21 1 1 1 1
x y i x y ix y i x x y i x y i y yz i x yi iwz i x yi i x y i x y i x y i x y
x y y x y y i x y y y xi x y xix y x y x y x y x y
+ − − ++ − − + + − + − +− + −= = = = = =
+ + + + + + + − + + +
+ − + + − − − + − + − + −= = − = −
+ + + + + + + + + +
( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
2 222 2 2
22
2 2 2 2
2 2
2 2 2
1 1 11
1 2 1
1 1 2 12 1 2 2 11 1
x yu constante k x y k x yx y
x y k x y y
x k y k ky kky kx y y cy c
k k
+ −= → = → + − = + +
+ +
+ − = + + +
− = − + + +
+= − + + = − − + + +
− −
( )( )( )22
22
2 2
2 2 11
2 2
xv constante k x k x yx y
kx x ky ky k
= → − = → − = + ++ +
− − = + +
1.6.4. El problema de Dirichlet
1. Determinar una función armónica ( ),u x y en la semibanda de la figura 1 que tome en la frontera los valores indicados.
u=0u=0
u=2 π2
u=0
u=0
u=0
u=0
u=0
u=0
u=0
u=0
u=2
u=2
u=2
u=2
π
π
π
2
2
2
1
u=0u=0 u=21
( ) ( ) ( )0 1 2 21 2
12 2 2 2
2
22
2 1arg arg arg arg
1sin2 22 arg
1sin2 2 2
h h w w h wu z w w w ww w w
z
z
π π π π
π
ππ π π π
π
π π π
⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎛ ⎞= − + + − − = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟=⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
2w z π= +
12 2
w z π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
1sin2 2
w z π⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
2 1sin2 2
w z π⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
2. Encontrar una función armónica ( ),u x y para 1z < , que sea 1 en 1r = , α θ β< < , y que sea 0 en el resto de la frontera (ver la figura 1.2).
Calculamos la transformación conforme:
( )
( ) ( )( )
3 4 3 41 2 1 2
1 4 3 2 1 4 3 2
2 2
3 3
4 4
01 1
1
1 1 11 1 1
1 21 1
1 2
2
i
i
i i
i i
i i
i i
ii i
ii i
ii i
i i
z z w wz z w wz z z z w w w w
z e wz w
z e w
z e e wz e e wz e e wz e e wz e ze e w wz e ze e
z e ze ewz e ze
α
β
α β
β α
α β
β α
α βα β
α ββ α
α βα β
β α
+
+
+
− −− −=
− − − −
= → == − → = −
= → =
− − − − −=
− − − − −− +
=− + −− + −
− =− + −
− + −−
− + ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )2 2 2 22
ii i
i ii i
i ii i i i
i ii i i i
i i ii i i i i i
i ii i i i
z e ze ee z e ze e
z e ze e z e ze ez e ze e z e ze ew
z e ze e z e ze e z e ze ez e ze e z e ze e
α βα β
α β α ββ α
α β α βα β α β
α β α ββ α β α
α β α β α βα β β α α β
α β αβ α β α
+
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ +
⎛ ⎞ − + −=⎜ ⎟⎜ ⎟− − + −⎝ ⎠
− + − − + −− + − − + −= =− + − − + − − + − +
−− + − − + − ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1
1 2 2
ii i
ii i
ii i
ii i i i
z e ze ez z e e e
z e e e
z e e e e e
α βα β
α βα β
β
α ββ α
α βα β α β
+
+
+
+
− + −= =
+ + − −
+ − −=
+ − + − −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 1 2 21 2
12 2 2 2
2
2
1 1arg arg arg arg
11
1 2 21 arg1
1 2 2
21 arg
ii i
ii i i i
ii i
ii i i i
h h z z h zu z z z z zz z z
z e e e
z e e e e e
z e e e
z e e e e e
z e
π π π π
α ββ α
α βα β α β
π α ββ α
α βα β α β
π
ππ π π π
π
π
+
+
+
+
⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎛ ⎞= − + + − − = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟−
+ − + − −⎜ ⎟= =⎜ ⎟
+ − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ − + − −⎝ ⎠
=( )( ) ( )
3 2
1
i i i i
ii i
e e e
z e e e
β α α β
α ββ α +
⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠
1
3. a) Comprobar que la función ( ) 22 lnw z z= − transforma el semiplano
( )Im 0z > de una manera conforme e inyectiva en el plano w menos las rectas 2v π= , 1u < − y 0v = , 1u < −
b) Encontrar el potencial electroestático U entre dos placas condensadoras idealizadas como os semiplanos perpendiculares al plano uv a lo largo de las rectas v a= , 0u < y 0v = , 0u < , si la diferencia de potencial entre las dos placas es 0U . De otra forma, se trata de resolver el problema con valores en la frontera ( ) 0,U u a U=
para 0u < y ( ),0 0U u = para 0u < , ( ),U u v armónica en la porción restante del plano uv .
