MATRIZ NILPOTENTE
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En estas líneas demostraremos un pequeño resultado que se utiliza en los sistemas diferenciales. Definición.- Se define la matriz , n nn N M , n ij N a por 1 si 1 0 en otro caso ij j i a . Más explícitamente: 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Es decir con 1’s encima de la diagonal principal y cero en otra parte. Teorema.- La matriz k N es nilpotente de orden k , 2 k k . Es decir 0 k k N . Prueba.- Hacemos inducción sobre el tamaño de la matriz. Para 2 k , 2 0 1 0 0 N se verifica fácilmente 2 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 N Entonces, suponemos cierto para k n esto significa que 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n N El cálculo para 1 k n lo vamos a simplificar utilizando la multiplicación matricial por bloques. 1 n N puede verse de manera más simple como 1 0 n n N A N B Con 1 0 0 1 n A , 1 0 0 0 n B , el lector puede fácilmente verificar los siguientes productos: n BN B , 0 BA , , 0 nn AB , 0 B B , 1 0 0 n A . Entonces aplicando estos resultados y procediendo de manera recursiva 2 2 1 0 0 0 n n n n n N A N A N NA N B B B Se deduce que 1 1 1 0 n n n n n n N NA N B además por hipótesis n N es nilpotente de orden n , de donde es obvio que 1 , 0 n n nn N M . Por lo tanto 1 1 1, 1 0 n n n n N M .
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Transcript of MATRIZ NILPOTENTE
En estas líneas demostraremos un pequeño resultado que se utiliza en los sistemas
diferenciales.
Definición.- Se define la matriz ,n n nN M , n ijN a por 1 si 1
0 en otro casoij
j ia
.
Más explícitamente:
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
1
0 0 0 0 0
Es decir con 1’s encima de la diagonal principal y cero en otra parte.
Teorema.- La matriz kN es nilpotente de orden k , 2k k . Es decir 0k
kN .
Prueba.- Hacemos inducción sobre el tamaño de la matriz.
Para 2k , 2
0 1
0 0N
se verifica fácilmente 2
2
0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0N
Entonces, suponemos cierto para k n esto significa que
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
n
n
nN
El cálculo para 1k n lo vamos a simplificar utilizando la multiplicación matricial
por bloques. 1nN puede verse de manera más simple como
10
n
n
N AN
B
Con 1
0
0
1
nA
, 10 0 0 nB , el lector puede fácilmente verificar los
siguientes productos: nBN B , 0BA , ,0n nAB , 0 B B , 10 0 nA .
Entonces aplicando estos resultados y procediendo de manera recursiva 2
2
10 0 0
n n n n
n
N A N A N N AN
B B B
Se deduce que 1
1
10
n n
n n n
n
N N AN
B
además por hipótesis nN es nilpotente de orden
n , de donde es obvio que 1
,0n
n n nN M . Por lo tanto 1
1 1, 10n
n n nN M .
Medrano Rocha Dodovrosky Francisco
Carrera de Matemáticas
Universidad Simón I. Patiño.
