MCDI_U3_A3
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Cálculo diferencial Unidad 3. Derivación Actividad 3. Derivación de orden superior e implícita Instrucciones: Determina la derivada de las funciones implícitas y de orden superior, además de realizar las demostraciones de las funciones presentadas. 1. Calcula las siguientes derivadas de funciones implícitas, suponiendo que depende de . a. . se n 2 ( xy ) + xy 2 =x 3 +1 ⇒ [ sen ( xy ) ] 2 + xy 2 =x 3 +1 2 [ sen ( xy ) ] [ ( x) 1 ( y ) +( x)( y) 1 ] +y 2 +2 xy y 1 =3 x 2 [ 2 sen ( xy ) ] [ y+ xy 1 ]+ y 2 +2 xy y 1 =3 x 2 2 sen ( xy ) [ y ] +2 sen ( xy ) [ xy 1 ] +y 2 + 2 xy y 1 =3 x 2 2 sen ( xy ) [ xy 1 ] +2 xy y 1 =3 x 2 −2 sen ( xy ) [ y ] −y 2 y 1 [ 2 sen ( xy ) [ x] +2 xy ] =3 x 2 −2 sen ( xy ) [ y ]−y 2 y 1 = 3 x 2 −2 sen ( xy ) [ y ]−y 2 2 sen ( xy ) [ x ] +2 xy b. . ( x+x 2 y ) 1 /2 +e xy =ln ( x+ y) 1 2 ( x+ x 2 y) −1/ 2 ° ( x+ x 2 y) 1 +e xy ° ( xy ) 1 = ( x + y ) 1 ( x +y )
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Clculo diferencial Unidad 3. Derivacin
Actividad 3. Derivacin de orden superior e implcita
Instrucciones: Determina la derivada de las funciones implcitas y de orden superior, adems de realizar las demostraciones de las funciones presentadas.
1.
Calcula las siguientes derivadas de funciones implcitas, suponiendo que depende de .a. .
b. .
c. .
2. Calcular las siguientes derivadas de orden superior:a. .
b. .
c. .
3. Considerando la funcin demuestre que(a)
existe en .Tenemos que: Derivando :
Por identidad:
Es derivable en todos los y continua tiene inversa.Evaluando en los puntos por lmite Para : Para :
(b) .Tenemos: ?(c) .Tenemos que: Derivando implcitamente Aplicando identidad Como
4. Demostrar que .Tenemos que: Derivando implcitamente: Aplicando identidad Como 5. Calcular .
6.
Utilizando induccin matemtica, demostrar que para todo polinomio existe tal que para todo .La hiptesis es que n es el grado del polinomio ms uno
Para se cumpla como demostramos
Supongamos que para un polinomio de grado m la derivada m+1 es cero
Por hiptesis el primer sumando es
Luego se cumple para el valor de y se cumple la induccin.
7. Dada la siguiente funcin:
Calcular y .Para si Por definicin: Por Hopital y evaluando: Para , si : Teniendo y derivando:
8.
Demuestre que la funcin es invertible en y .Tenemos que: Encontrando de Demostrando:
