OBJETIVO:

• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.

• Identifica números racionales.

INDICADORES:

Resuelve ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita e identifica números racionales.

Vivencia actitudes de honestidad y respeto frente a la opinión de sus compañeros y profesores, en el desarrollo de actividades lógico matemáticas relacionadas con el área y el proyecto Maloma.

ECUACIONES.

Una ecuación es una igualdad en la que aparecen letras (incógnitas o variables) con valor o valores desconocidos.

El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la o las incógnitas. En este tema trabajamos con ecuaciones lineales (de grado 1) con una incógnita.

Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas que hacen cierta la igualdad.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para conseguir ecuaciones equivalentes, solo se puede aplicar alguna de las siguientes

propiedades: Propiedad 1: sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión. Propiedad 2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente de cero.

Veamos de que partes consta una ecuación:

Imagen tomada de Mi rincón de las matemáticas: Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita. (mirincondelasmatematicas.blogspot.com)

Miembros: Son cada una de las expresiones que se encuentran a cada lado del signo igual.

MATEMÁTICAS GRADO SEPTIMO GUÍA # 8

Incógnita: Valor desconocido de la ecuación que hemos de hallar para que se cumpla la igualdad.

Términos: Son cada una de las cantidades que están conectadas a otras por los signos + o -, o que se encuentran solas en un miembro. Los términos que no llevan incógnita se llaman términos independientes.

Ejemplo 1: x + 3 = - 8 es una ecuación de primer grado cuya incógnita o variable es x.

Ejemplo 2: -25 = 2y +4 es una ecuación de primer grado cuya incógnita o variable es y.

ECUACIONES CON ESTRUCTURA ADITIVA EN LOS NÚMEROS ENTEROS.

Saberes previos. Las operaciones entre números enteros tienen operaciones inversas. Indica cuál es la operación inversa en cada caso.

- Inversa de la adición. - Inversa de la multiplicación. - Inversa de la sustracción. - Inversa de la división.

Analiza. Violeta tiene una deuda con el banco. Si hace un abono de $750000 y aún debe $800000, ¿cuál era su deuda inicial? Conoce.

La situación se puede representar mediante la siguiente ecuación:

Deuda inicial Abono Deuda actual x + 750000 = -800000

Para resolver esta ecuación, debemos hallar el valor que hace cierta la igualdad. Para ello se utiliza la propiedad 1 de las ecuaciones descrita anteriormente. Sumamos a ambos lados de la igualdad el opuesto de 750000 así. x + 750000 + (-750000) = -800000 + (-750000) x + 0 = - 1550000 x = - 1550000 Según lo anterior, la deuda inicial de Violeta era de $1550000.

EJEMPLO 1: Observa cómo se resuelve la ecuación 3 + n = -15. 3 + n = -15 Ecuación dada. 3 + (-3) + n = -15 + (-3) Se sumó el opuesto de 3 a ambos lados de la igualdad propiedad 1. 0 + n = -18 n = - 18 -18 es la solución para n. EJEMPLO 2: Resolver la ecuación 145 = 145 + y 145 = 146 + y Ecuación dada. 145 + (-146) = 146 + (-146) + y se sumó el opuesto de 146 a ambos lados de la igualdad. -1 = 0 + y Suma de números enteros en ambos lados de la igualdad.

-1 = y -1 es la solución para y. EJEMPLO 3: Al sustraer 14 de cierto número, se obtiene 9. ¿cuál es ese número? Si llamamos z al número buscado, entonces la ecuación que modela la situación es z – 14 = 9, así al

resolver la ecuación se tiene: z – 14 = 9 Ecuación dada. z -14 + 14 = 9 + 14 Se sumó a ambos lados de la igualdad el opuesto de -14.

Una ecuación de estructura aditiva se caracteriza por que su operación

principal es una adición o una sustracción. Estas ecuaciones son

de la forma: x + un número = otro número o de

la forma x – un número = otro número.

z + 0 = 23 z = 23 23 es solución para z.

ECUACIONES CON ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA EN LOS NÚMEROS ENTEROS.

Saberes previos. Diego piensa un número, le agrega 25 y obtiene -46. ¿qué número pensó Diego? Utilizando los conceptos vistos en el apartado anterior averigüe que número pensó Diego. Analiza. El producto de dos números es 300, si uno de los factores es -15, ¿cuál es el otro factor? Conoce. Una manera de encontrar la solución al problema consiste en plantear una ecuación como la que se muestra a continuación. Sea x el factor desconocido entonces: -15 * x = 300. Veamos cómo resolverla: -15 * x = 300 Ecuación dada. -15 ÷ -15 * x = 300 ÷ (-15) Se divide a ambos lados de la igualdad entre -15 propiedad 2. 1* x = - 20 Se realizan las divisiones indicadas en ambos miembros de la igualdad. x = -20 Se aplica la propiedad modulativa de la multiplicación. Por lo tanto, el número buscado es -20.

