5.- Se desea construir un depósito rectangular de base cuadrada abierto por arriba. Debe tener 125 m3 de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de 12 $/m2 y el fondo es de 20 $/m2. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el costo sea mínimo?

Primero se debe realizar un dibujo que ilustre lo que se quiere encontrar con el problema, es

decir, las dimensiones. Ahora bien, vemos que con los datos que se tienen, se pueden formular dos ecuaciones:

Volumen= x2yCosto= $ Caras laterales*(4xy) + $ Fondo*(x2) (no se cuenta la parte de arriba por que es abierta)

Sustituyendo el valor de volumen y despejando y en la ecuación se obtiene:

y = (125 m3)/x2

Sustituyendo los valores de Caras laterales y Fondo en la formula de Costo tenemos:

C= (12 $/m2)*(4xy) + (20 $/m2)*(x2)

Y sustituyendo y en la ecuación de Costo la dejamos en función de x:

C= (12 $/m2)*(4x*(125m3)/x2) + (20 $/m2)*(x2)

Haciendo las operaciones correspondientes:

C= (12 $/m2)*((500m3)/x) + 20x2 $/m2C= (6000 $m)/x + 20x2 $/m2

Utilizando el método de máximos y mínimos:

Derivamos:

C’= (-6000 $m)/x2 + 40x $/m2

Obtenemos la raíz igualando a 0 (esa raíz sería el ancho y el largo):

0 = (-6000 $m)/x2 + 40x $/m2(6000 $m)/x2 = 40x $/m26000 $m = 40x3 $/m26000 $m3= 40x3 $(6000 $m3)/40 $ = x3150 m3= x3∛(150 m^3 ) = x35.31 m = x

Obteniendo la segunda derivada y sustituyendo la raíz sabremos si es Máximo o Mínimo:

C’’= -(-6000*2x)/(x2)2 + 40

C’’= (12000x)/x4 + 40C’’= 12000/x3 + 40

12000/5.313 + 40 = 80.14 + 40 = 120.14Es positivo, por lo tanto es MÍNIMO

Sólo falta obtener lo que vale la altura (y):

y = (125 m3)/ (5.31 m)2 = 125 m3/ 28.19 m2 = 4.43 m

R= las dimensiones para que el costo sea mínimo deben ser x = 5.31 m y y = 4.43 m

Un prado rectangular de un jardín ha de tener 60 metros cuadrados de área. Debe rodearse de unpaseo de un metro de ancho en los lados y de dos metros de ancho en las extremidades . Si el área totaldel prado y del paseo es mínima ¿ cuáles deben ser las dimensiones del prado

Y,=(x+2)(y+4) donde xy=60

La función a analizar es: y=(x+2)(60/x+4) osea Y=4X+120/X+68

4.-Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 3 metros. Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima?

Solución:

En este caso se debe maximizar el área de la siguiente figura geométrica:

Se han señalado con las letras "x","y" las longitudes de los lados de la ventana.

El área de la ventana está dada por la suma de las áreas del triángulo y del rectángulo.

Área del triángulo:

Área del rectángulo:

Área total:

Como el perímetro de la ventana es 3 metros entonces: de donde

es una ecuación auxiliar.

Luego: . Debemos escribir h también en términos de x.

Se tiene en el triángulo:

,

Luego:

Determinamos los valores críticos

Luego:

El valor crítico es

Utilizando el criterio de la segunda derivada se tiene que

, y ,

de donde es un valor máximo.

Luego, la longitud de la base del rectángulo debe ser para que la ventana tenga el área máxima.

La altura del rectángulo debe ser: y el lado del triángulo es .

Una compañía de teléfonos halla que obtiene una ganancia líquida de 15 pesos por aparato si la central tiene 1000 abonados o menos. Si hay más de 1000 abonados, dicha ganancia por aparato instalado disminuye un centavo por cada abonado que sobrepasa ese número. ¿Cuántos abonados darían la máxima ganancia líquida?

para n > 1000 el beneficio es

n . [15 - 0,01(n - 1000)] = n . (15 - 0,01n + 10) = 25n - 0,01n^2

Derivando e igualando a 0 se obtiene 25 - 0,02 n = 0 } n = 1250

Hay que comprobar que el beneficio es mayor que 15000:

1250 x (15 - 0,01 x 250) = 1250 x 12,5 = 15625 luego

Sol: n = 1250

Problema 1 "Fabricante de Radios"

1.- Un fabricante de radios averigua que puede vender x instrumentos por semana, a p pesos cada uno. Siendo 5x = 375 – 3p. El costo de producción es (500 + 15x + 1/5 x2) pesos. Demuestre que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana.

• Primero, la fórmula de ganancia es igual Ingreso – Costo de producción:

U = I – CP

• También tenemos dos ecuaciones:

I = xp (Ingreso)5x = 375 – 3p (Relación instrumentos/pesos)

• Despejando p de la relación instrumentos/pesos para dejar la ecuación en función de x resulta:

3p = 375 – 5xp = (375 – 5x)/3p = 125 – 5/3 x

• La nueva ecuación la sustituimos en la función de Ingreso:

I = (125 – 5/3 x)*xI = 125x – 5/3 x2

• Teniendo las dos ecuaciones que nos dan la ganancia, las sustituimos y realizamos las operaciones:

U = 125x – 5/3 x2 – (500 + 15x + 1/5 x2)U = -500 + 110x – 28/15 x2

• Utilizando el método de máximos y mínimos:

1. Derivamos:

U’ = 110 – 56/15 x

2. Obtenemos la raíz igualando con 0 (esta raíz serán los instrumentos):

110 – 56/15 x = 0110 = 56/15 x110*15 = 56x1650/56 = x29.46 = x

3. Tomando dos valores cercanos a la raíz (29 y 31) y sustituyéndolos en la derivada sabremos si es Máximo o Mínimo:

110 – 56/15*(29) = 110 – 108.26 = 1.73110 – 56/15*(31) = 110 – 115.73 = -5.73Va de un valor positivo a un valor negativo, por lo tanto es MÁXIMO.

R= Con eso se comprueba que con 29.46 (30) instrumentos por semana, se obtiene la máxima ganancia.

1. Un fabricante de radios averigua que puede vender “x” instrumentos por semana a “p” pesos, cada uno siendo 5x = 375 – 3p el costo de la producción es (500 + 15x + 1/5x²) pesos. Demuestre que se obtiene la máxima ganancia cuando la producción es alrededor de 30 instrumentos por semana.5x=375-3pC= (500+15v+1/5 x²) pesosG= xp-cG= (375-5x/3) x – (500 +15x -1/5 x²)= 125x -5 x²/3 -500 -15x -1/5 x²G= -500 +110x -28/15 x²= 110 -56/15x 110= 56/15x56x = 1650X = 1650/ 50X = 29.46

V= (50 – 2x) (20-2x)(x)V= (1000 -100x -40x +4 x²) xV= 1000x -140 x² +4 x³V,= 1000 -280x +12 x² (lo resolvimos por formula general)

X1= 0.05 =51.6X2= 0.227 =219.83

1.-Un fabricante de radio averigua que puede vender x productos por semana a p pesos siendo: 5x=37-3p.El costo de la produccion es: (500+15x+1/5x2)pesos.Demuestre si obtiene la maxima ganancia cuando la produccion es:alrededor de 30 pesos por semana.R=dp/dx=0G=XP(-375(5X))/(-3)=PP=X(125-5/3 X)-(500+15X+1/5 X^2 )==110-56/15P={(x_1=825/28-25/28 √753@x_2=825/28+25/28 √753)┤num.critico:x=825/28=29.46→aproximadopor lo tanto obtenemos un MAX.en 825/28≈30-∞<x0 decreciente’ (31) <0

2.-Se requiere construir una caja rectangular abierta por arriba.Calcular el volumen de la mayor caja que se pueda obtener de 1200 cm2 de material.R=〖v=x〗^2+4hx=1200〖cm〗^2→ h=(1200〖cm〗^2-x^2)/4xv^'=x^2 h=x((120〖cm〗^2-x^2)/4x)=300x-1/4 x^3dominio:0≤x≤√1200Xdv/dx=300-3/4 x^2 → 3/4 x^2=300→x=±20evaluar para:v(0)=0,v(√1200)=0,v(20)=4000V es un MAX.para x=20→por lo tranto→V=20*20*10=4000〖cm〗^3

3.-Una ventana en forma de un rectangulo coronado de un triangulo equilatero tiene 5m de perimetro.Determine las dimensiones de la ventana para que deje pasar la cantidad maxima de luz.R=3x+2h=5m→ h= (5m-3x)/2A=xh+2xH/2 H=√3/2 xA^'=x((5m-3x)/2)+x(√3/2 x)=5x-(3x^2)/2+√3/2 x^2dA/dx=5/2-3x+√3 x→ 5/2(-3+√3) =1.96〖cm〗^2donde→num.critico:5/2(-3+√3) ≈2en donde la funsion (f) tiene un MAX relativo fdom:0≤x≤5 y por lo tanto tenemos un MAX.area del triangulo=.98〖CM〗^2area del triangulo=3.92〖CM〗^

4.-Suponga que en el problema 1 la relacion de x y p es x=100-20 cuantos instrumentos daran una ganancia maxima.R=√p=-500x+100dp/dx=√((-500x+100))-(500+15x+1/5 x^2)p'=-754+12x^2±√(-4 (12)(-754))/(2(12))=190.24/24=7.92

5.-Se decea construir un deposito rectangular de base cuadrada abierto por arriba.Debe tener 125m2 de capacidad.Si el costo de las caras laterales es $12/m2 y el fondo es $20/m2 ¿cuales deben ser las dimensiones para que el costo sea el minimo?R=

6.-Se requiere construir una caja rectangular cortando un cuadrado de cada esquina de una pieza rectangular de carton y doblandolos hasta formar la caja deseada;si las dimensiones de la pieza son 20cm x 30cm.Encuentre las dimensiones de la caja mas grande que puede construirseR=A=(30-2X)(20-2X)A=(30-2X)(20-2X)(x)A=(600-100X+4X^2 )(x)A=600X-100X^2+4X^3A^'=600-200X+12X^2A^'=(200±√((200)^2-4(600)(12) ))/12(2) =(200±105.83)/24 {(x_1=12.74cm x_2=-3.920cm)por lo tanto obtenemos un MAX en{(30cm-3.92cm=26.07cm 20cm-3.92cm=16.07cm)