MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO Nuevos recursos para el aula

CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS

JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 1

MATEMÁTICAS

EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO

Nuevos recursos para el aula

JORNADA BUENAS PRÁCTICAS

BUENAS PRÁCTICAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS.NUEVOS MATERIALES Y ENFOQUES INNOVADORES


2

OBJETIVO DE ESTA CHARLA

Aportar enfoques complementarios a los estándar para introducir los contenidos de la programación de Matemáticas en Secundaria y Bachillerato.

(siendo este objetivo tan amplio, obviamente esta charla únicamente pretende trazar algunos caminos para alcanzar este objetivo).

JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011


3

¿POR QUÉ HAY QUE PENSAR EN INTRODUCIR NUEVOS ENFOQUES?

En los rankings actuales desde no salimos favorecidos, y aunque no por sí mismos no son una justificación para el cambio, evidencian que las cosas, en nuestra enseñanza matemática, no van bien.



4


En los rankings actuales desde no salimos favorecidos, y aunque no por sí mismos no son una justificación para el cambio, evidencian que las cosas, en nuestra enseñanza matemática, no van bien.

Quizás así introducido, suena un poco alarmante, y creéis que hay que poner patas arriba la forma de enseñar matemáticas ...



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Yo personalmente no lo creo. De hecho creo que NUNCA ANTES:

•Hubieron tan buenos materiales como ahora para explicar matemáticas (libros de textos, material didáctico, ordenadores, revistas docentes, etc).•Un grupo tan amplio y bien preparado de profesorado estuvo a disposición de la sociedad para ayudar a nuestros jóvenes.



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Yo personalmente no lo creo. De hecho creo que NUNCA ANTES:

•Hubieron tan buenos materiales como ahora para explicar matemáticas (libros de textos, material didáctico, ordenadores, revistas docentes, etc).•Un grupo tan amplio y bien preparado de profesorado estuvo a disposición de la sociedad para ayudar a nuestros jóvenes.

¡sin embargo no dejamos todos de reconocer que los resultados no son los

deseables!



7

Este es en realidad un problema global que requiere de muchos compromisos locales.



8


El nuestro, el de los profesores de matemáticas, es el de esforzarnos por hacer nuestro trabajo lo mejor posible, y eso incluye la búsqueda de alternativos enfoques en todo aquello que le transmitimos a nuestros alumnos.



JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ ALZIRA (2008) 4ª sesión 9


El nuestro, el de los profesores de matemáticas, es el de esforzarnos por hacer nuestro trabajo lo mejor posible, y eso incluye la búsqueda de alternativos enfoques en todo aquello que le transmitimos a nuestros alumnos.

Y esto hay que hacerlo por compromiso con la sociedad, …


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El nuestro, el de los profesores de matemáticas, es el de esforzarnos por hacer nuestro trabajo lo mejor posible, y eso incluye la búsqueda de alternativos enfoques en todo aquello que le transmitimos a nuestros alumnos

Y esto hay que hacerlo por compromiso con la sociedad, …

pero también por nosotros

“Nada más estimulante para alguien que disfruta enseñando, que el estímulo de enseñar algo nuevo”

Por mi experiencia, la transmisión de nuevos enfoques supone en sí mismo algo estimulante para mi.

Y la ilusión SE CONTAGIA.JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011


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ANTES DE EMPEZAR, ALGUNAS REFLEXIONES

INGREDIENTES

PROGRAMACIÓNMATEMÁTICASSECUNDARIA Y BACHILLERATO



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INGREDIENTES


• Números• Álgebra• Funciones• Geometría• Probabilidad• Estadística• …


13


INGREDIENTES


• Cabri• Derive• Geogebra• Excel• …




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INGREDIENTES

• Cabri• Derive• Geogebra• Excel• …

Pero además yo también incluiría …





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INGREDIENTES

ESTRATEGIAS PARA

RESOLVER PROBLEMAS

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA

Además de otras especias que dependerán del menú específico que preparemos




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ESTRATEGIAS

PARA LA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS



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Problemas y ejercicios: dos quehaceres bien diferentes

¿Qué es un verdadero problema?

