MATERIA: ANALISIS NUMERICO AVANZADO y ANALISIS NUMERICO...
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MATERIA:MATERIA:ANALISIS NUMERICO AVANZADO
yANALISIS NUMERICO IIaANALISIS NUMERICO IIa
Profesor:Dr. Angel N. Menéndezg
Análisis Numérico IIDiferencias finitas – problemas parabólicos
DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA PARABOLICOSPROBLEMA PARABOLICOS
1/56
Análisis Numérico IIEcuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALESDERIVADAS PARCIALES
1/22
Análisis Numérico IIEcuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales
ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALESDERIVADAS PARCIALES
• Ecuaciones Tipo
• Clasificación
• Condiciones de Borde• Condiciones de Borde
2/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo
ECUACION DE ADVECCION(Hiperbólica)(Hiperbólica)
U
Qece
∂ ∂c(x,t)
0c cUt x∂ ∂
+ =∂ ∂U t x∂ ∂
Δx
U
c(x+Δx,t)
x
3/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo
ECUACION DE ADVECCION(Hiperbólica)(Hiperbólica)
U ( , ) ( )c x t f x Ut= −( , ) ( )f
4/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo
ECUACION DE DIFUSION(Parabólica)(Parabólica)
F(x t)
Qece
2c c∂ ∂
F(x,t)
c(x,t)
2
c cDt x∂ ∂
=∂ ∂F(x+Δx,t)
Δx
x
c(x+Δx,t)
5/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo
ECUACION DE DIFUSION(Parabólica)(Parabólica)
( , ) xc x t Aerf ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
6/22
( , )2
fDt⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo
ECUACION DE LAPLACE(Elíptica)(Elíptica)
c1(x)c1(x)
( )c3(y)
)
c4(y)
2 2
c2(x)
2 2
2 2 0c cx y∂ ∂
+ =∂ ∂
7/22
x y∂ ∂
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesEcuaciones Tipo
ECUACION DE LAPLACE(Elíptica)(Elíptica)
( , ) y
n yL n xc x y Ae senπ
π− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟( , )
x
c x y Ae senL⎜ ⎟
⎝ ⎠
8/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
PROBLEMA DE 2º ORDEN2 2 2
2 2( , ) 2 ( , ) ( , )u u uA x y B x y C x y∂ ∂ ∂+ +
∂ ∂ ∂ ∂2 2x x y y
u uD
∂ ∂ ∂ ∂
⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟
Condiciones de borde:
, , , ,D x y ux y
⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ , uu
n∂∂n∂
9/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
CONDICION DE UNICIDAD
2
20d uudX dYdt xd d
⎡ ∂ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂⎝ ⎠∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥2
2
0
dt xxdt dtdX dY u d u
⎢ ⎥ ∂⎝ ⎠∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎛ ⎞∂ ∂⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥2
0
2dt dt x y dt y
A B C Du
= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥2
Duy∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 2
2dY dX dY dXA B C⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟10/22
2A B Cdt dt dt dt
Δ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
CLASIFICACION
Tipo Curvas características
2d B AC≡ − características
Hiperbólicas d > 0 RealesHiperbólicas d > 0 Reales
Elí i d 0 C l jElípticas d < 0 Complejas
R lParabólicas d = 0 Reales, pero coincidentes
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
FORMAS NORMALIZADAS
Hiperbólicas:
2v α β+=
2w α β−=
2 2d u u u uD⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2
2 2 , , , ,hd u u u uD v w uA w v v w
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Coeficientes con signo opuesto
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
FORMAS NORMALIZADAS
Elípticas:
2v α β+=
2w
iα β−
=
2 2d u u u uD⎛ ⎞− ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 2i
2 2 , , , ,eD v w uA w v v w
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Coeficientes con igual signo
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
FORMAS NORMALIZADAS
Parabólicas:
v α β= = w x=
2u u uA D∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟2 , , , ,pA D v w u
w v w⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Un coeficientes nulo
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesClasificación
MAS DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTESINDEPENDIENTES
Coeficientes de derivada deTipo Coeficientes de derivada de mayor orden
T d lHiperbólicas Todos no nulos y uno tiene signo distinto a los demás
Elípticas Todos no nulos y del mismo signog
Parabólicas Al menos uno nulo
15/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
ECUACIONES HIPERBOLICAS
2
, , , ,u u uG uα ββ β
⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Forma normal: , , , ,βα β α β⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Forma elemental:2
0uα β∂
=∂ ∂α β∂ ∂
( , ) ( ) ( )u f gα β α β= +
16/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
ECUACIONES HIPERBOLICASS l ió
( ) ( ) ( )u t f gα β= +⎧⎪
Solución:
( )u df dgtn d n d n
α βα β
⎪∂ ∂ ∂⎨ = +⎪∂ ∂ ∂⎩
Sobre borde:
n d n d nα β⎪∂ ∂ ∂⎩
λ α≡
μ β≡
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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
ECUACIONES HIPERBOLICASj l
2 21 0u u∂ ∂Ejemplo:
2 2 2 0x c t
− =∂ ∂
( , 0) ( )u x t a xu
= =⎧⎪∂⎨ ( , 0) ( )u x t b x
t∂⎨
= =⎪ ∂⎩
1 1( , ) ( ) ( ) ( )x ct
u x t a x ct a x ct b dξ ξ+⎡ ⎤
= + + − +⎢ ⎥∫18/22
( , ) ( ) ( ) ( )2 x ct
u x t a x ct a x ct b dc
ξ ξ−
+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
ECUACIONES HIPERBOLICAS
Solución:
Condiciones de Cauchy sobre PAλ α≡
Condiciones de
λ α≡μ β≡
Dirichlet o Neumann sobre PB
19/22
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
ECUACIONES ELIPTICAS
Ejemplo:2 2
2 2 0u ux y∂ ∂
+ =∂ ∂
(Forma normal)
( 0) ( )u x y u x= =⎧
x y∂ ∂
C di i d ( , 0) ( )
( , 0) ( )
ou x y u xu x y N x
⎧⎪∂⎨ = =⎪
Condiciones de Cauchy sobre contorno abierto ( , 0) ( )ox y N x
y⎪∂⎩contorno abierto
( , ) Re ( ) ( )x iy
o ou x t u x iy i N dξ ξ+⎧ ⎫⎪ ⎪= + +⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭∫
20/22
0⎪ ⎪⎩ ⎭
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
ECUACIONES PARABOLICAS
Ejemplo: (Forma normal)2
22
u uat x
∂ ∂=
∂ ∂
1 0si x >⎧
t x∂ ∂
Condiciones de 1 0( , 0) ( )
0 0si x
u x t b xsi x
>⎧= = = ⎨ <⎩
Condiciones de Dirichlet sobre contorno abierto
2/2 x t ξ2
/42( , ) , 0
x taau x t e d tξ
ξπ
−
∞
= >∫21/22
−∞
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas ParcialesCondiciones de Borde
CONDICIONES DE CONTORNO
Tipo Frontera Condicionesp
Hiperbólicas abierta Cauchy ó Di i hl /NHiperbólicas abierta Dirichlet/Neumann
Elípticas cerrada Dirichlet o Elípticas cerrada NeumannCI Dirichlet
Parabólicas abierta CB Dirichlet o Neumann
22/22
Neumann
Análisis Numérico IIDiferencias finitas – problemas parabólicos
DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA PARABOLICOSPROBLEMA PARABOLICOS
• Método explícito centrado
• Tipos de errores
• Consistencia de un esquema numérico• Consistencia de un esquema numérico
• Convergencia de la solución numérica
• Estabilidad de la solución numérica
• Problema de advección-difusión
• Problemas bidimensionales
• Método de las líneas
2/56
• Método de las líneas
Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo Explícito Centrado
PROBLEMA BASE
2u u∂ ∂2 , 0 , 0u uD x L t
t x∂ ∂
= < < >∂ ∂
( , 0) ( )u x t f x= =( , 0) ( )u x t f x
