Matematicas Resueltos (Soluciones) Derivadas 1º Bachillerato
Matemáticas II Bachillerato Derivadas Apuntes
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7/23/2019 Matemáticas II Bachillerato Derivadas Apuntes
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Matemáticas. Derivadas. 1
13. DERIVADAS.
Tasa de variación media.
• Se define la tasa de variación media de una función f(x) en el intervalo [a, b] como:
( ) ( )ab
af bf .M.V.T
−
−=
Si se nota por h la diferencia entre b y a (h = b–a), la definición puede expresarse:
( ) ( )h
af haf .M.V.T
−+=
• La T.V.M. es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
Derivada de una función en un punto.
Definiciones.
• Se define la derivada o tasa de variación instantánea de una función f(x) en el punto
x = a como el siguiente límite si existe y es finito:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ax
af xf lím
h
af haf líma'f
ax0h −
−=
−+=
→→
• Se dice que f(x) es derivable en x = a cuando existe f’(a).
• Se dice que una función f(x) es derivable en un intervalo (a, b) cuando es derivable en
todos los puntos de dicho intervalo.
• La derivada por la derecha y la derivada por la izquierda en el punto x = a se definen
como los siguientes límites, en caso de que existan y sean finitos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ax
af xf lím
h
af haf líma'f
ax0h −
−=
−+=
++ →→
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ax
af xf lím
h
af haf líma'f
ax0h −
−=
−+=
−− →→
−
• Se define la función derivada de f(x) como la función que a cada punto en el que f(x) es
derivable le hace corresponder la derivada de dicha función en el punto considerado:
( ) ( ) ( )
h
xf hxf límx'f
0h
−+=
→
Significado geométrico.
• f’(a) es la pendiente de la recta que es tangente a la gráfica de f(x) por el punto
(a, f(a)).
• La ecuación punto – pendiente de la recta que es tangente a la gráfica de f(x) en el pun-
to (x0, y0) es:
( ) ( )000 xxx'f yy −⋅=−
Departamento de Matemáticas Ntra. Sra. de Lourdes. Apuntes de Matemáticas II: Resumen derivadas
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Matemáticas. Derivadas. 2
• La ecuación punto – pendiente de la recta que es normal a la gráfica de f(x) en el punto
(x0, y0) es:
( ) ( )0
0
0 xxx'f
1yy −⋅−=−
Condiciones de derivabilidad.
• Teorema.– Si f(x) es derivable en x = a, entonces f(x) es continua en x = a.
Entonces, según este teorema, si f(x) no es continua en x = a, tampoco es derivable en di-
cho punto.
• La derivada de una función f(x) en el punto x = a existe si, y sólo si, f’(a+) y f’(a – ) exis-
ten y son iguales.
Cálculo de derivadas.
• Tabla de derivadas (n representa un número real cualquiera y a un número mayor que
0):
f(x) f’(x)
n 0
xn n·xn–1
xx·2
1
logaxa·lnx
1
ln xx
1
axalna x ⋅
ex ex
sen x cos x
cos x –sen x
f(x) f’(x)
tg x xtg1xsecxcos
1 22
2 +==
cotg x xgcot1xeccosxsen
1 22
2 −−=−=−
arcsen x2x1
1
−
arccos x2x1
1
−−
arctg x2x1
1
+
arccotg x2
x1
1
+−
• Regla de la cadena.– La derivada de una función compuesta viene dada por la si-
guiente expresión:
( )( ) ( )[ ] ( )x'f xf 'gxf g ⋅=o
• Derivadas de sumas, productos y cocientes de funciones:
( ) ( )[ ] ( ) ( )x'gx'f 'xgxf +=+
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )x'gxf xgx'f 'xgxf ⋅+⋅=⋅
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Matemáticas. Derivadas. 3
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )xg
x'gxf xgx'f
xg
xf 2
⋅−⋅=
′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
• Derivación logarítmica.– Se emplea para hallar la derivada de una función potencial –
exponencial.Ej: .( )x
xseny =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1x
x
xsenxcosxxsenlnxsen'y
xsen
xcosxxsenln
y
'yxsenlnxylnxsenlnyln
−⋅⋅+⋅=⇒
⇒⋅
+=⇒⋅=⇒=
• Derivación en forma implícita.– Se realiza cuando la función está definida de forma
implícita, mediante una ecuación del tipo ( ) 0y,xf = , es decir, cuando la y no está despeja-
da.
Ej: . Se deriva implícitamente como sigue:01yx 22=−+
y
x'yx2'yy20'yy2x2 −=⇒−=⇒=+
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Nota: trataremos "y" como una función propiamente dicha, por ejemplo, F(x)=y2 es la
composición de f(x)=x2 y g(x)=y, luego si F(x)=(y)2 tendremos que F´(x)=2yy´