Matemáticas I

1º Bachillerato

1

TEMA 8. FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINIDAD.

1. Concepto de función.

2. Dominio e imagen de una función.

3. Tipos de funciones.

4. Operaciones con funciones.

5. Concepto de límite.

6. Cálculo de límites.

7. Continuidad de una función.

8. Asíntotas.

9. Propiedades de funciones.

1. Concepto de función.

Función: relación entre dos conjuntos que asigna a cada elemento x del conjunto inicial un único elemento y = f(x) del conjunto final.

Dominio de una función f, D(f) o Dom (f): conjunto de todos los valores posibles de x.

Recorrido o imagen de una función R(f), Rec(f) o Im (f): conjunto de todos los valores de y = f(x).

Trabajamos con funciones reales de variable real, es decir, el dominio y la imagen son números reales.

x → variable independiente

y = f(x) → variable dependiente

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2

Formas de expresar una función:

- Enunciado (descripción verbal).

- Fórmula.

- Tabla.

- Gráfica.

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3

Por tanto, una recta vertical solo puede cortar una vez la gráfica de una función.

2. Dominio e imagen de una función.

Dominio de una función f, D(f) o Dom (f): conjunto de todos los valores posibles de x.

Recorrido o imagen de una función R(f), Rec(f) o Im (f): conjunto de todos los valores de y = f(x).

� El cálculo gráfico del dominio de una función se realiza a partir de la gráfica buscando sobre el eje horizontal los valores de x tales que la recta vertical que pasa por x corta a la gráfica de la función.

� El cálculo de la imagen de una función se realiza a partir de la gráfica buscando sobre el eje vertical los valores de y tales que la recta horizontal que pasa por y corta a la gráfica de la función.

Cálculo algebraico del dominio de una función: a partir de la fórmula que describe una función podemos encontrar el dominio de la misma:

a) El dominio de funciones polinómicas f(x) = P(x) son todos los números reales. Ejemplo:

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4

b) El dominio de funciones racionales ���� = �������� son todos los números reales

que hacen el denominador distinto de cero.

Ejemplos: En una fracción algebraica el denominador no puede ser cero.

xxf

1)( = en el punto x = 0 no existe la función, por tanto:

}0{−ℜ=D

c) El dominio de las funciones irracionales de índice impar ���� = ���� es el dominio del radicando g(x).

Ejemplos:

���� = √� ���� = ℝ

���� = ���

���� = ℝ − �0�

Otros ejemplos: ���� = √�� − 9 ���� = ����

����

1

2

3

1

2

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5

d) El dominio de las funciones irracionales de índice par ���� = ���� son todos los números reales que hacen el radicando mayor o igual que cero ��� ≥0.

Ejemplos: En una raíz de índice par el radicando no puede ser negativo.

xxf =)( si x < 0 no existe la función, por tanto: ),0[ ∞=D

La solución de la inecuación es el dominio

Otros ejemplos: ���� = √�� − 9� ���� = ����

����

���� = √�� + � + 2

e) El dominio de las funciones logarítmicas ���� = log$ ��� son todos los números que hacen mayor que cero la expresión de la que se calcula el logaritmo ��� > 0.

Ejemplo: El argumento de un logaritmo no puede ser un número negativo o cero.

Lxxf =)( si x = 0 ó x < 0 no existe la función, por tanto: ),0( ∞=D

���� = log� �� − 3� + 2

�� − 3� + 2 > 0 La solución de la inecuación es el dominio

� = �−∞, 1� ∪ �2,∞�

1

2

1

2

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6

3. Tipos de funciones.

A) FUNCIONES POLINÓMICAS.

- Primer grado:

- Segundo grado:

Observa que una parábola es simétrica respecto a un eje que se sitúa en el

vértice.

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7

- Grado mayor que dos.

Puede tener distintas formas.

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8

B) FUNCIONES RACIONALES ���� = ��������

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9

C) FUNCIONES LOGARITMICA Y EXPONENCIAL.

Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas entre sí.

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10

D) FUNCIONES IRRACIONALES.

E) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

Las funciones trigonométricas: ���� = +,-� ; ���� = ./+� ; ���� = 0�

F) FUNCIONES A TROZOS:

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11

G) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO:

Al desarrollarlas se convierten en funciones a trozos:

a) ���� = |�| = 2 �� ≥ 0−�� < 0

b) ���� = |� + 2| = 5 � + 2� + 2 ≥ 0−�� + 2�� + 2 < 0 = 2 � + 2� ≥ −2

−� − 2� < −2

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H) FUNCIÓN PARTE ENTERA:

���� = 6-0��� = 7�8 es el mayor número entero menor o igual que x.