( 0, ) ( )u x t g t= =( 0, ) ( )u x t g t
( , ) ( )u x L t h t= =
3/56
( , ) ( )u x t h t
Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo Explícito Centrado
DISCRETIZACION
11 12
0 0n n n n nj j j j ju u u u u
D j N n+
+ −− − += < < ≥2 , 0 , 0D j N n
t x= < < ≥
Δ Δ
0 ( )j ju f x=
0 ( )n nu g t=
( )n nNu h t=
4/56
( )N
Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo Explícito Centrado
CALCULO
( ) ( )1 1 2 0 0n n n n N+ ( ) ( )11 11 2 , 0 , 0n n n n
j j j ju r u r u u j N n++ −= − + + < < ≥
D tΔ2r
x≡Δ
5/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosTipos de Errores
FUENTES DE ERRORESPROCESO DE CALCULO
DATOS(ENTRADA)
PROCESOPRECISION
RESULTADOS(SALIDA)
PROCESO DE CALCULO
PROCESO IDEAL
Exactos ExactosInfinitoInfinita
Con errores Con erroresInfinitoInfinita
ERRORES DE ENTRADA
Infinita
ExactosFinito
ERRORES DE TRUNCAMIENTO
CExactos Con erroresInfinita
ERRORES DE REDONDEO
I fi i
6/56
Exactos InfinitoFinita Con errores
Diferencias finitas – problemas parabólicosTipos de Errores
ERRORES NUMERICOS
7/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosTipos de Errores
ERRORES DE TRUNCAMIENTO
8/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
ERRORES DE DISCRETIZACION1( , ) ( , )n n
j ju x t u x tt
+ −Δ
1 1( , ) 2 ( , ) ( , )n n nj j j n
tu x t u x t u x t
D ε+ −
Δ− +
≡2 jDx
ε− ≡Δ
2 4 22 4
2 4 ( , )2 12
nj
u t u xD O t xt x
ε ∂ Δ ∂ Δ= − + Δ Δ∂ ∂, ,2 12n n
j jx t x tt x∂ ∂
9/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
CONSISTENCIA
00n
kt
εΔ →→
00
tx
Δ →Δ →
2 4 22 4
2 4 ( , )2 12
nj
u t u xD O t xt x
ε ∂ Δ ∂ Δ= − + Δ Δ∂ ∂, ,2 12n n
j jx t x tt x∂ ∂
Método explícito centrado es consistente
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Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
ERROR DE TRUNCAMIENTO LOCAL
( ) 11( , )nn n n n
j je u x t u+
+≡ − ( )( , )j j j
2 4 2t⎡ ⎤∂ Δ ∂ Δ2 4 22 4
2 4 ( , )2 12n n
nj
x t x t
u t u xe t D O t xt x
⎡ ⎤∂ Δ ∂ Δ⎢ ⎥= Δ − + Δ Δ∂ ∂⎢ ⎥
⎣ ⎦
n nΔ
, ,j jx t x t⎣ ⎦
n nj je tε≈ Δ
11/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
ERROR DE TRUNCAMIENTO GLOBAL
ˆ( , )n n nj j jE u x t u≡ −
1 max maxn n nj k k k kE E e+
∀ ∀≤ +a aj k k k ke∀ ∀
si r ≤ 1/2
1 1,0maxn n m
j k m n kE t ε+ +∀ ≤ ≤≤
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Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
NO CONSISTENCIAEsquema de DuFort-Frankel:
1 1 1 1n n n n n n+ +1 1 1 11 1
22
n n n n n nj j j j j ju u u u u u
Dt x
+ − + −+ −− − − +
=Δ Δ2 t xΔ Δ
22 2 2 2 2( )n u tDp O t x p t pε ∂ Δ
= + Δ Δ Δ ≡2,
( , , ), n
j
jx t
Dp O t x p t pt x
ε = + Δ Δ Δ ≡∂ Δ
2 2
00
tpΔ →→ ,si no
2 2
2 2
u u uD Dpt x t
∂ ∂ ∂= −
∂ ∂ ∂13/56
0xΔ → t x t∂ ∂ ∂
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
ORDEN DE PRECISION
Esquema explícito centrado:
2( , )nj O t xε = Δ Δ
E d D F t F k l
2 2 2( )n O Δ Δ Δ Δ
Esquema de DuFort-Frankel:
2 2 2( , ), nj O t x t xε = Δ Δ Δ Δ∼
14/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
ORDEN DE PRECISIONE lí i d á iEsquema explícito centrado con máxima precisión (Douglas):
2 42u uD∂ ∂
=2 4Dt x∂ ∂
2 4D x uΔ ∂ 2 44
,
( ) ( , )2 6 n
j
nj
x t
D x uD t O t xx
ε Δ ∂= Δ − + Δ Δ
∂ ,j2
6xtD
ΔΔ = ⇒ 2 4( , )n
j O t xε = Δ Δ
15/56
6D j
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
CONDICION DE BORDE DE NEUMANN2
2 , 0 , 0u uD x L t∂ ∂= < < >
∂ ∂ 2 , ,t x∂ ∂
( , 0) ( )u x t f x= =
( 0, ) ( )u x t g t= =∂ ( , ) ( )u x L t h tx∂
= =∂
16/56
x∂
Diferencias finitas – problemas parabólicosConsistencia de un esquema Numérico
CONDICION DE BORDE DE NEUMANN
1 1 ( )n n
nN Nu u h t+ −−1 1 ( )2
nN N h tx
+ =Δ
11 12
0 0n n n n nj j j j ju u u u u
D j N n+
+ −− − += < ≤ ≥2 , 0 , 0D j N n
t x= < ≤ ≥
Δ Δ
17/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosConvergencia de la Solución Numérica
CONVERGENCIA
( , )n nj ju u x t→
00
j jtx
Δ →Δ →
→, n
jx t fijos
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Diferencias finitas – problemas parabólicosConvergencia de la Solución Numérica
CONVERGENCIA EXPLICITO CENTRADO
Si r ≤ 1/2:
1 1,0maxn n m
j k m n kE t ε+ +∀ ≤ ≤≤ ,j
Si r ≤ 1/2 y es consistente ⇒ convergente
Condición r ≤ 1/2: estabilidad numérica
19/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosConvergencia de la Solución Numérica
TEOREMA DE LAX
Si i blSi consistente y estable
⇒ convergente
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MANIFESTACION INESTABILIDAD
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
MANIFESTACION INESTABILIDAD NUMERICA
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CONDICION DE ESTABILIDAD
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
CONDICION DE ESTABILIDADNUMERICA
:o on nj jSi u perturbada en uδ
0njuδ → 0j
nuδ
→∞→
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Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
METODO DE VON NEUMANNn n nδn n nj j ju u uδ→ +
Reemplazar en ecuación en diferenciasy desarrollar a primer ordeny desarrollar a primer orden
jikxn n n ikj xδ ξ ξ Δjn n n ikj xju e eδ ξ ξ Δ= =
1+1
1n
n
ξξ
+
≤23/56
nξ
ESTABILIDAD DE ESQUEMA EXPLICITO
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
ESTABILIDAD DE ESQUEMA EXPLICITO CENTRADO
1nξ +
[ ]1
1 2 1 cos( )n
nng r k xξ
ξ
+
≡ = − − Δξ
1/ 2r⇒ ≤
24/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
ESQUEMA DE RICHARDSON1 11 1
1 12
22
n n n n nj j j j ju u u u u
Dt x
+ −+ −− − +
=Δ Δ
24 ( / 2) 1n rsen k xG
⎡ ⎤− Δ⎢ ⎥
2 t xΔ Δ
( )1 0
nG = ⎢ ⎥⎣ ⎦
1/ 22 2 41,2 2 ( / 2) 1 4 ( / 2)rsen k x r sen k xλ ⎡ ⎤= − Δ ± + Δ⎣ ⎦⎣ ⎦
Incondicionalmente inestable25/56
Incondicionalmente inestable
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
ESQUEMA DE DU FORT - FRANKEL
( )1 11 1 n n n nn n u u u uu u + −+ − − + +− ( )1 122
j j j jj j u u u uu uD
t x+ −+ +−
=Δ Δ2 t xΔ Δ
Incondicionalmente estable
26/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
ESQUEMA IMPLICITO PONDERADO
1 1 1 11 1 1 12 2
( )n n n n n n n nj j j j j j j ju u u u u u u u
θ θ+ + + +
+ +⎡ ⎤− − + − +⎢ ⎥
1 1 1 12 2(1 )j j j j j j j jD
t x xθ θ+ − + −= + −⎢ ⎥
Δ Δ Δ⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]1 2 (1 ) 1 cos( )n r k xθ− − − Δ[ ][ ]
( ) ( )1 2 1 cos( )
ngr k xθ
=+ − Δ
27/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
ESQUEMA IMPLICITO PONDERADO
L r=m k=
[ ]1 2 (1 ) 1 cos( )r k xθ− − − Δ[ ][ ]
1 2 (1 ) 1 cos( )1 2 1 cos( )
n r k xg
r k xθ
θ− − − Δ
=+ − Δ
28/56
Incondicionalmente estable si θ ≥ 1/2
Diferencias finitas – problemas parabólicosEstabilidad de la Solución Numérica
JUSTIFICACION DE IMPLICITOS
En problemas con escalas l di í ltemporales disímeles
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Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
ECUACION DE ADVECCION-DIFUSION
2∂ ∂ ∂2
2 , 0 , 0u u uU D x L tt x x
∂ ∂ ∂+ = < < >
∂ ∂ ∂t x x∂ ∂ ∂
Es un problema parabólico
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Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
ESQUEMA EXPLICITO CENTRADO
11 1 1 12n n n n n n n
j j j j j j ju u u u u u uU D
++ − + −− − − +
+ 2 ,2
0 0
j j j j j j jU Dt x x
j N
+ =Δ Δ Δ
< < ≥0 , 0j N n< < ≥
2( , )nj O t xε = Δ Δ( , )j O t xε Δ Δ