Las ecuaciones de estructura multiplicativa se caracterizan

por que su operación principal es una multiplicación o una

división. Son de la forma a*x = b 0 x÷ a = b, donde x es la incógnita de la ecuación.

EJEMPLO 1. La ecuación -48 = 24*z se resuelve de la siguiente manera: -48 = 24* z Ecuación dada. -48 ÷ 24 = 24 ÷ 24 * z Propiedad 2. -2 = 1* z División de números enteros. -2 = z Propiedad modulativa de la multiplicación. Luego -2 es la solución de la ecuación. Ahora veamos un ejemplo donde se tiene que aplicar la estructura aditiva y a su vez la estructura multiplicativa. EJEMPLO 2. La ecuación -13*x + 65 = 39 se resuelve de la siguiente manera. Primero se aplica siempre la estructura aditiva y por último la estructura multiplicativa. -13*x + 65 = 39 Ecuación dada. -13* x + 65 + (-65) = 39 + (-65) propiedad 1. -13*x + 0 = -26 Suma de números enteros. -13*x = -26 Propiedad modulativa de la adición. -13 ÷ (-13)*x = -26 ÷ (-13) Propiedad 2. 1*x = 2 División de números enteros. x = 2 Propiedad modulativa de la multiplicación. EJEMPLO 3. El cociente exacto entre dos números enteros es 134. Si el divisor es -28, ¿cuál es el dividendo? Si designamos con w al dividendo, entonces se puede plantear la ecuación:

𝑤

−28 = 134

𝑤

−28∗ (−28)= 134* (-28) Propiedad 2.

w = - 3752 Operaciones entre números enteros en ambos lados de la igualdad. Luego la solución es – 3752.

Si presenta dificultades en el tema puede consultar las siguientes direcciones, donde encontrará vídeos a cerca de la temática. https://www.youtube.com/watch?v=4AixPIIV05E https://www.youtube.com/watch?v=IHblqjW8RY8

NÚMEROS RACIONALES Q.

En matemáticas se conoce el concepto de número racional para a hacer referencia a aquellos indicadores que permitan conocer el cociente (división) entre dos números enteros. La noción de racional proviene de ración (parte de un todo). Los números racionales están formados por los números enteros (que pueden

expresarse como cociente: 5 = 5

1=

10

2=

−15

−3= ⋯) y los

números fraccionarios (números racionales no enteros: 2

5,

−8

12,

69

−253 entre muchos otros.

Los números racionales permiten expresar medidas. Cuando se compara una cantidad con su unidad, se obtiene, por lo general, un resultado fraccionario. Por ejemplo: si divido una pizza en dos partes iguales, tengo

dos mitades. Cada porción será 1

2 (un medio) de la pizza

(una parte de dos).

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES Q.

Los números racionales se aplican en diversas situaciones para representar la relación entre dos cantidades o magnitudes. Así, en física se utilizan números racionales para expresar la relación entre la distancia recorrida por un automóvil en un tiempo determinado. Además, los números racionales se aplican en economía para indicar porcentajes, en química para medir la concentración de una sustancia de un cuerpo, y en general, en cualquier área en la que se deba expresar una medida. DEFINICIÓN DEL CONJUNTO Q.

El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra Q y se define como Q = { 𝑎

𝑏 / a y b

Є Z, b ≠ 0.

Este conjunto contiene a los números enteros que, a su vez, contiene a los números naturales, tal como puede observar en la siguiente figura.

Por ejemplo, las fracciones 4

3,

−5

18,

−2

−3 son números racionales.

FRACCIONES EQUIVALENTES. Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de una unidad. Por ejemplo,

las fracciones 2

3 (dos tercios) y

8

12 (0cho doceavos) son equivalentes, como se puede observar la

parte coloreada en la figura.

Si

𝑎

𝑏 𝑦

𝑐

𝑑 son fracciones equivalentes, entonces se escribe

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 con a,b,c y d números enteros y b

y d ≠ 0, se cumple que a*d = c*b.

Así, como las fracciones 2

3 𝑦

8

12 son equivalentes, entonces 2*12 = 3*8.