4. Operaciones con funciones.

A) SUMA, RESTA, PRODUCTO Y COCIENTE.

• La expresión algebraica se obtiene sumando, restando, multiplicando o

dividiendo respectivamente las expresiones algebraicas de las funciones

originales.

• Los dominios de las funciones suma, resta y producto, están formados por

la intersección de los dominios de las funciones � y (es decir �� ∩ � lo

que tienen en común).

x y

-1,5 -2

-1 -1

-0,5 -1

0 0

0.5 0

1 1

1,6 2

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13

• El dominio del cociente es la intersección de los dominios de las funciones

�� ∩ � además se quita del dominio los valores que anulen el

denominador ��� � 0.

B) COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:

• Existe una operación específica de las funciones que se llama composición y

consiste en:

1º. Aplicamos una función a un número.

2º. Aplicamos otra función al resultado obtenido.

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14

• En general, la composición de funciones no es conmutativa.

• Para que un número x pertenezca al dominio de �° debe cumplir:

� ∈ �

��� ∈ ��

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15

C) FUNCIÓN INVERSA.

• La función inversa (o recíproca) de una función � es otra función ��� tal que:

�°��� = ���°� = <��� = �

Donde <��� es la función identidad.

• No toda función tiene inversa, solo las funciones inyectivas tienen inversa.

Una función es inyectiva si a cada valor de = le corresponde un único valor

de �.

Ejemplos de funciones inyectivas:

Ejemplos de funciones no inyectivas:

• Para obtener la función inversa, seguimos los siguientes pasos:

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16

• Esto no siempre es posible realizarlo, ya que no siempre se puede despejar la

x o el resultado al hacerlo no es único:

(ambas son funciones no inyectivas)

• Si existe la inversa de una función es única.

• Gráficamente una función y su inversa son simétricas con respecto a la

recta > � ? que es la bisectriz del 1er y 3er cuadrantes (función identidad).

Ejemplos:

= � 2� = � log� � = � �� = � √�

La función = � �� no es inyectiva en todo su dominio, pero si se separa por

intervalos:

= � ��+<� ∈ 70,∞� = = ��+<� ∈ �−∞, 08

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17

• El recorrido o imagen de una función se puede obtener, además de por su

gráfica, teniendo en cuenta que si la función tiene inversa, la imagen de la

función es el dominio de la inversa.

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

5. Concepto de límite.

A) LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

• Límite : lo podemos definir como aquel lugar al que, si no llegamos, seremos

capaces de acercarnos todo lo que queramos.

• En matemáticas: sea = � ���� una función y dos números @, A ∈ ℝ lim�→$ ���� = A se lee: “límite cuando x tiende al número a de la

función ���� es igual al valor b”

El límite de una función en un punto, tiene sentido de “lugar” hacia el que se

dirige el valor de la función ���� cuando la variable independiente ��� se

aproxima a un valor determinado.

La función = = 2�

� = ℝ

E = 70,∞� La función = = log� �

� = 70,∞� E = ℝ

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18

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

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19

B) LÍMITES LATERALES.

lim�→$F

���� Límite lateral por la izquierda (tomamos valores

próximos al números a pero menores).

lim�→$G

���� Límite lateral por la derecha (tomamos valores

próximos al números a pero mayores).

Ejemplo 1.

lim�→�

���� � 1

Definición:

Cuando los límites laterales existen y son iguales, existe el límite

de la función cuando � → @.

Ejemplo 2.

lim�→$F

���� � lim�→$G

���� � A ⇔ lim�→$

���� � A

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20

Ejemplo 3.

C) LÍMITES INFINITOS.

Ejemplo 1.

El lim�→$

���� y el valor de ��@� pueden coincidir o no.

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21

x y

-0,1 100

-0,01 10000

-0,001 1000000

… …

↓ ↓

0 ∞

Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

x y

0,1 100

0,01 10000

0,001 1000000

… …

↓ ↓

0 ∞

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22

D) LÍMITES EN EL INFINITO.