La mayoría de las actividades que encontramos al final de cada lección de los textos de secundaria y bachillerato de matemáticas son EJERCICIOS. Son cuestiones más o menos difíciles que, por su colocación dentro del libro, sabemos con qué conjunto de técnicas pueden ser resueltas.

En cambio, un PROBLEMA, es una situación que se te presenta en la que sabes, más o menos, adónde quieres ir, pero en principio no sabes cómo llegar. La principal dificultad consistirá entonces, en saber aclarar la situación y dar un camino adecuado para resolverla. En un verdadero problema no se sabe a priori qué técnica será la adecuada para resolverlo. Lo más probable es que no hayas visto nunca dicha técnica, más bien, tú, a partir de todos tus conocimientos, construyes el camino que resuelve el problema.



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Problemas y ejercicios: dos quehaceres bien diferentes

La RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS es un arte que sólo se aprende con considerable ESFUERZO, paciencia, sin angustias, aprendiendo de los propios errores, tratando de sacar partido a los fracasos iniciales y, observando y comparando nuestros modos de proceder con los de los expertos.

La RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS como parte de la Matemática es relativamente reciente. Y sus primeras contribuciones se deben a al brillante matemático húngaro GEORGE POLYA, quien prestó atención a esta parte de las Matemáticas en sus obras.



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Las 4 fases del proceso de Resolución de Problemas

1. FAMILIARÍZATE CON LA SITUACIÓN.

Actúa como Sherlock Holmes: recopila toda la información que puedas (por absurda que pueda parecer en un principio); juega con la información que tengas para familiarizarte con el problema.



20


2. BUSCA ESTRATEGIAS.

Práctica el llamado brainstorming: dedica un tiempo a pensar en posibles formas de atacar el problema, sin importar las ideas que salgan (no descartes a priori ninguna). He aquí algunas:

• BUSCA SEMEJANZA CON OTROS PROBLEMAS MÁS SENCILLOS

• EMPEZAR POR LO FÁCIL HACE FÁCIL LO DIFÍCIL

• EXPERIMENTA Y BUSCA REGULARIDADES O PAUTAS

• HAZTE UN ESQUEMA Y, SI SE TERCIA, PÍNTALO DE COLORES

• MODIFICA EL PROBLEMA Y CAMBIO ALGO DEL ENUNCIADO

• ESCOGE UNA BUENA NOTACIÓN

• SI PUEDES, APROVECHA LA SIMETRÍA

• SUPONGAMOS QUE NO,… ¿ADÓNDE NOS LLEVA?

• SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO

• PIENSA EN MÉTODOS GENERALES CONOCIDOS: INDUCCIÓN, DESCENSO, PROCESO DIAGONAL, PRINCIPIO DEL PALOMAR, …



21


3. APLICA LA ESTRATEGIA QUE ELIJAS.

• Lleva adelante las mejores ideas que se te hayan ocurrido en la fase 2.

Hazlo una a una, sin aturullamientos, sin prisas, de forma relajada. Apunta todo lo que se te ocurra cada vez que pienses en una idea, aunque luego la descartes, esas ideas aparentemente inconexas pueden ser útiles.

• No te rindas fácilmente, pero tampoco te encabezones en una idea.

Si una idea parece que puede funcionar, aunque parezca difícil, no abandones. Tómate tu tiempo. Si se resiste demasiado, tal vez, sea mejor pasar a otra estrategia. Debes estar preparado a renunciar a una idea que hayas trabajado durante tiempo, porque puede que finalmente no funcione.

• ¿Lo resolviste?. ¿Seguro?. Analiza a fondo tu solución.

No te engañes a ti mismo, chequea de todas las formas posibles que esa solución es correcta.



22


4. SACA JUGO AL PROBLEMA Y A TU EXPERIENCIA.

• Examina a fondo el camino que has seguido.

• Si lo conseguiste, ¿cómo llegaste a la solución?. En caso contrario, ¿por qué no lo lograste?

• ¿Ibas bien encaminado desde el principio? ¿Por qué no?

• ¿Habías intuido la estrategia correcta de la Fase 2? ¿Por qué no?

• ¿Cuál fue la clave para elegir bien el camino? ¿Por qué no diste con ella?

• Trata de entender por qué la cosa funciona.