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Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
ESTABILIDAD
[ ]1 2 1 cos( ) sen( )= − − Δ − Δng r k x ip k x
D tr Δ≡
U tp Δ≡2r
x≡Δ
px
≡Δ
1/ 2, 2r p r⇒ ≤ ≤2 2x Dt tΔ
Δ ≤ Δ ≤32/56
2, 2
t tD U
Δ ≤ Δ ≤
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
RESTRICCION POR ESTABILIDAD
2xΔxtDΔ
Δ ≈DDDxU
⇒Δ ≤U
33/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
UPWINDING
Si U > 0:
11 1 1
2
2,
n n n n n n nj j j j j j ju u u u u u u
U D+
− + −− − − ++ =
Δ Δ Δ 2 ,
0 , 0t x x
j N nΔ Δ Δ
< < ≥,j
( )n O Δ Δ( , )nj O t xε = Δ Δ
34/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
ESTABILIDAD PARA UPWINDING
xΔ2xt D
ΔΔ ≤ 2DU
x+Δ
35/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
METODO DE HIRTEcuación verdadera para explícito centrado:
2 2
2 22u u u t uU D∂ ∂ ∂ Δ ∂+ − +
∂ ∂ ∂ ∂2 2
2 3 2 4
2t x x tx u x u∂ ∂ ∂ ∂
Δ ∂ Δ ∂ 2 43 4 ( , ) 0
3 12x u x uU D O t x
x xΔ ∂ Δ ∂
+ − + Δ Δ =∂ ∂
36/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
CONDICION DE COURANT2 2
2 22u u u t uU Dt t
∂ ∂ ∂ Δ ∂+ ≈ −
∂ ∂ ∂ ∂ecuación
2 22t x x t∂ ∂ ∂ ∂
hiperbólica2dx D2dx D
dt t= ±
Δdx xdt t
Δ≤Δ
37/56
dt tΔ1/ 2r ≤
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
CONDICION DE DIFUSION2 2
2
u u U t uU D⎛ ⎞∂ ∂ Δ ∂
+ ≈ −⎜ ⎟ 22t x x⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠2
2U tD Δ
≥2
2D2
2DtU
Δ ≤
38/56
U
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
CRANK-NICHOLSON CENTRADO
1 1 11 1 1 11n n n n n n
j j j j j ju u u u u uU
+ + ++ − + −⎛ ⎞− − −
+ +⎜ ⎟⎜ ⎟2 2 2U
t x x+ +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠
⎛ ⎞1 1 11 1 1 1
2 2
2 212
n n n n n nj j j j j ju u u u u u
Dx x
+ + ++ − + −⎛ ⎞− + − +
= +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠2 x x⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠
2 2( , )nj O t xε = Δ Δ
39/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
PRUEBAS
U xΔ 5U xPeDΔ
≡ =
0,8U tCr Δ≡ = 0,8Cr
xΔ
40/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
PRUEBAS
U xΔ 10U xPeDΔ
≡ =
0,05U tCr Δ≡ = 0,05Cr
xΔ
41/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
PRUEBAS
U xΔ 5U xPeDΔ
≡ =
5U tCr Δ≡ = 5Cr
xΔ
42/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblema de Advección - Difusión
PERFORMANCE
U xΔU xPeDΔ
≡
U tCr Δ≡Cr
xΔ
43/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
PROBLEMA BASE
2 2
0 0 0u u uD x a y b t⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= + < < < < >⎜ ⎟2 2 , 0 , 0 , 0D x a y b tt x y= + < < < < >⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( , , 0) ( , )u x y t f x y= =( , , ) ( , )y f y
( ) ( )t t b t d( , ) ( , ) u s t g s t sobre contorno cerrado=
44/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
EXPLICITO CENTRADO
11 1 1 12 2n n n n n n n n
ij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u uD
++ − + −⎛ ⎞− − + − +
= +⎜ ⎟⎜ ⎟2 2 ,
0 0 0
Dt x y
i N j N
= +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠≥0 , 0 , 0x yi N j N n< < < < ≥
0 ( , )ij i ju f x y=
( , , ) n nij i ju g x y t sobre contorno=
45/56
( , , )ij i jg y
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
CALCULO
( ) ( ) ( )1 1 2 2n n n n n nu r r u r u u r u u+ + + + +( ) ( ) ( )1 1 1 11 2 2 ,
0 , 0 , 0ij x y j x i j i j y ij ij
x y
u r r u r u u r u u
i N j N n+ − + −= − − + + + +
< < < < ≥, ,x yj
D t D tΔ Δ2 2, x yr r
x y≡ ≡Δ Δ
46/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
ESTABILIDAD
2, D ty x r ΔΔ = Δ ≡ 2,y
xΔik j yik i xn nδ ξ ΔΔ yx ik j yik i xn n
iju e eδ ξ ΔΔ=
⎡ ⎤2 21 42 2
⎡ Δ ⎤⎛ ⎞Δ⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
yn x k yk xg r sen sen2 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
1/ 4r⇒ ≤47/56
1/ 4r⇒ ≤
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
IMPLICITO CENTRADO
1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + +⎛ ⎞1 1 1 1 1 1 11 1 1 1
2 2
2 2n n n n n n n nij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u u
Dt x y
θ+ + + + + + +
+ − + −⎛ ⎞− − + − += +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠
1 1 1 12 2(1 )
n n n n n ni j ij i j ij ij ij
t x y
u u u u u uD θ + − + −
Δ Δ Δ⎝ ⎠⎛ ⎞− + − +
+ +⎜ ⎟2 2(1 ) j j j j j jDx y
θ+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠
1/ 2 : incondicionalmente estableθ ≥
48/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
CALCULO
1: fuertemente implicitoθ =
( ) ( ) ( )1 1 1 1 11 2 2 n n n n n nr r u r u u r u u u+ + + + ++ + − + − + =( ) ( ) ( )1 1 1 11 2 2x y ij x i j i j y ij ij ijr r u r u u r u u u+ − + −+ + + + =
Sistema algebraico acoplado b di ien ambas direcciones
49/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
DIRECCIONES ALTERNADAS
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21 1 1 12 2n n n n n n n n
ij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u uD
+ + + ++ − + −⎛ ⎞− − + − +
= +⎜ ⎟⎜ ⎟2 2/ 2D
t x y= +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠
1 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 1 11 1 1 1
2 2
2 2n n n n n n n nij ij i j ij i j ij ij iju u u u u u u u
D+ + + + + + + +
+ − + −⎛ ⎞− − + − += +⎜ ⎟⎜ ⎟2 2/ 2t x y⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠
50/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
CALCULO
( ) ( )( ) ( )
1/ 2 1/ 2 1/ 21 11 n n n
x ij x i j i jr u r u u+ + ++ −+ − +
( ) ( )1 11 n n ny ij y ij ijr u r u u+ −= − + +
( ) ( )1 1 11 11 n n n
y ij y ij ijr u r u u+ + ++ −+ − +
( ) ( )1/ 2 1/ 2 1/ 21 11 n n n
y ij x i j i jr u r u u+ + ++ −= − + +
Sistemas algebraicos
51/56
acoplados por dirección
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
ESTABILIDAD
[ ]1 1 cos( ) 1 1 cos( )r k y r k x⎡ ⎤− − Δ − − Δ⎣ ⎦[ ]
[ ]1 1 cos( ) 1 1 cos( )1 1 cos( ) 1 1 cos( )
y xn
x y
r k y r k xg
r k x r k y
⎡ ⎤Δ Δ⎣ ⎦=+ − Δ ⎡ ⎤+ − Δ⎣ ⎦[ ]( ) ( )x y y⎣ ⎦
Incondicionalmente estable
52/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
DESDOBLAMIENTO (LOCALMENTE 1D)1* 1* 1* 1*
1 12
2[
n n n n nij ij i j ij i ju u u u u
D θ+ + + +
+ −− − +=
Δ Δ 2
1 12n n ni j ij i j
t xu u u+
Δ Δ− +1 1
2(1 ) ]i j ij i j
xθ + −+ −
Δ1 1* 1 1 1
1 12
2[
n n n n nij ij ij ij iju u u u u
D θ+ + + + +
+ −− − +=
Δ Δ 2
1* 1* 1*1 1
[
2n n n
t yu u u+ + +
Δ Δ
− +
53/56
1 12
2(1 ) ]ij ij iju u u
yθ + −+
+ −Δ
Diferencias finitas – problemas parabólicosProblemas Bidimensionales
ESTABILIDAD
0θ =Totalmente explícito:
[ ]{ }{ }1 1 cos( ) 1 1 cos( )ng r k x r k y⎡ ⎤Δ Δ⎣ ⎦[ ]{ }{ }1 1 cos( ) 1 1 cos( )x yg r k x r k y⎡ ⎤= − − Δ − − Δ⎣ ⎦
1/ 2r⇒ ≤
Mas estable que el de paso entero
54/56
Mas estable que el de paso entero
Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo de las Líneas
DISCRETIZACION ESPACIAL
2u uD∂ ∂2
u uDt x
∂ ∂=
∂ ∂
2du u u u+1 12
2j j j jdu u u uD
dt x+ −− +
=Δdt xΔ
55/56
Diferencias finitas – problemas parabólicosMétodo de las Líneas
NUEVO PROBLEMA DIFERENCIALdUdU AUdt
=
1uu
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
2 1 0 ... 01 2 1 0−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥2
3
uU u
⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥
1 2 1 ... 00 1 2 ... 0A r
−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥...
u
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
... ... ... ... ...0 0 1 2
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦1Nu −
⎢ ⎥⎣ ⎦ 0 ... 0 1 2⎢ ⎥−⎣ ⎦
Sistema de ecuaciones56/56
Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
Análisis Numérico IIDiferencias finitas – Problemas Hiperbólicos
DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA HIPERBOLICOSPROBLEMA HIPERBOLICOS
• Método explícito centrado
• Métodos explícitos
• Métodos implícitos• Métodos implícitos
• Difusión y Dispersión numéricas
• Sistemas Hiperbólicos
• Problemas bidimensionales
• Ecuación de segundo orden
• Problemas no lineales
1/40
• Problemas no lineales
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodo Explícito Centrado
PROBLEMA BASE
0 0 0 ( 0)u uc x L t c∂ ∂+ = < < > >0, 0 , 0 ( 0)c x L t c
t x+ = < < > >
∂ ∂
( , 0) ( )u x t f x= =
( 0, ) ( )u x t g t= =( 0, ) ( )u x t g t
2/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodo Explícito Centrado
DISCRETIZACION
11 1 0 0 0
n n n nj j j ju u u u
j N+
+ −− −+ < ≤ ≥0, 0 , 0
2j j j jc j N n
t x+ = < ≤ ≥
Δ Δ
0 ( )j ju f x=j j
( )n nu g t=0 ( )u g t=
3/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodo Explícito Centrado
ESTABILIDAD
1 seno( )ng ip k x= − Δ1 seno( )g ip k xΔ
U tΔU tpxΔ
≡Δ
Incondicionalmente inestableIncondicionalmente inestable
4/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA CON UPWINDING1
1 0n n n nj j j ju u u u
ct x
+−− −
+ =Δ Δ
( ),nj O t xε = Δ Δ
t xΔ Δ
1 (1 )n n nu p u pu+ + c tp Δ1(1 )j j ju p u pu −= − + p
x≡Δ
( )2
22u u c uc x c tt x x
∂ ∂ ∂+ = Δ − Δ
∂ ∂ ∂Hirt: (parabólico)
2t x x∂ ∂ ∂
xt ΔΔ ≤
5/40
tc
Δ ≤
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
CONDICION DE COURANT
dx cdt
= ±xt
Δ≤Δdt tΔ
xt ΔΔ ≤t
cΔ ≤
6/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA DE LAX1 ( )1
1 11 1
12 0
n n nn nj j jj j
u u u u uc
++ −
+ −− + −
+ = ( )2,nj O t xε = Δ Δ0
2c
t x+
Δ Δ
1 1
( ),j O t xε Δ Δ
11 1
1 1(1 ) (1 )2 2
n n nj j ju p u p u+
+ −= − + + c tpxΔ
≡Δ
cos( ) ( )ng x ip seno xκ κ= Δ − Δvon Neuman: ( ) ( )g p
xt ΔΔ ≤
7/40
tc
Δ ≤
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA DE LAX-WENDROFF1 ( )1/ 2
1/ 2 11
12 0
n n nn nj j jj j
u u u u uc
++ +
+− + −
+ = 0/ 2
ct x
+ =Δ Δ
( )2 2,nj O t xε = Δ Δ( ),j1 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 0n n n nj j j ju u u u
ct x
+ + ++ −− −
+ =Δ Δ
2 2 41 4 (1 ) ( / 2)ng p p seno xκ= − − Δ
t xΔ Δ
1 4 (1 ) ( / 2)g p p seno xκ= − − Δ
xt ΔΔ ≤
8/40
tc
Δ ≤
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
PRUEBAS
1 /c m s=u(x,t=0)
11T
Nc tp
xΔ
≡ΔxΔ
t (hrs)N intervalos T
9/40
t (hrs)N intervalos
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA DE LAX
1 /1 /c m s=
4 5T h
18
4,5T hrs=
0 90
18N =
0,90p =
10/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA DE LAX
1 /c m s=
4,5T hrs=
9N =
0,90p =
( 18)N =
11/40
( 18)N =
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA DE LAX
1 /c m s=
4,5T hrs=
6N =
0,90p =
( 18)N =
12/40
( 18)N =
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA DE LAX
1 /1 /c m s=
4 5T h
20
4,5T hrs=
0 90p =
20N =
0,90p =
13/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA DE LAX
1 /c m s=
3,3T hrs=
20N =
0,66p =
( 0 90)p =
14/40
( 0,90)p =
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA DE LAX
1 /c m s=
2,5T hrs=
20N =
0,50p =
( 0 90)p =
15/40
( 0,90)p =
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA CON UPWINDING
1 /c m s=
3,3T hrs=
20N =
0,66p =
( )Lax16/40
( )Lax
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA CON LAX WENDROFF
1 /c m s=
3,3T hrs=
20N =
0,66p =
( )Lax17/40
( )Lax
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA CON UPWINDING
1 /c m s=
5,0T hrs=
20N =
1p =
( )Lax18/40
( )Lax
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA CON UPWINDING
1 /c m s=
5,14T hrs=
20N =
1,03p =
19/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Explícitos
ESQUEMA DE LA RAYUELA
1 11 1 0
n n n nj j j ju u u u+ −
+ −− −1 1 02 2
j j j jct x
++ =Δ Δ
( )2 2,nj O t xε = Δ Δ
Δ
( ),j
xtcΔ
Δ ≤
20/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Implícitos
UPWINDING IMPLICITO
1 1 11 0
n n n nj j j ju u u u
c+ + +
−− −+ = ( ),n
j O t xε = Δ Δ0ct x
+Δ Δ
1n nu pu ++
( ),j
11
(1 )j jn
j
u puu
p−+ +
=+( )p
2
11 ( / 2) ( )
ngi
=+ Δ Δ21 ( / 2) ( )p seno x ip seno xκ κ+ Δ − Δ
Incondicionalmente estable21/40
Incondicionalmente estable
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosMétodos Implícitos
WENDROFF IMPLICITO
1 1 1 11 n n n n n n n nu u u u u u u uc+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −1 1 1 11 02 2
j j j j j j j ju u u u u u u uct t x x
+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )2 2n O tΔ Δ( )2 2,nj O t xε = Δ Δ
Incondicionalmente estable
22/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosDifusión y Dispersión Numéricas
ECUACION VERDADERA (HIRT)m
m m
u u uct x x
μ∞∂ ∂ ∂
+ =∂ ∂ ∂∑
( )( ) i x tκ β
2mt x x=∂ ∂ ∂
Aβ( )( , ) i x tu x t e κ βα −= iAβ ω= +∞
22
1( 1)k k
kk
A κ μ∞
=
= −∑1k
1 2( 1)k kcω κ μ∞
−= + −∑23/40
2 11( 1) k
kc κ μ
κ +=
= + −∑
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosSistemas Hiperbólicos
PROBLEMA BASE
h u∂ ∂ 0h uHt x
∂ ∂+ =
∂ ∂
u h∂ ∂ 0u hgt x
∂ ∂+ =
∂ ∂t x∂ ∂
24/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosSistemas Hiperbólicos
ESQUEMA DE LAX
( )1 1n n nn nh h h+ − +( )1 1
1 12 02
n nj j jj j
h h h u uH
t x
+ −+ −
+ −+ =
Δ Δ2t xΔ Δ
( )1 1n n n+ +( )11 1
1 12 02
n n nn nj j jj j
u u u h hg
t x
++ −
+ −− + −
+ =Δ Δ2t xΔ Δ
25/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosSistemas Hiperbólicos
ESTABILIDAD
cos( ) ( )x isH seno xκ κΔ − Δ⎡ ⎤ tΔ( ) ( ) ( ) cos( )
nGisg seno x xκ κ
⎡ ⎤= ⎢ ⎥− Δ Δ⎣ ⎦
tsxΔ
=Δ
cos( ) ( )x is gH seno xλ κ κ= Δ ± Δ1,2 cos( ) ( )x is gH seno xλ κ κ= Δ ± Δ
xtgHΔ
Δ ≤
26/40
gH
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas Bidimensionales
PROBLEMA BASE
0u u uc c∂ ∂ ∂+ + 0x yc c
t x y+ + =
∂ ∂ ∂
27/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas Bidimensionales
ESQUEMA DE LAX-WENDROFF (1/2)
( )1/ 21/ 2, 1/ 2 1 1, 1 1
14
n n n n ni j ij ij i j i ju u u u u++ + + + + +− + + +
4/ 2tΔ
⎛ ⎞1 1 1 112
n n n ni j ij i j ij
x
u u u uc
x x+ + + +⎛ ⎞− −
+ +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠2
1 n n n n
x x
u u u u
⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠⎛ ⎞− −1 1 1 11 0
2ij ij i j i j
y
u u u uc
y y+ + + +⎛ ⎞− −
+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠
28/40
⎝ ⎠
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas Bidimensionales
ESQUEMA DE LAX-WENDROFF (2/2)1n n+1n n
ij iju ut
+ −
Δ1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 212
n n n ni j i j i j i j
x
u u u uc
+ + + ++ − − − + + − +⎛ ⎞− −
+ +⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
2
1
x
n n n n
x x
u u u u+ + + +
⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠⎛ ⎞1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 21 0
2i j i j i j i j
y
u u u uc
y y− + − − + + + −⎛ ⎞− −
+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠⎝ ⎠
29/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas Bidimensionales
ESTABILIDAD
xt ΔΔ ≤
{ }2 2 max ,x y
tc c
Δ ≤{ }
30/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosEcuación de Segundo Orden
PROBLEMA BASE2 2
22 2 0, 0 , 0u uc x L t
t∂ ∂
− = < < >∂ ∂2 2t x∂ ∂
( 0) ( )t f( , 0) ( )u x t f x= =
( ) ( )u∂ ( , 0) ( )u x t g xt
∂= =
∂( 0, ) ( )u x t h t= =
31/40
( , ) ( )u x L t i t= =
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosEcuación de Segundo Orden
EXPLICITO CENTRADO1 1
1 122 2
2 20,
n n n n n nj j j j j ju u u u u u
c+ −
+ −− + − +− =2 2 ,
0 , 0t x
j N nΔ Δ
< < ≥,j0 ( )j ju f x= 0 ( )n nu h t= ( )n n
Nu i t=( )j ju f x 0 ( )u h t ( )Nu i t
2tΔ1 0 2( ) ''( )2j j j jtu u tg x c f xΔ
= + Δ +
32/40
2
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosEcuación de Segundo Orden
ESTABILIDAD
Criterio de Courant:Criterio de Courant:
xt ΔΔ ≤
c
33/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
PROBLEMA BASE
0u uut x
∂ ∂+ =
∂ ∂t x∂ ∂
u u dX u dT∂ ∂ ∂Sobre curva característica:
u u dX u dTx d t dτ τ τ
∂ ∂ ∂= +
∂ ∂ ∂u u dT u dX∂ ∂ ∂= −
34/40
n x d t dτ τ∂ ∂ ∂
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
CURVAS CARACTERISTICAS
⎡ ⎤ ⎡ ⎤0dX dT u ud d xτ τ
∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂1 0
d d xdT dX ud d
τ τ τ∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂01 0
d d tu uτ τ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦n
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
d d ddT dXud dτ τ
Δ = − + 0 dX udT
Δ = ⇒ =
35/40
d dτ τ dT
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
FORMULACIONES ALTERNATIVAS
2Formulación conservativa:
0u ft x
∂ ∂+ =
∂ ∂
2
( )2
uf u =t x∂ ∂ 2
0dI f f1( )
xI t d∫
Formulación débil:
1 0 0dI f fdt
+ − = ( )ox
I t udx= ∫
36/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
ONDA DE CHOQUE
1( )( ) cx t x
I t udx udx= +∫ ∫ ( )( )
o cx x t∫ ∫
[ ][ ]
c c cdx f f fsdt u u u
+ −
+ −
−≡ = =
[ ]c cdt u u u−
Relación de Rankine-Hugoniot
37/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
UNICIDAD
2 3
0u u⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0
2 3t x+⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )2 22 c c c cu u u u+ + − −+ +( ) ( )
( )3 c c
su u+ −
=+
La Física define la correcta
38/40
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
ONDA DE RAREFACCION
Emanando de x = 0, t = 0:
dx x= izq deru t x u t≤ ≤características para
dt tq
xxut
= para izq deru t x u t≤ ≤
Cumple ecuación diferencialt
39/40
y continua en extremos
Diferencias finitas – Problemas HiperbólicosProblemas No Lineales
CALCULO NUMERICO DE DISCONTINUIDADESDISCONTINUIDADES
Mét d d “ i i t ” d l•Métodos de “seguimiento” de la discontinuidad:
Basados en la formulación característica
•Métodos de “captura” de la discontinuidad:discontinuidad:
Basados en la formulación conservativa
40/40
Análisis Numérico IIDiferencias finitas – Problemas Elípticos
DIFERENCIAS FINITASPROBLEMA ELIPTICOSPROBLEMA ELIPTICOS
E d l i • Esquema de los cinco puntos
• Métodos Seudoevolucionarios
• Dominios Arbitrarios
• Ecuación Autoadjunta• Ecuación Autoadjunta
• Esquema de integración en caja
D i d d• Derivadas cruzadas
• Estabilidad
1/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de los cinco puntos
PROBLEMA BASE2 2
2 2 0, 0 , 0x yu u x L y L∂ ∂+ = < < < <2 2 , ,x yy
x y∂ ∂
( 0) ( )f1( , 0) ( )u x y f x= =
( ) ( )L f
( 0 ) ( )2( , ) ( )yu x y L f x= =
1( 0, ) ( )u x y g y= =
( ) ( )L2/27
2( , ) ( )xu x L y g y= =
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de los cinco puntos
DISCRETIZACION
1 1 1 12 2
2 20,i j ij i j ij ij iju u u u u u+ − + −− + − +
+ =2 2 ,
0 0x y
i N j NΔ Δ
< < < <0 , 0x yi N j N< < < <
0 1( )i iu f x= 2 ( )yiN iu f x=
0 1( )j ju g y= 2 ( )xN j ju g y=
3/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de los cinco puntos
CONDICION DE BORDE NEUMANN
2( , ) ( )yu x y L f xy∂
= =∂y∂
1 1iN iNu u−( )1 1
22y yiN iN
i
u uf x
y+ − =Δy
1 1 1 12 20i j ij i j ij ij iju u u u u u+ − + −− + − +
+ =2 2 0,
0 0x y
i N j N
+ =Δ Δ
< < < ≤
4/27
0 , 0x yi N j N< < < ≤
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de los cinco puntos
SOLUCION
Sistema algebraico lineal:Sistema algebraico lineal:
•Métodos directos (Eliminación Gauss)( )
•Métodos iterativos (Gauss-Seidel)
5/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosMétodos Seudoevolucionarios
PROBLEMA PARABOLICO2 2
2 2 , 0 , 0 , 0x yu u u x L y L t
t∂ ∂ ∂
+ = < < < < >∂ ∂ ∂2 2 x yx y t∂ ∂ ∂
( 0 ) ( )t f ( 0) ( )t h1( , 0, ) ( )u x y t f x= =
( ) ( )L t f
( , , 0) ( , )u x y t h x y= =
( 0 ) ( )u x y t g y2( , , ) ( )yu x y L t f x= =
1( 0, , ) ( )u x y t g y= =
( ) ( )u x L y t g y= =6/27
2( , , ) ( )xu x L y t g y= =
Diferencias finitas – Problemas ElípticosMétodos Seudoevolucionarios
RELACION
( )( , , ) :u x y tsolucion del problema eliptico
→∞ solucion del problema eliptico
7/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosMétodos Seudoevolucionarios
SOLUCION NUMERICA
• La (seudo)evolución temporal funciona como unmétodo iterativo para el problema elíptico, pero conbase física
• No interesa precisión ⇒ Δt grande ⇒ métodosimplícitos adecuados, con técnicas de pasosalternados o de desdoblamiento
8/27
PRIMERA ALTERNATIVA
Diferencias finitas – Problemas ElípticosDominios Arbitrarios
PRIMERA ALTERNATIVA:RECTIFICACION DOMINIO
9/27
SEGUNDA ALTERNATIVA
Diferencias finitas – Problemas ElípticosDominios Arbitrarios
SEGUNDA ALTERNATIVA:MOLECULA NO RECTANGULAR
0E E N N W W S Su u u u uβ β β β β+ + + − =
x y hΔ = Δ ≡
0E E N N W W S S o ou u u u uβ β β β β+ + +
2 Esβ = 2 WsβNx y hΔ ΔE
E Ws sβ =
+2s2s
WW
E Ws sβ =
+N
sN h 2 SS
N S
ss s
β =+
2 NN
N S
ss s
β =+
N
sW h sE ho
EWsS h
o E N W Sβ β β β β= + + +
10/27S
S
TERCERA ALTERNATIVA:
Diferencias finitas – Problemas ElípticosDominios Arbitrarios
TERCERA ALTERNATIVA:COORDENADAS ADAPTADAS AL
CONTORNOD fi i ió d• Definición de coordenadas adaptadas al contorno
• Transformación de la ecuación diferencial
11/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEcuación Autoadjunta
PROBLEMA BASE
( , ) ( , ) ( , ) ( , ),u ua x y b x y f x y u g x yx x y y
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ + − =⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦, 0, ( , ) 0
x x y ya b f x y
∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦> ≥
12/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEcuación Autoadjunta
DISCRETIZACION
x y hΔ = Δ ≡
21 1 1 1E i j N ij W i j S ij o ij iju u u u u h gα α α α α+ + − −+ + + − =j j j j j j
1/ 2E i jaα += 1/ 2N ijbα += 1/ 2W i jaα −= 1/ 2S ijbα −=1/ 2E i j+ 1/ 2N ij+ 1/ 2W i j 1/ 2S ij
2o E N W S ijh fα α α α α= + + + +o E N W S ijf
13/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEcuación Autoadjunta
DISTRIBUCION
2 2u a u u b u∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 2
u a u u b ua b fu gx x x y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y y
Si gradientes de a ó b altos ⇒problemas de estabilidad numéricaproblemas de estabilidad numérica
14/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de Integración en Caja
ECUACION AUTOADJUNTA
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤( , ) ( , ) ( , ) ( , ),u ua x y b x y f x y u g x yx x y y
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤ + − =⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦, 0, ( , ) 0y y
a b f x y⎣ ⎦ ⎣ ⎦
> ≥
15/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de Integración en Caja
NINTEGRACION
N
sN h
ua dxdy∂ ∂⎡ ⎤ =⎢ ⎥∫∫
N
sW h sE h
/ 2
B
s h
a dxdyx x
=⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∫∫EW
sS h/ 2
/ 2 / 2 / 2
Ns h
h h h
u ua a dyx x
⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫
S
/ 2 / 2 / 2S E Ws h x s h x s hx x− = =−∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞
S
/
E o
Eh
u uuax s h
−∂⎛ ⎞ ≈⎜ ⎟∂⎝ ⎠
16/27
/ 2E Ex s hx s h=∂⎝ ⎠
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEsquema de Integración en Caja
DISCRETIZACION
21 1 1 1E i j N ij W i j S ij o ij iju u u u u h gα α α α α+ + − −+ + + − =j j j j j j
/ 2N S
E i js s aα +
= E Ws s bα +=/ 22 EE i s j
E
as
α + / 22 NN ij sN
bs
α +=
N Ss s+ s s+/ 22 W
N SW i s j
W
s s as
α −+
=/ 22 S
E WS ij s
S
s s bs
α −+
=
( )( )2
4E W N S
o E N W S ij
s s s sh fα α α α α
+ += + + + +
17/27
4
Diferencias finitas – Problemas ElípticosDerivadas Cruzadas
PROBLEMA BASE
2 2 2
2 2( , ) 2 ( , ) ( , ) 0,u u ua x y b x y c x y∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂ ∂2 2
2
x x y yb ac
∂ ∂ ∂ ∂
<b ac<
18/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosDerivadas Cruzadas
DISCRETIZACION2u∂N NEN
W ux y∂
≈∂ ∂
W
( )2
1 [ E NE N E ou u u uh
α − − +EW
( )N N NW o Wu u u uα+ − − +EW o
( )( )]
W o W S SWu u u u
u u u u
α
α
+ − − +
+ +S SESW ( )]S E o SE Su u u uα+ − − +4
1α∑19/27
1
1iiα
=
=∑
Diferencias finitas – Problemas ElípticosDerivadas Cruzadas
SELECCION DE COEFICIENTES
( ) ( ) 0E W N Sα α α α− − − =Aproximación de segundo orden: ( ) ( ) 0E W N Sα α α α− + − =segundo orden:
1, 0 :Supongase a c >
1) 0 : , 02E W N SI b α α α α> = = = =
11) 0 : 0, 2E W N SII b α α α α< = = = =
20/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
PROBLEMA BASE
⎛ ⎞2 2u u u uU Vν⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
+ = +⎜ ⎟2 2 U Vx y x y
ν + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
21/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
SIMPLIFICACION22
2 , 0 ,d u duU x Ldx dx
ν = < <
(0) , ( )o L
dx dxu u u L u= =( ) , ( )o L
Sol ción cerrada:Solución cerrada:xPe
( ) 11
PeL
oPe
u x u e− −= ULPe
ν=
22/27
1 PeL ou u e− − ν
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
ESQUEMA CENTRADO
1 1 1 12
22
i i i i iu u u u uUx x
ν + − + −− + −=
Δ Δ2x xΔ Δ
Solución cerrada:
1 / 2i
P⎛ ⎞1 / 211 / 2i o
PgPgu u
⎛ ⎞+− ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠ U xΔ
1 / 21
i oN
L o
gu u Pg
⎝ ⎠=− ⎛ ⎞+
− ⎜ ⎟
U xPgνΔ
=
23/27
11 / 2Pg⎜ ⎟−⎝ ⎠
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
ESTABILIDAD
1
1.2
10020
PeN
=0.6
0.8
205
NPg=
⇒ =0.2
0.4
u re
lativ
o
g
-0.2
0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0 6
-0.4
24/27
-0.6x
Analítica Esquema centrado
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
ESTABILIDAD
1
1.2
100100
PeN
=0.8
1
1001
NPg=
⇒ =0.6
u re
lativ
o
g
0 2
0.4
0
0.2
0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0
25/27
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0x
Analítica Esquema centrado
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
ESQUEMA CON UPWINDING
1 1 12i i i i iu u u u uUν + − −− + −=2 U
x xν =
Δ ΔSolución cerrada:Solución cerrada:
( )1 1 ii o Pgu u − +−
= U xPg Δ=
( )1 1 NL ou u Pg− − +
Pgν
=
26/27
Diferencias finitas – Problemas ElípticosEstabilidad
ESTABILIDAD
1
1.2
10020
PeN
=0.8
1
205
NPg=
⇒ =0.6
u re
lativ
o
g
0 2
0.4
0
0.2
0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0
27/27
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0x
Analítica Esquema con upwinding
Análisis Numérico IIResiduos Ponderados – Problemas Elípticos
RESIDUOS PONDERADOSPROBLEMA ELIPTICOSPROBLEMA ELIPTICOS
• Formulación Ponderada
• Residuos Ponderados
• Métodos• Métodos
1/13
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosFormulación Ponderada
PROBLEMA BASE
Formulación diferencial:
2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω
1( , ) u x y u sobre= Γ1( , )y
( )u x y q sobre∂= Γ2( , ) x y q sobre
n= Γ
∂l C2
2/13
u clase C2
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosFormulación Ponderada
VERSION 1D
2dProblema particular:
2
2 0 (0,1)d u u x endx
+ + =dx
(0) 0 (1) 0(0) 0 (1) 0u u= =Primer problema:
(0) 0 (1)duu qdx
= =Segundo problema:
3/13
dx
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosFormulación Ponderada
SOLUCIONES PROBLEMA 1D
Primer problema:( )( )( )(1)
sen xu x xsen
= −
Segundo problema:
(1)sen
( )( ) (1 ) sen xu x q x+
Segundo problema:
( ) (1 )cos(1)
u x q x= + −
4/13
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosFormulación Ponderada
SOLUCION EN DIFERENCIAS FINITAS
1 12
- 20j j j
j
u u uu j x+ −+
+ + Δ =2 0ju j xx
+ + ΔΔ
1/ 3ΔPrimer problema: 1/ 3xΔ =
Método u1 u2
Dif. finitas 0,05609 0.06891
A líti 0 05550 0 068205/13
Analítico 0,05550 0,06820
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosFormulación Ponderada
FORMULACION PONDERADA
( ) ( )2u f wd u u wd∇ + Ω+ − Γ∫ ∫( ) ( )1
u f wd u u wdΩ Γ
∇ + Ω+ Γ∫ ∫
0u q wd∂⎛ ⎞+ − Γ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫2
nΓ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫
6/13
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosResiduos Ponderados
FUNCIONES APROXIMANTES
( , )N
i iu x yα φ=∑1
( )i ii
yφ=∑
φ satisfacen exactamente condiciones de borde
( )∫
φi satisfacen exactamente condiciones de borde
( )2 0u f wdΩ
∇ + Ω =∫αi son las incógnitas; método modal
Ω
7/13
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosResiduos Ponderados
FUNCIONES DE PESON
1
( , )N
j jj
w x yβ ψ=∑1j=
( )2 0 1 2u f d j Nψ∇ + Ω = =∫ ( ) 0, 1, 2...ju f d j NψΩ
∇ + Ω = =∫
N
b∑2
ji i ja dφψ≡ ∇ Ω∫1
ji i ji
a bα=
=∑ Ω∫
j jb f dψ≡ − Ω∫8/13
j jb f dψΩ
Ω∫
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosResiduos Ponderados
LIMITACIONES
La determinación de φ sólo puede hacerse paraLa determinación de φi sólo puede hacerse para problemas muy particulares
La elección de ψi determina el método
9/13
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosMétodos
METODOS
1 1( , ) j kjk x y x yψ − −=Momentos:
( , ) ( , )j jx y x yψ φ=Galerkin:
10/13
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosMétodos
PRIMER PROBLEMA 1D
( ) (1 )ii x x xφ = −
21 2( ) (1 ) (1 )u x x x x xα α= − + −1 2( ) ( ) ( )
2d uε + +2
2 2 3( ) ( )
u xdx
ε ≡ + +
2 2 31 2( 2 ) (2 6 )x x x x x xα α= − + − + − + − +
11/13
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosMétodos
PRIMER PROBLEMA 1D
1( ) , 1, 2jj x x jψ −= =Momentos:
11 0dxε =∫
10xdxε =∫0
1 0dxε =∫ 00xdxε =∫
11 11 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤1
11 11 16 12 2α
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
1
2 11 1932 20
α=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
12/13
32 20⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
Residuos Ponderados – Problemas ElípticosMétodos
RESULTADOS
Primer problema: 1/ 3xΔ =
Método u1 u2
Dif. finitas 0,05609 0,06891
RP-Momentos 0,05433 0,06888
RP G l ki 0 05540 0 06805RP-Galerkin 0,05540 0,06805
Analítico 0 05550 0 06820
13/13
Analítico 0,05550 0,06820
Análisis Numérico IIVolúmenes Finitos – Problemas Elípticos
ELEMENTOS FINITOSPROBLEMA ELIPTICOSPROBLEMA ELIPTICOS
1/46
Análisis Numérico IIElementos Finitos – Problemas Elípticos
ELEMENTOS FINITOSPROBLEMA ELIPTICOSPROBLEMA ELIPTICOS
F l ió Débil• Formulación Débil
• Discretización
• Formulación Variacional
• Método de Ritz• Método de Ritz
• Discretización del Funcional
P bl d C Lí i• Problemas de Capa Límite
2/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil
PROBLEMA BASE
Formulación diferencial:2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω
1( , ) u x y u sobre= Γ1( , )y
( )u x y q sobre∂= Γ2( , ) x y q sobre
n= Γ
∂2
3/46
u clase C2
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil
FORMULACION PONDERADA
( ) ( )∫ ∫( ) ( )2u f wd u u wdΩ Γ
∇ + Ω+ − Γ∫ ∫1
0u d
Ω Γ
∂⎛ ⎞ Γ⎜ ⎟∫2
0q wdnΓ
⎛ ⎞+ − Γ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫
4/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil
INTEGRACION POR PARTES
uu wd fwd w d∂− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ∫ ∫ ∫
1 2
.u wd fwd w dnΩ Ω Γ +Γ
∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ∂∫ ∫ ∫
( ) 0uu u wd q wd∂⎛ ⎞+ − Γ + − Γ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫( )1 2
nΓ Γ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫
10 w u u sobre= = Γ
5/46
w w= −
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil
FORMULACION DEBIL
. 0u wd fwd qwd− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ =∫ ∫ ∫2Ω Ω Γ
∫ ∫ ∫
u clase C1
(Soluciones débiles o generalizadas)
6/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
DISCRETIZACION DEL DOMINIO
7/46
Elementos finitos triangulares
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
NUMERACION DE NODOSn: numeración global , 1≤ n ≤ N
N: cantidad total de nodos
k: numeración local, 1≤ k ≤ KN: cantidad total de nodos
n = 58
k = 2
K: cantidad de nodos por elementoelemento
K = 3n = 57
n = 42
k = 3
8/46
k = 1
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
CONECTIVIDADm: numeración de elemento , 1≤ m ≤ M
M: cantidad total de elementos
# nodo global de nodo local k de elemento m
M: cantidad total de elementos
( ) :mkG
n = 58
k = 2
( )
27 57G =(1) 57G =27(2) 58G =
n = 57
n = 42
k = 3
m=27(2) 58G27(3) 42G =
9/46
k = 1(3)
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
DISCRETIZACION DE LA FUNCION
:nu valores nodales (incógnitas)
Método nodal
( ) :mkn G= ( )
mku u≡( ) :kn G ( )n ku u
10/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
FUNCION INTERPOLANTE( ) ( )
Mm∑
1
( , ) ( , )m
mu x y u x y
=
=∑K⎧ m
( ) ( )1
( , ) ( , )( , )
Km m mk km
kN x y u si x y e
u x y =
∈= ∑⎧⎪⎨⎪
m
0 ( , )si x y ∈ me⎪⎩
mN (k)
1
funciones de forma( ) :mkN m
(k)
11/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
FUNCIONES DE PESO
:nw tantas como incógnitas
l t ti d 1≤ l ≤ Lml: elementos que contienen nodo n, 1≤ l ≤ Ln
Ln: cantidad de elementosn
Método de Bubnov-Galerkin:
( ) ( , ) ( , )( , )
( )
l l
l
m mk
nN x y si x y e
w x y∈
= m
⎧⎨⎩
( , )0 ( , )n y
si x y ∈ lme⎨⎩
mG12/46
( )l
l
mkn G=
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
ECUACIONES DISCRETAS
. 0n n nu w d fw d qw d− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ =∫ ∫ ∫2Ω Ω Γ
∫ ∫ ∫M
1
( , ) ( , )M
m
mu x y u x y
=
=∑
( ) ( )l lm mN x y si x y e∈⎧
1m=
( ) ( , ) ( , )( , )
0 ( , )
l l
lkn
N x y si x y ew x y
si x y∈
=∈ lme
⎧⎨⎩
13/46
( , )y⎩
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
PRIMER TERMINO
( ) ( ). .n
l l l
L Km m m
n k k nu w d u N N d− ∇ ∇ Ω = − ∇ ∇ Ω∑∑∫ ∫( ) ( )1 1 ml
n k k nl k e= =Ω∑∑∫ ∫
( )lm
kn G= ( )lk
l lm ma N N d≡ ∇ ∇ Ω∫ lmp G=( ) .l l
ml
np k ne
a N N d≡ ∇ ∇ Ω∫ ( )kp G=
L K
.nL K
n np pu w d a u− ∇ ∇ Ω = −∑∑∫14/46
1 1l k= =Ω∫
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
ENSAMBLE
Elemento m: 1≤ k,k’ ≤ K
( ')mkn G=m mN N d∇ ∇ Ω∫ ( )k
( ) ( ').m
m mk k np
e
N N d a∇ ∇ Ω→∫( )mkp G= ( )
15/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
DESAGREGADO
np np npa α β= +
( ) ( ')m mk kN N
d∂ ∂
Ω∫( ')mkn G=
( ) ( )
m
k knp
e
dx x
α = Ω∂ ∂∫
( )k
( )mkp G=
( ) ( ')m mk kN N
dβ∂ ∂
Ω∫( )( ) ( )
m
k knp
e
dy y
β = Ω∂ ∂∫
16/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
NORMALIZACION INTEGRALES( )mF N d⎡ ⎤ Ω⎣ ⎦∫
( ) 1N ξ η ξ η⎧
( )( ) ,m
mk
e
F N x y d⎡ ⎤ Ω⎣ ⎦∫
1 (3)
( )( )( )
(1)
(2)
, 1,
NNN
ξ η ξ ηξ η ξξ η η
⎧ = − −⎪ =⎨⎪ =⎩
(1)
0(2)
( )(3) , N ξ η η⎪ =⎩
( )3
( ) ( ), mk kx N xξ η=∑
10
( )( ) ( )1
,k kk
ξ η=∑
( )3
( ) ( )1
, mk k
ky N yξ η
=
=∑
( ) ( )( ) ( ), ,m mk kF N x y d J F N dξ η⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ω = Ω⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫
17/46
m ee
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
NORMALIZACION INTEGRALES
( ) m mx x
l lξ∂ ∂
∂ ∂ ∂( )( )
12 13
12 13
,,
m mx xmm my y
l lx yJ
l ly yξ η
ξ η∂ ∂ ∂
≡ = =∂ ∂∂ ( ) y y
ξ η∂ ∂m m ml 12 (2) (1)
13 (3) (1)
m m mx
m m m
l x x
l x x
≡ −
≡ −13 (3) (1)
12 (2) (1)
x
m m my
l x x
l y y≡ −
18/46
13 (3) (1)m m myl y y≡ −
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
CALCULO DE INTEGRALESm mN N∂ ∂( ) ( ')
m
k knp
e
N Nd
x xα
∂ ∂= Ω
∂ ∂∫e
( ) 13 ( ) 12 ( )m m mk y k y k
m m
N l N l Nξ
∂ ∂ ∂= −
∂ Δ ∂ Δ ∂
(1) (1)1; 1N Nξ η
∂ ∂= − = −
∂ ∂m mx ξ η∂ Δ ∂ Δ ∂(2) (2)1; 0
N Nξ η
ξ η∂ ∂
= =∂ ∂12 13
m mx xm ml l
(3) (3)0; 1N Nξ η
∂ ∂= =
∂ ∂
12 13
12 13
x xm mm my y
Jl l
Δ ≡ =
( ) ( ') ( ) ( ')m m m mmk k k km N N N NJJ dα
∂ ∂ ∂ ∂= Ω =∫
19/46
2npe
J dx x x x
α = Ω =∂ ∂ ∂ ∂∫
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
CALCULO DE INTEGRALESm m mN l l∂ (1) 13 12m m m
y ym m
N l lx
∂= − +
∂ Δ Δ
(2) 13m m
ym
N lx
∂=
∂ Δ(3) 12m m
ym
N lx
∂= −
∂ Δx∂ Δ x∂ Δ
( )2
213 12 1m mmy y m ml lJ l lα
⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟
(1)mn G=
( )12 132 2np y ym m m l lJ
α = − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠(1)mp G=
20/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
SEGUNDO TERMINO
( , , ) ( , , )M
mf x y u f x y u=∑1m=∑
K
∑⎧ ( ) ( )1
( , ) ( , )( , , )
m m mk km
kN x y f si x y e
f x y u =
∈= ∑⎧⎪⎨⎪ 0 ( , )si x y ∈ me⎪⎩
( ) ( ) ( ) ( )( , , )m m m mk k k kf f x y u≡
21/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
SEGUNDO TERMINO
nL K
fw d fγΩ =∑∑∫1 1
n np pl k
fw d fγ= =Ω
Ω =∑∑∫
( )l
l
mkn G=l lm mN N dγ ≡ Ω∫ ( )
ml
np k ne
N N dγ ≡ Ω∫( )
lmkp G=
22/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
TERCER TERMINO
( , ) ( , )B b
q x y q x y=∑1b=∑
R b∑⎧ ( ) ( )
1( , ) ( , )
( , )bb b
b r rr
N x y q si x y gq x y =
∈= ∑⎧⎪⎨⎪0 ( , )si x y ∈ bg⎪⎩
( ) ( )( ) ( , )b b b
r rrq q x y≡
23/46
( ) ( )( )r
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
TERCER TERMINO
nS R
qw d qγΓ =∑∑∫2 1 1
n nt ts r
qw d qγ= =Γ
Γ =∑∑∫
( )l
l
bkn G=l lb bN N dγ ≡ Ω∫ ( )
bl
nt r ng
N N dγ ≡ Ω∫( )
lbrt G=
24/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
RESULTADOSPrimer problema: 1/ 3xΔ
Método u1 u2
Primer problema: 1/ 3xΔ =1 2
Dif. finitas 0,05609 0,06891
RP-Momentos 0,05433 0,06888
RP-Galerkin 0,05540 0,06805
EF-Galerkin 0,05494 0,06751
25/46
Analítico 0,05550 0,06820
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional
PROBLEMA BASE
Formulación diferencial:2 ( , , ) 0 u f u x y en∇ + = Ω
1( , ) u x y u sobre= Γ1( , )y
( )u x y q sobre∂= Γ2( , ) x y q sobre
n= Γ
∂2
26/46
u clase C2
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional
FORMULACION PONDERADA
( ) ( )∫ ∫( ) ( )2u f wd u u wdΩ Γ
∇ + Ω+ − Γ∫ ∫1
0u d
Ω Γ
∂⎛ ⎞ Γ⎜ ⎟∫2
0q wdnΓ
⎛ ⎞+ − Γ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫
27/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional
FORMULACION DEBIL
. 0u wd fwd qwd− ∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ =∫ ∫ ∫2
. 0u wd fwd qwdΩ Ω Γ
∇ ∇ Ω+ Ω+ Γ∫ ∫ ∫
Variación débil:1( , ) u x y u sobre= Γ
Variación débil:w uδ= 10 u sobreδ = Γ
( , , ) ( , )f u x y u g x y= +
28/46
(caso particular)
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional
FORMULACION VARIACIONAL
( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 0u u ug d qu dδ δ δ δ⎡ ⎤− ∇ + + Ω+ Γ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )2
2 2g q
Ω Γ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
Funcional:
( )2 21 1⎡ ⎤∫ ∫( )2
2 21 1( )2 2
I u u u ug d qudΩ Γ
⎡ ⎤= ∇ − − Ω− Γ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
0Iδ = 1( , )u x y u sobre= Γ29/46
0Iδ = 1( , ) u x y u sobre Γ
Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz
FUNCION APROXIMANTE
( )2 21 1( )I u u u ug d qud⎡ ⎤= ∇ − − Ω− Γ⎢ ⎥∫ ∫( )2
( )2 2
I u u u ug d qudΩ Γ
∇ Ω Γ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
( ) b Γ1( , ) u x y u sobre= Γ
Aproximación:
( )N
u x yα φ=∑Aproximación:
1( , )i i
iu x yα φ
=
=∑
30/46
(satisface condiciones de borde geométrica)
Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz
PLANTEO
0Iδ = 0Iδ =
I∂ 0, 1, 2...i
I i Nα∂
= =∂
l i ó i é d d l
iα∂
αi son las incógnitas; método modal
31/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz
SEGUNDO PROBLEMA 1D
2
0 (0 1)d u+ + (0) 0 (1)duu q
2 0 (0,1)u x endx
+ + = (0) 0 (1)u qdx
= =
( )2 21 1( )2 2
I u u u ug d qudΩ Γ
⎡ ⎤= ∇ − − Ω− Γ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 1( , ) u x y u sobre= Γ
2121 1( ) (1)duI d
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟∫
2Ω Γ⎣ ⎦
2
0
( ) (1)2 2
I u u ux dx qudx
⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
32/46
(0) 0u =
Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz
SOLUCION
0 ( ) ( )x sen xφ = 1( )x xφ =0 ( ) ( )x sen xφ 1( )x xφ
1 2( ) ( )u x sen x xα α= +1 2( ) ( )
0I I∂ ∂= =
1 2
0α α
= =∂ ∂
( )( ) (1 )cos(1)sen xu x q x= + − (solución exacta)
33/46
cos(1) ( )
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
SEGUNDO PROBLEMA 1D
Se procede en forma análoga al caso de partida desde lacaso de partida desde la
formulación débil
34/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
FUNCION INTERPOLANTE
( ) ( )M
m∑1
( , ) ( , )m
mu x y u x y
=
=∑
( ) ( )( , ) ( , )K
m m mk kN x y u si x y e∈∑⎧⎪
⎨( ) ( )
1( , ) ( , )
( , )0 ( )
k kmk
N x y u si x y eu x y
si x y==
∈
∑me
⎪⎨⎪⎩ 0 ( , )si x y ∈e⎪⎩
funciones de forma:mN35/46
funciones de forma( ) :kN
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
PLANTEO
1 2( , ... )NI u u u
I∂ 0, 1, 2..n
I n Nu∂
= =∂ n
36/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
PRIMER TERMINO21⎡ ⎤∫ ( )21( )
2I u u d
Ω
⎡ ⎤→ ∇ Ω⎢ ⎥⎣ ⎦∫
( )2( ) ( ') ( ) ( ')
1 1 .2 2
K Km m m mk k k ku d u u N N d∇ Ω = ∇ ∇ Ω∑∑∫ ∫
' 1 12 2m mk ke e= =∫ ∫
mn G1 K⎡ ⎤∂ ( )lkn G=
( )mkp G=
( )2
1
12 m
K
np pk
u d a uu
⎡ ⎤∂∇ Ω =⎢ ⎥
∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫
m mN N d∇ ∇ Ω∫
( )kp12 m kn eu =∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦
37/46
( ) .m
m mnp k n
e
a N N d≡ ∇ ∇ Ω∫
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
SISTEMA DISCRETO
Resulta idéntico al obtenido desde la formulación débil condesde la formulación débil con el método de Bubnov-Galerkin
38/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
PROBLEMA BASE
2 2u u u uU Vν⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
+ = +⎜ ⎟2 2 U Vx y x y
ν + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
0 ( )u w d U uw d U U Vν∇ ∇ Ω+ ∇ Ω = =∫ ∫. . 0, ( , )n nu w d U uw d U U VνΩ Ω
∇ ∇ Ω+ ∇ Ω = =∫ ∫
39/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
FUNCION INTERPOLANTE
( ) ( )M
m∑1
( , ) ( , )m
mu x y u x y
=
=∑
( ) ( )( , ) ( , )K
m m mk kN x y u si x y e∈∑⎧⎪
⎨( ) ( )
1( , ) ( , )
( , )0 ( )
k kmk
N x y u si x y eu x y
si x y==
∈
∑me
⎪⎨⎪⎩ 0 ( , )si x y ∈e⎪⎩
funciones de forma:mN40/46
funciones de forma( ) :kN
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
FUNCIONES DE PESO
Método de Petrov-Galerkin: SUPG
( ) ( ) ( , )( )
l l lm m mk kN h N si x y eα+ ∇ ∈⎧
⎨ ( ) ( ) ( , )( , )
0 ( , )l lk k
ny
w x ysi x y
=∈ lme⎨
⎩
( )l
l
mkn G=
41/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
CASO 1D2
2 , 0 ,d u duU x Ld d
ν = < <2 , ,
(0) ( )dx dxu u u L u= =(0) , ( )o Lu u u L u= =
S l ió dSolución cerrada:xPe
( ) 11
PeL
oPe
u x u e− −= ULPe
ν=
42/46
1 PeL ou u e− − ν
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
FORMULACION DEBIL
0L
nn
dwdu duU w dxd d d
ν⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
0ndx dx dx⎜ ⎟
⎝ ⎠∫1
(2)1(2)
nn
n
dNN x si x x
dα
−−⎧+ Δ <⎪⎪ (2)
(1)
( )n
n ndxw x
dN
⎪⎪= ⎨⎪ (1)
(1) nn
dNN x si x x
dxα⎪ + Δ >⎪⎩
43/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
FUNCIONES DE FORMA1
(2)1(2) 1 1( )
nn x x
N x−
− −= (2)
(1) ( )n
n x xN x
−=(2) 1 1
(2) (1)
( ) n nx x− −− (1)(2) (1)
( ) n nx x−
1⎧1 1
(2) (1)
1 nn n si x xx xdw
− −
⎧ <⎪ −⎪ (2) (1)
1n
x xdwdx si x x
⎪= ⎨⎪ >1 1
(2) (1)
nn n si x xx x− −
⎪− >⎪ −⎩
44/46
(igual que Bubnov-Galerkin)
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
ECUACION ENSAMBLADA
( ) ( )1 1 1 112 2 0n n n n nu u u u u
Pα + − + −
⎛ ⎞+ − + − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠( ) ( )1 1 1 1n n n n nPg + +⎜ ⎟
⎝ ⎠U xPg Δ
=Pgν
=
Si 0 ét d t d i t bilid dSi α = 0: método centrado → inestabilidad
Si α = 1/2: upwinding (U > 0)
45/46
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
VALOR OPTIMO DEL PARAMETRO
1 1 1coth( ) : 2 coth( )2
Si Pg PgPg Pg
α α⎛ ⎞
= − + =⎜ ⎟⎝ ⎠2 Pg Pg⎝ ⎠
1 / 2n
Pg⎛ ⎞+1 / 211 / 2
PgPgu u
⎛ ⎞+− ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠/
1 / 21
n oN
L o
gu uu u Pg
⎝ ⎠=− ⎛ ⎞+
⎜ ⎟11 / 2
gPg
− ⎜ ⎟−⎝ ⎠
46/46
(solución numérica exacta)
Análisis Numérico IIElementos Finitos – Problemas Evolucionarios
ELEMENTOS FINITOSPROBLEMA EVOLUCIONARIOSPROBLEMA EVOLUCIONARIOS
1/5
Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosProblema Base
PROBLEMA BASE
∂ 2 ( , , ) , 0uS u f u x y en tt
∂= ∇ + Ω >
∂t∂
2/5
Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosDiscretización Espacial
DISCRETIZACION ESPACIAL
2 ( , , )uS u f u x y∂= ∇ +
∂
d⎧ ⎫
( , , )f yt∂
[ ] [ ]{ } { }duC K u rdt
⎧ ⎫= +⎨ ⎬
⎩ ⎭dt⎩ ⎭
K: matriz de rigidezK: matriz de rigidez
C: matriz de atenuación
3/5
Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosDiscretización Temporal
DISCRETIZACION TEMPORAL
⎧ ⎫[ ] [ ]{ } { }duC K u rd
⎧ ⎫= +⎨ ⎬
⎩ ⎭[ ] [ ]{ } { }
dt⎨ ⎬⎩ ⎭
Método explícito de diferencias finitas:1+
[ ]{ } { } [ ]{ } { }1n n
n nu uC K u r
+−
= +[ ] [ ]{ } { }C K u rt
= +Δ
4/5
Elementos Finitos – Problemas EvolucionariosDespeje
DESPEJE1n n+
[ ]{ } [ ] [ ]( ){ } { }1n n nC u K t C u t r+= Δ + + Δ
Todavía acopladas!!!
Concentración de masa:N
1
N
ij iij
c c=
→∑ 0 ijc si i j→ ≠1j
C diagonal ⇒ desacoplada
5/5
(pérdida de consistencia)