Matriz Jacobinana y Jacobiano

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA ESCUELA PROFESIONAL INGENIERIA AGROINDUSTRIAL MATEMATICA III UNIDAD II: INTEGRACION MULTIPLE 1. Matriz Jacobiana de una función vectorial Definición: Si f: D R n →R m es una función vectorial diferenciable en x D, donde cada una de las funciones componentes f i =( x 1 ,x 2 ,….,x n ) , es diferenciable en x, f = ( f 1 ,f 2 ,… .. ,f m ¿ , luego a la función matricial de orden mxn la definiremos por: J( f ) = [ ∂f 1 ∂x 1 ∂f 1 ∂x 2 ∂f 1 ∂x 3 ∂f 1 ∂x n ∂f 2 ∂x 1 ∂f 2 ∂x 2 ∂f 2 ∂x 3 ∂f 2 ∂x n ∂f m ∂x 1 ∂f m ∂x 2 ∂f m ∂x 3 ∂f m ∂x n ] Matriz Jacobiana Definición: Si m = n (esto es, si la matriz Jacobiana es cuadrada, a la determinante de esta matriz se llama JACOBIANO DE f. El valor absoluto de este Jacobiano tiene una aplicación muy importante en las transformaciones (cambio de variable) que se hacen en las integrales dobles y triples por eso su estudio previo antes. Ejemplo 1: Determine la matriz Jacobiana de f en el punto P(-3, 1, 2), si: f(x, y, z) = (ln( x 2 y 2 z ¿ ,xyz 2 ) Solución:

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICAESCUELA PROFESIONAL INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

MATEMATICA III

UNIDAD II: INTEGRACION MULTIPLE1. Matriz Jacobiana de una función vectorial

Definición: Si f⃗ : D ⊂ Rn→Rm es una función vectorial diferenciable en x⃗ ∈ D, donde cada una de las funciones componentes f i=(x1 , x2 ,…. , xn), es diferenciable en x⃗ , f⃗ = (f 1, f 2 ,… .. , f m¿, luego a la función matricial de orden mxn la definiremos por:

J( f⃗ ) = [∂ f 1

∂x1

∂ f 1

∂ x2

∂ f 1

∂ x3

⋯∂ f 1

∂xn∂ f 2

∂x1

∂ f 2

∂ x2

∂ f 2

∂ x3

⋯∂ f 2

∂xn⋮

∂ f m∂ x1

∂ f m∂x2

∂ f m∂ x3

⋯∂ f m∂ xn

] Matriz Jacobiana

Definición: Si m = n (esto es, si la matriz Jacobiana es cuadrada, a la determinante de esta matriz se llama JACOBIANO DE f⃗ . El valor absoluto de este Jacobiano tiene una aplicación muy importante en las transformaciones (cambio de variable) que se hacen en las integrales dobles y triples por eso su estudio previo antes.

Ejemplo 1: Determine la matriz Jacobiana de f en el punto P(-3, 1, 2), si: f(x, y, z) = (ln(x2− y2−z ¿ , xy z2) Solución:El orden de la matriz será dado por el numero de variables y las subfunciones de f⃗Orden = 3x2f 1= ln(x2− y2−z) y f 2= xyz2

Jf(x, y, z) = [ ∂ f 1

∂ x

∂ f 1

∂ y

∂ f 1

∂ z∂ f 2

∂ x

∂ f 2

∂ y

∂ f 2

∂ z] = [ 2x

x2− y2−z−2 y

x2− y2−z−1

x2− y2−zy z2 x z22 xyz ]

J(-3, 1, 2) = [ 2 (−3 )9−1−2

−2 (1 )9−1−2

−19−1−2

1(2)2 (−3 ) (2 )22(−3)(1)(2)] = [−1−13−1

64−12−12 ] Rpta.

Ejemplo 2: Dada la función f: D ⊂ R2→R2 definido por

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f(r, θ) = (rcosθ, rsenθ) donde: D: {(r, θ) / 0< r < +∞ , α ≤ θ≤ 2π+α} Hallar el jacobiano de f.

f 1 = rcosθ y f 2= rsenθ

Det[ J(f(r, θ))] = |∂ f 1

∂r

∂ f 1

∂θ∂ f 2

∂r

∂ f 2

∂θ|= |cosθ−rsenθsenθrcosθ | = rcos2θ + rsen2θ = r

PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE

1. Escriba la matriz Jacobiana y halle su Jacobiano : f⃗ : R2→R2 / f(x,y) = (2x+3y, 6x+7y)

2. Escriba la matriz Jacobiana en el punto (1, 1, 1)

f⃗ : R3→R2 / f(x,y) = (1+ x2

1+z2 , (z+x2¿¿))

3. Escriba la matriz Jacobiana en el punto (0, π2 )

f⃗ : R2→R3 / f(x,y)= (senx, senxcosy, cosy)

4. Escriba la matriz Jacobiana y halle su Jacobiano : f⃗ : R3→R3/ f(ρ, θ, φ) = (ρsenφ , ρsenφsenθ , ρcosφ ¿

Rpta: Jacobiano= -ρ2senφ5. Escriba la matriz Jacobiana y halle su Jacobiano en el punto (1, 1,1)

f⃗ : R3→R3/ f(x, y,z) = (xy, y2 , x2z) Rpta: Jacobiano = 2

6. Escriba la matriz Jacobiana y halle su Jacobiano en el punto (1, 2,1)f⃗ : R3→R3/ f(x, y,z) = (x2 y, zex, x+z) Rpta: Jacobiano = 0

Tacna, 4 de setiembre del 2013 Docente: Ing. Luis Nina Ponce

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