Profundiza en las claves de la solución, te pueden ser útiles en más ocasiones.

• ¿Puedes hacerlo de forma más simple?

Normalmente la primera respuesta a un problema no es la que figura en los textos: quita la paja que hayas introducido, simplifica y depura tu solución, siempre se puede.



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4. SACA JUGO AL PROBLEMA Y A TU EXPERIENCIA.

• Analiza hasta dónde es útil el método seguido. Puede que sea útil no sólo en esta ocasión, sino en situaciones más generales.

Puedes tratar de inventar problemas que se resuelvan con la misma idea feliz.

• Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento seguido y saca consecuencias para el futuro.

Si te conoces a ti mismo (tus puntos fuertes y débiles sacarás una gran ventaja al resto cuando trates de enfrentarte a cualquier problema).

¡Ahora vamos a ilustrar algunas de las estrategias!



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• EXPERIMENTA Y BUSCA REGULARIDADES O PAUTAS• HAZTE UN ESQUEMA Y, SI SE TERCIA, PÍNTALO DE COLORES



• SI PUEDES, APROVECHA LA SIMETRÍA






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EXPERIMENTA, OBSERVA, BUSCA PAUTAS, REGULARIDADES. HAZ CONJETURAS Y TRATA DE DEMOSTRARLAS

CIFRAS FINALES. ¿Cuál es el dígito final de las potencias de exponente 23 de los números: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 y 39?

¡este no es un verdadero problema si se usa el ordenador!


Estrategias para la Resolución de Problemas


26



• La última cifra de 3723 es la misma que la de 723. Luego, el problema se reduce a estudiar las cifras finales de 123 , 223, …, 923.

• Experimentemos un poco y ordenemos los resultados:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n2 acaba en

n3 acaba en

n4 acaba en

n5 acaba en

n6 acaba en





27



n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n2 acaba en 1 4 9 6 5 6 9 4 1

n3 acaba en 1 8 7 4 5 6 3 2 9

n4 acaba en 1 6 1 6 5 6 1 6 1

n5 acaba en 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n6 acaba en 1 4 9 6 5 6 9 4 1



• La última cifra de 3723 es la misma que la de 723. Luego, el problema se reduce a estudiar las cifras finales de 123 , 223, …, 923.

• Experimentemos un poco y ordenemos los resultados:



28



• Las terminaciones de n3, n7, n11, n15, n19 y n23 coinciden. Luego la terminación de n3 y las de n23 son iguales.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n2 acaba en 1 4 9 6 5 6 9 4 1

n3 acaba en 1 8 7 4 5 6 3 2 9

n4 acaba en 1 6 1 6 5 6 1 6 1

n5 acaba en 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n6 acaba en 1 4 9 6 5 6 9 4 1

se repite




29






• ESCOGE UNA BUENA NOTACIÓN• SI PUEDES, APROVECHA LA SIMETRÍA






30


ELIGE UNA BUENA NOTACIÓN

PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. Observa

¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos siempre es un cuadrado perfecto menos la unidad?

1193606543

1111205432

15244321

2

2

2

PARA PRACTICAR EN EL AULA



31





1193606543

1111205432

15244321

2

2

2

Se puede intentar así: entero a),3a)(2a)(1a(a




32





1193606543

1111205432

15244321

2

2

2

Se puede intentar así: entero a),3a)(2a)(1a(a


Pero es más fácil así:

enteros cuatro los de centro el es M,2

3M

2

1M

2

1M

2

3M

14

5M

2

3M

2

1M

2

1M

2

3M

22


M

1


33


DIVIDE EL PROBLEMA EN PEQUEÑOS PROBLEMAS

SUMA DE FACTORIALES. Calcula los dos últimos dígitos de la suma

!100!99!3!2!1



34




• Calcula los dos últimos dígitos de 1!, 2!, 3!, …, 10!

!100!99!3!2!1

1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10!

1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800

• Justifica que a partir de la suma desde 1! hasta 10!, el resultado tiene siempre al menos dos ceros. Luego:

)!10!3!2!1cifras( últimas dos)!100!3!2!1cifras( últimas dos



35




!100!99!3!2!1

94269001683709979260859834124473539872070722613982672442938359305624678223479506023400294093599136466986609124347432647622826870038220556442336528920420940313

4037913

13)!10!3!2!1cifras( últimas dos)!100!3!2!1cifras( últimas dos



36







• SI PUEDES, APROVECHA LA SIMETRÍA• SUPONGAMOS QUE NO,… ¿ADÓNDE NOS LLEVA?





