Actividad 2. Derivada de funciones trascendentes

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios determinando la derivada de las funciones o demostrando las expresiones que mencionan.

1. Calcula las siguientes derivadas:

a.

adx

=[√ x2−1x2+1 ]=( x2−1x2+1 )12=u

12 f ' (x )=nun−1° u1

f ´ ( x )=12u

−12 u1

u1

¿(x2−1 )1−(x2+1 )−(x2−1 ) (x2+1 )1

[ x2+1 ]2

¿(2 x ) (x2+1 )−(x2−1)(2x )

[ x2+1 ]2

¿ 2 x3+2x−2x3+2x

[ x2+1 ]2= 4 x

[ x2+1 ]2

¿ 12 ( x2−1x2+1 )

−12 °

4 x

[ x2+1 ]2

¿ 4 x

2√ x2−1x2+1° [ x2+1 ]2

= 2 x

√ x2−1x2+1° [ x2+1 ]2

b. .

senu=cos u° u1

f ´ ( x )

¿cos( x+4x2−9 )( ( x+4 )1 (x2−9 )−( x+4 ) ( x2−9 )1

[ x2−9 ]2 )¿cos ( x+4x2−9 )[ (1 ) (x2−9 )−(x+4)(2 x)

[ x2−9 ]2 ]¿cos( x+4x2−9 )[ x2−9−2 x2−8 x[ x2−9 ]2 ]

¿cos ( x+4x2−9 )[−x2−8 x−9[ x2−9 ]2 ]

a. .

f ´ ( x )=1nu=1n u1

u=¿¿

b. .

f ´ ( x )

¿[1n (x2+1 )+x3 ]1 (√ x+1 )−[1n (x2+1 )+x3 ] [ ( x+1 )

12 ]1

[ x+1 ]2

¿[ 2 xx2+1+3 x2] (√x+1 )−[1n (x2+1 )+x3 ][ 12 ( x+1 )

−12 (1)]

[√ x+1 ]2

¿ [ [ 2xx2+1 +3 x2] (√x+1 )−[1n (x2+1 )+x3 ]

[√x+1 ]2° 2√x+1 ]¿[ 2xx2+1 +3 x2(√x+1)]

[√x+1 ]2° 2√x+1−

1n (x2+1 )+x3

[ √x+1 ]2° 2√x+1

¿[ 2 xx2+1+3 x2]2 [√ x+1 ]2

−1n (x2+1 )+x3

2 ( x+1 )32

c. .

f ´ (x)¿

2. Demuestre dados se tiene que:

.

Tenemos que: senh x= ex−e− x

2cosh x= e

x+e− x

2

Sustituyendo

senh ( x+ y )

¿( ex−e−x2 )( e y+e− y2 )+( ex+e− x2 )( e y−e− y2 )¿ e

x+ y+e− y+ x−e−x+ y−e− y− x

4+ e

x+ y−e− y+ x+e−x+ y−e− y−x

4

¿ ex+ y+e− y+ x−e− x+ y−e− y−x+ex+ y−e− y+ x+e−x+ y−e− y− x

4

¿ 2ex+ y−2e− y−x

4=2 (e x+ y−e− y− x )

4= e

x+ y−e− y−x

2

senh ( x+ y )= ex+ y−e− y−x

2

3. Demuestre que dados con y se tiene que:

.

Tenemos que:

tan (x+ y )

¿sen(x+ y )cos (x+ y)

¿ sen x cos y+sen ycos xcos x cos y−sen x sen y

¿

sen x cos y+sen y cos xcos x cos y

cos xcos y−sen x sen ycos x cosy

=

ses x cos ycos xcos y

+ sen y cos xcos x cos y

cos x cos ycos x cos y

− sen x sen ycos x cos y

¿

sen xcos x

+ sen ycos y

1− sen x cos ycos xcos y

= tan x+ tan y1−tan x° tan y

4. Calcular los siguientes límites:

a.

L1Hopital

f ' ( x )= 5−12x+3 x2

−6−6 x+3 x2=lim ¿x→4 5−12x+3 x

2

−6−6 x+3 x2= 518

b. .

