Calculo Diferencial

Licenciatura en Matemática

Unidad 3

Evidencia de Aprendizaje

Omar Pacheco Salcedo

Universidad Abierta y a Distancia

1.-Un cierto automóvil se deprecia de acuerdo con la fórmula

V= 175000

1+0.4 y+0.1t 2

Donde t=0 representa el momento de la compra.

a) ¿A qué ritmo se deprecia el coche a un año después de la compra?

En la ecuación el denominador 1+0.4y+0.1t² creo que en el 2do termino 0.4y es 0.4t

v(t)= (175000) / (1+0.4t+0.1t²)

Podemos derivar de la forma U/V (UV’ – U’V) / V²

( (175000)(0.4+0.2t) – (1+0.4t+0.1t²)(0) ) / (1+0.4t+0.1t²)²

(175000)(0.4+0.2t) / (1+0.4t+0.2t²)²

Sustituyendo a un año donde t=1

(175000)(0.4+0.2(1)) / (1+0.4(1)+0.1(1)²)²

105000/2.25 = 46666.66 y es negativo porque se está depreciando o decreciendo -46666.66

Entonces por cada año se deprecia 46666.66 unidades.

b) ¿En cuántos años el valor del coche se deprecia a la mitad de su valor?

v(t)/2 = 175000 / (1+0.4t+0.1t²)

175000/2 = 175000 / (1+0.4t+0.1t²) pasamos todo ala izquierda e igualamos a cero

87500(1+0.4t+0.1t²) -175000 = 0

Realizamos las operaciones

87500 + 35000t + 8750t² - 175000 = 0

8750t² + 35000t -87500 = 0

Dividimos entre toda la ecuación entre 8750 para simplificar

t² + 4t – 10 = 0

resolvemos por la formula general la ecuación de segundo grado

x= -b±√(b²-4ac) / 2a donde a=1 b=4 c= -10

x= -4 ± √(4²-4(1)(-10)) / 2(1)

x = -4 ± √(16+40) / 2

x = -4 ± √56 / 2

x = (-4 ± 7.48 ) / 2

x1 = ( -4 + 7.48 ) / 2 = 1.74

x2 = ( -4 – 7.48 ) / 2 = -5.74

x1 = 1.74

x2 = -5.74 este valor lo podemos descartar puesto que no hay años negativos entonces

El resultado es 1.74 años o 1 año con 8 meses

2.- Deduce las ecuaciones de la velocidad y aceleración de una partícula que se mueve según la ley s(t) = t+[1/(t+1)].

Si esta ecuación es la función de posición entonces la primera derivada de esta es la velocidad y la segunda derivada es la aceleración.

s(t) = t + (1/(x+1))

Primera derivada , derivando la ecuación inicial

Podemos derivar de la siguiente forma U/V = (VU’-V’U)/V²

1 + [ (t+1)(0) – (1)(1) /(t+1)²]

S’(t) = 1 – 1/(t+1)² ecuación de velocidad

Segunda derivada , derivando la ecuación de velocidad

-1/(t+1)²

( (t+1)²(0) – (1)(-1)(2)(t+1) ) / ((t+1)²)² eliminando términos

2(t+1) / (t+1)4 reduciendo términos

S’’(t) = 2/(t+1)³ ecuación de aceleración

3.- En los siguientes enunciados menciona si son falsos o verdaderos, justificando tu respuesta.

a) Si una función tiene derivadas por la derecha y por la izquierda en un punto, es diferenciable en dicho punto.

La respuesta es falso.  Puede tener derivadas por la derecha y la izquierda pero no coincidir

ambas.

El caso más sencillo es el de la función

f(x) = |x|

Tiene derivadas por la derecha y la izquierda de x=0, pero por la derecha es 1 y por la izquierda -1

con lo cual no hay derivada en x=0.

b) Si una función es continua, es diferenciable.

Hay un teorema que dice que si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. 

Pero al revés no es cierto. Hay funciones que son continuas en un punto, pero que no son diferenciables en él. Por ejemplo, la función f = |x|, es continua en 0, pero no es diferenciable en este punto. 

Así pues, decimos que una función es diferenciable si y sólo si su derivada existe en cada punto de su dominio

Entonces podemos decir que es falso.