37


APROVECHA LA SIMETRÍA

EL CAMINO MÁS CORTO. Una empresa tiene dos sedes en las ciudades A y B cerca de las cuales pasa una línea ferroviaria y a cuyo lado desea instalar un centro logístico. ¿Cuál debe ser su ubicación para que la distancia a recorrer por la flota de distribución sea mínima?

A

B

Línea ferroviaria



38


APROVECHA LA SIMETRÍA

EL CAMINO MÁS CORTO. Una empresa tiene dos sedes en las ciudades A y B cerca de las cuales pasa una línea ferroviaria y a cuyo lado desea instalar un centro logístico. ¿Cuál debe ser su ubicación para que la distancia a recorrer por la flota de distribución sea mínima?

A

B

Línea ferroviaria

Conocer las herramientas adecuadas nos puede ayudar



39

AB

Línea ferroviariaC



40

AB

Línea ferroviariaC

A (a1 , a2 )B (b1 , b2 )

Línea ferroviariaC (c1 , c2 )



41

AB

Línea ferroviariaC

A (a1 , a2 )B (b1 , b2 )

Línea ferroviariaC (c1 , c2 )

A (0 , a2 )B (b1 , b2 )

Línea ferroviariaC (c1 , 0 )

Asumimos coordenadas positivas

Desplazamos adecuadamente los ejes

Introducimos ejes cartesianos



42

22

211

22

211

0c)b()cb()a()c()c(fMinimizar

1

A (0 , a2 )B (b1 , b2 )


Función objetivo:



43

22

211

22

211


1

A (0 , a2 )B (b1 , b2 )


Función objetivo:

0)a()b(c)a(b2)c()b()a( 22

211

221

21

22

22 Puntos críticos:



44

22

211

22

211


1

A (0 , a2 )B (b1 , b2 )


Función objetivo:

0)a()b(c)a(b2)c()b()a( 22

211

221

21

22


22

211

22

211 ba

abc,

ba

abc

0baba)b()a( 22222

22

2 22 baSi



45

22

211

22

211


1

A (0 , a2 )B (b1 , b2 )


Función objetivo:

0)a()b(c)a(b2)c()b()a( 22

211

221

21

22


0ba

abc,

ba

abc

22

211

22

211

0baba)b()a( 22222

22

2 22 baSi



46

22

211

22

211


1

A (0 , a2 )B (b1 , b2 )


Función objetivo:

0)a()b(c)a(b2)c()b()a( 22

211

221

21

22


0ba

abc,

ba

abc

22

211

22

211

0baba)b()a( 22222

22

2 22 baSi 22 baSi

2

bc 1

1



47

22

211

22

211


1

A (0 , a2 )B (b1 , b2 )


Función objetivo:

0)a()b(c)a(b2)c()b()a( 22

211

221

21

22


0baba)b()a( 22222

22

2 22 baSi 22 baSi

2

bc 1

1

¡esto tiene interpretación!


0ba

abc,

ba

abc

22

211

22

211


48

22

211

22

211


1

A (0 , a2 )B (b1 , b2 )


Función objetivo:

0)a()b(c)a(b2)c()b()a( 22

211

221

21

22


0baba)b()a( 22222

22

2 22 baSi 22 baSi

2

bc 1

1

Mínimo global¡esto tiene interpretación!


0ba

abc,

ba

abc

22

211

22

211


49

¡pero observemos que LA SIMETRÍA nos puede ayudar!

A (0 , a2 ) B (b1 , b2 )


22 baSi

2

bcsiendo 1

1



50


A (0 , a2 ) B (b1 , b2 )


22 baSi

2

bcsiendo 1

1

A’ (0 , - a2 )



51


A (0 , a2 ) B (b1 , b2 )


22 baSi

2

bcsiendo 1

1

A’ (0 , - a2 )



52


A (0 , a2 ) B (b1 , b2 )


22 baSi

2

bcsiendo 1

1

A’ (0 , - a2 )

¿en cambia el razonamiento si no se cumple la condición ?



