Módulo 5. Propuestas didácticas para el contenido de espacio y forma Presentación

[Vealapáginadeldiplomadoparaverelinteractivo]

Resultados de aprendizaje Al final del módulo, el participante será capaz de: 1. Entender el impacto de la geometría dentro del currículo matemático. 2. Entender lo que es el pensamiento axiomático a través de la geometría. 3. Aplicar el método de Bruner en conceptos de geometría para promover un

aprendizaje significativo. 4. Usar reactivos PISA y ENLACE para aplicar estas ideas.

Mapa conceptual

Temario Tema 1. La enseñanza de la geometría Tema 2. Geometría, ENLACE y aprendizaje significativo Tema 3. Geometría, PISA y aprendizaje significativo Conclusión

Tema 1. La enseñanza de la geometría Para aquellos maestros que han comprendido bien su esencia, la geometría es una oportunidad excelente de enseñar matemáticas inclusive para aquellos alumnos que han encontrado aburrimiento y confusión en la aritmética y el álgebra.

[Vealapáginadeldiplomadoparaverelinteractivo]

Con ello los maestros pierden la oportunidad de que los alumnos adquieran un placer estético que no es simplemente visual sino lógico.

La perfección lógica de la geometría es un placer mucho más difícil de vivir que la perfección visual que observamos en diseños geométricos.

Existe por supuesto cierta atracción en usar el teorema de Pitágoras para calcular alturas de objetos inaccesibles pero hay que desarrollar también el deseo por comprender por qué tales resultados son verdaderos.

Desafortunadamente tal curiosidad pocas veces se manifiesta y también pocas veces los maestros buscan la manera de demostrar las cosas.

La geometría puede ayudar enormemente a lograr este fin.

El alumno ya no queda sujeto a la autoridad del maestro para justificar la

validez de una u otra expresión matemática sino que él mismo queda convencido de la realidad de tal hecho y con ello:

Ejemplo de aplicación de las propiedades geométricas para demostrar situaciones geométricas más complejas.

En el siguiente documento hemos preparado una demostración del teorema de Pitágoras y otra del Binomio cuadrado perfecto. Antes de continuar con la discusión le pedimos al lector que las estudie.

[Vealapáginadeldiplomadoparaverlosdocumentos]

¿Cuál es la esencia de estas demostraciones? Para responder a tan importante pregunta hay que clarificar que todo lo que se hizo en tales demostraciones fue un esfuerzo por precisar qué era el conocimiento más elemental y cómo esos conocimientos se transformaban en un conocimiento novedoso.

Veamos la explicación de una de las demostraciones anteriores.

[Vealapáginadeldiplomadoparaverelinteractivo]

¿Quién lo hubiera imaginado? Muy pocos alumnos intuyen que tal aseveración pueda ser cierta. Sin embargo todo es perfectamente comprensible. El punto más importante es que para comprender algo que no era obvio al principio, o sea el hecho de que…

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

… se vuelve obvia cuando se aplican sistemáticamente ideas absolutamente fundamentales de longitud y área.

Si se les pregunta por qué es que (a+b)2 es en efecto igual a2 + 2ab + b2 o por qué c2 resulta ser igual a a2 + b2 sólo se responde “así se hace” o “así dice mi maestro” o “así dice el libro”. Tales situaciones representan solamente un fracaso en la manera de utilizar la geometría como medio para ganar verdades más profundas. Para el poder visual del cerebro humano una demostración puramente algebraica del binomio al cuadrado como:

… resulta poco convincente para un alumno que apenas inicia con álgebra, pero una demostración geométrica convence de forma mucho más contundente. Tal poder generalmente se desvanece por falta de uso.

Lo anterior es un ejemplo de lo que será un aprendizaje significativo de las matemáticas, tema que ya habíamos tratado en el módulo 1 y ahora lo retomamos con una figura de gran importancia en el mundo de la psicología y la educación como Jerome Bruner.

Con estas premisas mostramos cómo el proceso de matematización promueve un aprendizaje significativo. Ahora utilizando el método de Bruner mostraremos cómo el aprendizaje de conceptos matemáticos se vuelve significativo cuando los alumnos pueden trabajar en la creación de representaciones mentales enactivas, icónicas y simbólicas.

Un método de aprendizaje significativo

Con todo lo anteriormente explicado hay que considerar cómo podemos crear un método pedagógico que promueva el aprendizaje significativo del alumno; en términos concretos un alumno que viva un proceso de aprendizaje significativo de las matemáticas.

Obsérvese que en la lista anterior en donde mencionamos cuándo es que un alumno aprende significativamente las matemáticas la comprensión lógica no se puso en primer lugar por accidente. Este es un punto clave dentro de todas estas formas de significatividad y es particularmente importante en el aprendizaje matemático. Veamos por qué:

Veamos un ejemplo en donde se explica cómo es que funciona el concepto de lo axiomático y lo teoremático.