4. a) Demostrar que la función 2w z= transforma la región ( )Im 1z > de
una manera conforme e inyectiva sobre la región parabólica 2
14vu < −
Veamos la frontera: 2 2
2
2 2
22
2
1 1 21
24
4
14
z a i w a ai ai a aiu av av a
va
vu
= + → = + + − = − −
= −= −
=
=
= −
Cogemos un punto interior:
2 44
0
z i wuv
= → = −= −=
Con lo cual, 2
14vu < −
b) Se supone un sólido idealizado como un cilindro infinito
perpendicular al plano uv cuyo corte transversal al plano uv es la región 2u v≤ . Supongamos que el sólido está en equilibrio térmico, con temperaturas 1T mantenidas en la parte de la superficie frontera donde 0v > y 2T donde 0v < . Encontrar la distribución de temperaturas dentro del sólido. Es decir, resolver el siguiente problema con valores de frontera: ( ),T u v armónica para 2u v< con
valores e la frontera ( ) 1,T u v T= para 2u v= , 0v > y ( ) 2,T u v T=
para 2u v= , 0v < .
1.6.5. Aplicaciones a la electroestática
1. Supongamos que tenemos una superficie cilíndrica circular constituida por una hoja delgada de material conductor, de forma que el cilindro está partido a lo largo de dos generatrices formando dos partes iguales. Estas partes están separadas por delgadas bandas de material aislante y usadas como electrodos, uno de los cuales está unido a tierra ( )0V = y el
otro se mantiene a potencial constante ( )0V V= . Se quiere calcular el potencial eléctrico en su interior. Si el cilindro es lo suficientemente largo y calculamos dicho potencial en puntos alejados de los extremos, podemos suponer que V solo depende de dos variables, x e y .
3 4 3 41 2 1 2
1 4 3 2 1 4 3 2
2 2
3 3
4 4
1 01
1
1 1 01 1
z z w wz z w wz z z z w w w wz wz i wz w
z i wz i w
− −− −=
− − − −
= → == → =
= − → = ∞
− + −=
+ − −∞1−∞
( ) ( )( ) ( )
1 011
1 11 1
zi i z wzi i z
z i iw
z i i
−− + −
=+ − −
+ − +=
− + − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0 011 1
2 2 2 2
1 1, arg arg arg arg
1 1z i ih V Vhu x y w w w w w
z i iπ π π ππ π ππ π π π
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − += − + − − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
2. Supóngase ahora que tenemos otro cilindro, con potencial constante 0V ,
apoyado sobre un plano infinito de tierra. Se pretende calcular el potencial fuera del cilindro.
1
122 2
01 11
1 2
01 1
122
wz
iz i wi
z wiz i w
i
z wz w
z w
=
⎫= → = = − ⎪⎪
= → = ∞ ⎬⎪− ⎪= + → = =
+ ⎭⎫⎪= → = ∞⎪
= → = ⎬⎪⎪= → =⎭
V=0V=V0
V=0
V=V0i
1-1
V=0
V=V0
i
V=0
V=V0
i
1z
1.6.6. Aplicaciones de hidrodinámica
1. Estudiar el comportamiento de un fluido cuyo potencial de velocidad complejo es ( )F z Kz= , siendo K una constante real positiva.
( )
( ) ( )
( ) ( )
' , ,0
' ,0
F z Kz Kx KyiKxKy
F z Kx x
F z K
φψ
φ ψ
= = +
==
∂ ∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
= =V
2. Estudiar el comportamiento de un fluido plano cuyo potencial de velocidad compleja está dado por la función ( ) 2:F z z= .
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2
2
' , 2 , 2
' 2 , 2
F z z x iy x iy x y xyi
x yxy
F z x yx x
F z x y
φψ
φ ψ
= = + + = − +
= −=
∂ ∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
= = −V
3. Estudiar el flujo representado por la función ( ) ( )0logf z z= . Determinar las
líneas de corriente, las líneas equipotenciales, la velocidad del flujo en cada punto y el flujo que traviesa la circunferencia de centro 0 y radio 0r > .