53

¡TODO FUNCIONA!

A (0 , a2 )

B (b1 , b2 )


22 baSi

A’ (0 , - a2 )

Por lo tanto el valor c1 se obtiene:

1.Calculando la ecuación de la recta que pasa por los puntos A’ (0 , - a2 ) y B (b1 , b2 )2.Calculando la intersección de esa recta con el eje de abscisas.

22

121

11

222212

ba

bac

0y:aferroviari línea la define que recta ec.

)bx(b

baby:)b,bB( , )(0,-aA' une recta ec.



54

¡TODO FUNCIONA!

A (0 , a2 )

B (b1 , b2 )


22 baSi

A’ (0 , - a2 )

Por lo tanto el valor c1 se obtiene:

1.Calculando la ecuación de la recta que pasa por los puntos A’ (0 , - a2 ) y B (b1 , b2 )2.Calculando la intersección de esa recta con el eje de abscisas.

22

121

11

222212

ba

bac

0y:aferroviari línea la define que recta ec.

)bx(b

baby:)b,bB( , )(0,-aA' une recta ec.



55


LA IMPORTANCIA DEL CONOCIMIENTO ESPECÍFICO

Las técnicas anteriores son de gran utilidad, pero en numerosos problemas, además de su uso, junto con la habilidad que se adquiere RESOLVIENDO PROBLEMAS, es de gran ayuda (y a veces, es de vital importancia) conocer resultados concretos que nos ayudarán a dar con la solución del problema. La adquisición del conocimiento específico tiene lugar ESTUDIANDO y en muchos casos teniendo la NECESIDAD al, precisamente, resolver problemas. De hecho la mayor parte de las teorías matemáticas han surgido así: ante la necesidad de dar respuesta a VERDADEROS PROBLEMAS.



56

Bibliografía sobre Resolución de Problemas



57




58




59

INGREDIENTES

ESTRATEGIAS PARA

RESOLVER PROBLEMAS





60

MODELIZACIÓN

MATEMÁTICA



61

Para empezar me gustaría advertir que por lo que yo sé, la bibliografía existente al respecto orientada para Secundaria y Bachillerato no es muy abundante …

Una de las fuentes más adecuada es: La Matemática aplicada a la vida cotidiana de Fernando Corbalán (Ed. Graó)



62

No obstante, en las publicaciones periódicas de las Sociedades de Profesores de Matemáticas como SUMA, EPSILON, etc. se encuentran cada vez con más frecuencia contribuciones en este sentido



63

Los matemáticos, físicos, economistas, ingenieros, etc. saben bien que las Matemáticas son sorprendentemente efectivas en la

resolución de problemas reales aparentemente intratables.

Como docentes deberíamos esforzarnos en llevar al aula situaciones cotidianas para nuestros alumnos donde se

evidenciara la efectividad de las matemáticas

Matemáticas y Consumo: una oportunidad docente



64

UN EJEMPLO PARA TRABAJAR A DIFERENTES NIVELES

¿Cuánto mide el rollo de papel de aluminio que he comprado en el supermercado?

¡Dejemos a los alumnos que hagan su propia propuesta!



65

Notación

• r = radio del cilindro de cartón sobre el cual va arrollado el papel de aluminio.

• R = radio del cilindro que delimita el rollo de papel de aluminio al comprarlo.


Primer enfoque: Secundaria-Bachillerato (contenidos: progr. aritméticas)


66

Notación



hipótesisCada vuelta que da el papel alrededor del cilindro es una circunferencia




67

Notación

Más notación

• n = nº de capas (o vueltas) del papel alrededor del cilindro de radio r.

• li = longitud de la capa i-ésima (es la de una circunferencia de radio r + (i – 1/2)e, para i = 1,2, …, n). ¡aproximación!

• e = espesor de cada capa de papel de aluminio.







68

Notación

• n = nº de capas (o vueltas) del papel alrededor del cilindro de radio r.

• li = longitud de la capa i-ésima (es la de una circunferencia de radio r + (i – 1/2)e, para i = 1,2, …, n). ¡aproximación!

