MatM4SolTem1

4

1 NÚMEROS RACIONALES

P A R A E M P E Z A R

Arquímedes nació en el año 287 a. C. en Siracusa (Sicilia). ¿Cuántos años han transcurrido desde su na-cimiento?

Han transcurrido 2008 � 287 años � �36

x5

�, siendo x el número de día del año actual.

Por ejemplo, si estamos a 2 de enero, los años transcurridos serán: 2224 � �3265� .

¿De qué número es 6 la tercera parte? ¿Y la sexta?

Sea x el número: �3x

� � 6 ⇒ x � 6 � 3 � 18. Sea y el número: �6y

� � 6 ⇒ x � 6 � 6 � 36.

Un total de 180 alumnos de Secundaria han ido de excursión.

Se sabe que 4 de cada 9 son chicos, y 10 de cada 18, chicas.

a) ¿Qué fracciones del total indican el número de chicos y chicas?

b) ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay?

a) Fracción de chicos: Fracción de chicas: �1105� � �

59

�

b) Chicos: �49

� de 180 � 4 � (180 � 9) � 4 � 20 � 80 Chicas: �59

� de 180 � 5 � (180 � 9) � 5 � 20 � 100

En una encuesta realizada a 350 personas para conocer el destino elegido para las vacaciones, el 56% eli-gió la playa, y el resto, la montaña. ¿Cuántas personas prefieren la montaña para pasar sus vacaciones?

El número de personas que eligieron la playa es: �15060

� � 350 � 196.

El número de personas que eligieron la montaña es �14040

� � 350 � 154.

La asistencia a un partido de fútbol en un día de la semana es un tercio del aforo, y en otro, tres cuar-tos. ¿En qué día hay más espectadores?

Para poder comparar fracciones se hace común denominador: �13

� � �142� , �

34

� � �192�.

Luego el aforo será mayor el día en el que hay �34

�.

Números fraccionariosP A R A P R A C T I C A R

Halla el valor de estas expresiones numéricas.

a) —15

— de 55 c) —49

— de 72

b) —24

— de 36 d) —57

— de 49

a) �15

� � 55 � 11 c) �49

� de 72 � 4 � 8 � 32

b) �24

� � 36 � 2 � 9 � 18 d) �57

� � 49 � 5 � 7 � 35

Razona las respuestas.

a) ¿De qué número es 10 la quinta parte? b) ¿De qué número es 60 la cuarta parte?

a) Sea x el número: �5x

� � 10 ⇒ x � 5 � 10 � 50 b) Sea x el número: �4x

� � 60 ⇒ x � 4 � 60 � 240

1.2

1.1

1.5

1.4

1.3

1.2

1.1

5

Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones.

a) —1515— b) —6

546— c) —

38200

— d) —37620

—

a) Factor máximo de simplificación 11: �15

15� � �

15

� c) Factor máximo de simplificación 80: �38200

� � �14

�

b) Factor máximo de simplificación 8: �65

46� � �

87

� d) Factor máximo de simplificación 72: �37620

� � �15

�

¿Son estos pares de fracciones equivalentes?

a) �34

� y �192� c) �

164� y �

2419�

b) �25

� y �49

� d) �270� y �

14000

�

Se utiliza la regla de los productos cruzados.

a) 3 � 12 � 36, y 4 � 9 � 36, son iguales. c) 6 � 49 � 294, y 14 � 21 � 294, son iguales.

b) 2 � 9 � 18, y 5 � 4 � 20, no son iguales. b) 7 � 100 � 700, y 20 � 40 � 800, no son iguales.

Ejercicio resuelto

Halla el valor de x para que las fracciones —25

— y —1x5— sean equivalentes.

Para que sean equivalentes se ha de cumplir: 2 � 15 � 5 � x; 30 � 5 � x; x � 6.

Calcula el valor de x para que las siguientes fracciones sean equivalentes.

a) —47

— � —2x0— b) —

2x4— � —2

3— c) —7

x— � —4

291—

Para calcular x se utiliza la regla de los productos cruzados o la regla de amplificación.

a) 4 � x � 7 � 20, luego x � �1440

� � 35 b) x � 3 � 24 � 2, luego x � �438� � 16 c) 7 � 21 � x � 49, luego x � �

14497

� � 3

Ejercicio resuelto

Expresa las siguientes fracciones: —12

— , —34

— , —76

— con el mismo denominador.

Se trata de encontrar fracciones equivalentes a cada una de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el míni-mo común múltiplo de los denominadores:

m.c.m.(2, 4, 6) � 12

Las fracciones equivalentes a las dadas con denominador 12 son:

�12

� � �12

��

66

� � �162� �

34

� � �34

��

33

� � �192� �

76

� � �76

��

22

� � �1142�

Expresa las siguientes fracciones con el mismo denominador.

a) �—13

—, —56

—, —193— b) —7

8—, —

130—, —1

234—

a) Mínimo común denominador: m.c.m.(3, 6, 9) � 18

Fracciones equivalentes: ��13

� � ��168�, �

56

� � �1158�, �

193� � �

2168�

b) Mínimo común denominador: m.c.m.(8, 10, 24) � 120

Fracciones equivalentes: �78

� � �11

02

50

�, �130� � �

13260

�, �1234� � �

16250

�

Expresa estas fracciones: —145—, —1

3—, —3

5— y —

370— con el mismo denominador y luego ordénalas de menor a mayor.

Mínimo común denominador: m.c.m.(15, 3, 5, 30) � 30

Fracciones equivalentes: �145� � �

380�, �

13

� � �1300�, �

35

� � �1380� y �

370�

Ordenación creciente: �370� � �

145� � �

13

� � �35

�

1.9

1.8

1.7

1.6

1.5

1.4

1.3

P A R A A P L I C A R

Expresa en horas las siguientes fracciones de un día. —23

—, —34

—, —56

— y —78

—

Número de horas del día: 24

�23

� de 24 horas � 2 � 8 � 16 horas �56

� de 24 horas � 5 � 4 � 20 horas

�34

� de 24 horas � 3 � 6 � 18 horas �78

� de 24 horas � 7 � 3 � 21 horas

En un centro escolar, —67

— de los alumnos estudian ciencias, y en otro centro lo hacen —78

—. ¿En cuál de los

dos centros hay más alumnos estudiando ciencias? ¿Se puede decir que son prácticamente los mismos?

Denominador común: 56

Fracción de los que estudian ciencias en el 1.º: �67

� � �4586�.

Fracción de los que estudian ciencias en el 2.º: �78

� � �4596�.

Estudian ciencias más alumnos en el segundo centro.

Se puede decir que el número es prácticamente el mismo, ya que se diferencian en un alumno.

Nerea dice que su academia tiene 240 alumnos: la mitad de los alumnos estudia inglés; la tercera par-te, francés, y la quinta parte, alemán. ¿Es correcta esta información? ¿Es aproximada?

Alumnos de inglés: 240 � 2 � 120

Alumnos de francés: 240 � 3 � 80

Alumnos de alemán: 240 � 5 � 48

Números de alumnos: 120 � 80 � 48 � 246

La información no es correcta, pero sí bastante aproximada, ya que el numero de alumnos es superior al número real.

Una peña de motoristas recorre por la mañana los —79

— del trayecto proyectado. Si aún les faltan 72 kiló-

metros, ¿cuántos kilómetros tiene el trayecto proyectado?

Si han recorrido �79

� , les quedan por recorrer �29

�, que corresponden a 72 km. Por tanto, �19

� del trayecto es �722� � 36 km.

