7/23/2019 Matemáticas II Bachillerato Derivadas Apuntes

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 Matemáticas. Derivadas. 1 

13. DERIVADAS.

Tasa de variación media.

• Se define la tasa de variación media de una función f(x) en el intervalo [a, b] como:

( ) ( )ab

af bf .M.V.T

−

−=

Si se nota por h la diferencia entre b y a (h = b–a), la definición puede expresarse:

( ) ( )h

af haf .M.V.T

  −+=

• La T.V.M. es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Derivada de una función en un punto.

Definiciones.

• Se define la derivada o tasa de variación instantánea de una función f(x) en el punto

x = a como el siguiente límite si existe y es finito:

( )  ( ) ( ) ( ) ( )

ax

af xf lím

h

af haf líma'f 

ax0h −

−=

−+=

→→

• Se dice que f(x) es derivable en x = a cuando existe f’(a).

• Se dice que una función f(x) es derivable en un intervalo (a, b) cuando es derivable en

todos los puntos de dicho intervalo.

• La derivada por la derecha y la derivada por la izquierda en el punto x = a se definen

como los siguientes límites, en caso de que existan y sean finitos:

( )   ( ) ( ) ( ) ( )ax

af xf lím

h

af haf líma'f 

ax0h   −

−=

−+=

++ →→

+

( )   ( ) ( ) ( ) ( )ax

af xf lím

h

af haf líma'f 

ax0h   −

−=

−+=

−− →→

−

• Se define la función derivada de f(x) como la función que a cada punto en el que f(x) es

derivable le hace corresponder la derivada de dicha función en el punto considerado:

( )  ( ) ( )

h

xf hxf límx'f 

0h

−+=

→

Significado geométrico.

• f’(a)  es la pendiente de la recta que es tangente a la gráfica de f(x)  por el punto

(a, f(a)).

• La ecuación punto – pendiente de la recta que es tangente a la gráfica de f(x) en el pun-

to (x0, y0) es: 

( ) ( )000 xxx'f yy   −⋅=−

Departamento de Matemáticas Ntra. Sra. de Lourdes. Apuntes de Matemáticas II: Resumen derivadas

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• La ecuación punto – pendiente de la recta que es normal a la gráfica de f(x) en el punto

(x0, y0) es: 

( )  ( )0

0

0 xxx'f 

1yy   −⋅−=−

Condiciones de derivabilidad.

• Teorema.– Si f(x) es derivable en x = a, entonces f(x) es continua en x = a.

Entonces, según este teorema, si f(x) no es continua en x = a, tampoco es derivable en di-

cho punto.

• La derivada de una función f(x) en el punto x = a existe si, y sólo si, f’(a+) y f’(a – ) exis-

ten y son iguales.

Cálculo de derivadas.

• Tabla de derivadas (n representa un número real cualquiera y a un número mayor que

0):

f(x) f’(x)

n 0

xn n·xn–1

xx·2

1

logaxa·lnx

1

ln xx

1

axalna x ⋅  

ex ex

sen x cos x

cos x –sen x

f(x) f’(x)

tg x xtg1xsecxcos

1 22

2  +==  

cotg x xgcot1xeccosxsen

1 22

2  −−=−=−

arcsen x2x1

1

−

arccos x2x1

1

−−

arctg x2x1

1

+

arccotg x2

x1

1

+−

• Regla de la cadena.– La derivada de una función compuesta viene dada por la si-

guiente expresión:

( )( ) ( )[ ]   ( )x'f xf 'gxf g   ⋅=o

• Derivadas de sumas, productos y cocientes de funciones:

( ) ( )[ ]   ( ) ( )x'gx'f 'xgxf    +=+

( ) ( )[ ]   ( ) ( ) ( ) ( )x'gxf xgx'f 'xgxf    ⋅+⋅=⋅

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 Matemáticas. Derivadas. 3 

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )xg

x'gxf xgx'f 

xg

xf 2

⋅−⋅=

′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

• Derivación logarítmica.– Se emplea para hallar la derivada de una función potencial – 

exponencial.Ej: .( )x

xseny =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 1x

x

xsenxcosxxsenlnxsen'y

xsen

xcosxxsenln

y

'yxsenlnxylnxsenlnyln

−⋅⋅+⋅=⇒

⇒⋅

+=⇒⋅=⇒=

• Derivación en forma implícita.– Se realiza cuando la función está definida de forma

implícita, mediante una ecuación del tipo ( ) 0y,xf    = , es decir, cuando la y no está despeja-

da.

Ej: . Se deriva implícitamente como sigue:01yx 22=−+

y

x'yx2'yy20'yy2x2   −=⇒−=⇒=+

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 Nota: trataremos "y" como una función propiamente dicha, por ejemplo, F(x)=y2 es la

composición de f(x)=x2 y g(x)=y, luego si F(x)=(y)2 tendremos que F´(x)=2yy´