Para encontrar fracciones equivalentes a una fracción dada se utiliza la simplificación y la complificación. Simplificación de fracciones. Para simplificar una fracción se divide tanto el numerador como el denominador entre su máximo común divisor (m.c.d), con lo cual se obtiene una fracción equivalente.

Por ejemplo, en la fracción 18

24 se tiene que m.c.d (18,24) = 6, con lo cual la simplificación de la

fracción es 18

24=

18÷6

24÷6=

3

4 Como la fracción

3

4 no se puede simplificar más entonces se dice que es una

fracción irreducible.

Una fracción es irreducible cuando no hay divisores comunes entre el numerador y el denominador, es decir, cuando el m.c.d entre el numerador y el denominador es igual a 1.

Complificación de fracciones. Para complificar una fracción se multiplica tanto el numerador como el denominador por el mismo número, con lo cual se obtienen fracciones equivalentes.

Por ejemplo, la complificación de la fracción 4

5 por 3, se realiza así:

4

5=

4∗3

5∗3=

12

15 , de donde

4

5~

12

15.

Si aún presenta dificultades en el tema puede consultar el siguiente link:

Qué son los números racionales - YouTube

Referencia bibliográfica. Vamos a aprender matemáticas grado 7. Ministerio de educación Nacional. Año 2017. Los caminos del saber Matemáticas 7. Santillana. Año 2013.

Basándose en la información aquí suministrada, DESARROLLE LAS ACTIVIDADES DE ESTA GUÍA. Cada

actividad de la guía debe ser desarrollada con procedimientos y/o justificaciones, con excelente presentación, debe desarrollarla en su cuaderno de matemáticas.

Imagen tomada de https://ar.pinterest.com/pin/579768152008536327/visual-search/

Listos para realizar un buen trabajo…ANIMO, continuamos comprometidos para sacar el

segundo periodo de la mejor forma

HOJAS DE TRABAJO GUÍA 8.

MATEMÁTICAS

ACTIVIDAD 1: Debe incluir los procedimientos o justificación, razón por la cual se sugiere

resolver en el cuaderno.

I. Resuelva paso a paso las siguientes ecuaciones.

1. x + 3 = 7 2. 9 + x = 12 3. 12 = y – 8 4. 5*x = -20 5. 3*y = 29 – 8 6. 2* z = 19 – 5 7. -2*x = -96 8. 5*x + 2 = -8 9. -45 = -5 + 8*z

II. Observa la secuencia, Plantee una ecuación y resuélvala.

1.

2.

III. Traduce cada enunciado en una ecuación y halla su solución.

1. 17 menos un número es 79.

2. Un número disminuido en 23 es igual a 40. 3. La edad de una persona dentro de 7 años será 45. 4. La temperatura actual aumentada en 9°C da una lectura de 38°C. 5. El triple de la edad de una persona aummentado en 3 da 63.

Nombre del Estudiante Curso Sede Jornada

Correo electrónico: Nombre Director de Curso:

Correo electrónico de

docentes de área:

Morales Harold (703, 704, 705): hmorales@educacionbogota.edu.co Vargas Alix (701, 702): alix.vargas411@educacionbogota.edu.co

IV. Resuelva los siguientes problemas. Para ello plantee una ecuación.

1. La suma de dos números enteros es 340. Si uno de los sumandos es -130, ¿cuál es el otro sumando?

2. La suma de las edades de dos hermanos es 32. Si el menor tiene 15 años, ¿cuántos años tiene el mayor?

3. Un número más 8 es igual a 24. ¿cuál es el número?

4. Si a 800 se le resta el doble de un número, se obtiene 670.

5. El doble de un número es 48.

V. Escribir un número racional para cada caso.

1. Un pastel se divide en 8 partes iguales, ¿qué fracción del pastel representa una de las partes?

2. Sofía tiene una colección de 86 estampillas de las cuales 7 son de Italia. ¿qué fracción de las estampillas son de Italia?

3. Si Sofía compra otras 86 estampillas, entonces el número de estampillas de

Italia se triplica. Teniendo en cuenta esto, ¿cuál es la fracción que corresponde al número de estampillas que no son de Italia?

VI. Observe la figura y responda.

1. ¿Qué número racional representa la parte de color azul?

2. ¿Qué fracción de toda la figura corresponde a la región A? 3. ¿Qué fracción de toda la figura

corresponde a la región B?

VII. Colorea las fracciones equivalentes a las fracciones dadas según la clave.

ACTIVIDAD 2 MALOMA

VIII. Analice la secuencia y con base en ella responda. Observe bien la figura.

IX. Explique como moviendo una cerilla se puede formar un cuadrado.