Trayecto total: 36 � 9 � 324 km

Una consola de videojuegos está marcada en un escaparate con un precio de 800 euros y al lado unanota que dice: 25% de descuento. ¿Cuánto cuesta la consola?

Descuento en forma fraccionaria: 25% � �12050

� � �14

� . Cantidad que se paga por unidad: �34

�.

¿Cuánto cuesta la consola? 800 � �34

� � 600 euros.

En una ciudad se recogen 15 000 toneladas de papel al año para reciclar. Si esta cantidad es aproxima-

damente los —58

— del total, ¿cuánto papel queda por recoger?

�18

� de las toneladas de papel recogido es: 15 000 � �18

� � 1875 toneladas.

Toneladas sin reciclar: �38

� ⇒ 3 � 1875 � 5625.

El agua, al helarse, aumenta aproximadamente —110— su volumen y, por eso, el hielo flota en el agua.

Se tiene un depósito con 60 metros cúbicos de agua, ¿cuántos metros cúbicos aumenta su volumen alhelarse?

Incremento de volumen: 60 � �110� � 6 m3

1.16

1.15

1.14

1.13

1.12

1.11

1.10

6

Operaciones con fracciones

P A R A P R A C T I C A R

Realiza las siguientes sumas y diferencias de fracciones.

a) —12

— � 3 � —57

— c) —34

— � �—192— � —

376—�

b) 5 � —76

— � —45

— � —121— d) ��—1

3— � —5

9— � —1

277—�

a) �12

� � 3 ��57

� � �174� � �

41

24� � �

11

04� � �

31

94�

b) 5 � �76

� � �45

� � �121� � �

13500

� � �33

50� � �

2340� � �

13605

� � ��2360� � ��

1135�

c) �34

� � ��192� � �

376��

23

76� � ��

23

76� � �

376��

376�

d) ��13

� � �59

� � �12

77��

297� � �

1257� � �

1277��

277�

Calcula y simplifica, si es posible, las operaciones siguientes.

a) 5 � —37

— b) 4 � —68

— c) 15 � ��—35

—� d) �8 � —172—

a) 5 � �37

� � �5

7� 3� � �

175� c) 15 � ��

35

�� 15

5� 3� � 3 � 3 � �9

b) 4 � �68

� � �4

8� 6� � �

62

� � 3 d) �8 � �172� � ��

81�2

7� � ��

5162� � ��

134�

Calcula los productos y simplifica las operaciones.

a) —75

— � —142— b) —

181— � —1

81— c) �—3

4— � —6

9— d) �—

152— � ��—

190—�

a) �75

� � �142� � �

26

80� � �

175� c) ��

34

� � �69

� � ��1386� � ��

12

�

b) �181� � �

181� � �

88

88� � 1 Las fracciones son inversas. d) ��

152� � ��

190��

14250

� � �38

�

Calcula y simplifica.

a) —58

— � —36

— b)�—45

— � —150— c) —7

4— � —2

3— � —5

6—

a) �58

� � �36

� � �32

04� � �

54

� b) ��45

� � �150� � �

4205� � ��

85

� c) �74

� � �23

� � �56

� � �281� � �

56

� � �14206

� � �6230�

¿Qué fracción se ha de multiplicar por 20 para obtener la fracción —58

— ?

La fracción es: �58

� � 20 � �58

� � �210� � �

1560� � �

312�

¿Por qué número hay que dividir —171— para obtener la fracción —

195—?

Si el número buscado es x: �171� � x � �

195� ⇒ x � �

171� � �

195� � �

19095

� � �3353�.

Realiza las siguientes operaciones con potencias.

a) �—13

—�5

b)�—25

—�3

c) ��—13

—�2

�3

a) ��13

��5

� �2

143� b) ��

25

��3

� �1825� c) ��

13

��2

�3

� ��13

��6

� �7129�

1.23

1.22

1.21

1.20

1.19

1.18

1.17

7

Ejercicio resuelto

¿Es cierto que —161— de —1

92— es igual a —1

92— de —

161—? ¿Qué propiedad se verifica? Simplifica los resultados.

�161� de �

192� � �

161� � �

192� � �

79

29� � �

181�

�192� de �

161� � �

192� � �

161� � �

79

29� � �

181�

Se verifica la propiedad conmutativa del producto.

Calcula y simplifica las expresiones siguientes.

a) —56

— de —161— b) —

152— de —4

3— c) —4

9— de —

170— d) —3

5— de —5

4— de —

247—

a) �56

� � �161� � �

151� b) �

152� � �

43

� � �59

� c) �49

� � �170� � �

1445� d) �

35

� � �54

� � �247� � �

16400

� � �37

�


Problema resuelto

Un bidón de agua de 102 litros se vacía en botellas de tres cuartos de litro. ¿Cuántas botellas se nece-sitan para embotellarlo?

102 � �34

� � �102

3� 4� � �

403

8� � 136

Se necesitan 136 botellas.

Los botes de una marca de refresco tienen una capacidad de —15

— de litro. ¿Cuántos litros de refresco equi-valen a 1000 botes?

Un refresco tiene �15

� de litro.

Litros que contienen 1000 botes: 1000 � �15

� � 200.

“¿Cuál es el número de tu taquilla de deportes?”, pregunta Luis a Martín. Y éste contesta: “La terceraparte de la mitad de su número es 150”. Halla el número de la taquilla.

Sea N el número: �13

� de �12

� de N es 150 ⇒ �13

� � �12

� � N � 150.

Por tanto, �66

� valdrán: 150 � 6 � 900. El número de la taquilla es el 900.

Se tiene un depósito de agua para riego cuya capacidad es 14 400 metros cúbicos. Se consumen los —79

—del mismo. ¿Cuántos m3 se han gastado? ¿Qué fracción de agua queda?

�79

� � 14 400 � 11 200 m3 se han gastado.

La fracción de agua que queda será 1 � �79

� � �29

�.

1.29

1.28

1.27

1.26

1.25

1.24

8

En una tienda de comestibles, Gema pide cuarto y mitad de lomo, y Lourdes, mitad y cuarto. Estas ex-presiones que se refieren a un kilogramo, ¿equivalen a la misma cantidad? ¿Cuál es esa cantidad?

�14

� de �12

� de 1000 gramos � �18

� de 1000 � 125 gramos

�12

� de �14

� de 1000 gramos � �18

� de 1000 � 125 gramos

Las dos expresiones fraccionarias son iguales.

Un alumno dice que las fracciones —192— y —2

376— tienen la misma fracción irreducible. ¿Se puede afirmar este

resultado por dos caminos diferentes?

Se puede amplificar la primera fracción multiplicando por 3 o simplificar la segunda fracción dividiendo por 3.

Para una mezcla de pintura se echan —23

— de litro de color amarillo, —15

— de litro de azul, —37

— de litro de

magenta, —34

— de litro de negro y el doble de blanco que de negro. ¿Cuántos litros de pintura tiene lamezcla?

�23

� � �15

� � �37

� � �34

� � 2 � �34

� � �24

82

00

� � �48240

� � �148200

� � �341250

� � �643200

� � �1442809

� � 3,54 litros de pintura

Sergio desea vender su coche usado por 7000 euros. Después de meses sin venderlo decide rebajar el

precio en —25

—. ¿Cuál es ahora el nuevo precio de venta?

7000 � �25

� de 7000 � 7000 � 2800 � 4200 euros

Operaciones combinadas con fracciones

Ejercicio resuelto

Realiza la siguiente operación. �—54

— � —12

—� � —13

— � �—16

— � —12

—�2

1.º Paréntesis: ��54

� � �12

�� 13

� � ��16

� � �12

��2

� �140� � �

13

� � ��26

��2

2.º Potencias: �140� � �

13

� � ��26

��2

� �140� � �

13

� � �346� � �

52

� � �13

� � �19

�

3.º Multiplicaciones y divisiones: �52

� � �13

� � �19

� � �52

� � �217�

4.º Sumas y restas � �52

� � �217� � �

15345

� � �524� � �

15343

�


Calcula y simplifica las siguientes sumas y restas.

a) —87

— � �—97

— � —57

—� c) —172— � —

118— � �—3

4— � —5

9—� e) —

254— � �2 � —1

4— � —3

9—�

b) —1196— � �—1

3— � —4

9—� � —8

3— d) —

171— � �—

131— � —

121—� f) �—1

30— � —8

9—� � —9

6— � —1

43—

a) �87

� � ��97

� � �57

�� 87

� � �47

� � �172�

b) �169� � ��

13

� � �49

�� 83

� � �11

74

14

� � ��14484

� � �16444

�� 318444

� � ��119474

�

c) �172� � �

118� � ��

34

� � �59

�� 23

16� � �

326� � ��

2376� � �

2306��

1326� � �

13

�

d) �171� � ��

131� � �

121��

171� � �

151� � �

121�

e) �254� � �2 � �

14

� � �39

�� 254� � ��

73

26� � �

396� � �

1326��

1752� � �

17520

� � ��17325

� � ��4254�

f) ��130� � �

89

�� 96

� � �143� � ��

13260

� � �3326��

5346� � �

13167

� � �13561

�

1.35

1.34

1.33

1.32

1.31

1.30

9

Halla el resultado de las siguientes multiplicaciones y divisiones.

a) 6 � —35

— � �—25

— � —57

—� d) �—37

— � —54

—� � —151—

b) —96

— � —54

— � �—�3154—� e) —�

96— � —4

3— � ��—1

182—�

c) —�83— � ��—

125—� � ��—1

90—� f) —2

7— � ��—2

61—� � —4

9—

a) 6 � �35

� � ��25

� � �57

�� 158� � ��

12

45��

47500

� � �475� d) ��

37

� � �54

�� 151� � ��

1258��

151� � �

2383�

b) �96

� � �54

� � ��3154

�� 42

54� � ��3

154

�� 192� � ��

�77��

192� e) �

�96� � �

43

� � ��182��

�12

6� � ��

182��

68

� � �34

�

c) ��83� � ��

125��

190��

160

080� � ��

118� f) �

27

� � ��261��

49

� � ��11427

� � �49

� � �499�

Calcula y simplifica el resultado.

a) —35

— � —23

— � —45

— � —43

— � —13

— � —34

— � —37

—

b) —47

— � —67

— � —83

— � —54

— � ��—32

—�c) —2

3— � —1

2— � —

182— � —9

3— � (�5)

a) �35

� � �23

� � �45

� � �43

� � �13

� � �34

� � �37

� � �190� � �

1165� � �

13

� � �2112� � �

5640� � �

6640� � �

2600� � �

16005

� � ��9650� � ��

1192�

b) �47

� � �67

� � �83

� � �54

� � ��32

�� 47

� � �4281� � �

1102� � �

4884� � �

18942

� � �7804� � ��

7844� � ��

3472�

c) �23

� � �12

� � �182� � �

93

� � (�5) � �43

� � �21

� � (�5) � �43

� � �25

� � �2105� � �

165� � �

1145�

Calcula y simplifica el resultado.

a) —38

— � �—53

— � —12

—� � —141— � �—3

4— � —1

5—�

b) —59

— � ��—34

— � —12

—� � —130— � �—1

2— � —1

5—�

2

c) �—23

— � —72

— � —56

— � —14

—� � ��—43

— � —23

— � —16

—�a) �

38

� � ��53

� � �12

�� 141� � ��

34

� � �15

�� 38

� � ��76

�� 141� � ��

1210��

176� � �

15

� � �3850� � �

1860� � �

1890�

b) �59

� � ��34

� � �12

�� 130� � ��

12

� � �15

��2

� �59

� � ��14

�� 130� � ��

1900��

2396� � �

390� � �

2396� � �

390� � �

114850

� � �15840

� � �119890

�

c) ��23

� � �72

� � �56

� � �14

�� 43

� � �23

� � �16

�� 1421

�� 56

�� 4110�

Halla el resultado de las siguientes operaciones.

a) —16

— � —26

— � �—45

—�2

� —35

— � —12

—

b) 2 � 3 � —56

— � —141— � �—�

27—�

3

a) �16

� � �26

� � ��45

��2

� �35

� � �12

� � �16

� � �17

65� � �

130� � �

12550

� � �13520

� � �14550

� � �11520

� � �225�

b) 2 � 3 � �56

� � �141� � ��

�27��

3

� 2 � �158� � �

141� � ��

3483

�� 312600

� � �517660

� � �18186605

� � �19176601

�

1.39

1.38

1.37

1.36

10

Realiza las siguientes operaciones.

a) —79

— � —19

— � �—23

— � —64

— � —37

—� d) —140— �1 � —3

4— � �—2

5— � —3

2— � —6

5—��

b) �3 � —12

—�3

� �—151— � —4

5— � —3

4—� e) �8 � —1

25—�

2

� �—34

— � �—98

— � 2� � —176—�

c) 4 � 2 � �—89

— � —23

— � —45

—� � —72

—

a) �79

� � �19

� � ��23

� � �64

� � �37

�� 79

� � �19

� � ��167��

4524� � �

1574� � �

5594�

b) �3 � �12

��3

� ��151� � �

45

� � �34

�� 12

85

�� 4240� � �

1220��

1285

� � �85

� � �66245

�

c) 4 � 2 � ��89

� � �23

� � �45

�� 72

� � 4 � 2 � ��4405� � �

2445��

72

� � �1321650

� � �36145

� � �1311956

�

d) �140� �1 � �

34

� � ��25

� � �32

� � �65

�� 140� �1 � �

34

� � ��140� � �

1180��

25

� ��4400� � �

4480��

21060

� � ��225�

e) �8 � �125��

2

� ��34

� � ��98

� � 2� � �176��

12

��2

� ��34

� � ��87��

176��

14

� � ��32

7��

87

�


—192— de los alumnos de 4.º ESO han elegido francés como segunda lengua, después del inglés; —

135— han

elegido alemán, y —210— , italiano. ¿Es posible?

La suma de las tres fracciones debe ser 1.

�192� � �

135� � �

210� � �

46

50� � �

16

20� � �

630� � �

6600� � 1

Sí, es posible.

En un grupo de alumnos de Secundaria, —140— van al cine, —

175— al teatro, y el resto, al circo. ¿Qué fracción

de alumnos va al circo?

Sea x la fracción de alumnos que van al circo. La suma de las tres fracciones tiene que ser 1:

�140� � �

175� � x � 1 ; x � 1 � �

140� � �

175�

Mínimo común denominador: m.c.m.(1, 10, 15) � 30

x � �33

00� � �

13

20� � �

13

40� � �

340� � �

125�

Por tanto, �125� de los alumnos van al circo.

“¿Cuál es tu edad?”, preguntó Sandra a su amigo Sergio. Este contestó: “La mitad más la tercera partede la edad que tengo suman 15”. ¿Cuál es la edad de Sergio?

Sea x la edad de Sergio.

�12

� � �13

� de x son 15, luego �56

� de x � 15.

Por tanto, �16

� de x es 3, y �66

� valdrá 18.

La edad de Sergio es 18 años.

1.43

1.42

1.41

1.40

11

12

Pablo compra un ordenador y la impresora. Paga como primer plazo —14

— del precio, y como segundo

plazo, —16

— . ¿Cuánto vale el equipo si en el tercer plazo paga 70 euros?

Suma de los dos primeros plazos: �14

� � �16

� � �132� � �

122� � �

152�

Tercer plazo: 1 � �152� � �

172�

Si P es el precio del equipo: �172� de P � 70 euros; por tanto, �

112� de P � 10 euros.

Precio del equipo: 12 � 10 � 120 euros

De un depósito lleno de aceite, en una semana se vende —16

— del depósito; en la siguiente, el doble, y en

la tercera, la suma de los dos anteriores. ¿Qué fracción de aceite queda por vender?

Se vende �16

� � 2 � �16

� � ��16

� � 2 � �16

�� 16

� � �26

� � �36

� � �66

� � 1 .

Se vende todo el depósito en las tres semanas, por lo que no queda nada por vender.

Le preguntan a Luis cuánto dinero le ha dado su madre para la fiesta de fin de curso. Contesta: “Un ter-cio, más un cuarto, más un quinto del dinero que llevo suma 47 euros”. ¿Cuántos euros lleva? Com-prueba el resultado.

Sea x el dinero de Luis.

��13

� � �14

� � �15

�� x � 47; ��26

00� � �

16

50� � �

16

20�� x � 47; ��

4670�� x � 47; x � 60 euros

Por tanto, la madre de Luis le ha dado 60 euros.

Comprobación:

��13

� � �14

� � �15

�� 60 � �46

70� 60 � 47

El depósito de gasóleo de una casa de campo está lleno hasta los —27

— de su capacidad. Si se añaden

275 litros se llena hasta los —38

— . ¿Cuál es la capacidad del depósito?

Diferencia de capacidades: �38

� � �27

� � �25

16� � �

1566� � �

556� , que son 275 litros.

Capacidad de �516� del depósito: �

275

5� � 55 litros

Capacidad total del depósito: 55 � 56 � 3080 litros

En una clase han aprobado 27 alumnos, que son los —35

— de los alumnos. ¿Cuántos alumnos se han pre-sentado al examen?

Número de alumnos: x

Número de aprobados: �35

� de x � 27

El valor de �15

� de x es �237� � 9, por lo que el valor de x es: 9 � 5 � 45 alumnos.

1.48

1.47

1.46

1.45

1.44

Fracciones y decimales


Escribe en forma decimal las siguientes fracciones —53

—, —192—, —

185— y —1

69— e indica, si existen, la parte entera,

el anteperíodo y el período.

�53

� � 1,6666…; parte entera 1, anteperíodo no, período 6

�192� � 1,3333…; parte entera 1, anteperíodo no, período 3

�185� � 0,5333…; parte entera 0, anteperíodo 5, período 3

�169� � 3,1666…; parte entera 3, anteperíodo 1, período 6

Expresa en forma decimal las fracciones —43

—, —86

—, —192— y —1

162—. ¿Se puede decir que son fracciones equivalen-

tes? ¿Por qué?

�43

� � 1,33333… �86

� � 1,33333… �192� � 1,33333… �

1162� � 1,33333…

Estas fracciones tienen la misma expresión decimal, luego son iguales y, por tanto, las fracciones correspondientes son equiva-lentes.

Ejercicio resuelto

Observa la colocación sucesiva de las cifras del número decimal 8,112 112 211 222 112 2221… ¿Es unnúmero decimal exacto o periódico?

No es exacto porque posee un número ilimitado de cifras. Tampoco es periódico, ya que no existe un bloque de cifras que se re-pita a partir de una posición dada.

Señala cuáles de los siguientes números decimales no son periódicos.

a) 1,7171171117… c) �5� � 2,2360679774…

b) 3,012351235123… d) 8,163264128256…

a) No es periódico, ya que cada vez hay un 1 más.

b) Sí es periódico, el período es 1235.

c) No es periódico, no hay ninguna secuencia que se repita.

d) No es periódico, no hay ninguna secuencia que se repita.

Indica, sin hacer la división, el tipo de expresión decimal de las siguientes fracciones.

a) —161— b) —2

373— c) —2

195— d) —1

6707—

a) Fracción: �161�. Denominador factorizado: 6 � 2 � 3

Fracción periódica mixta, ya que tiene los factores 2 y 3.

b) Fracción simplificada: �23

73� � �

191�. Denominador: 11

Fracción periódica pura, ya que tiene solo el factor 11.

c) Fracción: �21

95�. Denominador factorizado: 15 � 3 � 5

Fracción periódica mixta, ya que tiene los factores 3 y 5.

d) Fracción simplificada: �16707

� � �52

90�. Denominador: 20 � 2 � 2 � 5

Fracción exacta, ya que tiene los factores 2 y 5.

1.53

1.52

1.51

1.50

1.49

13

14

Ejercicio resuelto

Escribe en forma fraccionaria los siguientes números decimales.

a) x � 5,214 b) x � 5,214214214…

a) Se multiplica por 1000: 1000x � 5214

Se despeja x: x � �51

20

10

40

� � �25

006070

�

b) Se multiplica por 1000: 1000x � 5214,214214…

Se le resta el número x: x � 5,214214214…

Diferencia: 999x � 5209 ⇒ x � �5929099

�

Halla la expresión fraccionaria de los siguientes números decimales.

a) 2,222… e) 0,66

b) 10,555… f) 2,15

c) –7,1 g) 0,155…

d) x � 1,77777… h) x � 2,7333…

a) Se multiplica por 10 ⇒ 10x � 22,222… e) Se multiplica por 10 ⇒ 10x � 6,666…Restando x: 9x � 20 Restando x: 9x � 6

x � �290� x � �

69

� � �23

�

b) Se multiplica por 10 ⇒ 10x � 105,555… f) Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 215

Restando x: 9x � 95 x � �211050

� � �4230�

x � �995�

c) Se multiplica por 10 ⇒ 10x � �71 g) Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 15,5555…

x � ��1701

� Se multiplica por 10 ⇒ 10x � 1,5555…

Restando: 90x � 14

x � �1940� � �

475�

d) Se multiplica por 10 ⇒ 10x � 17,777… h) Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 273,33333…Restando x: 9x � 16 Se multiplica por 10 ⇒ 10x � 27,3333333…

x � �196� Restando: 90x � 246

x � �29406

� � �4115�

Entre dos números enteros consecutivos, por ejemplo, 5 y 6, no existe ningún número entero. ¿Se puede decir

lo mismo entre los números fraccionarios —15

— y —16

— ? Razona si entre estos números hay números fraccionarios.

La respuesta es que hay muchos, de hecho hay infinitos números fraccionarios.

Se tiene: �15

� � �15

00

00

� , �16

� � �16

00

00

� .

Luego �15

00

00

� � ? � �16

00

00

�

Luego �15

00

00

� � �15

00

01

� � �15

00

02

� � … � �16

00

00

�

Por tanto, existen al menos 100 números entre �15

� y �16

�.

Para 1000 números basta escribir la inecuación siguiente: �15000000

� � ? � �16000000

�.

Suma los números decimales 0,3333… � 0,5555… expresándolos previamente como números fracciona-rios. ¿Se obtiene el mismo resultado?

0,3333… � 0,5555… � �13

� � �59

� � �39

� � �59

� � �89

� � 0,8888…

Observa que es también la suma de los dos números decimales.

1.57

1.56

1.55

1.54


Problema resuelto

Una señora compra tres cuartos de kilo de café y otra señora 800 gramos ¿Quién compra más gramos de café?

�34

� de 1 kilo � �34

� de 1000 g � �34

� � 1000 � 750 g

La segunda señora compra más gramos de café.

¿Se puede pesar exactamente 300 kilogramos más —13

— de kilo? Razona la respuesta.

Expresión fraccionaria: 300 � �13

� � �90

30

� � �13

� � �9031

�

Expresión decimal: �90

31

� � 300,333333…

Con las pesas ordinarias no se puede pesar exactamente.

Explica, utilizando ejemplos, si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Todas las fracciones representan cantidades inferiores a la unidad.

b) Un número racional es una fracción.

c) Cualquier número decimal se puede expresar en forma fraccionaria.

d) Cualquier número fraccionario se puede expresar en forma decimal.

a) Falsa. �73

� � 2,333…; �145� � 3,75

b) Falsa. Un número racional puede ser una fracción o un número entero.

c) Falsa. Por ejemplo, las raíces cuadradas no exactas son números decimales y no se pueden expresar como fracción.

d) Verdadera

Carla dice que 0,75 litros de leche equivalen a —34

— de litro. Comprueba si es cierta esta afirmación pasandoa números fraccionarios.

Cantidad: x � 0,75

Se multiplica por 100: 100x � 75


�

Se simplifica por 25: x � �34

�

Estas fracciones —23

—, —34

—, —45

—, —56

— y —67

— indican cantidades de un cierto número de euros. Sin hacer ningún cál-

culo fraccionario, ¿cuál elegirías? ¿Por qué? Expresa estas cantidades en forma decimal para comprobartus resultados. ¿Hacia qué valor se aproxima su cociente?

Elegiríamos �67

�, porque divide la unidad en más partes, pero coge mayor número de partes, por lo que es la fracción más cercana

a la unidad.

�23

� � 0,666… ; �34

� � 0,75; �45

� � 0,8; �56

� � 0,833…; �67

� � 0,857… Se aproximan hacia 1.

¿En qué son iguales los números 3,1414 y 3,1414…? ¿Qué los diferencia?

Son iguales en los primeros cuatro miembros de su parte decimal y en la parte entera.

El primero es un número decimal exacto, y el segundo, un número decimal periódico mixto.

Sergio ha obtenido en un problema el resultado 16,666… ¿Se puede expresar en forma fraccionaria?

Valor obtenido: x � 16,666…

Se multiplica por 10: 10x � 166,666…

Se resta x: 10x � x � 166,666… � 16,666…, 9x � 150.


90

� � �530�.

1.64

1.63

1.62

1.61

1.60

1.59

1.58

15

El número mixto 2,8333… es el desarrollo de una fracción irreducible. ¿De qué fracción se trata?

Expresión decimal mixta: x � 2,8333…



Se restan 100x � 10x � 90x � 255

Se divide y se simplifica: x � �29505

� � �51

18� � �

167�.

MATEMÁTICAS APLICADAS


Cómo debería repartir una herencia de 60 000 euros una persona con un cónyuge, 3 hijos y 5 nietos sila parte de mejora se quiere dividir de forma que cada nieto reciba el doble que cada hijo.

Debe repartirla de forma que, además, se cumpla la ley:

Un tercio en partes iguales a los hijos Un tercio como se quiera para hijos y nietos El último tercio para el cónyuge

Quedan por repartir los 20 000 € que corresponden a hijos y nietos. Como se quiere que cada nieto reciba el doble que cadahijo, si x es el dinero que recibe cada hijo de esta parte de la herencia:

20 000 � 5 nietos que reciben 2 veces x y de 3 hijos que reciben x:

20 000 � 5 � 2 � x � 3x � 13x ⇒ x � �20

10300� � 1538,46 euros recibe cada hijo de esta parte de la herencia.

Luego la herencia se reparte de la siguiente forma: 6 666,67 � 1 538,46 � 8 205,13 euros para cada hijo, 2 � 1 538,46 �� 3 076,92 euros para cada nieto y 20 000 euros para el cónyuge.

ACTIVIDADES FINALESP A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Escribe la fracción que corresponde a estas expresiones.

a) Alba ha resuelto bien 4 de los 5 ejercicios del examen.

b) El 15% de los habitantes de una ciudad son inmigrantes.

c) La octava parte de los 96 participantes de un maratón no terminó la prueba.

d) En una empresa, 8 de cada 10 empleados llegan puntualmente al trabajo.

a) �45

� b) �11050

� c) �986� d) �

180�

Escribe:

a) Un número racional que no sea entero.

b) Un número racional que sea entero.

c) Un número entero que no sea racional.

d) Un número decimal que no sea racional.

a) �23

� b) �62

� � 3 c) Todos los enteros son racionales d) �3�

1.68

1.67

60 000 €

1.66

1.65

16

�13

� de 60 000 � �60

3000� � 20 000

Cada hijo recibe �13

� de 20 000 �

� �20

3000� � 6666,67 €

por esta parte

�13

� de 60 000 � �60

3000� �

� 20 000

El cónyuge recibe 20 000 €.

�13

� de 60 000 � �60

3000� � 20 000

17

En un grupo de 31 alumnos de 4.º de ESO hay 7 chicas. De entre los chicos, la octava parte no ha naci-do en España. ¿Qué fracción del total representan los que no han nacido en España?

Sea x el número de chicos que hay en la clase: 28 � 7 � x ; x � 21 de los que 21 � �18

� � 2,6 no han nacido en España.

Por tanto, respecto del total de alumnos, no han nacido en España: �22,86� � �

22860

� � �11430

�.

Calcula el valor de x para que sean equivalentes las siguientes fracciones.

a) —2x6— y —

183— b) —4

524— y —7

x— c) —

5x0— y —2

x—

a) �2x6� � �

183�; x � �

183� 26 � 16 b) �

4524� � �

7x

�; x � �5442� 7 � 9 c) �

5x0� � �

2x

�; x2 � 100; x � 10

Simplifica las siguientes fracciones.

a) —3405— b) —2

385— c) —1

25000

— d) —336000

—

a) �34

05� � �

23

� b) �23

85� � �

45

� c) �125000

� � �34

� d) �336000

� � �65

�

Realiza las siguientes sumas y restas.

a) 2 � —47

— e) —43

— � —78

— � —56

—

b) —152— � 1 f) 7 � �—4

5— � —

170—�

c) —23

— � —34

— � —76

— g) —190— � �—2

5— � —5

6—�

d) —23

— � —56

— � —59

— h) 3 � �—98

— � —56

—�a) 2 � �

47

� � �178� e) �

43

� � �78

� � �56

� � �3224� � �

2214� � �

2204� � �

3214�

b) �152� � 1 � �

75

� f) 7 � ��45

� � �170��

7100� � �

110� � �

7110�

c) �23

� � �34

� � �76

� � �182� � �

192� � �

11

42� � �

3112� g) �

190� � ��

25

� � �56

�� 2370� � �

1330� � �

1340� � �

175�

d) �23

� � �56

� � �59

� � �11

28� � �

11

58� � �

11

08� � �

178� h) 3 � ��

98

� � �56

�� 7224� � �

274� � �

6254�

Halla el resultado de las siguientes multiplicaciones y divisiones.

a) —23

— � —67

— � 4 d) —74

— � —23

— � —56

—

b) —96

— � —54

— � �—�3154—� e) —�

96— � —4

3— � ��—

182—�

c) —�83— � �—�

152—� � ��—1

90—� f) —2

7— � ��—2

61—� � —4

9—

a) �23

� � �67

� � 4 � �176� d) �

74

� � �23

� � �56

� � �6230�

b) �96

� � �54

� � ��3154

�� 34

� e) ��96� � �

43

� � ��182��

34

�

c) ��83� � ��

125��

190��

118� f) �

27

� � ��261��

49

� � �499�

1.73

1.72

1.71

1.70

1.69

18

Calcula las siguientes potencias.

a) �—35

—�4

c) �—�59—�

0

e) ��—23

—�5

b) �—76

—�3

d) ��—89

—�2

f) ��—12

—�1

a) ��35

��4

� �38215

� c) ��59��

0

� 1 e) ��23

��5

� ��23423

�

b) ��76

��3

� �32

41

36

� d) ��89

��2

� �6841� f) ��

12

��1

� ��12

�

Halla el resultado de las siguientes operaciones con números racionales.

a) —32

— � —72

— � 4 � —271— c) —6

3— � 4 � —3

96—

b) 4 � —468— � 45 d)

a) �32

� � �72

� � 4 � �271� � �

21

14� � �

11946

� � �4124� � �

11745

� c) �63

� � 4 � �396� � �

792� � �

396� � �

396� � 4

b) 4 � �468� � 45 � �

196

2� � �

276

0� � ��

762� d) � 4


a) —14

— � —75

— � �3 � �—14

—�2

� c) ��2 � —73

—� � —14

— � �—12

— � —13

—�2

b) —15

— � —23

— � —12

— � �—23

—�2

d) —52

— � �—35

— � �—14

— � —23

—�� —12

—�3

a) �14

� � �75

� � �3 � ��14

��2

� � �14

� � �75

� � ��1616

� 3� � �

116��

14

� � �75

� � �4176� � �

14

� � �38209

� � �2800� � �

38209

� � �38409

�

b) �15

� � �23

� � �12

� � ��23

��2

� �15

� � �26

� � �49

� � �15

� � �1284� � �

15

� � �34

� � �240� � �

1250� � �

1290�

c) ��2 � �73

�� 14

� � ��12

� � �13

��2

� ��36� � �

73

�� 14

� � ��36

� � �26

��2

� ��13

�� 14

� � ��56

��2

� �112� � �

2356� � �

336� � �

2356� � ��

2326� � ��

1118�

d) �52

� � ��35

� � ��14

� � �23

�� 12

��3

� �52

� � ��35

� � ��132� � �

182��

18

� � �52

� � ��35

� � ��12

5��

18

� � �52

� � ��2356

� � �18

� � ��3160� � �

18

� �

� ��14404

� � �450� � ��

14409

�

Indica cuáles de los siguientes números decimales se pueden expresar en forma de fracción. Justifica turespuesta.

a) 3,14 c) 82,7777…

b) 8,010 010 001… d) 4,08939393…

a) 3,14 se puede expresar en forma de fracción, ya que es un número decimal exacto.

b) 8,010 010 001… no se puede expresar en forma de fracción, ya que no es decimal exacto ni periódico.

c) 82,7777… se puede expresar en forma de fracción porque es un número decimal periódico puro.

d) 4,08939393… se puede expresar en forma de fracción porque es un número decimal periódico mixto.

1.77

1.76

�468�

��42

�

—468—

——42

—

1.75

1.74

19

Calcula la fracción irreducible equivalente a los siguientes números decimales.

a) 0,36� d) 18,45

b) 2,983� e) 8,0359�

c) 1,2 f) 5,34�

a) Expresión decimal: x � 0,3636… d) Expresión decimal: x � 18,45Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 36,3636… Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 1845

Restando x: 99x � 36 x � �1180405

� � �32609

�

x � �39

69� � �

141�

b) Expresión decimal: x � 2,983333… e) Expresión decimal: x � 8,035959…Se multiplica por 1000 ⇒ 1000x � 2983,33333… Se multiplica por 10 000 ⇒ 10 000x � 80 359,5959…

Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 298,33333… Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 803,5959…

Restando x: 900x � 2685 Restando x: 9900x � 79 556

x � �2960803

� � �16709

� x � �799950506

� � �129487859

�

c) Expresión decimal: x � 1,2 f) Expresión decimal: x � 5,344…Se multiplica por 1000 ⇒ 10x � 12 Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 534,4444…

Se multiplica por 10 ⇒ 10x � 53,4444…

x � �11

20� � �

65

� Restando x: 90x � 481

x � �49801

�

Expresa los números decimales en forma fraccionaria y después realiza las operaciones indicadas.

a) 0,45 � 1,2 � —65

— c) —79

— � 0,3� � 1,29�

b) 18,4 � —14

— � 2,58� d) 3,18� � 1,15� � —29

—

a) 0,45 � 1,2 � �65

� � �290� � �

65

� � �65

� � �290�

b) 18,4 � �14

� � 2,58� � �92

25� � �

14

� � �29303

� � �3930102

� � �292050

� � �2930300

� � �5940107

�

c) �79

� � 0,3� � 1,29� � �79

� � �13

� � �19298

� � �7979� � �

3939� � �

19298

� � �19792

�

d) 3,18� � 1,15� � �29

� � �39195

� � �19004

� � �29

� � �3919500

� � �1919404

� � �292900

� � �1979806

� � �849935

�

Para decir la hora que es cuando han pasado 15 minutos de la hora en punto se utiliza un valor fraccionario.Por ejemplo, se dice “las ocho y cuarto” en lugar de “las 8 y 15”. Explica si es correcta la fracción utilizada.

La afirmación es correcta, ya que una hora son 60 minutos y 15 minutos es un cuarto de una hora: 15 � �640�.

P A R A R E F O R Z A R

Calcula el valor de las siguientes operaciones.

a) —13

— de 666 b) —15

— de 360 c) —131— de 121 d) —

115— de 360�

a) �13

� de 666 � 222 b) �15

� de 360� 72 c) �131� de 121 � 33 d) �

115� de 360 � 24

Expresa las siguientes fracciones con el mismo denominador y ordénalas de mayor a menor.

—185—, —2

9—, —1

5—, —

145—, —

160—

Denominador común: m.c.m. � 360

�185� � �

6376

50

�; �29

� � �38600

�; �15

� � �37620

�; �145� � �

39660

�; �160� � �

231660

�

Fracciones ordenadas de mayor a menor:

�185� � �

160� � �

145� � �

29

� � �15

�

1.82

1.81

1.80

1.79

1.78


a) 7 � —65

— � —92

— c) � —85

— � ��—45

— � —65

—�b) —5

3— � —1

6— � —3

4— d) —7

2— � ��—1

51— � —9

2— � 4�

a) 7 � �65

� � �92

� � �71

00� � �

11

20� � �

41

50� � �

11003

� c) ��85

� � ��45

� � �65

�� 150� � �2

b) �53

� � �16

� � �34

� � �21

02� � �

122� � �

162� � �

1122� � 1 d) �

72

� � ��151� � �

92

� � 4� � �3150� � ��

2120� � �

41

50� � �

4100��

180� � �

45

�


a) —56

— � —65

— c) —23

— � —34

— � —45

— e) —350— � —2

5— � —4

7—

b) —34

— � —45

— d) —145— � —5

6— � —3

4— f) —4

7— � 4 � —2

3—

a) �56

� � �65

� � 1 c) �23

� � �34

� � �45

� � �58

� e) �350� � �

25

� � �47

� � �670�

b) �34

� � �45

� � �11

56� d) �

145� � �

56

� � �34

� � �265� f) �

47

� � 4 � �23

� � �3221�

Realiza las siguientes operaciones con fracciones.

a) —78

— � —18

— � —32

— � —53

— c) �—158— � �1 � —3

4— � —

265—� e) —1

110— � ��—

165— � —9

5—� � —1

4—�

b) 1 � —56

— � �2 � —79

—� d) —83

— � —53

— � �—�41— � 1� f) —7

2— � �—4

6— � —1

3— � —5

9—�

a) �78

� � �18

� � �32

� � �53

� � �44

28� � �

498� � �

84

08� � ��

2498�

b) 1 � �56

� � �2 � �79

�� 16

� � ��191��

696�

c) ��158� � �1 � �

34

� � �265��

31

60

00

� � ��110000

� � �17040

� � �12040

�� 511000

� � ��5110�

d) �83

� � �53

� � ��41� � 1� � �

83

� � �53

� � ��45��

83

� � �43

� � �132� � 4

e) �11

10� � ��

165� � �

95

�� 14

�� 66

60� � ��

2640� � �

16008

�� 1650��

16605

� � �141�

f) �72

� � ��46

� � �13

� � �59

�� 13005

� � ��23

00� � �

1380��

13003

�

Realiza las siguientes operaciones con fracciones.

a) 3 � 4 � �—13

— � —12

— � �—14

— � —15

—� � 3 � �—13

— � —12

—��b) �—1

3— � —1

2— � �—1

2— � —1

4—� � 5� � 3 � �4 � �—3

5— � 1��

a) 3 � 4 � ��13

� � �12

� � ��14

� � �15

�� 3 � ��13

� � �12

�� 3 � 4 � ��13

� � �12

� � ��210�� 3 � ��

23

�� 3 � 4 � ��14200

� � �1320� � �

514200

��

� �31

62

00

� � �2132008

� � ��1192408

� � ��43807

�

b) ��13

� � �12

� � ��12

� � �14

�� 5� � 3 � �4 � ��35

� � 1�� 13

� � �12

� � ��14

�� 5� � 3 � �4 � ��85

�� 13

� � �18

� � 5� � 3 � ��52

��

� �12341

� � �125� � �

42

94�

1.86

1.85

1.84

1.83

20

Expresa los siguientes números fraccionarios en forma decimal e indica qué tipo de número decimal escada uno.

a) —175— b) —2

245— c) —1

92—

a) �175� � 0,28 . Número decimal exacto

b) �22

45� � 0,96. Número decimal exacto

c) �192� � 1,3333… Número decimal periódico puro

Escribe los siguientes números decimales en forma de fracción.

a) 0,19 c) 0,7575…

b) �0,17575… d) 6,253434…

a) Expresión decimal: x � 0,19 c) Expresión decimal: x � 0,7575

Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 19 Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 75,7575…

x = �11090

� Se resta x ⇒ 99x � 74

x = �7949�

b) Expresión decimal: x � �0,17575 d) Expresión decimal: x � 6,253434

Se multiplica por 100 ⇒ 1000x � �175,7575… Se multiplica por 100 ⇒ 10 000x � 62534,3434…

Se multiplica por 10 ⇒ 10x � �1,7575… Se multiplica por 10 ⇒ 100x � 625,3434…

Se restan ⇒ 990x � �174 Se restan ⇒ 9900x � 61 909

x = �19

79

40

� � ��48975

� x � �691990009

�

P A R A A M P L I A R

Las fracciones —9x

—, —3x6— y —2

y5— representan el mismo número racional. Calcula x e y, y la fracción irreducible

que lo representa.

Si representan el mismo número racional, las fracciones son iguales:

�9x

� � �3x6� ; x2 � 324; x � 18; x � �18

Para x � 18 ⇒ �198� � �

12

� � �2y5�; y � 50

Para x � �18 ⇒ ��198� � ��

12

� � �2y5�; y � �50

Las fracciones irreducibles serán:

Si x � 18: �12

�

Si x � �18: ��12

�

De una clase aprueban primero la mitad, y en la recuperación, —13

— de los suspendidos. Sin hacer cálculos,escribe la expresión fraccionaria de los que no han aprobado.

Expresión fraccionaria: 1 � ��12

� � �13

� � �12

��Javier ha cortado —1

3— de una baguette para hacer un bocadillo y con los —3

4— del resto ha preparado unas

rebanadas. Ha sobrado un trozo de 4 centímetros. ¿Cuánto medía la baguette?

Sea x la medida de la baguette:

4 � �23

� � �14

� � x; x = 4 � 3 � �42

� � 24 cm

1.91

1.90

1.89

1.88

1.87

21

En un invernadero se han sembrado 500 plantas de tomates, 400 de pimientos y 350 de calabacines.

Se sabe que se pierden por término medio 1 de cada 60 plantas de tomates, 2 de cada 25 de pimientosy 6 de cada 11 de calabacines.

a) ¿Cuál de las tres plantas es más resistente?

b) ¿Cuántas de cada clase se espera que crezcan?

a) Será más resistente aquella cuya fracción que pierde sea menor:

�16

� � �1267550

�; �225� � �

1163520

�; �161� � �

1960500

�

Por lo que las plantas más resistentes serán las de los pimientos.

b) Tomates que crecerán: �56

� � 500 � 416,66…

Pimientos que crecerán: �22

35� � 400 � 368

Calabacines que crecerán: �151� � 350 � 159,0909…

De los habitantes de una población, la cuarta parte son personas mayores de 60 años; las 3\5 partes delresto tienen entre 25 y 60 años, y de los que quedan, solo la sexta parte son niños menores de 8 años.

a) ¿Qué fracción de la población tiene entre 8 y 25 años?

b) ¿Qué porcentaje de la población representan los mayores de 60 años?

c) Si el total de habitantes es 8640, ¿cuántos pertenecen al mayor grupo poblacional?

a) Fracción de la población que tiene entre 8 y 25 años: �34

� � �25

� � �56

� = �14

�

b) Si los mayores de 60 años representan un cuarto, el porcentaje será �14

� � 0,25 � 25%.

c) Mayores de 60 años: �14

� � 8640 � 2160

Entre 25 y 60 años: �34

� � �35

� � 8640 � 3888

Entre 25 y 8 años: �14

� � 8640 � 360

Menores de 8 años: �34

� � �25

� � �16

� � 8640 � 432

Utiliza ejemplos para estudiar si el resultado de la multiplicación o la división de dos fracciones es dis-tinto si se realiza en la forma habitual o reduciendo previamente las fracciones a denominador común.¿Qué conclusión obtienes?

Multiplicación de dos fracciones: División de dos fracciones:

• Forma habitual • Forma habitual

�23

� � �52

� � �160� � �

53

� �23

� � �52

� � �145�

• Reducción de fracciones a denominador común • Reducción de fracciones a denominador común

�23

� � �52

� = �46

� � �165� = �

63

06� = �

160� = �

53

� �23

� � �52

� � �46

� � �165� � �

2940� � �

145�

Se concluye que no es necesario reducir a denominador común, ya que el resultado es idéntico.

1.94

1.93

1.92

22

El resultado es el mismo, ya que la fracción irreduciblede ambos es la misma.

El resultado es el mismo, ya que la fracción irreduciblede ambos es la misma.

23

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

Agua con cloro

En los comercios de una cierta zona geográfica existen dos tipos de disoluciones de agua con cloro quese pueden utilizar para el tratamiento del agua de las piscinas públicas.

a) Si se mezcla una garrafa de cada clase, ¿cuáles serán las proporciones de agua y cloro en la nuevadisolución? (Las dos garrafas tienen la misma capacidad.)

b) Supón que se compran dos garrafas del primer tipo y tres del segundo y se echan sobre una piscinade 100 000 litros. Sabiendo que cada garrafa contiene 10 litros, ¿cuántos litros de cloro se aportan?¿Qué parte de cloro habrá en la piscina?

a) La primera garrafa contiene �1

303� partes de cloro.

La segunda garrafa contiene �1

505� partes de cloro.

Si se juntan dos garrafas, una de cada clase, en el nuevo líquido habrá � �281363� partes de cloro, ya que las

garrafas tienen la misma capacidad. Es decir, habrá 83 partes de cloro y 2163 � 83 � 2080 de agua.

b) Si se juntan dos garrafas del primer tipo y tres del segundo, en la mezcla habrá � �72291

� de cloro.

En 5 � 10 � 50 litros habrá �72291

� � 50 � 2,011 litros de cloro.

Después de arrojar el líquido de las garrafas, en la piscina habrá 100 050 litros, de los que 2,011 serán de cloro.

Encuesta

Se ha realizado una encuesta y se han obtenido los siguientes resultados exactos.

¿Puedes calcular a cuántas personas se les realizó la encuesta sabiendo que eran más de 490 y menosde 550?

46,6v% � 46,666…% � �49

20� � �

175�

Siete quinceavas partes han respondido que sí. El número de personas debe ser múltiplo de 15.

75% ⇒ 0,75 � �34

�

Tres cuartas partes han respondido que no. El número de personas debe ser múltiplo de 4.

En definitiva, el número de personas debe ser múltiplo de 4 � 15 � 60 y, en consecuencia, se ha preguntado a 540 personas.

1.96

2 � �1303� � 3 � �

1505�

��5

�1303� � �

1505�

��2

1.95

Respuesta a la primera Porcentajey segunda preguntas de personas

SÍ a la primera pregunta 46,6v% � 46,666…%

NO a la segunda pregunta 75%

24

A U T O E V A L U A C I Ó N

Calcula el resultado de las siguientes operaciones.

a) —27

— de 49 euros c) —23

— de 60 kilómetros

b) —35

— de 50 caramelos d) —49

— de 81 alumnos

a) �27

� de 49 euros � 2 � �17

� de 49 � 14 euros c) �23

� de 60 km � 40 km

b) �35

� de 50 caramelos � 30 caramelos d) �49

� de 81 alumnos � 36 alumnos

¿Es lo mismo los —23

— de los —43

— de 300 euros que los —45

— de los —23

— de 300 euros? Calcula en cada caso suvalor.

�23

� de �45

� de 350 � �23

� � �45

� � 350 � �(2 � 4

15� 300)� � 160

�45

� de �23

� de 350 � �45

� � 2/3 � 350 � �(4 � 2

15� 300)� � 160

Por tanto, las fracciones son iguales.

Completa con el número que falta las siguientes fracciones equivalentes.

�47

� � �1?4� � �

2?8� � �

4?9�

�47

� � �184� � �

12

68� � �

24

89�

Reduce las fracciones —35

—, —67

—, —151— a común denominador y ordénalas de menor a mayor.

Tomamos como numerador común 105.

Las fracciones equivalentes son: �35

� � �16035

�, �67

� � �19005

�, �1115� � �

17075

�

Ordenadas de menor a mayor: �35

� � �11

15� � �

67

�


a) —165— � —7

9— b) —2

3— � —

142— � —5

6—

a) �165� � �

79

� � �14

85� � �

44

05� � ��

24

25� b) �

23

� � �142� � �

56

� � �182� � �

142� � �

1102� � �

122� � �

16

�


a) —46

— � —284— b) —1

320— � —4

8—

a) �46

� � �284� � �

13424

� � �29

� b) �1320� � �

48

� � �19260

� � �2340� � �

45

�

Halla el resultado de las siguientes potencias.

a) �—34

—�5

b) �—�76—�

2

c) �—�89—�

3

a) ��34

��5

� �1204234

� b) ��76��

2

� �3469� c) ��

�89��

3

� �752192

�

1.A7

1.A6

1.A5

1.A4

1.A3

1.A2

1.A1

Opera y simplifica.

a) —1479— � —

419— � —5

2— � 1 b) —

125— � �1 � �—3

2— � —7

5— � —2

5—�� c) —1

136— � —

116— � �1 � —3

2—�

2

d) �—14

— � —12

—�2

� —43

— � �� —74

—�a) �

14

79� � �

419� � �

52

� � 1 = �39

48� � �

958� � �

9988� � �

19287

�

b) �125� � �1 � ��

32

� � �75

� � �25

�� 340� � ��

3300� � ��

6330� � �

1320��

�31001�

c) �11

36� � �

116� � �1 � �

32

��2

� �11

36� � �

116� � �

245� � �

5624� � �

2654� � �

2674�

d) ��14

� � �12

��2

� �43

� � ��74

�� 116��

73

� � �438� � �

14182

� � ��14089

�

Indica, sin hallarlo, el tipo de número decimal al que equivalen las siguientes fracciones.

a) —3254— b) —

215— c) —1

257— d) —

470—

a) Denominador: 24 � 3 � 2 � 2 � 2 c) Denominador: 27 � 3 � 3 � 3

Fracción periódica mixta, ya que tiene los factores 2 y 3. Fracción periódica mixta, ya que tiene el factor 3.

b) Denominador: 25 � 5 � 5 d) Denominador: 40 � 2 � 5 � 2 � 2

Fracción periódica pura, ya que tiene el factor 5. Fracción exacta, ya que tiene los factores 2 y 5.

Halla la fracción irreducible a la que equivalen los números decimales siguientes.

a) 5,72 c) 16,09�

b) 8,340�� d) 3,5222…

a) Expresión decimal: x � 5,72 c) Expresión decimal: x � 16,09999…

Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 572 Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 1609,9999999…

x � �51

70

20

� � �42

35� Se multiplica por 10 ⇒ 10x � 160,9999999…

Restando: 90x � 1449

x � �149409

�

b) Expresión decimal: x � 8,340 340… d) Expresión decimal: x � 3,52222…

Se multiplica por 10 ⇒ 1000x � 8340,340340… Se multiplica por 100 ⇒ 100x � 352,22222…

Restando x: 999x � 8332 Se multiplica por 10 ⇒ 10x � 35,22222…

x � �8939392

� Restando: 90x � 317

x � �39107

�

E N T R E T E N I D O

Los tres errores

¿Se te escapa alguno?

Dos de los errores se deben a faltas de ortografía, debería poner hay en lugar de ay y errores en lugar de herrores. El tercer “error” no esdel mismo tipo que los anteriores, no se trata de un error ortográfico, sino de un uso inapropiado de una palabra; se debe a que aparecela palabra TRES en lugar de DOS.

Para que la frase no tenga errores, hacen falta realmente tres correcciones.

1.A10

1.A9

1.A8

25

En esta frase

ay tres herrores

MatM4SolTem1

Documents

Transcript of MatM4SolTem1