• e = espesor de cada capa de papel de aluminio.




¿L = longitud del rollo de papel?

Más notación




69

e2

1nr2l

e2

7r2l

e2

5r2l

e2

3r2l

e2

1r2l

n

4

3

2

1




70

e2

1nr2l

e2

7r2l

e2

5r2l

e2

3r2l

e2

1r2l

n

4

3

2

1

nner22

ne2

1nre

2

1r

2e2

1ir2lL

n

1i

n

1ii




71

e2

1nr2l

e2

7r2l

e2

5r2l

e2

3r2l

e2

1r2l

n

4

3

2

1


CUIDADO:

esto está en términos de n

nner22

ne2

1nre

2

1r

2e2

1ir2lL

n

1i

n

1ii



72

nner22

ne2

1nre

2

1r

2e2

1ir2lL

n

1i

n

1ii




73

rRnee

rRn

nner22

ne2

1nre

2

1r

2e2

1ir2lL

n

1i

n

1ii




74


rRnee

rRn

e

rR

e

rRrR

e

rRrRr2L

22

nner22

ne2

1nre

2

1r

2e2

1ir2lL

n

1i

n

1ii



75

Enfoque alternativo: ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

eh

L


comparemos

volúmenes


76


pedoparalelepíVolumen eLhh)rR(huecocon cilindroVolumen 22

eh

L


comparemos

volúmenes


77


¡el mismo resultado que antes!

comparemos

volúmenes

e

)rR(L

22

eh

L

pedoparalelepíVolumen eLhh)rR(huecocon cilindroVolumen 22



78

El análisis como consumidores (e = 0.0015 cm)

MARCA FÓRMULA ENVASE % ENGAÑOA (R = 2.1cm; r =

1.5cm)45.2201

m50 m 9.5598

B (R = 2.45cm; r = 2cm)

41.9260 m

50 m 16.148

C (R = 1.9cm; r = 1.5cm)

28.4712 m

30 m 5.096

D (R = 2.36cm; r = 2.1cm)

24.2866 m

30 m 19.0447

e

)rR(L

22



79

El análisis como consumidores (e = 0.0015 cm)

MARCA FÓRMULA ENVASE % ENGAÑOA (R = 2.1cm; r =

1.5cm)45.2201

m50 m 9.5598

B (R = 2.45cm; r = 2cm)

41.9260 m

50 m 16.148

C (R = 1.9cm; r = 1.5cm)

28.4712 m

30 m 5.096

D (R = 2.36cm; r = 2.1cm)

24.2866 m

30 m 19.0447

e

)rR(L

22 Algunas

conclusiones



80

INGREDIENTES

ESTRATEGIAS PARA

RESOLVER PROBLEMAS


Además de otras especias que dependerán del menú específico que preparemos




81

Hablamos ahora de otros ingredientes especias para aderezar el menú

DEMOSTRACIONES

SIN PALABRAS

Ejercicios de pensamiento visual



82

1. Proporcionar una justificación de la deducción de fórmulas matemáticas que se presentan en Secundaria o Bachillerato, basada en una figura o un dibujo adecuado que pretende impactar al lector frente a la demostración clásica (y rigurosa), por su elocuencia gráfica.

2. Desde el punto de vista del proceso de enseñanza-aprendizaje, muchas de las actividades basadas en las demostraciones sin palabras, son auténticos retos, porque se requiere un esfuerzo adicional y diferente al tipo de actividades que se trabajan usualmente en el aula, para desvelar qué pretende demostrar una figura dada, y es esta línea de trabajo con el alumno, la que debe ser el objetivo (a través de ejercicios de clase) del enfoque que a continuación se presenta.

OBJETIVO



83JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011

Distancia de un punto a una recta

2m1

bcma

1

d

R.L. Eisenman

¿POR QUÉ?



Distancia de un punto a una recta

2m1

bcma

1

d

R.L. Eisenman

¿POR QUÉ?

la prueba (“sin palabras”) está basada

en la semejanza de triángulos rectángulos


85

J.H. Webb

A

¿POR QUÉ?


Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de 0 < razón < 1

r1

aar

r1

ar

r/1

ararara

0n

n32


86

Progresiones geométricas (P.G.)