L1Hopital

f ' ( x )= 13−14 x−3x2+4 x3

−31+6 x+21 x2+4 x3=lim ¿ x→1 13−14 x−3 x

2+4 x3

−31+6 x+21 x2+4 x3=00

f ' ' ( x )=−14−6 x+12 x2

6+4 2x+12 x2=lim ¿ x→1−14−6 x+12x

2

6+42 x+12x2=−860

=−215

5. Dada la función definida sobre el intervalo hallar el valor

que satisface .

Tenemos que:

f ( x )=x3−4 xx=−2 y=0x=2 y=0

[−2 ,2 ]

x=1 y=−3x=−1 y=3

tan (x+ y )

¿sen(x+ y )cos (x+ y)

¿ sen x cos y+sen ycos xcos x cos y−sen x sen y

¿

sen x cos y+sen y cos xcos x cos y

cos xcos y−sen x sen ycos x cosy

=

ses x cos ycos xcos y

+ sen y cos xcos x cos y

cos x cos ycos x cos y

− sen x sen ycos x cos y

¿

sen xcos x

+ sen ycos y

1− sen x cos ycos xcos y

= tan x+ tan y1−tan x° tan y

6. Calcular los siguientes límites:

a.

L1Hopital

f ' ( x )= 5−12x+3 x2

−6−6 x+3 x2=lim ¿x→4 5−12x+3 x

2

−6−6 x+3 x2= 518

b. .

L1Hopital

f ' ( x )= 13−14 x−3x2+4 x3

−31+6 x+21 x2+4 x3=lim ¿ x→1 13−14 x−3 x

2+4 x3

−31+6 x+21 x2+4 x3=00

f ' ' ( x )=−14−6 x+12 x2

6+4 2x+12 x2=lim ¿ x→1−14−6 x+12x

2

6+42 x+12x2=−860

=−215

7. Dada la función definida sobre el intervalo hallar el valor

que satisface .

Tenemos que:

f ( x )=x3−4 xx=−2 y=0x=2 y=0

[−2 ,2 ]

x=1 y=−3x=−1 y=3

f ' ( x )=3 x2−4f ' (c )=3c2−43c2−4=0

c2=4 /3c=±√4 /3

8. Demuestre que para cuales quiera se cumple:

.

Tenemos que:

∝= x+ y2

β= x− y2

Si

sen (∝+ β )=sen∝ cosβ+senβ cos∝

sen (∝−β )=sen∝cosβ−senβ cos∝

Sumando:

sen (∝+ β )+sen (∝−β )=sen∝ cosβ+senβ cos∝+sen∝ cosβ−senβcos∝sen (∝+ β )+sen (∝−β )=2 sen∝cosβ

Sustituyendo:

sen[( x+ y2 )+( x− y2 )]+sen[( x+ y2 )−( x− y2 )]=2 sen( x+ y2 )cos ( x−22 )

sen[ x+ y+x− y2 ]+sen [ x+ y−x− y2 ]=2 sen( x+ y2 )cos ( x− y2 )

sen[ 2x2 ]+[ 2 y2 ]=2 sen( x+ y2 )cos ( x− y2 )

sen [x ]+sen [ y ]=2 sen ( x+ y2 )cos ( x− y2 )

9. Dada la función definida en hallar que satisface la

relación .x=1 y=−3x=0 y=0

x=5 y=5x=3 y=−3

f ' ( x )=2 x−42 x−4=0 x=2f ' (c )=2c−4

f (5 )−f (1 )=f ' (c ) (5−1 )5+3= [2c−4 ] (4 )8=8c−16

8c=16+8c=3

10. Demostrar las siguientes identidades:

a)

Para todo .

Para cos ( x2 )=√ 1+cos x2 tenemos:

cos2a=2cos2a−1 Y a=x /2

Sustituyendo:

cos2( x2 )=2cos2( x2 )−1 cos x=2cos2( x2 )−1⇒cos2( x2 )=cos x+12

cos ( x2 )=√ cos x+12

Para sen( x2 )=√ 1−cos x2 tenemos:

cos2a=1−2 sen2a Y a=x /2

Sustituyendo:

cos2( x2 )=1−2 sen o2( x2 )⇒ cos x=1−2 sen2( x2 ) −sen2( x2 )= cos x−12

⇒ sen( x2 )=√ cos x−12