Líneas de corriente:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
2
2
log log arg1'
'
F z z z i zzF z
z zzz F zz
= = +
= =
= =V
Líneas equipotenciales: z k= Flujo que traviesa la circunferencia de centro 0 y radio 0r > :
K 2K
( )
[ ]
( )
20,
22 2 22 2 22 4
2 20 0 0 0
0, 2
'
1 1 02 2
C r
it
it
it it itit it i
it
zflujo dzz
t
rerie
re r ie erie dt dt i e dt i er ire
ππ π ππ
π
γ
γ
=
∈
=
=
⎡= = = = − =⎢
⎣
∫
∫ ∫ ∫
4. Lo mismo para la función ( ) ( )0: logf z zα= , donde α ∈ es una constante
compleja. Líneas de corriente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0 0 0
0 0
0 0
2
log log arg log arg arg log
log arg log arg log arctan
log arg log arg log arctan
' ,
F z z a bi z i z a z b z ai z bi z
ya z b z a x iy b x iy a x iy bxyb z a z b x iy a x iy b x iy ax
a byF zx x x iy x
α
φ
ψ
φ ψ
= = + + = − + +
⎛ ⎞= − = + − + = + − ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + = + + + = + + ⎜ ⎟⎝ ⎠
∂ ∂⎛ ⎞= = +⎜ ⎟∂ ∂ + +⎝ ⎠
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 22 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2'
a z bz b z azb ay a by b ayi i iy x iy x y z zz z z z z z
a x iy b b x iy i aia z z bzz b z z azz az b bz a ax aiy b bxi by aii iz z z z z z z z
ax b by ay bx a iz z
ax b by ay bx az F zz z
⎛ ⎞ + −⎛ ⎞⎜ ⎟+ − = + + − = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ + + + −+ − + − + + + − −= + = + = = =
+ − + −= +
+ − + −= = −V 2 2 2
ax b by bx a ayi iz z
+ − + −= +
Líneas equipotenciales:
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
2 22 2 2 2 2 2
4 4
2 2 2
4
1 1
1 2 1 1 2 1
1 2 4 1
ax b by bx a ay i Kz z
ax b by bx a ay Cz z
ax b y bx a yC
z z
a x b y axb y b x a y axb yC
z z
z y a b axb yC
z
+ − + −+ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ − + −+ =
+ − + − + − + −+ =
+ − + + −=
1.6.7. Aplicación del Teorema del Residuo al cálculo de integrales
reales
1. Verifique que 2
41 2x
xπ∞
−∞
=+∫
2
41z
z→
+singularidades en
4
34 2 4
45 3
4 4 4
3 74 2 4 4
1
i
i i
i i i
i i i
z e
z e ez
z e e e
z e e e
π
π π π
π π ππ
π π π π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧=⎪
⎪⎪ = =⎪= − ⎨⎪ = = =⎪⎪⎪ = = =⎩
z1z2
z3 z4
Definimos el circuito:
z1z2
γ1
γ2
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2
1 22 , ,R
R
f z dz i Res f z Res f z f z dz f z dz f x dx f z dzγ γ γ γ γ
π+ −
= + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Veamos que ( )
2
0f z dzγ
=∫
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
2
2
2
22 2
44 4
2 3
4 4
1 11
01 1 R
f z dz L Max f z RMax f z
zz Rf z Max f zz Rz
R Rf z dz RR R
γ
γ
γ π
π π →∞
≤ =
= ≤ = =+ −+
≤ = ⎯⎯⎯→− −
∫
∫
Con lo que:
( ) ( ) ( )( )1 22 , ,R
R
f x dx i Res f z Res f zπ−
= +∫
Como las dos singularidades son de orden 1:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
( )( )( )
( ) ( )
2 2
1 1 1 141 2 3 4
2 2
3 2 2 22 3 4 2 3 4 2 3 2 4 3 4 2 3 4
2
3 22 3 4 2 3 2 4 3 4 2 3 4
2
3 3 3 3 33 2 4 4 4 4 4 4
,1
i i i i i
z zRes f z f z z z z z z zz z z z z z z z z
z zz z z z z z z z z z z z z zz z zz z zz z z z z
zz z z z z z z z z z z z z z z
z
z z e e e z e e eπ π π π π π
− − −
= − = − = − =+ − − − −
= = =− − − − − − + + + −
= =− + + + + + −
=⎛ ⎞
− + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
1
1
3 3 34 4 4 4 4 4
2
3 3 3 3 3 3 33 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
2
3 2 3 2'3 2 24 4 4 4 4
4
24
2
3 2
2
3
i i i i i i i
i i i i i i i i i i
L Hoppital z zi i i i i
i
z z i
e e e e e e
z
z z e z e e e e
z z
z z e ze e z ze e
e
e
π π π π π π
π π π π π π π π π π
π π π π π
π
π
− − − − −
− − − − − − −
→− − −
→
=⎛ ⎞
+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
= =⎛ ⎞
− + + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→− + − − +
⎯⎯⎯→
( ) ( ) ( )
3 2 3 34 4 4 4 4 4 4 4
2
2 3 21 3 4 1 3 1 4 3 4 1 3 4
2
3 3 3 33 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
2
3 2
2 1 13 32 3 2 2
,
i i i i i i i i
i i i i i i i i i i i i
ie e e e e e e ezRes f z
z z z z z z z z z z z z z z z
z
z z e e e z e e e e e e e e e
z
z z
π π π π π π π π
π π π π π π π π π π π π
− − −
− − − − − − − −
= = =+
− + − + −
= =− + + + + + −
= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + + + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−2
2
2 3 2'24 4 4 4 4
34
3 3 2 3 3 324 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
2
3 2
2 2 2 1
3 2 3 2 2 21 1
1 1 2
L Hoppital z zi i i i i
i
z z i i i i i i i i i i i
z
e ze e z ze e
e
e e e e e e e e e e e
i i
π π π π π
π
π π π π π π π π π π π
→− − − − −
−
→ − − − − − − − − − −
⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→+ − − +
⎯⎯⎯→ = = = =− + − + − −
= = −− − − +
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
1 2
2 3 11 1 1 2 1 12 , , 23 1 2 3 2 2 3 1
1 11 1 21 13 2 3 2 3 2
R
R
i if x dx i Res f z Res f z i i ii i i
i ii i i i
π π π π
π π π
−
⎛ ⎞− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = − = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞− + −
= = − + + + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
2. Verifique que
( )22
2
1
x dxx
π∞
−∞
+=
+∫
( )22
2
1
z
z
+→
+singularidades dobles en
z iz i=⎧
⎨ = −⎩
Definimos el circuito:
γ1
γ1
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2
1 12 , ,R
R
f z dz i Res f z Ind f z f z dz f z dz f x dx f z dzγ γ γ γ γ
π+ −
= = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Veamos que ( )2
0f z dzγ
=∫
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
2
2
2 2 2 2 22 22 2 2
2 22 2
2 2 22 2
1 11 11
22 01 1
R
f z dz L Max f z RMax f z
z z zz Rf z Max f zz zz Rz
R RRf z dz RR R
γ
γ
γ π
π π →∞
≤ =
+ + ++ += = ≤ ≤ = =
+ ++ −−
++≤ = ⎯⎯⎯→
− −
∫
∫
Con lo que:
( ) ( ) ( )( )1 12 , ,R
R
f x dx i Res f z Ind f zπ−
=∫
Como la singularidad es de orden 2:
( ) ( )( ) ( ) ( )1 12 , 2 4 ,R R
R R
f x dx i Res f z f x dx iRes f zπ π− −
= = =∫ ∫
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 22 1 1 1 12 2 2 22
1 21 2
2 2 2 2 22
21 1 2 1 1 2 22
22 2
2 2 2
1
2 2 2 2 2 2 24 42
2 2,41
2 4 2 1
1
z i
z z za f z z z z z z z z zz z z zz z z zz
z z z i i i iz z z i i i iz i
z iRes f z a f z a z z z z z iz iz
z z i i z
−
→
−− −
+ + += − = − = − = − =
− −− −+
+ + + + + + += = = ⎯⎯⎯→ = = = −
−− + +− −
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= = − − − = + − =⎜ ⎟−+⎝ ⎠
+ − + + +=
+( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 4
2 2 422
3 2 2 2 4 2 4
3 2 5 4
4 3 2 3 2
'5 4 3 2
4 8 2 1 2 1 2
1 2 4 44
4 8 4 8 16 8 2 4 2 24 4 8 8 4 4
2 4 12 6 4 16 6 2 314 2 2 L Hippital
z z iz i z zz i
z z z iz z i
z iz z z iz z z i iz izz i z iz z iz
i z z i z i z i i z zz iz z iz z i
⎛ ⎞ + − − + + + +⎜ ⎟ − = =⎜ ⎟ + + −−⎝ ⎠
− − + − − + + + + + += =
− + − + −+ + + − − + − + + +
= ⎯⎯⎯⎯→− + − + −
( )
( ) ( ) ( )'4 3 2
2
' '3 2 2 2
6 3 1 45 4 6 4 1
2 2 6 6 3 4 2 6 2 2 3 4 2 3 520 12 12 4 60 24 12 18 6 6 18 12
L Hoppital
L Hoppital L Hoppital z i
i z iz iz z iz
i z z i i z i iz iz z i z iz i→
+ − − −⎯⎯⎯⎯→
− + − ++ + + − + + + + − +
⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ = = −− + − − + + −
( ) ( )( ) ( )13 44 , 4 3 4 4 3
4
R
R
if x dx i Res f z i i iπ π π π π−
− +⎛ ⎞= = = − − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫
