UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICAESCUELA PROFESIONAL INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

MATEMATICA III

UNIDAD II: INTEGRACION MULTIPLE1. Matriz Jacobiana de una función vectorial

Definición: Si f⃗ : D ⊂ Rn→Rm es una función vectorial diferenciable en x⃗ ∈ D, donde cada una de las funciones componentes f i=(x1 , x2 ,…. , xn), es diferenciable en x⃗ , f⃗ = (f 1, f 2 ,… .. , f m¿, luego a la función matricial de orden mxn la definiremos por:

J( f⃗ ) = [∂ f 1

∂x1

∂ f 1

∂ x2

∂ f 1

∂ x3

⋯∂ f 1

∂xn∂ f 2

∂x1

∂ f 2

∂ x2

∂ f 2

∂ x3

⋯∂ f 2

∂xn⋮

∂ f m∂ x1

∂ f m∂x2

∂ f m∂ x3

⋯∂ f m∂ xn

] Matriz Jacobiana

Definición: Si m = n (esto es, si la matriz Jacobiana es cuadrada, a la determinante de esta matriz se llama JACOBIANO DE f⃗ . El valor absoluto de este Jacobiano tiene una aplicación muy importante en las transformaciones (cambio de variable) que se hacen en las integrales dobles y triples por eso su estudio previo antes.

Ejemplo 1: Determine la matriz Jacobiana de f en el punto P(-3, 1, 2), si: f(x, y, z) = (ln(x2− y2−z ¿ , xy z2) Solución:El orden de la matriz será dado por el numero de variables y las subfunciones de f⃗Orden = 3x2f 1= ln(x2− y2−z) y f 2= xyz2

Jf(x, y, z) = [ ∂ f 1

∂ x

∂ f 1

∂ y

∂ f 1

∂ z∂ f 2

∂ x

∂ f 2

∂ y

∂ f 2

∂ z] = [ 2x

x2− y2−z−2 y

x2− y2−z−1

x2− y2−zy z2 x z22 xyz ]

J(-3, 1, 2) = [ 2 (−3 )9−1−2

−2 (1 )9−1−2

−19−1−2

1(2)2 (−3 ) (2 )22(−3)(1)(2)] = [−1−13−1

64−12−12 ] Rpta.

Ejemplo 2: Dada la función f: D ⊂ R2→R2 definido por

f(r, θ) = (rcosθ, rsenθ) donde: D: {(r, θ) / 0< r < +∞ , α ≤ θ≤ 2π+α} Hallar el jacobiano de f.

f 1 = rcosθ y f 2= rsenθ

Det[ J(f(r, θ))] = |∂ f 1

∂r

∂ f 1

∂θ∂ f 2

∂r

∂ f 2

∂θ|= |cosθ−rsenθsenθrcosθ | = rcos2θ + rsen2θ = r

PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE

1. Escriba la matriz Jacobiana y halle su Jacobiano : f⃗ : R2→R2 / f(x,y) = (2x+3y, 6x+7y)

2. Escriba la matriz Jacobiana en el punto (1, 1, 1)

f⃗ : R3→R2 / f(x,y) = (1+ x2

1+z2 , (z+x2¿¿))

3. Escriba la matriz Jacobiana en el punto (0, π2 )

f⃗ : R2→R3 / f(x,y)= (senx, senxcosy, cosy)

4. Escriba la matriz Jacobiana y halle su Jacobiano : f⃗ : R3→R3/ f(ρ, θ, φ) = (ρsenφ , ρsenφsenθ , ρcosφ ¿

Rpta: Jacobiano= -ρ2senφ5. Escriba la matriz Jacobiana y halle su Jacobiano en el punto (1, 1,1)

f⃗ : R3→R3/ f(x, y,z) = (xy, y2 , x2z) Rpta: Jacobiano = 2

6. Escriba la matriz Jacobiana y halle su Jacobiano en el punto (1, 2,1)f⃗ : R3→R3/ f(x, y,z) = (x2 y, zex, x+z) Rpta: Jacobiano = 0

Tacna, 4 de setiembre del 2013 Docente: Ing. Luis Nina Ponce