[Vealapáginadeldiplomadoparaverelinteractivo]

El trabajo teórico de Bruner nos da un camino específico para aumentar las probabilidades de que se dé el aprendizaje significativo.

Se sustenta en cuatro premisas las cuales veremos a continuación:

[Vealapáginadeldiplomadoparaverelinteractivo]

Etapas de representación mental de Bruner

Tal como se mencionó en la cuarta premisa de Bruner, existen 3 etapas de representación mental, las cuales son:

Representación mental enactiva

La primera forma de representación mental llamada “enactiva” es una manera de capturar mentalmente una idea a través de acciones motoras. Según la teoría de Piaget, ésta es la única forma en la cual los bebés pueden aprender en la etapa sensorio-motora.

Podemos decir entonces que la etapa enactiva consiste en la manipulación concreta de la realidad.

A todo lo anterior, nos cuestionamos:

El alumno tendrá que recortar cuadrados y ver cómo cuatro áreas:

a2, b2, ab y ab

forman el área:

(a+b)2

Mientras mayor es el alumno más fácil es “brincar” esta etapa y realizar el proceso icónicamente.

Representación mental icónica

La segunda forma de la secuencia de representación mental mueve al aprendiz fuera del mundo puramente sensorial y motor al campo de la imaginería mental.

Podemos decir entonces que en la etapa icónica se utilizan “dibujos” o “íconos” para representar lo “visto” en la mente.

Representación mental simbólica

Ésta es la tercera forma en la cual la experiencia matemática del aprendiz puede capturarse en la memoria.

Al simplemente decir que (a+b)2 = a2+2ab+b2, la ruptura con la realidad es completa pues la expresión por sí sola no tiene conexión en lo absoluto con la realidad que describe excepto a través de un proceso de “traducción” mental que lo explique.

Podemos decir entonces que la representación mental simbólica depende exclusivamente del lenguaje matemático.

Veamos una cápsula de apoyo para entender mejor este proceso.

[Vealapáginadeldiplomadoparaverlacápsula]

Veamos ahora algunos ejemplos del aprendizaje significativo de conceptos geométricos y uso de la geometría para la demostración de conceptos algebraicos o aritméticos.

[Vealapáginadeldiplomadoparaverlosdocumentos]

El aprendizaje matemático sirve no sólo para resolver problemas sino para adquirir hábitos de pensamiento. Así, entender un proceso de razonamiento fundamental al ser humano como lo es el hecho de que conocimientos simples se acomodan en forma lógica para formar una estructura más compleja del conocimiento, o cómo el concepto de perímetro y el concepto de división de dos números se acomodan para hacer el descubrimiento del número π, de esa misma manera se acomoda el conocimiento de los hechos de la historia para producir el pensamiento crítico, reflexivo e interpretativo de la vida actual.

Las matemáticas son también un ejemplo de educación en valores: el valor de la razón, de la capacidad de explicar las cosas desde sus aspectos fundamentales, el valor de la certeza del conocimiento por encima de la credulidad y la autoridad.

Tema 2. Geometría, ENLACE y aprendizaje significativo

[Vealapáginadeldiplomadoparaverelinteractivo]

El tiempo, muchas veces sinónimo de experiencia es el mejor “maestro”, por decirlo de alguna manera, del maestro de matemáticas; pero eso no implica que no debamos hacer nuestro mejor esfuerzo por optimizarlo. Si bien a base de experiencia pura puede tomarle a un maestro una década convertirse en experto, una experiencia reflexiva como la que intentamos hacer en este curso puede generar un maestro experto en tres o cuatro años.

En este módulo intentamos abrir un camino para que nuestra experiencia docente no sólo sea experiencia en crudo sino que sea también reflexiva. Queremos que todos los datos y materiales disponibles acerca del proceso educativo que estamos viviendo con los alumnos nos ayuden a pensar en forma sistemática y creativa sobre como favorecer el aprendizaje de los alumnos.

Veamos a continuación herramientas que nos ayuden a favorecer dicho aprendizaje.

Veamos un ejemplo de cómo aplicar las herramientas de trabajo significativo a nuestra labor educativa:

Veamos qué estrategias podemos desarrollar para apoyar a los alumnos en geometría.

1. Identificar áreas de oportunidad

Como primer paso tenemos que visitar la escuela “Emma Godoy”, grado 2º B en el Distrito Federal, la cual tiene una clave de trabajo (CCT) 09DES0241F. Al hacer esto, revisamos lo aprendido en módulos anteriores; es decir, tenemos que:

• Visitar el portal de ENLACE.