116

1

8

1

4

1

2

1

• Introducción de la serie infinita de los infinitos términos de una P.G.con una hoja de papel.



87


116

1

8

1

4

1

2

1


• Demostración sin palabras



88


116

1

8

1

4

1

2

1


• Demostración sin palabras

• Generalización

Sunday A. Ajose



89

• Suma de P.G. u otras series por generación geométrica de procesos infinitos

Suma de series por generación geométrica de términos

d1


• Ejemplo anterior

• ¡A jugar!. Creamos el proceso infinito siguiente:


90


221 1x2

221

23 ))xx(1(x2

• Suma de P.G. u otras series por generación geométrica de procesos infinitos• Ejemplo anterior


21

22 )x1(x2

21n

1ii

2n x1x2

d1



91


221 1x2

221

23 ))xx(1(x2

• Suma de P.G. u otras series por generación geométrica de procesos infinitos

21

22 )x1(x2

2

21rrazónPGx1n

2

2x

x12

2x

n

1

1n

1iin

21n

1ii

2n x1x2

d1


• Ejemplo anterior


Sabemos sumar la serie primer término x1 y razón 1: la

suma es 1


92




93


)43(2

1

46

1R1)RR2R21()R1(

)32(2

1

43

1R1)RR21()R1(

)21(2

1

4

1R1)R1()R1(

322

3212

3

222

212

2

122

12

1



94


)43(2

1

46

1R1)RR2R21()R1(

)32(2

1

43

1R1)RR21()R1(

)21(2

1

4

1R1)R1()R1(

322

3212

3

222

212

2

122

12

1

hipotenusas



95


1n)1n(n2

1Rn

1n1

)1n(n

11R2

1n1nn


)43(2

1

46

1R1)RR2R21()R1(

)32(2

1

43

1R1)RR21()R1(

)21(2

1

4

1R1)R1()R1(

322

3212

3

222

212

2

122

12

1

hipotenusas


96


1n)1n(n2

1Rn

1n1

)1n(n

11R2

1n1nn


)43(2

1

46

1R1)RR2R21()R1(

)32(2

1

43

1R1)RR21()R1(

)21(2

1

4

1R1)R1()R1(

322

3212

3

222

212

2

122

12

1

hipotenusas

ESTA METODOLOGÍA PUEDE DEPARARNOS SORPRESAS: QUE LOS ALUMNOS SUMEN SERIES TELESCÓPICAS


97

Patologías algebraicas con el infinito


S21)2168421(212168421S nn

1SS21S

MORALEJA

Hay que tener mucho cuidado

cuando se manejan algebraicamente

cantidades que pueden ser infinitas



Bibliografía sobre “Demostraciones sin palabras”


99

C. Alsina, R.B. Nelsen (2009): When less is more: visualizing basic inequalities. Dolciani Mathematical Expositions


Bibliografía sobre “Demostraciones sin palabras”


100

Para terminar, me gustaría destacar algunas de las direcciones web más interesantes que conozco donde se pueden encontrar numerosas actividades para los estudiantes y documentación para el profesorado. La lista no es exhaustiva, pero las direcciones que aquí aparecen son de gran interés.


Algunas referencias IMPRESCINDIBLES en la web

LEER.ES (contiene textos para fomentar la lectura y analizarla con crítica matemática)

http://docentes.leer/materiales/?nivel=153

PROYECTO GAUSS (en palabras de algunos compañeros “lo contiene casi todo”)

http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/novedades.htm

ILLUMINATIONS (página francesa para enamorarse de las matemáticas. No os perdáis los juegos con el tangram)

http://illuminations.nctm.org/Activities.aspx?grade=4

MATEMAGICAS (para disfrutar con la parte más lúdica de las matemáticas)

http://descartes.cnice.mec.es/mathsmagiques/index.htm



Algunas referencias IMPRESCINDIBLES en la web

MATEMÁTICAS VISUALES

http://www.matematicasvisuales.com/html/geometria/geometria.html

GEOMETRÍA DINÁMICA de J.A. Mora

http://geometriadinamica.es/

Y dos direcciones más con contenidos de geometría que valen la pena:



Muchas gracias por vuestra

atención

MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO Nuevos recursos para el aula

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