En este caso estudiamos: lim�→∞

����

Ejemplo 1. Sea la función ���� � ��

lim�→�I

�� � ∞ lim�→�I

�� � ∞

Ejemplo 2. Sea la función ���� � ������

lim�→�I

������ � 1 lim

�→�I������ � 1

x y

-10 100

-1000 1000000

… …

↓ ↓

- ∞ ∞

x y

10 100

1000 1000000

… …

↓ ↓

- ∞ ∞

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23

6. Cálculo de límites.

El primer paso para calcular el límite de una función en un punto es sustituir la variable por el valor al que tiende. Se obtienen dos resultados posibles: límites determinados y límites indeterminados:

A) LÍMITES DETERMINADOS E INDETERMINADOS.

Ejemplo 1. 24

8

13

13

1

1lim

22

3==

−−=

−−

→ x

xx

El límite está determinado, puede calcularse directamente.

Más ejemplos:

Ejemplo 2. ?0

0

11

11

1

1lim

22

1==

−−=

−−

→ x

xx

El límite está indeterminado. No significa que no exista, si no que no puede calcularse directamente.

B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.

Donde 0x puede ser un número ℜ ó ∞±

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24

C) OPERACIONES CON ∞ Y 0.

±∞=∞±a

POTENCIAS.

Hay ocasiones en las que no sabemos de forma inmediata el resultado, decimos que

es “indeterminado”.

Indeterminado no significa que no pueda existir el límite, sino que será necesario

realizar algunas operaciones previas para poder determinar si existe, y su valor.

También:

JK � 1

∞=∞∞

0I = 0

0L = 20+<M > 0∞+<M < 0

Ejemplos:

170 = ; 0011 = ;

∞===−

0

1

0

10

1212

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25

RESUMEN DE INDETERMINACIONES:

D) CÁLCULO DE DISTINTOS TIPOS DE LÍMITES. RESOLUCIÓ N DE INDETERMINACIONES.

D1. Límite de una función definida “a trozos”.

a) En el punto de ruptura:

≥⇒+−<⇒−

=37

352)(

xx

xxxf

Para calcular el lim f(x) en x = 3, se calculan los límites laterales:

=+−=+−

=−=−

+

−

→

→

4737lim

15652lim

3

3

x

x

x

x

como los límites laterales no son iguales no existe el límite de f(x) en el punto

x = 3

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26

b) En otro punto del dominio de la función:

35252lim)(lim11

−=−=−=→→

xxfxx

0777lim)(lim77

=+−=+−=→→

xxfxx

D2. Límite de funciones racionales )(

)(

xQ

xP

a) Si el denominador se anula: Indeterminación 0

k ( k ≠ 0)

±∞==→ 0)(

)(lim

k

xQ

xPcx

hay que estudiar los límites laterales

(se estudia el signo de )(

)(

xQ

xP en valores próximos a c)

Ejemplo:

b) Si el numerador y el denominador se anulan: Indeterminación 0

0

Se descompone en factores el numerador y el denominador y se simplifica.

Ejemplo:

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27

D3. Cálculo de límites cuando x→+∞ y cuando x →−∞.

a) Límites de funciones polinómicas:

Depende del signo del coeficiente de mayor grado:

+∞==−+∞→+∞→

434 3lim53lim xxxxx

−∞=−=++−+∞→+∞→

323 5lim975lim xxxxx

Cuando x→−∞ hay que tener en cuenta si el exponente es par o impar

−∞==+−−∞→−∞→

323 3lim753lim xxxxx

lim�→−∞

−2�3 + 7�4 − 3 � lim�→−∞

7�4 � +∞

+∞==+−∞→−∞→

22 lim8lim xxxx

−∞=−=+−−∞→−∞→

44 lim5lim xxxx

b) Funciones inversas polinómicas: 0)(

lim =±∞→ xP

kx

Ejemplo:

∞+=

+∞→

44lim

xx; expresión no real pero que tiende a 0.

c) Funciones racionales )(

)(

xQ

xP. Indeterminación

∞∞

La forma de resolver este tipo de indeterminación es dividir el numerador y el denominador por la potencia de mayor grado de la variable.

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28

En resumen:

Observa que:

d) Funciones racionales )(

)(

xQ

xP. Indeterminación ∞ − ∞.

Puede resolverse realizando la operación indicada.

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29

D4. Cálculo de límites de funciones irracionales.

a) Indeterminación 0

0 e ∞−∞ : Se multiplica y se divide por el radical

conjugado. Ejemplo:

Ejemplo:

b) Indeterminación ∞∞

. Se divide numerador y denominador por la potencia

máxima de la variable.

Ejemplo:

2

13

4

13

234

213

lim234

213

lim234

213lim

2222

22==

++

+=

++

+=

++

+∞→∞→

∞∞

∞→

xx

x

xx

x

x

x

xx

x

xx

xxxx

La expresión conjugada de A + B es A - B.