• Entrar a los resultados del 2009 usando la CCT anterior.

• Entrar a los resultados de las escuelas con la clave de trabajo.

• Seleccionar el grado 2, grupo B.

• Desplegar los resultados del desempeño matemático del grupo.

Observamos los colores y de inmediato salta a la vista que en el tema de

formas geométricas hay varias áreas de oportunidad para estos alumnos pues casi una buena cantidad son rojos.

2. Conocer las debilidades

Obtenga una lista de los problemas (aquellos marcados con rojo) que representan áreas de oportunidad. De un clic en cada cuadrito rojo de los problemas para que se despliegue la información de cada uno.

3. Analizar los problemas que representan áreas de oportunidad

Tenga a la mano los problemas marcados en el documento oficial de ENLACE. A continuación se anexan los documentos oficiales. Estudie los problemas con detalle.

[Vealapáginadeldiplomadoparaverlosdocumentos]

Saque sus conclusiones específicas:

Continúe el ejercicio con todos los problemas.

Con esto, puede observarse que la debilidad globalmente especificada en ENLACE queda perfectamente contextualizada para el maestro.

4. Establecer conexiones curriculares

De los problemas anteriores podemos anticipar que los alumnos de 2B que ahora son nuestros estudiantes en 3B tienen varios problemas en geometría. Entre ellos destacan los problemas correspondientes al tema de rectas y ángulos. ¿Qué dice el currículo al respecto?

Veamos el documento oficial del currículo de matemáticas:

Currículo de matemáticas de la SEP

[Vealapáginadeldiplomadoparavereldocumento]

Ahí nos encontramos con lo siguiente:

5. Guías didácticas

Podemos ahora ver las guías didácticas 1.2.4, 2.1.5, 2.1.6, 2.4.3, 3.1.3, 3.1.4 del documento curricular oficial de la SEP y decidimos una manera de intervención utilizando el libro de texto.

Con ello podemos definir intervenciones didácticas. Por ejemplo:

De esta manera se puede construir una intervención didáctica para cada guía didáctica. Tenga en mente que en muchos casos cada guía didáctica puede dar material para varias intervenciones didácticas.

Puede ser que usted no tenga estos libros de texto pero seguramente en sus propios libros encontrará ideas sobre actividades que pueden ayudar al alumno a crear conocimientos significativos.

Tema 3. Geometría, PISA y aprendizaje significativo

[Vealapáginadeldiplomadoparaverelinteractivo]

[Vealapáginadeldiplomadoparaverlosdocumentos]

Reiteramos una vez más lo que se ha dicho de varias maneras. El aprendizaje matemático depende de procesos reproductivos, al punto de que sin ellos difícilmente existiría un aprendizaje significativo. Pero un aprendizaje que se queda simplemente a nivel reproductivo difícilmente podrá hacerse significativo. El aprendizaje reproductivo es el punto de entrada para procesos de mayor complejidad que son lo que intenta medir PISA y en algunos casos ENLACE. Trabajando sistemáticamente los problemas de ENLACE vamos creando esta base de pensamiento matemático reproductivo que permite resolver problemas complejos de ENLACE y casi todos los problemas PISA.

Conclusión

En este módulo hemos visto a la geometría como una herramienta que usando álgebra y aritmética nos conduce al aprendizaje significativo de conceptos de importancia. Se estudiaron varios ejemplos sobre cómo esto puede ser y se hizo énfasis en que este proceso es facilitado cuando existen representación mentales enactivas (manipulación de materiales concretos para ilustrar el concepto matemático), representación mentales icónicas (representaciones pictóricas de lo que se hizo enactivamente) y finalmente representación mentales simbólicas (el uso del simbolismo matemático abstracto).

Con el material de este módulo seguimos nuestro viaje en el estudio de un aprendizaje significativo de las matemáticas. Aprendimos en el módulo 1 lo que era un proceso de matematización, en el módulo 2 sus procesos, en el módulo 3 nos dimos cuenta que todo el edificio matemático reside en el concepto de número, en el módulo 4 nos dimos cuenta que una generalización de las propiedades aritméticas produce el álgebra, en el módulo 5 que el proceso de matematización se presenta en formas geométricas apoyado por un sistema numérico y un sistema algebraico y que apoya enormemente el aprendizaje significativo de conceptos matemáticos. Nos queda un último módulo pendiente en el cual aprenderemos cómo hacer significativos para nuestros alumnos los conceptos de la probabilidad y el manejo de la información.

Para comprender los materiales que hemos visto en el módulo es necesario que practiquemos con ellos.

[Vealapáginadeldiplomadoparaverelinteractivopararealizarlasactividades18,19y20]