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30

D5. Resolución de indeterminaciones del tipo 1∞.

• Estas indeterminaciones están relacionadas con el número e se calculan de la siguiente forma:

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31

Otro método:

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32

7. Continuidad de una función.

• Idea intuitiva de la continuidad “una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel”.

• La continuidad de una función se puede estudiar en un punto, en un intervalo o en todo su dominio.

• Definición de continuidad en un punto:

Es decir, una función es continua en un punto cuando existe el límite en ese punto y coincide con el valor de la función en ese punto.

• Propiedades de las funciones continuas: Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas serán siempre continuas en su dominio. Por lo tanto, presentarán discontinuidades en aquellos puntos en los que no estén definidas y, por lo tanto, no pertenezcan a su dominio.

Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en ese punto.

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33

• Algunos tipos de discontinuidades:

A) Discontinuidad evitable, se produce cuando:

B) Discontinuidad inevitable: se produce cuando existen los límites laterales en el punto pero son distintos.

lim�→$F

���� ≠ lim�→$G

����

Ejemplo:

=⇒

≠⇒−−

=13

11

1)(

2

x

xx

xxf

21lim)1(

)1)(1(lim

1

1lim

11

2

1=+=

−−+=

−−

→→→x

x

xx

x

xxxx

pero f(1) = 3

La función f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = 1

Una función que tenga límite en un punto se puede completar para que sea continua en él. Si tomamos f(1) = 2 ⇒ f(x) es continua.

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El valor Q lim�→@+

���� − lim�→@−

����Q se llama salto de la función en ese punto. El

salto de la función puede ser finito o infinito.

• Continuidad lateral: Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor de la función en ese punto.

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor de la función en ese punto.

• Continuidad en un intervalo:

- Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada uno de sus puntos.

- Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en todos sus puntos y además es continua por la derecha de a y por la izquierda de b.

)()(lim cfxfcx

=+→

)()(lim cfxfcx

=−→

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36

8. Asíntotas.

Las asíntotas de una función (en caso de existir) son rectas del plano a las que la función se aproxima tanto como queramos.

A) ASÍNTOTA VERTICAL (A.V.): la función ���� tiene una asíntota vertical en la recta � � @ cuando existe al menos uno de los siguientes límites:

Las posibles asíntotas verticales de una función estarán en los puntos de la función que no pertenezcan a su dominio.

B) ASÍNTOTAS HORIZONTALES (A.H.): la función ���� tiene una asíntota horizontal en la recta = � A cuando existe al menos uno de los siguientes límites:

Para las funciones del tipo ���� � �������� existe A.H. si el grado del numerador es menor

o igual que el grado del denominador.

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37

C) ASÍNTOTA OBLICUA (A.O.): la función ���� tiene una asíntota oblicua en la recta = � R� + - cuando existen los límites:

Para las funciones del tipo ���� � �������� existe A.O. si el grado del numerador supera en

una unidad al grado del denominador.

NOTA: Si una función racional ���� � �������� tiene asíntota horizontal, no las tiene

oblicuas.

Además m ≠ 0

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38

9. Propiedades de funciones.

A) SIMETRÍAS.

• Una función par es aquella que cumple: ��−�� � ���� Es simétrica respecto al eje de ordenadas.

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• Una función impar es aquella que cumple: ��−�� � −���� Es simétrica respecto al origen de coordenadas.

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B) TRASLACIONES.

• Traslaciones verticales: Dada una función ���� y un número real positivo

M > 0, la gráfica de las funciones = = ���� + M, = = ���� − M son como la

de = = ���� pero trasladadas M unidades hacia arriba o hacia abajo,

respectivamente.

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• Traslaciones horizontales: Dada una función ���� y un número real positivo

M > 0, la gráfica de las funciones = = ��� + M�, = = ��� − M� son como la

de = = ���� pero trasladadas M unidades hacia la derecha o hacia la

izquierda, respectivamente.

C) SIGNO DE UNA FUNCIÓN.

Se señalan sobre el eje X los puntos de corte de la función con él y los puntos de

discontinuidad y se estudia el signo de la función en los intervalos obtenidos.

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D) PERIODICIDAD.

Una función ���� es periódica si existe un número T tal que

���� � ��� + S� ∀� ∈ ��

T se llama período.

Ejemplo 1.

T = 1

Ejemplo 2.

Las funciones trigonométricas senx, cosx, tgx